上海市青浦區(qū)2020屆九年級上學(xué)期期末一模質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2020年上海市青浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷答案解析版一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）[每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)題號的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂]1.如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊之比是1∶2，那么它們的對應(yīng)高之比是（）A.1∶2； B.1∶4； C.1∶6； D.1∶8．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比、中線、角平分線的比都等于相似比作答即可．【詳解】∵兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊之比是1∶2，又∵相似三角形的對應(yīng)高的比、中線、角平分線的比都等于相似比，∴它們的對應(yīng)高之比是：1∶2，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)高的比、中線、角平分線的比都等于相似比．2.如圖，DE∥AB，如果CE∶AE=1∶2，DE=3，那么AB等于（）A.6； B.9； C.12； D.13．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得CE∶CA=1∶3，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論，即可求得答案.【詳解】∵CE∶AE=1∶2，∴CE∶CA=1∶3，∵DE∥AB，∴∵DE=3，∴AB=3DE=9故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的推論及比例的性質(zhì)，熟練運(yùn)用“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例”是解題的關(guān)鍵.3.在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=1，AB=3，則下列結(jié)論正確的是（）A.； B.； C.； D.．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出BC的長，再由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.【詳解】如圖所示：∵Rt△ABC中，∠C=90o，AC=1，AB=3，∴,∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.4.已知非零向量、，且有，下列說法中，不正確的是（）A.； B.∥； C.與方向相反； D.．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行向量以及模的知識求解即可.【詳解】A.∵，表明向量與是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴，該選項(xiàng)不符合題意錯(cuò)誤；B.∵，表明向量與是同一方向上相同的向量，那么它們是相互平行的，雖然與方向相反，但還是相互平行，∴∥，該選項(xiàng)不符合題意錯(cuò)誤；C.∵，而與方向相反，∴與的方向相反，該選項(xiàng)不符合題意錯(cuò)誤；D.∵只表示數(shù)量，不表示方向，而是兩個(gè)矢量相加是帶方向的，應(yīng)該是，該選項(xiàng)符合題意正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本知識.5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點(diǎn)E，GF∥AC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.； B.； C.； D.．【答案】A【解析】【分析】抓住已知條件：GE∥BD，GF∥AC，利用平行線分線段成比例以及中間比代換，對各選項(xiàng)一一判斷即可求解.【詳解】∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，A選項(xiàng)正確；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵GE∥BD，∴，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用中間比是解題的關(guān)鍵.6.拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表，那么下列結(jié)論中正確的是（）x…-2-1012…y…04664…A.； B.； C.； D.．【答案】D【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求得的值，根據(jù)的值即可求解.【詳解】∵x=-1時(shí)y=4；x=0時(shí)y=6；x=-2時(shí)y=0，∴a?b+c＝4c＝64a?2b+c＝0，解得：a＝?1，b＝1，c＝6．∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，先根據(jù)圖表列出關(guān)于的方程組，求出的值是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每小題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]7.已知，那么的值為______．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，則，代入求解即可.【詳解】設(shè)，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì).8.已知線段AB=2，P是AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么AP=______．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則,依題意得：，即：化簡得：解得：(負(fù)值已舍)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，利用黃金分割的定義構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.9.已知向量與單位向量方向相反，且，那么=______（用向量的式子表示）【答案】-3．【解析】試題分析：由向量與單位向量方向相反，且||＝3，根據(jù)單位向量與相反向量的知識，即可求得答案．∵向量與單位向量方向相反，且||＝3，∴=-3．故答案為-3．考點(diǎn)：平面向量．10.如果拋物線的頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn)，那么的取值范圍是_______．【答案】；【解析】【分析】由于原點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，這要求拋物線必須開口向上，由此可以確定的范圍．【詳解】∵原點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，

