押題09 第15-17題 統(tǒng)計與概率（五大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點押題模擬預(yù)測卷新高考專用含解析

押題09第15-17題統(tǒng)計與概率（五大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點押題模擬預(yù)測卷（新高考專用）押題09第15-17題統(tǒng)計與概率（五大題型）1．（2023·全國·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．2．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.4．（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.押題09統(tǒng)計與概率高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1隨機變量及其分布1-6題型2正態(tài)、二項、超幾何分布7-11題型3列聯(lián)表12-14題型4線性回歸15-19題型5古典概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用20-25題型1:隨機變量及其分布1．（2024·遼寧撫順·一模）2024年元旦期間，遼寧省推出了將冰雪溫泉、民俗文化與體育活動深度融合的冬季主題系列活動．現(xiàn)主委會要招募一批志愿者，應(yīng)聘者需參加相關(guān)測試，測試合格者才能予以錄用．測試備選題中關(guān)于冰雪溫泉內(nèi)容的有3道，關(guān)于民俗文化內(nèi)容的有4道，關(guān)于體育活動內(nèi)容的有道．已知應(yīng)聘者甲隨機抽出2道題都是關(guān)于冰雪溫泉內(nèi)容的概率為．(1)求的值；(2)招募方案規(guī)定：每位應(yīng)聘者要從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為測試合格．已知應(yīng)聘者甲能答對備選題中的6道題，應(yīng)聘者乙答對每道備選題的概率都是．（?。┣髴?yīng)聘者甲答對題的數(shù)量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）試估計甲、乙兩名應(yīng)聘者誰被錄用的可能性大，并說明理由．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）甲、乙兩同學(xué)參加趣味數(shù)學(xué)對抗賽，比賽規(guī)則：兩人輪流作答且每題僅一人作答，每答一次視為一輪比賽；答正確一方積分加2分，另一方積分加0分；答錯誤一方積分加0分，另一方積分加2分；一方比另一方積分多6分或進行了7輪比賽，對抗賽結(jié)束；結(jié)束時積分多者獲勝.已知甲、乙每次作答正確的概率都是，且每次作答是否正確相互獨立.(1)求甲恰在第5輪比賽后獲勝的概率；(2)設(shè)表示對抗賽結(jié)束時比賽進行輪數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.3．（2024·山東泰安·一模）某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎．(1)求在1次游戲中，獲獎的概率；(2)求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．4．（2024·湖北·一模）如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從數(shù)軸點1的位置出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，設(shè)每次向右移動的概率為．

(1)當時，求后質(zhì)點移動到點0的位置的概率；(2)記后質(zhì)點的位置對應(yīng)的數(shù)為，若隨機變量的期望，求的取值范圍．5．（2024·江蘇·一模）我國無人機發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢，已經(jīng)成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員甲操控?zé)o人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為，每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為，擊中目標三次起火點必定被撲滅.(1)求起火點被無人機擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.6．（2024·遼寧葫蘆島·一模）2024年初，OpenAI公司發(fā)布了新的文生視頻大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最長60秒的高清視頻．Sora一經(jīng)發(fā)布在全世界又一次掀起了人工智能的熱潮．為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營．選拔考試分為“Python編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個科目，考生兩個科目考試的順序自選，若第一科考試不合格，則淘汰；若第一科考試合格則進行第二科考試，無論第二科是否合格，考試都結(jié)束．“Python編程語言”考試合格得4分，否則得0分；“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分，否則得0分．已知甲同學(xué)參加“Python編程語言”考試合格的概率為0.8，參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7．(1)若甲同學(xué)先進行“Python編程語言”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．題型2:正態(tài)、二項、超幾何分布7．（2024·四川成都·二模）某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分，87分以上共有228人．甲市學(xué)生的成績?yōu)?6分，試估計學(xué)生在甲市的大致名次；(2)在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機抽取40人，記表示在本次考試中化學(xué)成績在之外的人數(shù)，求的概率及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若，有，8．