押題14 第8、11、14題 立體幾何 平面解析幾何 沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題含解析

押題14第8、11、14題立體幾何平面解析幾何（八大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專用）押題14第8、11、14題立體幾何平面解析幾何（八大題型）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·全國(guó)·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體3．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．4．（2021·全國(guó)·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三、填空題5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．押題14立體幾何平面解析幾何高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1最值問題1-3（單選）題型2求表面積或體積4-5（單選）題型3空間向量與立體幾何的綜合判斷6-10（單選）題型4求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)11-14（單選）題型5平面解析幾何——取值范圍、最值問題15-17（單選）題型6平面解析幾何的綜合判斷18（單選）題型7立體幾何、平面解析幾何（多選題）19-28（多選）題型8立體幾何、平面解析幾何綜合填空題（填空題）29-36（填空）題型1：最值問題1．（2024·湖南衡陽·二模）已知三棱錐中，，三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A．7 B．8 C． D．102．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．題型2：求表面積或體積4．（2024·陜西西安·二模）如圖，在矩形中，，，，分別在線段，上，，將沿折起，使到達(dá)的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若在長(zhǎng)方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（

）A． B． C． D．題型3：空間向量與立體幾何的綜合判斷6．（2024·安徽安慶·二模）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則（

）

A．不存在點(diǎn)E，使得B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條C．過點(diǎn)E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條D．過點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條7．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．8．（2024·山西·一模）如圖，在體積為1的三棱錐的側(cè)棱上分別取點(diǎn)，使，記為平面?平面?平面的交點(diǎn)，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．9．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，現(xiàn)有如下說法①不存在點(diǎn)，使得平面②存在點(diǎn)，使得平面③當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面④當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面其中正確的說法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④10．（2024·陜西西安·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）

①在中點(diǎn)時(shí)，平面平面②異面直線所成角的余弦值為③在同一個(gè)球面上④，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為A．0 B．1 C．2 D．3題型4：求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)11．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若，且，則的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．12．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線（，）上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，，，是C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（

）A．2 B．8 C． D．13．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)．若，且，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．14．（2024·全國(guó)·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交雙曲線的左支于，，的內(nèi)切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2題型5：平面解析幾何——取值范圍、最值問題15．（2024·青海·一模）已知過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．16．（2024·安徽合肥·一模）已知直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．17．（2024·四川涼山·二模）已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型6：平面解析幾何的綜合判斷18．（2024·四川南充·二模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方），則下列說法中正確的有（

）個(gè)．①②③若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的面積為④當(dāng)時(shí)，內(nèi)切圓的面積為A．1 B．2 C．3 D．4多選題題型7：立體幾何、平面解析幾何綜合19．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．無論M，N在何位置，為異面直線 B．若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP與平面所成角的正弦最大值為20．（2024·浙江溫州·二模）已知半徑為球與棱長(zhǎng)為1的正四面體的三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切，切點(diǎn)在三個(gè)側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為，則（

）A．有最大值，但無最小值 B．最大時(shí)，球心在正四面體外C．最大時(shí)，同時(shí)取到最大值 D．有最小值，但無最大值21．（2024·廣東佛山·二模）對(duì)于棱長(zhǎng)為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說法正確的是（

）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為的圓錐22．（2024·浙江·二模）已知正方體，的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是正方形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為，向?qū)琼旤c(diǎn)移動(dòng)的概率為，如當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，向點(diǎn)，移動(dòng)的概率均為，向點(diǎn)移動(dòng)的概率為，則（

）A．移動(dòng)兩次后，“”的概率為B．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“平面”的概率都小于C．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“PC⊥平面”的概率都小于D．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面上時(shí)，四面體體積為0）23．（2024·廣東深圳·一模）如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角為B．當(dāng)∥平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離可能為D．存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)24．（2024·湖南·二模）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（

）A．若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為25．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）