∴．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的最值的知識點(diǎn)，解答此題要掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)．11.如果點(diǎn)A（-3，）和點(diǎn)B（-2，）是拋物線上的兩點(diǎn)，那么__．（填“”、“=”、“”）．【答案】；【解析】【分析】先判斷出拋物線開口方向，進(jìn)而求出對稱軸，利用函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】∵二次項(xiàng)系數(shù)為1，∴開口向上，∵對稱軸是直線：，即軸，又∵∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性與對稱性，明白開口向上、對稱軸左側(cè)，函數(shù)值隨自變量增大反而減少的特征是解題的關(guān)鍵．12.某公司10月份的產(chǎn)值是100萬元，如果該公司第四季度每個(gè)月產(chǎn)值的增長率相同，都為，12月份的產(chǎn)值為萬元，那么關(guān)于的函數(shù)解析式是______．【答案】；【解析】分析】根據(jù)：現(xiàn)有量=原有量×(1+增長率,即可列方程求解．【詳解】依題意得：故答案為：【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，可直接套公式：原有量×(1+增長率=現(xiàn)有量，表示增長的次數(shù)．13.在△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，AB=4，那么BC=______．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)tanB=，得，結(jié)合AB=4，利用勾股定理即可求得答案.【詳解】在△ABC中，∠C=90°，tanB=2，∵tanB=，∴∵∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，正確理解三角形函數(shù)的定義、熟練應(yīng)用勾股定理，是解答本題的關(guān)鍵．14.小明沿著坡度i=1∶2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是______米．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)垂直高度：水平寬度，可用未知數(shù)表示出垂直高度和水平寬度的值，進(jìn)而可用勾股定理求得垂直高度的值．【詳解】如圖．米，．