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）第19屆亞運會將于2023年9月23日在我國杭州舉行，這是繼北京亞運會后，我國第二次舉辦這一亞洲最大的體育盛會，為迎接這一體育盛會，浙江某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運，講好浙江故事”的知識競賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機抽取了40人，統(tǒng)計他們的競賽成績（滿分100分，每名參賽大學(xué)生至少得60分），并將成績分成4組：，，，（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖可以認為，這次競賽中所有參賽大學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表），，試用正態(tài)分布知識解決下列問題：(1)若這次競賽共有1.2萬名大學(xué)生參加，試估計競賽成績超過90.5分的人數(shù)（結(jié)果精確到個位）；(2)現(xiàn)從所有參賽的大學(xué)生中隨機抽取5人進行座談，設(shè)其中競賽成績超過81分的人數(shù)為Y，求隨機變量Y的期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．9．（2024·陜西西安·一模）某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復(fù)賽？附：若，則，，；．10．（23-24高三上·江西·期末）面試是求職者進入職場的一個重要關(guān)口，也是機構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達標，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)某進入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.11．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方便統(tǒng)計，時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數(shù)進行初步處理，已知，時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時間段頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為，求的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.題型3:列聯(lián)表12．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）為了比較兩種治療高血壓的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，隨機選取20位患者服用甲藥，20位患者服用乙藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄档偷难獕簲?shù)值（單位：mmhg）．根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥的療效更好？并給出兩種理由進行說明；(2)求40位患者在服用一段時間后，日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)，并將日平均降低血壓數(shù)值超過和不超過的患者數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過服用甲藥服用乙藥(3)根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認為這兩種藥物的療效有差異？附：，0.150.100.052.0722.7063.84113．（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.

年齡次數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）第19屆亞運會將于2023年9月23日在我國杭州舉行，這是繼北京亞運會后，我國第二次舉辦這一亞洲最大的體育盛會.為迎接這一體育盛會，浙江某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運，講好浙江故事”的知識競賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機抽取了100人，統(tǒng)計他們的競賽成績（滿分100分，每名參賽大學(xué)生至少得60分），并將成績分成4組：，，，（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.

(1)試用樣本估計總體的思想，估計這次競賽中參賽大學(xué)生成績的平均數(shù)及中位數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表）(2)現(xiàn)將競賽成績不低于90分的學(xué)生稱為“亞運達人”，成績低于90分的學(xué)生稱為“非亞運達人”.這100名參賽大學(xué)生的情況統(tǒng)計如下.亞運達人非亞運達人總計男生153045女生55055判斷是否有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關(guān).附：（其中）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828題型4:線性回歸15．（2024·陜西·二模）為了提高市民參觀的體驗感，某博物館需要招募若干志愿者對館藏文物進行整理．已知整理所需時長y（單位：小時）與招募的志愿者人數(shù)x（單位：人）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：志愿者人數(shù)x12345整理時長y70m504035(1)若，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中的線性回歸方程，若博物館計劃在20小時內(nèi)完成對文物的整理工作，求博物館至少需要招募的志愿者人數(shù)．附：線性回歸方程中，，．16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關(guān)關(guān)系的強弱（精確到小數(shù)點后三位）；(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）17．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計案例后，準備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關(guān)系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：x159165170176180y6771737678(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求．