第02講一元二次方程的解法（5個知識點8類題型18道強化訓練）-八年級數(shù)學下冊學與練（浙教版）

第02講一元二次方程的解法（5個知識點+8類題型+18道強化訓練）課程標準學習目標1.用開平方法解一元二次方程；2.用配方法解一元二次方程；3.用公式法解一元二次方程；4、用因式分解法解一元二次方程；5、根的判別式的應用；1.掌握用開平方法解一元二次方程；2.掌握用配方法解一元二次方程；3掌握.用公式法解一元二次方程；4、掌握用因式分解法解一元二次方程；5、掌握根的判別式的應用；知識點一：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當時，;當時，;當時，方程無實數(shù)根?！炯磳W即練1】1．（2023下·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習）若關于x的方程有實數(shù)根，則b的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解一元二次方程——直接開平方法，進行計算即可解答．【詳解】解：，，方程有實數(shù)根，，，故選：D．【點睛】本題考查解一元二次方程——直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程——直接開平方法是解題關鍵．（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質把二次項的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解?！炯磳W即練2】2．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，變形后的結果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程配方法，把方程的常數(shù)項移到等號右邊后，在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊化為完全平方式的形式，再用直接開方法求解．【詳解】解：方程，移項得：，配方得：，即，故選：D．（3）公式法：一元二次方程的根當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為；當時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【即學即練3】3．（2023下·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）已知關于x的方程，當時，方程的解為（

）A．， B．，C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式得出方程有兩個相等的實數(shù)根，然后根據(jù)求根公式即可得出答案．【詳解】解：∵，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，∵，∴方程的解為，故選：D．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式．一元二次方程的根與有如下關系：（1）?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）?方程沒有實數(shù)根．（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論?！炯磳W即練4】4．（2023下·浙江·八年級專題練習）方程的解是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴或，解得，，故選：A．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．知識點二：根的判別式的應用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）①當方程有實數(shù)根；（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）②當方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計算出判別式（關鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號；④總結出結論.（4）分類討論思想的應用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題【即學即練5】5．（2023下·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習）若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，運用根的判別式進行解答即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：．【點睛】此題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．題型01解一元二次方程——直接開方法1．（2024上·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根是（

）A． B．2 C．或 D．2或【答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程，先移項，然后根據(jù)直接開平方解一元二次方程即可求解．【詳解】解：即解得：，故選：D．2．（2024上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）方程的根是（

）A． B． C． D．無實數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程，先移項，然后直接開平方法即可，根據(jù)求一個數(shù)的平方根，這個數(shù)得是非負數(shù)，據(jù)此可得該方程無實數(shù)根，掌握概念是解題的關鍵．【詳解】解：，移項得：，∵，∴方程無實數(shù)根，故選：D．3．（2024上·北京海淀·九年級統(tǒng)考期末）若關于的一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)的值可以是（寫出一個即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了直接開平方法解方程，答案不唯一，【詳解】一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)，故答案為：1（答案不唯一）．4．（2024上·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根是．【答案】【分析】本題主要考查利用直接開方法解一元二次方程，將方程移項利用直接開方法求解即可．【詳解】解：移項得，，開方得，．故答案為：．5．（2023上·廣西柳州·九年級統(tǒng)考期中）解方程：．【答案】，【分析】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：或∴，．題型02解一元二次方程——配方法1．（2023上·湖南衡陽·九年級校考期中）用配方法解方程．下列配方結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進行配方即可．【詳解】解：∵，∴，即：，∴，故選：C．2．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，變形后的結果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程配方法，把方程的常數(shù)項移到等號右邊后，在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊化為完全平方式的形式，再用直接開方法求解．【詳解】解：方程，移項得：，配方得：，即，故選：D．3．（2024上·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）若關于的一元二次方程配方后得到方程，則的值為．【答案】【分析】本題考查了配方法，代數(shù)式求值，先對方程配方得，再跟方程對照得到，，得到，，代入算式計算即可求解，掌握配方法是解題的關鍵．【詳解】解：方程移項得，，配方得，，即，∵一元二次方程配方后得到方程，∴，，∴，∴，故答案為：．4、（2022上·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）將方程用配方法化為，則．【答案】22【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程和求代數(shù)式的值．把化成一般式，然后根據(jù)題意即可得到和的值，從而可以求得的值．【詳解】解：，，，，，，故答案為：22．5、（2024上·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】（）方程整理得，再利用直接開平方法解答即可求解；（）移項，利用配方法解答即可求解；本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：去括號得，，移項、合并同類項得，，∴，∴，∴，；（2）解：移項得，，配方得，，即，∴∴，．題型03配方法的應用1．（2024上·福建泉州·八年級校考期末）不論x為何值，的值總是（