A．的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．內(nèi)接圓的半徑為26．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)C的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A和點(diǎn)C在點(diǎn)B的兩側(cè)），則下列命題正確的是（

）A．若BF為的中線，則B．若BF為的角平分線，則C．存在直線l，使得D．對(duì)于任意直線l，都有27．（2024·廣東江門·一模）已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨著增大而減小B．曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為C．曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．是曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為28．（2024·廣東廣州·二模）雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為C．當(dāng)軸時(shí)，D．過點(diǎn)作，垂足為三、填空題題型8：立體幾何、平面解析幾何綜合29．（2024·遼寧·一模）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對(duì)于任意，都有（其中），則．30．（2024·山東青島·一模）已知球O的表面積為，正四面體ABCD的頂點(diǎn)B，C，D均在球O的表面上，球心O為的外心，棱AB與球面交于點(diǎn)P．若平面，平面，平面，平面，且與之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與交于點(diǎn)Q，R，則的周長(zhǎng)為.31．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則，.32．（2024·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

33．（2024·貴州畢節(jié)·一模）三等分角大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，它和“立方倍積問題”“化圓為方問題”并稱為“古代三大幾何難題”.公元六世紀(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)家帕普斯曾證明用一固定的雙曲線可以解決“三等分角問題”.某同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，借用帕普斯的研究，使某銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在第四象限，且點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，而與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn).以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，則.若，則的值為.34．（2024·山東濰坊·一模）已知平面直角坐標(biāo)系中，直線：，：，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過作交于，作交于，得到的平行四邊形面積為1，記點(diǎn)的軌跡為曲線．若與圓有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．35．（2024·廣東·一模）已知直線與橢圓在第一象限交于P，Q兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且滿足，則的斜率為.36．（2024·江西南昌·一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓?雙曲線?拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林用一個(gè)雙球模型給出了證明.如圖1，在一個(gè)圓錐中放入兩個(gè)球，使得它們都與圓錐面相切，一個(gè)平面過圓錐母線上的點(diǎn)且與兩個(gè)球都相切，切點(diǎn)分別記為.這個(gè)平面截圓錐面得到交線是上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的母線與兩個(gè)球分別相切于點(diǎn)，因此有，而是圖中兩個(gè)圓錐母線長(zhǎng)的差，是一個(gè)定值，因此曲線是一個(gè)橢圓.如圖2，兩個(gè)對(duì)頂圓錐中，各有一個(gè)球，這兩個(gè)球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個(gè)圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個(gè)球相切于兩點(diǎn)，記平面與圓錐側(cè)面相交所得曲線為，則曲線的離心率為.押題14第8、11、14題立體幾何平面解析幾何（八大題型）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是二、多選題2．（2023·全國(guó)·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.3．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【解析】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.4．（2021·全國(guó)·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．三、填空題5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【解析】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)椋月?lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.押題14立體幾何平面解析幾何高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1最值問題1-3（單選）題型2求表面積或體積4-5（單選）題型3空間向量與立體幾何的綜合判斷6-10（單選）題型4求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)11-14（單選）題型5平面解析幾何——取值范圍、最值問題15-17（單選）題型6平面解析幾何的綜合判斷18（單選）題型7立體幾何、平面解析幾何（多選題）19-28（多選）題型8立體幾何、平面解析幾何綜合填空題（填空題）29-36（填空）單選題題型1：最值問題1．（2024·湖南衡陽·二模）已知三棱錐中，，三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A．7 B．8 C． D．10【答案】C【分析】依題意可知為直角三角形且其外接圓的半徑為，根據(jù)題意可求得點(diǎn)到平面的距離為，由求得半徑求出過的截面圓半徑，即可得出結(jié)論.【解析】因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑滿足，可得；又，因此，即，此時(shí)；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，可得，因?yàn)樵谇虻慕孛鎴A上，設(shè)截面圓所在的平面為，當(dāng)與平面平行時(shí)，有最大值；設(shè)球心到平面的距離為，而的外心即為的中點(diǎn)，外接圓的半徑為，則，故球心到平面的距離為，可知截面圓半徑為；設(shè)在平面上的射影為，則的軌跡為圓，如下圖所示：