參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）黨的十八大以來，全國各地區(qū)各部門持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實施力度，促進居民收入增長的各項措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟社會發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長，收入結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，隨著居民總收入較快增長，全體居民人均可支配收入也在不斷提升.下表為重慶市20142022年全體居民人均可支配收入，將其繪制成散點圖（如圖1），發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系.（數(shù)據(jù)來源于重慶市統(tǒng)計局2023-05-06發(fā)布）.年份201420152016201720182019202020212022全體居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666參考數(shù)據(jù)：.參考公式:對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為.(1)設(shè)年份編號為（2014年的編號為1，2015年的編號為2，依此類推），記全體居民人均可支配收入為（單位：萬元），求經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果精確到0.01），并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測2023年重慶市全體居民人均可支配收入；(2)為進一步對居民人均可支配收入的結(jié)構(gòu)進行分析，某分析員從20142022中任取3年的數(shù)據(jù)進行分析，將選出的人均可支配收入超過3萬的年數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：(1)試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．題型5:古典概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用20．（2024·陜西榆林·二模）甲?乙參加一次有獎競猜活動，活動有兩個方案.方案一：從裝有編號為的6個小球的箱子內(nèi)隨機抽取2個小球，若抽取的小球的編號均為偶數(shù)，則獲獎.方案二：電腦可以從內(nèi)隨機生成一個隨機的實數(shù)，參賽者點擊一下即可獲得電腦生成的隨機數(shù)，若，則獲獎.已知甲選用了方案二參賽，乙選用了方案一參賽.(1)求甲獲獎的概率.(2)試問甲?乙兩人誰獲獎的概率更大？說明你的理由.21．（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標號為1，2，3的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語．每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標號為1，2，3的小球個數(shù)比為1：2：1，且取到異號球的概率為．(1)求盒中2號球的個數(shù)；(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應(yīng)獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）球號1號球3號球答對概率0.80.5獎金10050022．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎區(qū)印有從10個數(shù)字1，2，3，…，10中隨機抽取的3個不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎，中獎規(guī)則為：每張獎卷只能中獎一次（按照最高獎勵算）若3個數(shù)的積為3的倍數(shù)且不為5的倍數(shù)時，中三等獎；若3個數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中二等獎；若3個數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時，中一等獎；其他情況不中獎.(1)隨機抽取一張彩票，求這張彩票中獎的概率；(2)假設(shè)每張彩票售價為元，且獲得三、二、一等獎的獎金分別為5元，10元，50元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．23．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知把相同的椅子圍成一個圓環(huán)；兩個人分別從中隨機選擇一把椅子坐下．(1)當時，設(shè)兩個人座位之間空了把椅子（以相隔位子少的情況計數(shù)），求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若另有把相同的椅子也圍成一個圓環(huán)，兩個人從上述兩個圓環(huán)中等可能選擇一個，并從中選擇一把椅子坐下，若兩人選擇相鄰座位的概率為，求整數(shù)的所有可能取值．24．（2024·福建廈門·一模）已知甲、乙兩支登山隊均有n名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至乙隊．(1)求三人均被分至同一隊的概率；(2)記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為，，設(shè)隨機變量，求．25．（23-24高二上·四川宜賓·期末）某企業(yè)在招聘員工時，應(yīng)聘者需要參加測試，測試分為初試和復(fù)試，初試從道題中隨機選擇道題回答，每答對題得分，答錯得分，初試得分大于或等于分才能參加復(fù)試，復(fù)試每人回答兩道題，每答對一題得分，答錯得分．已知在初試道題中甲有道題能答對，乙有道題能答對；在復(fù)試的兩道題中，甲每題能答對的概率都是，乙每題能答對的概率都是(1)求甲、乙兩人各自能通過初試的概率；(2)若測試總得分大于或等于分為合格，請問:在參加完測試后，甲、乙合格的概率誰更大?押題09第15-17題統(tǒng)計與概率（五大題型）1．（2023·全國·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【解析】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．