）A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．非正數(shù)【答案】A【分析】本題考查配方法的應用，把式子化成判斷值的情況是解題的關鍵．【詳解】解：，∴不論x為何值，的值總是正數(shù)，故選A．2．（2023上·遼寧鞍山·九年級?？茧A段練習）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A．1 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，先移項再配成完全平方式，結合，得的值，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，則，故選：A3．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）代數(shù)式的最小值是，當取得最小值時，x的值是．【答案】71【解析】略4．（2023上·山東青島·九年級?？计谥校┪覀円呀?jīng)學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應用．例如：求代數(shù)式的最小值？解答過程如下：解：．，當時，的值最小，最小值是0，，當時，的值最小，最小值是1，的最小值為1．根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式當時有最（填“大”或“小”）值，為．【答案】3小3【分析】利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性解答即可．【詳解】解：，∵，∴，∴當時，代數(shù)式的最小值是3．故答案為：3，小，3．5．（2024上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考【閱讀材料】配方法是數(shù)學中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或其某一部分通過恒等變形，化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結合非負數(shù)的意義來解決問題．【知識運用】周末，明明同學在復習配方法后，他對代數(shù)式進行了配方，發(fā)現(xiàn)，明明發(fā)現(xiàn)是一個非負數(shù)，即，他繼續(xù)探索，利用不等式的基本性質得到，即，所以，他得出結論是的最小值是2，即的最小值是2．明明同學又進行了嘗試，發(fā)現(xiàn)求一個二次三項式的最值可以用配方法，他自己設計了兩個題，請你解答．（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求代數(shù)式的最值．【答案】（1）1；（2）5．【分析】本題考查配方法的應用以及非負數(shù)的性質，屬于基礎題，掌握方法是關鍵．（1）將變形為即可解決；（2）將變形為即可．【詳解】解：（1），的最小值是1；（2），的最大值是5.題型04根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2024上·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【答案】B【分析】此題考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，計算一元二次方程根的判別式，進而即可求解，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵．【詳解】解：由方程，得：，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：．2．（2023上·遼寧盤錦·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c為常數(shù))的根的判別式；把，，代入，然后計算，最后根據(jù)計算結果判斷方程根的情況．【詳解】解：，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．3．（2024上·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程根的判別式的值是．【答案】33【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根的判別式為．根據(jù)根的判別式的定義，計算的值即可．【詳解】解：由得，，，，．故答案為：334．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考階段練習）一元二次方程的根的判別式．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)，進行計算即可求解．【詳解】解：一元二次方程的根的判別式，故答案為：．5．（2024上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）已知關于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若，且該方程的兩個實數(shù)根的積為12，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式及一元二次方程的解法是解本題的關鍵．（1）表示出根的判別式，判斷其值大于等于0即可得證；（2）利用因式分解法可得，再由“該方程的兩個實數(shù)根的積為12”可求得，計算即可求出m的值．【詳解】（1）證明：，，無論取何值時，，即，原方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：，即：，，該方程的兩個實數(shù)根的積為12，，，．題型05根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2024上·河南鶴壁·九年級統(tǒng)考期末）關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的范圍，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；當方程有兩個相等的實數(shù)根時，；當方程沒有實數(shù)根時，．