設(shè)該圓圓心為，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)且點(diǎn)在中間時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)，故線段長(zhǎng)度的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出點(diǎn)到平面距離之后，確定出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)且點(diǎn)在中間時(shí)，最長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算可得其最大值.2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定截面的形狀，再通過幾何計(jì)算，確定面積的最大值.【解析】連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，平面，所以平面；所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.當(dāng)為三角形時(shí)，其面積的最大值為；當(dāng)為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示，設(shè)，則，依次可以表示出六邊形的邊長(zhǎng)，如圖所示：六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，其中，兩個(gè)等腰梯形的高分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大，最大值為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵1是理解題意，并能利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，直觀象限和數(shù)學(xué)計(jì)算相結(jié)合，2是確定平面，從而將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體計(jì)算.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先得的軌跡方程，進(jìn)一步作二面角的平面角為，結(jié)合軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.【解析】因?yàn)椋?，點(diǎn)的軌跡方程為（橢球），

又因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡方程為，（雙曲線的一支）

過點(diǎn)作，而面，所以面，

設(shè)為中點(diǎn)，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用定義法作出二面角的平面角，結(jié)合軌跡方程設(shè)參即可順利得解.題型2：求表面積或體積4．（2024·陜西西安·二模）如圖，在矩形中，，，，分別在線段，上，，將沿折起，使到達(dá)的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，先證明，四面體的外接球球心在的中點(diǎn)處垂直平面方向上，由求得，從而求得球的表面積.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由題可知為等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，根據(jù)題意，，所以的外心為的中點(diǎn)，設(shè)四面體的外接球的球心為，則平面，作分別交于，，又，，則，所以，所以，，由，得，即，解得，，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.5．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若在長(zhǎng)方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，平面，可知四面體與四面體公共部分為四面體，建系，利用空間向量分析可知為的重心，進(jìn)而根據(jù)體積關(guān)系運(yùn)算求解.【解析】設(shè)，平面，可知四面體與四面體公共部分為四面體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，則，解得，可得，即，在中，結(jié)合為的中點(diǎn)，可知為的重心，則，所以四面體的體積.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意分析可知公共部分，利用空間向量的相關(guān)知識(shí)確定點(diǎn)的位置，即可得結(jié)果.題型3：空間向量與立體幾何的綜合判斷6．（2024·安徽安慶·二模）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則（

）

A．不存在點(diǎn)E，使得B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條C．過點(diǎn)E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條D．過點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條【答案】D【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)判斷A；作圖判斷B；利用角平分面的特征判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，分析判斷D.【解析】在長(zhǎng)方體中，，對(duì)于A，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，連接，則，即有，而平面，平面，則，又平面，因此平面，而平面，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，設(shè)，，則平面與直線交于，點(diǎn)在線段上，不含端點(diǎn)，則直線與直線相交，同理直線與直線相交,因此直線、分別與三條直線，，都相交，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，平面，而平面，則，又，于是是二面角的平面角，且，顯然的平分線與平面和平面所成角都等于，過點(diǎn)與此直線平行的直線符合要求，這樣的直線只有1條；半平面與半平面的反向延長(zhǎng)面所成二面角的角平分面與平面和平面所成角都等于，在此角平分面內(nèi)過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有2條，因此過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有3條，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，直線的方向向量分別為，設(shè)過點(diǎn)的直線方向向量為，由直線分別與直線所成角都相等，得，于是，不妨令，有或或或，顯然使得成立的向量有8個(gè)，其余4個(gè)分別與上述4個(gè)向量共線，所以過點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條，D正確.故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線夾角的求法是求解選項(xiàng)D的關(guān)鍵.7．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，即可求解.【解析】由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，