2．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【解析】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以3．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【解析】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．4．（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【解析】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．押題09統(tǒng)計與概率高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1隨機變量及其分布1-6題型2正態(tài)、二項、超幾何分布7-11題型3列聯(lián)表12-14題型4線性回歸15-19題型5古典概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用20-25題型1:隨機變量及其分布1．（2024·遼寧撫順·一模）2024年元旦期間，遼寧省推出了將冰雪溫泉、民俗文化與體育活動深度融合的冬季主題系列活動．現(xiàn)主委會要招募一批志愿者，應(yīng)聘者需參加相關(guān)測試，測試合格者才能予以錄用．測試備選題中關(guān)于冰雪溫泉內(nèi)容的有3道，關(guān)于民俗文化內(nèi)容的有4道，關(guān)于體育活動內(nèi)容的有道．已知應(yīng)聘者甲隨機抽出2道題都是關(guān)于冰雪溫泉內(nèi)容的概率為．(1)求的值；(2)招募方案規(guī)定：每位應(yīng)聘者要從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為測試合格．已知應(yīng)聘者甲能答對備選題中的6道題，應(yīng)聘者乙答對每道備選題的概率都是．（?。┣髴?yīng)聘者甲答對題的數(shù)量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）試估計甲、乙兩名應(yīng)聘者誰被錄用的可能性大，并說明理由．【答案】(1)(2)（?。┓植剂幸娊馕觯áⅲ┘妆讳浻玫目赡苄源?，理由見解析【分析】（1）根據(jù)古典概型計算公式可得，解得；（2）（?。┮字乃锌赡苋≈禐?，分別求得其對應(yīng)概率可得分布列和期望，（ⅱ）分別計算出甲、乙兩人測試合格的概率為，比較大小可得結(jié)論.【解析】（1）設(shè)事件表示甲抽出的2道題都是關(guān)于冰雪溫泉內(nèi)容的，則，解得．（2）（ⅰ）甲答對題的數(shù)量的所有可能取值為．則，，所以的分布列為0123于是的數(shù)學(xué)期望．（ⅱ）設(shè)事件表示甲測試合格，則由（?。┛芍O(shè)事件表示乙測試合格，則．因為，所以甲被錄用的可能性大．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）甲、乙兩同學(xué)參加趣味數(shù)學(xué)對抗賽，比賽規(guī)則：兩人輪流作答且每題僅一人作答，每答一次視為一輪比賽；答正確一方積分加2分，另一方積分加0分；答錯誤一方積分加0分，另一方積分加2分；一方比另一方積分多6分或進行了7輪比賽，對抗賽結(jié)束；結(jié)束時積分多者獲勝.已知甲、乙每次作答正確的概率都是，且每次作答是否正確相互獨立.(1)求甲恰在第5輪比賽后獲勝的概率；(2)設(shè)表示對抗賽結(jié)束時比賽進行輪數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）依題意前輪必須恰有輪為乙積分，另輪甲積分，求出甲一次積分為分的概率，再根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）依題意的可能取值為、、，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）因為第輪比賽后甲、乙共有積分分，由題意可知甲積分，故前輪必須恰有輪為乙積分，另輪甲積分，第輪和第輪都必須是甲積分，甲一輪積分為分的概率為，故概率為，所以甲恰在第5輪比賽后獲勝的概率；（2）依題意只能為、、，當時，甲、乙各自獲勝的概率為，即；當時，由（1）得甲獲勝的概率為，由每輪甲、乙積分的概率相等，故，所以，所以的分布列為：357所以．3．（2024·山東泰安·一模）某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑球記分，得分在5分以上（含5分）則獲獎．(1)求在1次游戲中，獲獎的概率；(2)求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）利用組合應(yīng)用問題，結(jié)合古典概率公式求出摸到3個或4個紅球的概率，再利用互斥事件求出概率.（2）求出的可能值，及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【解析】（1）設(shè)“在1次游戲中摸出個紅球”為事件，設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件，則，且互斥，，，所以在1次游戲中，獲獎的概率.（2）依題意，所有可能取值為，由（1）知，，，，，，所以的分布列為：258數(shù)學(xué)期望.4．（2024·湖北·一模）如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從數(shù)軸點1的位置出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，設(shè)每次向右移動的概率為．

(1)當時，求后質(zhì)點移動到點0的位置的概率；(2)記后質(zhì)點的位置對應(yīng)的數(shù)為，若隨機變量的期望，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用獨立重復(fù)實驗的概率求解（2）寫出隨機變量可能值，利用期望大于0解不等式求解.【解析】（1）后質(zhì)點移動到點0的位置，則質(zhì)點向左移動了3次，向右移動了2次，所求概率為：．（2）所有可能的取值為，且，，，，由，解得，又因為，故的取值范圍為．5．（2024·江蘇·一模）我國無人機發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢，已經(jīng)成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員甲操控?zé)o人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為，每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為，擊中目標三次起火點必定被撲滅.