【詳解】∵的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：，故選：．2．（2023·安徽·模擬預測）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查了根的判別式．根的判別式建立關于m的等式，即可求解．【詳解】解：原方程可化為，由題意知，解得．故選：B．3．（2024上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式的意義；根據(jù)判別式的意義得到，然后解關于k的方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．故答案為：．4．（2024·全國·九年級競賽）若關于的一元二次方程至少有一個整數(shù)根，且為正整數(shù)，則滿足條件的共有個．【答案】3【分析】若一元二次方程至少有一個整數(shù)根，則根的判別式，建立關于a的不等式，求出根的判別式和a的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0．再根據(jù)根的判別式是完全平方數(shù)進行求解即可．本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有整數(shù)根，∴且，解得且，∴方程的根為，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，，且為正整數(shù)，∴，∵為完全平方數(shù)且為正整數(shù)，∴或或，解得或6或13，即滿足條件的共有3個，故答案為：3．5．（2024上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根(1)求m的取值范圍：(2)當m取最大整數(shù)時，求方程的兩個根【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程的根的判別式即可．（2）根據(jù)根的判別式，結合根的整數(shù)性質，解答即可，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．【詳解】（1）∵方程，，∴，∴，解得．（2）∵且取最大整數(shù)，∴，∴，解得．題型06公式法解一元二次方程1．（2024·全國·九年級競賽）若關于的方程恰有三個根，則的值為（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】先化簡絕對值方程為兩個一元二次方程①和②，再分三種情況討論：（1）方程①有兩個不相等的實根，方程②有等根；（2）方程②有兩個不相等的實根，方程①有等根；（3）兩個方程均有兩個不相等的實根，且兩個方程恰有一個相同的根．針對每種情況分別利用根的判別式列出方程或不等式求解并驗證，即可得到答案．【詳解】，或，整理得①或②，設方程①的判別式為，方程②的判別式為，若原方程恰有三個根，則有三種可能：（1），，，此時，，或，解得，或，滿足題意的t的值是；（2），，，當時，，或，解得，或，，，但，不滿足題意，舍去；（3），且兩方程恰有一個相同的根，，，設相同的根為，則，解得，，當時，，解得或或，符合題意；當時，，解得或或，但此時，三個解均不合題意，舍去；綜上所述，的值為或．故選B．【點睛】本題考查了解絕對值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，正確理解方程恰有三個根的含義是解答本題的關鍵．2．（2024上·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）若關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關鍵在于熟知關于一元二次方程若有解，則其解為．【詳解】解：由題意得：，，，∴該方程為，故選：．3．（2024上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【分析】本題主要考查在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，解題的關鍵是利用求根公式因式分解．時，，根據(jù)求根公式的分解方法和特點即可求解．【詳解】解：時，，，故答案為：．4．（2023上·青海果洛·九年級統(tǒng)考期末）用公式法解關于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【答案】【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題的關鍵．根據(jù)公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項系數(shù)的值，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意及求根公式，得，，，該一元二次方程為，故答案為：．5．（2023·安徽·九年級專題練習）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解題的關鍵在于靈活選取適當?shù)姆椒ń夥匠蹋驹斀狻拷猓?，，，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，．題型07因式分解法解一元二次方程1．（2024上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程的特點選擇合適的方法解方程是解題關鍵．先移項，再根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，解得：．故選C．2．（2024上·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式的值與的值相等，則的值是（