所以，又易知，所以是等邊三角形．設(shè)為的外心，為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)O，P，Q都在平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)，則，，所以．又，所以，因?yàn)椋字?，則，，從而，．

故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.8．（2024·山西·一模）如圖，在體積為1的三棱錐的側(cè)棱上分別取點(diǎn)，使，記為平面?平面?平面的交點(diǎn)，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先畫出圖形確定O的位置，將三棱錐的體積，轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度比，充分利用直線的平行進(jìn)行推導(dǎo)，求出比例即可．【解析】如圖所示，假設(shè)，連接，易知，在中，設(shè)，所以，，則，即，同理，則，設(shè)到底面的距離分別為，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)平面性質(zhì)確定交點(diǎn)位置，再由平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算線段比例關(guān)系得出棱錐高的比例關(guān)系即可.9．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，現(xiàn)有如下說法①不存在點(diǎn)，使得平面②存在點(diǎn)，使得平面③當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面④當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面其中正確的說法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】對(duì)于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于②，若平面，則，建系利用向量運(yùn)算即可判斷；對(duì)于③④，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識(shí)判斷即可.【解析】對(duì)于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由，而平面，平面，得平面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若存在點(diǎn)，使得平面，則，又，可得，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，則，，，，則，，，，所以，這與矛盾，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)不是的中點(diǎn)時(shí)，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，故③正確；對(duì)于④，由③可知，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以平面，故④正確.綜上，③④正確.故選：B.10．（2024·陜西西安·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）

①在中點(diǎn)時(shí)，平面平面②異面直線所成角的余弦值為③在同一個(gè)球面上④，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)正方體圖像特征證明面面垂直得到①；根據(jù)異面直線所成的角判斷②錯(cuò)誤；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到③，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度得到④.【解析】

①：取的中點(diǎn)，連接，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因?yàn)槊?，面，所以，因?yàn)槊?，面，，所以面，因?yàn)槊?，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故①正確；②：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故②錯(cuò)誤；③：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故③正確；④：因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故④正確；故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）用普通方法求異面直線所成的角時(shí)可以找到與其中一條平行的直線與另一條直線相交所成的角即為異面直線的夾角；（2）證明面面垂直時(shí)，通常先證明線面垂直，再證明面面垂直；（3）證明點(diǎn)共球面可先證明點(diǎn)共圓.題型4：求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)11．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若，且，則的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】借助雙曲線定義與雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合題意可得，，利用勾股定理計(jì)算即可得解.【解析】如圖所示，取雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，則，由雙曲線定義可得，又、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，，則，由，故，故有，化簡(jiǎn)可得，即有，，由，則有，即，即.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于找出左焦點(diǎn)，設(shè)，從而借助雙曲線定義將其它邊表示出來，結(jié)合勾股定理計(jì)算出各邊長(zhǎng)，從而可列出與、有關(guān)的齊次式，得到離心率.12．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線（，）上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，，，是C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（

）A．2 B．8 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線性質(zhì)和雙曲線定義求得，然后由斜率公式和點(diǎn)P在雙曲線上整理化簡(jiǎn)，結(jié)合已知求解可得.【解析】設(shè)圓M與，分別切于點(diǎn)A，B，則，，且，所以，點(diǎn)，