設(shè)米，則米．

在中，，

即，

化簡得：，

解得：．

∴上升高度是:米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的定義以及直角三角形中三角函數(shù)值的計(jì)算以及勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，注意構(gòu)造直角三角形，并借助解直角三角形的知識求解是關(guān)鍵.15.已知點(diǎn)G是△ABC的重心，AB=AC=5,BC=8，那么AG=_____．【答案】2.【解析】試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，連接AG并延長交BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可得出AD⊥BC，再根據(jù)勾股定理求出AD的長，由三角形重心的性質(zhì)即可得出AG的長．如圖所示：連接AG并延長交BC于點(diǎn)D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，∴AD⊥BC，BD=BC=×8=4，∴AD==3，∴AG=AD=×3=2．故答案為2．考點(diǎn)：三角形的重心．16.如圖，在菱形ABCD中，O、E分別是AC、AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE．如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)O、E分別是AC、AD的中點(diǎn)，知是中位線得，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)知AC與垂直平分，在中，根據(jù)勾股定理可求得，繼而求得答案.【詳解】如圖，連接，在菱形ABCD中，O是AC的中點(diǎn)，∴O也是對角線的交點(diǎn)，且AC與垂直平分，∵O、E分別是AC、AD的中點(diǎn)，∴，∴在中，，,∴∴cot∠AOE=cot故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了求角的正切余切函數(shù)，涉及的知識有：菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及勾股定理，利用中位線的性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵.17.在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形．如圖，請?jiān)谶呴L為1個(gè)單位的2×3的方格紙中，找出一個(gè)格點(diǎn)三角形DEF．如果△DEF與△ABC相似（相似比不為1），那么△DEF的面積為______．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)小正方形的邊長，分別求出和三邊的長，然后判斷它們是否對應(yīng)成比例，再用三角形面積公式求解即可.【詳解】如圖，∵，∴∵，，∴∴∴∴故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面積公式，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵.18.已知，在矩形紙片ABCD中，AB=5cm，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，折疊矩形紙片ABCD，折痕BM交AD邊于點(diǎn)M，在折疊的過程中，如果點(diǎn)A恰好落在線段EF上，那么邊AD的長至少是______cm．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)知，在中可求得的長，即可獲得答案.【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)A恰好與點(diǎn)F重合時(shí)，邊AD的長最短，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴，則，，在中，∴邊AD的長至少是故答案是：【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理，牢固掌握矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）[請將解題過程填入答題紙的相應(yīng)位置]19.計(jì)算：．【答案】．【解析】【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求值即可.【詳解】原式===．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值、熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.20.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，DE∶EC=2∶3．(1)求BF∶DF的值；（2）如果，，試用、表示向量．【答案】(1)5∶2；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)，即可求得答案；（2）首先根據(jù)已知條件，求得，再根據(jù)向量的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，DC=AB，∴．∵DE∶EC=2∶3，∴DC∶DE=5∶2，∴AB∶DE=5∶2，∴BF∶DF=5∶2．（2）∵BF∶DF=5∶2，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)以及平面向量的知識，根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行靈活變形是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)要注意向量是有方向的．21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=2，BC=3．點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，過點(diǎn)C作CG⊥BD，交AC的垂線AG于點(diǎn)G，GC分別交BA、BD于點(diǎn)F、E．（1）求GA的長；（2）求△AFC的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由∠ACB=90o，CG⊥BD，證得∠CBE=∠GCA，繼而證得△BCD∽△CAG，其對應(yīng)邊成比例求得答案；（2）由GA∥BC，求得，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積的比等于底邊的比即可求得答案.【詳解】（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠GCA=90°．∵CG⊥BD，∴∠CEB=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠GCA．又∵∠DCB=∠GAC=90°，∴△BCD∽△CAG．∴，∴，∴．（2）∵∠GAC+∠BCA=180°，∴GA∥BC．∴．∴．∴．∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形面積公式，利用“等高的兩個(gè)三角形面積的比等于底邊的比”是解題的關(guān)鍵.22.水城門位于淀浦河和漕港河三叉口，是環(huán)城水系公園淀浦河夢蝶島區(qū)域重要的標(biāo)志性景觀．在課外實(shí)踐活動(dòng)中，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組決定測量該水城門的高．他們的操作方法如下：如圖，先在D處測得點(diǎn)A的仰角為20°，再往水城門的方向前進(jìn)13米至C處，測得點(diǎn)A的仰角為31°（點(diǎn)D、C、B在一直線上），求該水城門AB的高．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈034，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】11.7米．【解析】【分析】根據(jù)正切的概念表示出BD、BC，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.【詳解】由題意，得∠ABD=90°，∠D=20°，∠ACB=31°，CD=13．在Rt△ABD中，∵，∴．在Rt△ABC中，∵，∴．∵CD=BD-BC，∴．解得米．答：水城門AB的高約為11.7米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．23.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；【解析】【分析】（1）由及∠AFG=∠EFA，證得△FAG∽△FEA，結(jié)合AE∥BC，證得∠EBC=∠FAG，從證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得到，證得△CDG∽△CAB，結(jié)合AE∥BC，證得，繼而證得結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴．又∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA．∴∠FAG=∠E．∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC．∴∠EBC=∠FAG．又∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG．（2）∵△CAD∽△CBG，∴．又∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴．∵AE∥BC，∴．∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)以及中間比是解題的關(guān)鍵.24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），聯(lián)結(jié)PC．當(dāng)∠PCB=∠ACB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)OD⊥DQ時(shí)，求拋物線平移的距離．【答案】（1）（2，-1）（2）P（，）．（3）．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式，利用頂點(diǎn)公式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作PN⊥x軸，過點(diǎn)C作CM⊥PN，交NP的延長線于點(diǎn)M，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得為等腰直角三角形，利用等量代換證得∠OCA=∠PCM，利用這對角的正切函數(shù)得到MC=3PM，設(shè)PM=a，則MC=3a，PN=3-a，得P（3a，3-a）代入拋物線的表達(dá)式，即可求得答案；（3）設(shè)D的坐標(biāo)為（2，），過點(diǎn)D作直線EF∥x軸，交y軸于點(diǎn)E，交PQ的延長線于點(diǎn)F，利用∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，證得∠EOD=∠QDF，再根據(jù)其正切函數(shù)列出等式即可求得答案.【詳解】（1）∵A的坐標(biāo)為（1，0），對稱軸為直線x=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）將A（1，0）、B（3，0）代入，得解得：所以，．當(dāng)x=2時(shí)，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．（2）過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N．過點(diǎn)C作CM⊥PN，交NP的延長線于點(diǎn)M．∵∠CON=90°，∴四邊形CONM為矩形．∴∠CMN=90°，CO=MN．∵，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）∵B（3，0），∴OB=OC．∵∠COB=90°，∴∠OCB=∠BCM=45°，又∵∠ACB=∠PCB，∴∠OCB-∠ACB=∠BCM-∠PCB，即∠OCA=∠PCM．∴tan∠OCA=tan∠PCM．∴．設(shè)PM=a，則MC=3a，PN=3-a．∴P（3a，3-a）．將P（3a，3-a）代入，得．解得，（舍）．∴P（，）．（3）設(shè)拋物線平移的距離為m．得，∴D的坐標(biāo)為（2，）．過點(diǎn)D作直線EF∥x軸，交y軸于點(diǎn)E，交PQ的延長線于點(diǎn)F．∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，∴∠EOD+∠ODE=90°，∠ODE+∠QDF=90°，∴∠EOD=∠QDF，∴tan∠EOD=tan∠QDF．∴．∴．解得．所以，拋物線平移的距離為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法、矩形的判定和性質(zhì)、三角形函數(shù)等，綜合性強(qiáng)，構(gòu)建輔助線、正確表示出各點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.25.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．點(diǎn)P是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、Q分別