(1)求起火點被無人機擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由二項分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項分布期望公式可得；（2）根據(jù)條件概率以及全概率公式求解可得【解析】（1）起火點被無人機擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.6．（2024·遼寧葫蘆島·一模）2024年初，OpenAI公司發(fā)布了新的文生視頻大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最長60秒的高清視頻．Sora一經(jīng)發(fā)布在全世界又一次掀起了人工智能的熱潮．為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營．選拔考試分為“Python編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個科目，考生兩個科目考試的順序自選，若第一科考試不合格，則淘汰；若第一科考試合格則進行第二科考試，無論第二科是否合格，考試都結(jié)束．“Python編程語言”考試合格得4分，否則得0分；“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分，否則得0分．已知甲同學(xué)參加“Python編程語言”考試合格的概率為0.8，參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7．(1)若甲同學(xué)先進行“Python編程語言”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】(1)分布列見詳解(2)先回答“Python編程語言”考試這類問題，理由見詳解.【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分別計算概率即可求解；（2）設(shè)甲同學(xué)先進行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求解的分布列，分別計算，的期望，比較大小，即可求解.【解析】（1）由題意的所有可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為

（2）甲同學(xué)選擇先回答“Python編程語言”考試這類問題，理由如下：由（1）可知，甲同學(xué)先進行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，則的所有可能取值為，，，，，，所以的分布列為

，所以，所以甲同學(xué)選擇先回答“Python編程語言”考試這類問題.題型2:正態(tài)、二項、超幾何分布7．（2024·四川成都·二模）某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分，87分以上共有228人．甲市學(xué)生的成績?yōu)?6分，試估計學(xué)生在甲市的大致名次；(2)在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機抽取40人，記表示在本次考試中化學(xué)成績在之外的人數(shù)，求的概率及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若，有，【答案】(1)1587名(2)0.0989；期望為【分析】（1）由本次模擬考試成績都近似服從正態(tài)分布，，87分以上共有228人，結(jié)合原則，求得，再由甲市學(xué)生在該次考試中成績?yōu)?6分，且求解；（2）由隨機變量服從二項分布，即求解．【解析】（1）解：已知本次模擬考試成績都近似服從正態(tài)分布，由題意可得．即，解得．甲市學(xué)生在該次考試中成績?yōu)?6分，且，又，即．學(xué)生在甲市本次考試的大致名次為1587名．（2）在本次考試中，抽取1名化學(xué)成績在之內(nèi)的概率為0.9974．抽取1名化學(xué)成績在之外的概率為0.0026．隨機變量服從二項分布，即．．的數(shù)學(xué)期望為．8．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）第19屆亞運會將于2023年9月23日在我國杭州舉行，這是繼北京亞運會后，我國第二次舉辦這一亞洲最大的體育盛會，為迎接這一體育盛會，浙江某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運，講好浙江故事”的知識競賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機抽取了40人，統(tǒng)計他們的競賽成績（滿分100分，每名參賽大學(xué)生至少得60分），并將成績分成4組：，，，（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖可以認為，這次競賽中所有參賽大學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表），，試用正態(tài)分布知識解決下列問題：(1)若這次競賽共有1.2萬名大學(xué)生參加，試估計競賽成績超過90.5分的人數(shù)（結(jié)果精確到個位）；(2)現(xiàn)從所有參賽的大學(xué)生中隨機抽取5人進行座談，設(shè)其中競賽成績超過81分的人數(shù)為Y，求隨機變量Y的期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖可得，再利用正態(tài)分布對稱性可得概率，求出人數(shù)；（2）易知隨機變量服從二項分布，由二項分布期望值公式可得結(jié)論.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得；即可得則，所以估計競賽成績超過90.5分的人數(shù)為人.（2）依題意，則，從所有參賽的大學(xué)生中隨機抽取5人進行座談，可得隨機變量；因此.9．（2024·陜西西安·一模）某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復(fù)賽？附：若，則，，；．【答案】(1)，分布列見解析，(2)有資格參加復(fù)賽【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率計算即可求解分布列，（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【解析】（1）預(yù)賽成績在范圍內(nèi)的樣本量為：，預(yù)賽成績在范圍內(nèi)的樣本量為：，設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)為X，可能取值為0,1,2，則，又，則X的分布列為：X012P故．