設(shè)，，則，所以，，，所以，.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的離心率求解問題.解決圓錐曲線的離心率問題，一般離不開圓錐曲線的定義，如果有角的條件，則常常要用到正余弦定理，如果有三角形的內(nèi)切圓條件，一般與切線性質(zhì)或三角形的等面積轉(zhuǎn)化有關(guān)，遇到線段的比值時(shí)，經(jīng)常需要利用相似形轉(zhuǎn)化.13．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)．若，且，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，借助雙曲線定義表示其它邊后，借助余弦定理計(jì)算出與的關(guān)系，再次借助余弦定理可得與的關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)，可得，代入直線與的斜率之積額表達(dá)式中化簡(jiǎn)即可得.【解析】由雙曲線定義可知，，設(shè)，則有，，，由余弦定理可得，整理可得：，故，，則有，整理可得：，設(shè)，則有，即，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)出并借助雙曲線定義，結(jié)合余弦定理得到與的關(guān)系，即可表示各邊，從而得到與的關(guān)系.14．（2024·全國(guó)·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交雙曲線的左支于，，的內(nèi)切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)切圓于，可設(shè)，進(jìn)而得，結(jié)合，可得，進(jìn)而得，求得，判斷出，由焦點(diǎn)三角形求得，即可求解.【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，即，則,設(shè)，則，則，由，即，則，則，，則，故，同理得，故，故，則，故，則，則.故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．題型5：平面解析幾何——取值范圍、最值問題15．（2024·青海·一模）已知過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論直線l的斜率存在與不存在，設(shè)出直線的方程聯(lián)立方程組，求出，，然后作比值，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值即可求得的取值范圍.【解析】如圖：

拋物線C：，所以焦點(diǎn)，所以當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，由，得，所以，由于圓心為的中點(diǎn)，則，根據(jù)拋物線的定義可知，所以圓的半徑，過作，垂足為，則，根據(jù)垂徑定理，得，所以，令，，則，又知在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)，，所以，綜上，的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題以拋物線為載體，在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，注重創(chuàng)新，考查解析幾何的多個(gè)熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)兼顧函數(shù)思想的考查，分類討論聯(lián)立方程組求解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解即可.16．（2024·安徽合肥·一模）已知直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出的取值范圍.【解析】即，則圓心為，半徑，直線，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)，，，由，消去整理得，顯然，則，則，所以，，則，則，又直線的斜率不為，所以不過點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（除點(diǎn)外），圓的圓心為，半徑，又，所以，即，即的取值范圍為.故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再求出圓心到原點(diǎn)的距離，最后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得.17．（2024·四川涼山·二模）已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷直線與曲線的位置關(guān)系，利用式子表示的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)確定的直線同直線夾角正弦最值求解即可.【解析】依題意，，令直線，顯然過點(diǎn)，由，得，顯然，即直線與曲線相離，且，則曲線上的點(diǎn)在直線上方，過作于，則，而，因此，令過點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由，求導(dǎo)得，則此切線斜率，解得，即切點(diǎn)為，而點(diǎn)在曲線的對(duì)稱軸上，曲線在過點(diǎn)的兩條切線所夾含原點(diǎn)的區(qū)域及內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，銳角最大，最大，最大，此時(shí)，，所以的最大值為.故先：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點(diǎn)處的切線斜率，切點(diǎn)未知，設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.題型6：平面解析幾何的綜合判斷18．（2024·四川南充·二模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方），則下列說法中正確的有（

）個(gè)．①②③若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的面積為④當(dāng)時(shí)，內(nèi)切圓的面積為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式及相關(guān)性質(zhì)，從而判斷①②③，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由求出，即可判斷④.【解析】在中，由余弦定理，即，整理得，同理可得，所以，，

對(duì)于橢圓，則、、，所以，，故①錯(cuò)誤；，故②正確；所以，，又，又，所以，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)直線的方程為，由，消去整理得，顯然，所以，，又，，則，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，解得，所以內(nèi)切圓的面積，故④正確；

故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出橢圓焦半徑公式（傾斜角形式），利用結(jié)論直接解決問題.二、多選題題型7：立體幾何、平面解析幾何綜合19．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．無論M，N在何位置，為異面直線 B．若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP與平面所成角的正弦最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)相交，而即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可判斷P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，即可判斷B，根據(jù)法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據(jù)線面角的向量法，結(jié)合基本不等式即可求解.【解析】由于相交，而，因此為異面直線，A正確，當(dāng)M是棱中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),故，且，由于，故，化簡(jiǎn)得，由于，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，故長(zhǎng)度為，B正確，設(shè),則，且，，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則,，故，由于，故，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯(cuò)誤，由于平面，平面，故,又四邊形為正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量為，設(shè)AP與平面所成角為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，時(shí)，令，則，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，由且可得因此，由于，，故的最大值為，故D正確，、故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.20．（2024·浙江溫州·二模）已知半徑為球與棱長(zhǎng)為1的正四面體的三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切，切點(diǎn)在三個(gè)側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為，則（