）A． B． C．或1 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程．根據(jù)題意列方程得，解出這個一元二次方程即可．【詳解】解：由題意得，，整理得，，解得，故選：D．3．（2024·全國·九年級競賽）設，是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個直角三角形的斜邊長為．【答案】【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法是解題的關鍵．將看作整體解方程得或（舍），從而得出，即可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：或（舍），則，∴這個直角三角形的斜邊長為，故答案為：．4．（2024·全國·九年級競賽）若關于的一元二次方程有一個根是0，則．【答案】【分析】把代入方程中，得出關于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次項系數(shù)．本題考查的是一元二次方程解的定義和一元二次方程的解法．能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的定義．【詳解】解：把代入方程中，得，解得或，當時，，舍去，故答案為：．5．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解題的關鍵．（1）先移項、然后再運用因式分解法求解即可；（2）直接運用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，，，．（2）解：，，所以，所以．題型08換元法解一元二次方程1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）若實數(shù)，滿足，則的值為（

）A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或【答案】A【解析】略2．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級內(nèi)蒙古師大附中?？计谥校╆P于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程．根據(jù)關于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），可知或，進一步求解即可．【詳解】解：關于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），∴在方程中，或，解得，故選：C．3．（2023上·全國·九年級專題練習）設a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個直角三角形的斜邊長為．【答案】2【分析】此題考查了換元法解一元二次方程，以及勾股定理，此題實際上求的值．設，將原方程轉化為關于t的一元二次方程，通過解方程求得t的值即可．【詳解】解：設，則由原方程，得，整理，得，解得或（舍去）．則，∵a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長，∴這個直角三角形的斜邊長為．故答案為：2．4．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級?？茧A段練習）若，則的值為．【答案】4【分析】本題考查了因式分解法求值，一元二次方程的解法，正確分解，把握非負數(shù)的屬性是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∴，∴（舍去），故答案為：4．5．（2023上·河南南陽·九年級校考階段練習）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關于x的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)，并寫出系數(shù)a、c的取值范圍．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用換根法，將所求新方程的根換元為原方程根的相反數(shù)，代入原方程化簡即求出新方程；（2）利用換根法，將所求新方程的根換元為原方程根的倒數(shù)，代入原方程化簡即求出新方程；根據(jù)一元二次方程根的特點，可以求出系數(shù)a、c的取值范圍．【詳解】（1）解：設所求方程的根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為．（2）設所求方程的非零實根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為；因為新方程和原方程分別有兩個非零實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程一般性質和特點，則有，．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的有關概念及一元二次方程的一般性質和特點，理解掌握一元二次方程的特點是解本題的關鍵．A夯實基礎1．（2024上·吉林·九年級?？计谀┮辉畏匠痰慕馐牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法求解．【詳解】解：，或，解得，故選D．2．（2022·安徽·模擬預測）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．4【答案】A【分析】本題考查了由一元二次方程根的判別式求參數(shù)的值；，由一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可得即可求解；掌握根的判別式“時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；時，方程有兩個相等的實數(shù)根；時，方程有無的實數(shù)根．”是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，即：，解得：；故選：A．3．（2024上·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，將原方程配方成的形式，則k的值為．【答案】【分析】本題考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法則對等式左邊進行配方即可得到本題答案．【詳解】解：，配方得：，整理得：，∵即為形式，∴，故答案為：．4．（2024上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程（m為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應用．一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）方程沒有實數(shù)根．根據(jù)根的判別式來求m的取值范圍；【詳解】解：．因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，所以．故答案為：．5．（2024上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）（1）

（2）【答案】（1），；（2），【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法求解；（2）利用因式分解法求解．【詳解】解：（1），，或，解得，；（2），，或，解得，．6．（2024上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，．(2)，．【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．（1）利用配方法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【詳解】（1）解：移項，得：，配方，得：，開方，得：，解得：，．（2）解：移項，得：，因式分解，得：，即：或，解得：，．B能力提升1．（2024上·四川宜賓·九年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查配方法解一元二次方程，利用配方法對變形即可得到答案，熟記配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．【詳解】解：用配方法解一元二次方程時，得到，則，即，故選：A．2．（2024上·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）在分式方程中，設，可得到關于y的整式方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解分式方程的步驟，將原分式方程可化為：，方程兩邊同時乘以即可求解．【詳解】解：∵，∴，原分式方程可化為：，方程兩邊同時乘以得：，即：故選：C3．（2024上·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？茧A段練習）如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程—直接開平方法．熟練掌握負數(shù)沒有平方根是解題的關鍵．根據(jù)負數(shù)沒有平方根，求解作答即可．【詳解】解：由題意知，，∵關于的方程沒有實數(shù)根，∴，即，故答案為：．4．（2024上·重慶潼南·九年級統(tǒng)考期末）方程是關于的一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，原方程可變?yōu)?，先求解，再求解．在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題：若，則．【答案】2【分析】本題考查了換元法解一元二次方程．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．設，原方程可變形為，運用因式分解法解得，，再根據(jù)，即可得出．【詳解】解：設，原方程可變形為，整理得，即，，，，，故答案為：2．5．（2024上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接開平方法以及因式分解法是解答本題的關鍵．（1）用公式法解方程即可；（2）先對因式分解，然后再移項，最后運用因式分解法解答即可【詳解】（1）解：∵，∴，則，即，；（2）解：，，．6．（2024上·河南鶴壁·九年級統(tǒng)考期末）已知關于的方程．(1)若此方程的一個根為，則的值為______；(2)求證：對于任何實數(shù)，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．（1）把代入原方程求得m的值，進一步求得方程的另一個根即可；（2）只要證明即可；【詳解】（1）解：把代入得，，解得，，故答案為：．（2）證明：．因為對于任何實數(shù)，總有，所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根．C綜合素養(yǎng)1．（2024上·四川宜賓·九年級統(tǒng)考期末）如果