江西省多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性考試（3月月考）數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年高一年級第二學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只需將兩角作差，看差是否是的整倍數(shù)即得.【詳解】因不能表示成的形式，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；同理因也不能表示成的形式，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由，而也不能表示成的形式，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；而，具備的形式，故D項(xiàng)正確.故選：D.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義易得“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要條件；可通過舉例子說明“”不是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分條件，即得.【詳解】由得不到“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”，如，，顯然滿足，但是函數(shù)在上遞增，在上遞減，故“”不是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分條件；而由“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”可得.則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】多次利用誘導(dǎo)公式，將所求式化簡，再代入條件求值即得.【詳解】由.故選：B.4.，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算求得，利用指數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算比較，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A．5.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到不等式，求出答案.【詳解】由三角函數(shù)定義可得在第四象限，，解得，故的取值范圍是.故選：B6.函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的范圍，再由正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，再乘以3即可.【詳解】故選：C.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)g(x)每一段均需單調(diào)增，且每相鄰兩段函數(shù)，右段函數(shù)的左端點(diǎn)函數(shù)值不小于左段函數(shù)右端點(diǎn)函數(shù)值，列出不等式組求解即可.【詳解】由題：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得：,故選：C.8.魯洛克斯三角形又稱“勒洛三角形”（如圖1），是一種特殊三角形，指分別以正三角形頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔.今有一個(gè)半徑為的圓（如圖2），，，分別為圓周上的點(diǎn)，其中，，現(xiàn)將扇形，分別剪下來，又在扇形中裁剪下兩個(gè)弓形分別補(bǔ)到扇形的兩條直邊上，將扇形補(bǔ)成魯洛克斯三角形，設(shè)此魯洛克斯三角形的面積為，扇形剩余部分的面積為，若不計(jì)損耗，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先由扇形求出弓形面積，再分別計(jì)算和，化簡即得.【詳解】由題意，先求出弓形的面積為,則,,故故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】AC【解析】【分析】利用象限角的定義即可得解.【詳解】依題意，得，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第三象限．故選：AC10.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn).下列選項(xiàng)中的是函數(shù)的點(diǎn)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)是的點(diǎn)的定義，對選項(xiàng)一一分析計(jì)算，檢驗(yàn)即得.【詳解】對于A，因，，則符合題意，故A項(xiàng)正確；對于B，因，，則，不符題意，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，因，，則，符合題意，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由，因，，，則，不合題意，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知定義域均為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，則（）A.在上單調(diào)遞減B.C.當(dāng)時(shí)，的最大值為D.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性先求解析式，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一選項(xiàng)即可.【詳解】由題意及誘導(dǎo)公式可知：，兩式相加得，所以，對于A，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知單調(diào)遞減，即A正確；對于B，根據(jù)誘導(dǎo)公式易知，即B正確；對于C，時(shí)，易知，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在時(shí)取得最大值，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顧客預(yù)訂生日蛋糕，他們的年齡按預(yù)訂的順序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，則這10位顧客年齡的中位數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】利用中位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意將顧客的年齡從小到大排列：，則中位數(shù)為.故答案為：13.已知函數(shù)具有下列性質(zhì)：①值域?yàn)?；②其圖象的對稱軸為直線，，則的一個(gè)解析式為________.（寫出滿足條件的一個(gè)解析式即可）【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】依題意使其值域和對稱軸滿足即可選定一個(gè)函數(shù).【詳解】可使函數(shù)的值域?yàn)?，且其圖象的對稱軸為直線即可，故可取.故答案為：.(答案不唯一)14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋舸嬖谡麛?shù)，，且，則為函數(shù)的“子母數(shù)”.已知集合，函數(shù)，（表示不超過的最大整數(shù)，例如），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有“子母數(shù)”之和為________.