）A．有最大值，但無最小值 B．最大時(shí)，球心在正四面體外C．最大時(shí)，同時(shí)取到最大值 D．有最小值，但無最大值【答案】ABD【分析】求出的取值范圍可判斷A，B；設(shè)，根據(jù)題意得到關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和最值可判斷C，D.【解析】對(duì)于AB，設(shè)球心為，正四面體為，的中心為，則在上，，，球與平面，平面，平面相切，與平面相切于點(diǎn)，，，因?yàn)?，在中，，則所以在中，，因?yàn)?，所以，有最大值，但無最小值，故A正確；當(dāng)，此時(shí)，最大時(shí)，球心在正四面體外，故B正確；對(duì)于CD，設(shè)，，，所以，令，令，解得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以有最小值，但無最大值，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，假設(shè)，將表示為關(guān)于的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.21．（2024·廣東佛山·二模）對(duì)于棱長(zhǎng)為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說法正確的是（

）A．底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B．以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為C．該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為，高為的圓錐D．該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為的圓錐【答案】BCD【分析】對(duì)于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，求出底面圓的最小半徑即可判斷；對(duì)于B，原問題等價(jià)于求與平面所成角的正切值，利用等體積法求高，結(jié)合勾股定理、正切定義即可驗(yàn)算；對(duì)于C，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，求出圓錐的最大高度即可判斷；對(duì)于D，以正方體的體對(duì)角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時(shí)，圓錐的體積大于，由此即可判斷.【解析】對(duì)于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，

，因?yàn)?，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價(jià)于求與平面所成角的正切值，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為，B正確；

對(duì)于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點(diǎn)，為兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，每個(gè)圓錐高的最大值為，C正確；

對(duì)于D，如圖，的中點(diǎn)作垂線，分別交，于點(diǎn)，，則，以正方體的體對(duì)角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時(shí)，該圓錐的體積為，D正確．

事實(shí)上，以正方體的體對(duì)角線作為軸，為頂點(diǎn)的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)與為的四等分點(diǎn)）重合時(shí)，，因此，因?yàn)椋?，則，圓錐體積，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，體積的最大值為,D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，算出圓錐的最大高度，由此即可順利得解.22．（2024·浙江·二模）已知正方體，的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是正方形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為，向?qū)琼旤c(diǎn)移動(dòng)的概率為，如當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，向點(diǎn)，移動(dòng)的概率均為，向點(diǎn)移動(dòng)的概率為，則（

）A．移動(dòng)兩次后，“”的概率為B．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“平面”的概率都小于C．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“PC⊥平面”的概率都小于D．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面上時(shí)，四面體體積為0）【答案】ACD【分析】先求出點(diǎn)在移動(dòng)次后，點(diǎn)的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【解析】設(shè)移動(dòng)次后，點(diǎn)在點(diǎn)的概率分別為，其中，，解得：，對(duì)于A，移動(dòng)兩次后，“”表示點(diǎn)移動(dòng)兩次后到達(dá)點(diǎn)，所以概率為，故A正確；

對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，而，平面，所以當(dāng)點(diǎn)位于或時(shí)，平面，當(dāng)移動(dòng)一次后到達(dá)點(diǎn)或時(shí)，所以概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，所以當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，PC⊥平面，所以移動(dòng)n次后點(diǎn)位于，則，故C正確；對(duì)于D，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，同理點(diǎn)到平面的距離分別為，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)，所以，當(dāng)為奇數(shù)，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是先求出點(diǎn)在移動(dòng)次后，點(diǎn)的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.23．（2024·廣東深圳·一模）如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角為B．當(dāng)∥平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離可能為D．存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)【答案】ACD【分析】根據(jù)幾何體的特征，化空間為平面，逐個(gè)推理，計(jì)算分析.【解析】