（2），，則，又，故，故全市參加預(yù)賽學(xué)生中，成績不低于91分的有人，因為，故小明有資格參加復(fù)賽，10．（23-24高三上·江西·期末）面試是求職者進入職場的一個重要關(guān)口，也是機構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達標，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)某進入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.【答案】(1)16(2)【分析】（1）由正態(tài)分布的性質(zhì)可求得，由此可估計進入面試的人數(shù)．（2）由已知得的可能取值為0，2，4，6，8，10，分別求得取每一個可能的值的概率，得的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得答案.【解析】（1）因為服從正態(tài)分布，所以，，，所以.進入面試的人數(shù)，.因此，進入面試的人數(shù)大約為16.（2）由題意可知，的可能取值為0，2，4，6，8，10，則；；；；；.所以.11．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方便統(tǒng)計，時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數(shù)進行初步處理，已知，時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時間段頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為，求的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.【答案】(1)分布列見解析，期望為(2)【分析】（1）根據(jù)分層抽樣、超幾何分布等知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）先求得，然后根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【解析】（1）因為，，所以，.由分層隨機抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過的車輛數(shù)位于時間段，這兩個區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為，車輛數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為所以.（2）這1000輛車在時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值，即9：04，，所以.估計在這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，，所以估計在這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為.題型3:列聯(lián)表12．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）為了比較兩種治療高血壓的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，隨機選取20位患者服用甲藥，20位患者服用乙藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄档偷难獕簲?shù)值（單位：mmhg）．根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥的療效更好？并給出兩種理由進行說明；(2)求40位患者在服用一段時間后，日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)，并將日平均降低血壓數(shù)值超過和不超過的患者數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過服用甲藥服用乙藥(3)根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認為這兩種藥物的療效有差異？附：，0.150.100.052.0722.7063.841【答案】(1)乙藥的療效更好，理由見解析(2)，列聯(lián)表見解析(3)沒有95%的把握認為這兩種藥物的療效有差異【分析】（1）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分析即可；（2）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分析出中位數(shù)，即可得到列聯(lián)表；（3）計算出卡方，即可判斷.【解析】（1）乙藥的療效更好．參考理由如下：（ⅰ）用各自的平均數(shù)說明．設(shè)甲藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由莖葉圖可知，，，因為，所以乙藥的療效更好．（ⅱ）用莖2和莖3上分布的數(shù)據(jù)說明．由莖葉圖可知，用甲藥有的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上，用乙藥有的患者日平均降低血壓數(shù)值在20及以上，所以乙藥的療效更好．（ⅲ）用各自的中位數(shù)說明．由莖葉圖可知，用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為，用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值的中位數(shù)為，所以乙藥的療效更好．（ⅳ）用各自的葉在莖上的整體分布說明．由莖葉圖可知，用甲藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖1上，且關(guān)于莖1大致呈對稱分布；用乙藥的患者日平均降低血壓數(shù)值分布集中在“單峰”莖2上，且關(guān)于莖2大致呈對稱分布，又用兩種降壓藥患者日平均降低血壓數(shù)值都分布的區(qū)間內(nèi)，所以乙藥的療效更好．（2）由莖葉圖可知內(nèi)有個數(shù)據(jù)，內(nèi)有個數(shù)據(jù)，內(nèi)有個數(shù)據(jù)，，則中位數(shù)位于之間，且內(nèi)的數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，，，，，，，，，所以中位數(shù)．列聯(lián)表如下：超過不超過服用甲藥713服用乙藥137（3）由于，所以沒有的把握認為這兩種藥物的療效有差異．13．（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.