【答案】【解析】【分析】解不等式，得集合，畫出的圖象，根據(jù)圖象得到g(x)<0的部分，求出x∈Z且在定義域內(nèi)的x之和即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以由，可得，解得，即，如圖為的圖象，由的周期性，所以只需討論一個(gè)周期內(nèi)的情況即可，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在一個(gè)周期內(nèi)的部分，由圖得時(shí)，，，，所以且在定義域內(nèi)的為，所以數(shù)所有“子母數(shù)”之和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于畫出的圖象，根據(jù)圖象得到的部分，求出且在定義域內(nèi)的之和.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在某單位元旦聯(lián)歡會上，為了活躍氣氛，設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲環(huán)節(jié)：在，，三個(gè)不透明的盒子中均裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球形狀大小完全相同，每個(gè)職工均摸球兩次，第一次從盒子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，如果摸出的均是白球，則得獎金100元，否則獎金為0元；第二次從，兩個(gè)盒子中各摸一個(gè)球，若兩球的顏色相同，則得獎金50元，否則獎金為0元，小明參與了此次游戲.（1）求小明在第一次摸球中得獎金100元的概率；（2）求小明在兩次摸球中得獎金150元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概率模型概率公式即可求得；（2）小明在兩次摸球中得獎金150元即在第一次從盒子中摸出兩個(gè)白球的前提下，再分別從，兩個(gè)盒子中各摸到一個(gè)顏色相同的球，可表示成兩個(gè)事件的積事件，利用積事件的概率乘法公式即可求得.【小問1詳解】因盒子中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，則從中摸出兩個(gè)白球得獎金100元的概率為；【小問2詳解】因小明在兩次摸球中得獎金150元是在第一次從盒子中摸出兩個(gè)白球的前提下，再分別從，兩個(gè)盒子中各摸到一個(gè)顏色相同的球.不妨記“第一次從盒子中摸出兩個(gè)白球”為事件M，“分別從，兩個(gè)盒子中各摸到一個(gè)顏色相同的球”記為事件N，則小明在兩次摸球中得獎金150元的概率即.由（1）可知,而,故由積事件的概率乘法公式，可得：.16.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且.（1）當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用條件得出，計(jì)算結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)作圖并求單調(diào)區(qū)間與零點(diǎn)即可；（2）利用（1）的結(jié)論及求解析式即可.【小問1詳解】由題意可知：，所以，即，則時(shí)，令，則，綜上，作圖如下：結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇函數(shù)的性質(zhì)知的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，且其零點(diǎn)有三個(gè)，分別為；【小問2詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),，則.17.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮賹⑺脠D象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.已知函數(shù)若函數(shù)的零點(diǎn)從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，由最值求，由和求與，可得函數(shù)的解析式；（2）由圖象變換得的解析式，可作出的圖象，由圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置關(guān)系.【小問1詳解】由函數(shù)圖象可知，，，得，由，得，結(jié)合圖象可得，，由五點(diǎn)法作圖可得，解得，所以.【小問2詳解】函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得函?shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)則的圖象如圖所示，函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知，函數(shù)的零點(diǎn)有6個(gè)，從左到右依次為，，…，，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，.18.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，春節(jié)前后，各地積極開展各種非遺展演、文化廟會活動.某地廟會每天8點(diǎn)開始，17點(diǎn)結(jié)束.通過觀察發(fā)現(xiàn)，游客數(shù)量（單位：人）與時(shí)間之間，可以近似地用函數(shù)（，）來刻畫，其中，8點(diǎn)開始后，游客逐漸增多，10點(diǎn)時(shí)大約為350人，14點(diǎn)時(shí)游客最多，大約為1250人，之后游客逐漸減少.（1）求出函數(shù)的解析式；（2）臘月二十九，為了營造幸福祥和的氛圍，該廟會籌辦方邀請本地書法家書寫了950幅福字，計(jì)劃選一時(shí)段分發(fā)給每位游客，為了保證在場的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在什么時(shí)間贈送福字？【答案】18.，19.選擇在12點(diǎn)之前或16點(diǎn)之后兩個(gè)時(shí)間，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意得到方程組，求出和，得到答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到方程，求出或，得到答案.【小問1詳解】由題意得，，且，故，故，又，，解得，故函數(shù)的解析式為，；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，解得或，解得或，結(jié)合函數(shù)圖象及，可得或，為了保證在場的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在12點(diǎn)前或16點(diǎn)之后兩個(gè)時(shí)間段贈送福19.對于分別定義在，上的函數(shù)，以及實(shí)數(shù)，若任取，存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.其中稱為的像.（1）若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；（2）若，；，，且與具有關(guān)系，求的像；（3）若，；，，且與具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】19.不具有，理由見解析；20.或或；21.或，【解析】【分析】（1）根據(jù)具有關(guān)系的定義及三角函