因?yàn)闉檎叫?，連接與，相交于點(diǎn)，連接，則，，兩兩垂直，故以為正交基地，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，為的中點(diǎn)，則.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，，設(shè)異面直線與所成角為，，，故，A正確；設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則∥，平面，平面，則∥平面，又∥平面，又，設(shè)，故平面∥平面，平面平面，平面平面，則∥，則為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，則，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，長(zhǎng)度為4，B不正確；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，得，即，即點(diǎn)的軌跡以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段?。ㄈ缦聢D），到的距離為，弧上的點(diǎn)到的距離最小值為，因?yàn)椋源嬖邳c(diǎn)到的距離為，C正確；

由于圖形的對(duì)稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，設(shè)圓柱底面半徑為，高為，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn),，，

根據(jù)相似，得，即，，則圓柱體積，設(shè)，求導(dǎo)得，令得，或，因?yàn)椋陨崛?，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)有極大值也是最大值，有最大值，，故所以存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：異面直線所成的角；線面平行性質(zhì)；空間點(diǎn)的軌跡，圓柱的體積計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求體積的最值.24．（2024·湖南·二模）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（

）A．若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為【答案】CD【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，其周長(zhǎng)為；顯然三棱錐體積的最大值即為正四面體，易知最大值為；易知當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，可知其軌跡長(zhǎng)度為；根據(jù)面面平行的判定定理可求出點(diǎn)在底面上的軌跡為三角形，易知長(zhǎng)度的最大值為.【解析】對(duì)于A，易知平面平面，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為矩形的周長(zhǎng)，即為，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋冗叺拿娣e為定值，要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大，易知點(diǎn)是正方體到平面距離最大的點(diǎn)，所以，此時(shí)三棱錐即為棱長(zhǎng)是的正四面體，其高為，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，又，弧長(zhǎng)度，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)分別為，連接，如圖2所示，因?yàn)槠矫嫫矫妫势矫?，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面與平面是同一個(gè)平面.則點(diǎn)的軌跡為線段：在三角形中，則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長(zhǎng)度的最大值為，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題經(jīng)常利用不動(dòng)點(diǎn)的位置和動(dòng)點(diǎn)位置關(guān)系，利用線面、面面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡進(jìn)而計(jì)算出其軌跡長(zhǎng)度.25．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）

A．的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．內(nèi)接圓的半徑為【答案】ABD【分析】根據(jù)斜率以及雙曲線的對(duì)稱性可得為等邊三角形，即可根據(jù)同角關(guān)系與和差公式求解三角函數(shù)值，進(jìn)而利用正弦定理求解，由雙曲線定義可得，進(jìn)而根據(jù)選項(xiàng)即可逐一求解，【解析】對(duì)于A，依題意，直線的斜率為，所以，又，所以為等邊三角形，故，在中，為銳角，，所以，根據(jù)正弦定理可得，即，解得，所以，即，所以雙曲線的方程為，對(duì)于AB，的漸近線方程為，故AB正確；對(duì)于C，的面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的面積為，所以內(nèi)接圓的半徑為，故D正確.故選：ABD，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用三角函數(shù)的知識(shí)與正弦定理求得，從而得到雙曲線的方程，從而得解.26．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)C的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A和點(diǎn)C在點(diǎn)B的兩側(cè)），則下列命題正確的是（

）A．若BF為的中線，則B．若BF為的角平分線，則C．存在直線l，使得D．對(duì)于任意直線l，都有【答案】ABD【分析】首先設(shè)直線的方程，并聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理，再根據(jù)各項(xiàng)描述，拋物線的定義，即可判斷選項(xiàng).【解析】設(shè)題意，設(shè)，不妨令，都在第一象限，，，