年齡次數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有關(guān)(2)分布列見解析；期望為(3)【分析】（1）求出卡方值并與臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)步驟列出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【解析】（1）零假設(shè)：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關(guān)，由題得列聯(lián)表如下：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第3問的解決關(guān)鍵是熟練掌握全概率公式，從而得解.14．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）第19屆亞運會將于2023年9月23日在我國杭州舉行，這是繼北京亞運會后，我國第二次舉辦這一亞洲最大的體育盛會.為迎接這一體育盛會，浙江某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運，講好浙江故事”的知識競賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機抽取了100人，統(tǒng)計他們的競賽成績（滿分100分，每名參賽大學(xué)生至少得60分），并將成績分成4組：，，，（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.

(1)試用樣本估計總體的思想，估計這次競賽中參賽大學(xué)生成績的平均數(shù)及中位數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表）(2)現(xiàn)將競賽成績不低于90分的學(xué)生稱為“亞運達人”，成績低于90分的學(xué)生稱為“非亞運達人”.這100名參賽大學(xué)生的情況統(tǒng)計如下.亞運達人非亞運達人總計男生153045女生55055判斷是否有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關(guān).附：（其中）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)平均數(shù)，中位數(shù)(2)有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關(guān)【解析】（1）平均數(shù)，由，，故中位數(shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得,即平均數(shù)，中位數(shù)；（2），故有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關(guān).題型4:線性回歸15．（2024·陜西·二模）為了提高市民參觀的體驗感，某博物館需要招募若干志愿者對館藏文物進行整理．已知整理所需時長y（單位：小時）與招募的志愿者人數(shù)x（單位：人）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：志愿者人數(shù)x12345整理時長y70m504035(1)若，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中的線性回歸方程，若博物館計劃在20小時內(nèi)完成對文物的整理工作，求博物館至少需要招募的志愿者人數(shù)．附：線性回歸方程中，，．【答案】(1)(2)7【分析】（1）由題意求出m的值，即可求得，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，令，解不等式，即可求得答案.【解析】（1）由于，故，則，，，故，，故y關(guān)于x的線性回歸方程為；（2）令，解得，而，故，故博物館計劃在20小時內(nèi)完成對文物的整理工作，博物館至少需要招募的志愿者人數(shù)為7.16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關(guān)關(guān)系的強弱（精確到小數(shù)點后三位）；(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）【答案】(1)0.997，相關(guān)關(guān)系很強.(2)，33.2百人.【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)及參考公式計算出相關(guān)系數(shù)，即可判斷；（2）首先求出回歸直線方程，再令求出即可得解.【解析】（1）依題意可得，，

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，

，

，，∴兩個變量與相關(guān)關(guān)系很強.（2）因為，，，，所以時（百人），故預(yù)估該商場開通在線直播的第天的線下顧客人數(shù)為百人.17．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計案例后，準備利用所學(xué)知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關(guān)系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：x159165170176180y6771737678(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(3)從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求．參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)說明見解析(2)(3)【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的計算公式即可得解；（2）利用已知數(shù)據(jù)和公式得到關(guān)于的線性回歸方程;（3）根據(jù)已知條件求出隨機變量X的取值，利用古典概型的概率公式計算隨機變量取值相應(yīng)的概率，再利用離散型隨機變量的期望公式即可求解.【解析】（1）由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得，，，，，，，∴．