聯(lián)立，則，且，即，所以，，則，，如上圖所示，A.若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，則，故A正確；B.若為的角平分線，則，作垂直準(zhǔn)線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B正確；C.若，即，即為等腰直角三角形，此時(shí)，即，所以，所以，所以，所以，則此時(shí)為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故C錯(cuò)誤；D.，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.27．（2024·廣東江門·一模）已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨著增大而減小B．曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為C．曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．是曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】AD【分析】首先對(duì)、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關(guān)系判斷C，由點(diǎn)到直線的距離公式得到，即點(diǎn)到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時(shí)的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.【解析】因?yàn)榍€，當(dāng)，時(shí)，則曲線為橢圓的一部分；當(dāng)，時(shí)，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當(dāng)，時(shí)，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，即點(diǎn)到直線的距離的倍，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分析出曲線的圖形，D選項(xiàng)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.28．（2024·廣東廣州·二模）雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為C．當(dāng)軸時(shí)，D．過點(diǎn)作，垂足為【答案】ACD【分析】由題意求出b的值，即可求得雙曲線漸近線方程，判斷A；根據(jù)離心率定義，求出離心率，判斷B；利用雙曲線定義可判斷C；由題意結(jié)合角平分線性質(zhì)推出，K為的中點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合三角形中位線以及雙曲線定義求得，判斷D.【解析】對(duì)于A，由雙曲線可知，右頂點(diǎn)，其漸近線方程為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，不妨取漸近線，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為，A正確；對(duì)于B，由于，故雙曲線的離心率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)軸時(shí)，將代入中，得，即得，由于P在雙曲線右支上，故，C正確；對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于E，由題意知，為的角平分線，結(jié)合，可知，K為的中點(diǎn)，而O為的中點(diǎn)，故，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線知識(shí)的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要結(jié)合題中所給性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)推出K為的中點(diǎn)，即可結(jié)合雙曲線定義求得答案.三、填空題題型7：立體幾何、平面解析幾何綜合29．（2024·遼寧·一模）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，，且對(duì)于任意，都有（其中），則．【答案】【分析】首先分析題意，由結(jié)合空間向量的數(shù)量積定義求解的值，進(jìn)行下一步化簡(jiǎn)得出則當(dāng)時(shí)，取得最小值，得到，多次求解二次函數(shù)最值可得答案.【解析】因?yàn)榍覂烧呔鶠閱挝幌蛄?，所以，又因?yàn)閷?duì)于任意的都有，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，則當(dāng)，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng),令，同理，即，故，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求空間向量，解題關(guān)鍵是找到方程，然后用主元法視為二次函數(shù)，多次求最值即可．30．（2024·山東青島·一模）已知球O的表面積為，正四面體ABCD的頂點(diǎn)B，C，D均在球O的表面上，球心O為的外心，棱AB與球面交于點(diǎn)P．若平面，平面，平面，平面，且與之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與交于點(diǎn)Q，R，則的周長(zhǎng)為.【答案】/【分析】結(jié)合球的表面積公式，根據(jù)正三角形外接圓的性質(zhì)求得邊長(zhǎng)，利用三點(diǎn)共線及數(shù)量積的運(yùn)算律求得，然后利用平行平面的性質(zhì)求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周長(zhǎng).【解析】設(shè)與之間的距離為d，設(shè)球O的半徑為R，則由題意得，解得，所以，所以，所以，由A，P，B三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)使得，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，又且與之間的距離為d，則，，所以，，所以，又，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的空間想象能力，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)的位置．本題中應(yīng)用正四面體的性質(zhì)結(jié)合球的半徑，求出邊長(zhǎng)，利用平行平面的距離，得到所求三角形的邊長(zhǎng)即可求解.31．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則，.【答案】/0.5/【分析】利用平面基本事實(shí)作出直線，進(jìn)而求出；利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合等角定理，再利用和角的正切計(jì)算即得.【解析】在正方體中，是棱的中點(diǎn)，延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線