因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.997，說明y與x的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）由及（1）得，，所以y關(guān)于x的回歸方程為．（3）X的取值依次為2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，,X的分布列X所以.18．（2024·全國·模擬預(yù)測）黨的十八大以來，全國各地區(qū)各部門持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實施力度，促進居民收入增長的各項措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟社會發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長，收入結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，隨著居民總收入較快增長，全體居民人均可支配收入也在不斷提升.下表為重慶市20142022年全體居民人均可支配收入，將其繪制成散點圖（如圖1），發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系.（數(shù)據(jù)來源于重慶市統(tǒng)計局2023-05-06發(fā)布）.年份201420152016201720182019202020212022全體居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666參考數(shù)據(jù)：.參考公式:對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為.(1)設(shè)年份編號為（2014年的編號為1，2015年的編號為2，依此類推），記全體居民人均可支配收入為（單位：萬元），求經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果精確到0.01），并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測2023年重慶市全體居民人均可支配收入；(2)為進一步對居民人均可支配收入的結(jié)構(gòu)進行分析，某分析員從20142022中任取3年的數(shù)據(jù)進行分析，將選出的人均可支配收入超過3萬的年數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；3.77萬元(2)分布列見解析；1【分析】（1）利用最小二乘法計算回歸方程，并計算預(yù)測值即可；（2）利用離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望公式計算即可.【解析】（1）由題意得，，，故，故回歸方程為，又2023年的年份編號為10，將代入，得，即預(yù)測2023年重慶市全體居民人均可支配收入為3.77萬元；（2）由圖表知，人均可支配收入超過3萬的年份有3年，故X的可能取值為，則，，，，故隨機變量的分布列為：X0123P故.19．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：(1)試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)0.96(2)，219.4萬元【分析】（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得以及，進一步代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得，由此即可得經(jīng)驗回歸方程并預(yù)測.【解析】（1），，所以.（2）由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.題型5:古典概率在統(tǒng)計中的應(yīng)用20．（2024·陜西榆林·二模）甲?乙參加一次有獎競猜活動，活動有兩個方案.方案一：從裝有編號為的6個小球的箱子內(nèi)隨機抽取2個小球，若抽取的小球的編號均為偶數(shù)，則獲獎.方案二：電腦可以從內(nèi)隨機生成一個隨機的實數(shù)，參賽者點擊一下即可獲得電腦生成的隨機數(shù)，若，則獲獎.已知甲選用了方案二參賽，乙選用了方案一參賽.(1)求甲獲獎的概率.(2)試問甲?乙兩人誰獲獎的概率更大？說明你的理由.【答案】(1)(2)獲獎的概率更大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由幾何概型的概率計算公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，計算甲獲獎的概率與乙比較，即可得到結(jié)果.【解析】（1）由，得，所以由幾何概型可知，甲獲獎的概率為.（2）從裝有編號為的6個小球的箱子內(nèi)隨機抽取2個小球，所有的抽取情況為，，共15種情況，其中，均為偶數(shù)的有3種，所以乙獲獎的概率為.因為，所以甲獲獎的概率更大.21．（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標號為1，2，3的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語．每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標號為1，2，3的小球個數(shù)比為1：2：1，且取到異號球的概率為．(1)求盒中2號球的個數(shù)；(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應(yīng)獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）球號1號球3號球答對概率0.80.5獎金100500【答案】(1)4個(2)推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語【分析】（1）由取到異號球的概率為，設(shè)1，2，3號球的個數(shù)分別為n，，n，列方程求解；（2）分先回答1號球中的謎語和先回答3號球中的謎語兩種情況，分別計算獎金的數(shù)學(xué)期望，比較后得結(jié)論.【解析】（1）由題意可設(shè)1，2，3號球的個數(shù)分別為n，，n，則取到異號球的概率，，即．解得．所以盒中2號球的個數(shù)為4個．（2）若甲先回答1號球再回答3號球中的謎語，因為猜對謎語的概