高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座-第30講-數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問(wèn)題教案-新人教版

一般中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)—數(shù)學(xué)[人教版]高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座30）—數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問(wèn)題一．課標(biāo)要求：1．探究并駕馭一些基本的數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法；2．能在詳細(xì)的問(wèn)題情境中，發(fā)覺(jué)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列學(xué)問(wèn)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題。二．命題走向數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問(wèn)題在高考中占有重要的地位，一般狀況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等學(xué)問(wèn)，通過(guò)運(yùn)用逆推思想、函數(shù)及方程、歸納及猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類探討等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生敏捷運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力，它們都屬于中、高檔題目。有關(guān)命題趨勢(shì)：1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻相識(shí)函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對(duì)基礎(chǔ)和實(shí)力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)計(jì)試題，特殊是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)；2．?dāng)?shù)列推理題是將接著成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維實(shí)力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、敏捷程度；3．?dāng)?shù)列及新的章節(jié)學(xué)問(wèn)結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如及解析幾何的結(jié)合等；4．有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題也始終備受關(guān)注。預(yù)料2007年高考對(duì)本將的考察為：1．可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)實(shí)力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題的解答題；2．也可能為一道學(xué)問(wèn)交匯題是數(shù)列及函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問(wèn)題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。三．要點(diǎn)精講1．?dāng)?shù)列求通項(xiàng)及和（1）數(shù)列前n項(xiàng)和Sn及通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=。（2）求通項(xiàng)常用方法①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列及等比數(shù)列；②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；③歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項(xiàng)和①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂項(xiàng)求和將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的很多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。用裂項(xiàng)法求和，須要駕馭一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。⑤錯(cuò)項(xiàng)相消法對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。,其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，記，則，…⑥并項(xiàng)求和把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視詳細(xì)情形選用合適方法。⑦通項(xiàng)分解法：2．遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿意的等量關(guān)系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說(shuō)來(lái)有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見(jiàn)的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題。四．典例解析題型1：裂項(xiàng)求和例1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：。解析：首先考慮，則=。點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，下列求和也可用裂項(xiàng)求和法。例2．求。解析：，點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式困難的因式轉(zhuǎn)化的簡(jiǎn)潔一些。題型2：錯(cuò)位相減法例3．設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項(xiàng)和。解析：①若a=0時(shí)，Sn=0；②若a=1，則Sn=1+2+3+…+n=；③若a≠1，a≠0時(shí)，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=。例4．已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解析：，①-②得：，點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法。題型3：倒序相加例5．求。解析：。①又。②所以。點(diǎn)評(píng)：Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和，然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。例6．設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：解析：因?yàn)?，，。點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題還可變換為探究題形：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得對(duì)一切自然數(shù)n都成立。題型4：其他方法例7．求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n項(xiàng)和。解析：本題實(shí)質(zhì)是求一個(gè)奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項(xiàng)中共有個(gè)奇數(shù)，故。例8．求數(shù)列1，3＋，32＋，……，3n＋的各項(xiàng)的和。解析：其和為(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。題型5：數(shù)列綜合問(wèn)題例9．（2006年浙江卷）已知函數(shù)＝x3+x2，數(shù)列|xn|（xn>0）的第一項(xiàng)x1＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y＝在處的切線及經(jīng)過(guò)（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)的直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n時(shí)：（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）。解析：（=1\*ROMANI）因?yàn)樗郧€在處的切線斜率因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線斜率是所以.（=2\*ROMANII）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，而所以，即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯庶c(diǎn)評(píng)：數(shù)列及解析幾何問(wèn)題結(jié)合在一塊，數(shù)列的通項(xiàng)及線段的長(zhǎng)度、點(diǎn)的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。例10．（2006年遼寧卷）已知,其中,設(shè),。(=1\*ROMANI)寫出；(=2\*ROMANII)證明:對(duì)隨意的,恒有。解析：(=1\*ROMANI)由已知推得,從而有；(=2\*ROMANII)證法1:當(dāng)時(shí)，當(dāng)x>0時(shí),,所以在[0,1]上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)，所以對(duì)隨意的，因此結(jié)論成立。證法2：當(dāng)時(shí),當(dāng)x>0時(shí),,所以在[0,1]上為增函數(shù)。因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù)所以對(duì)隨意的又因所以因此結(jié)論成立。證法3：當(dāng)時(shí),當(dāng)x>0時(shí),,所以在[0,1]上為增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)所以在[－1,0]上為減函數(shù)。所以對(duì)隨意的由對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得：因此結(jié)論成立。點(diǎn)評(píng)：數(shù)列及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。題型6：數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題例11．某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的運(yùn)用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（?。┙馕觯杭追桨甘堑缺葦?shù)列，乙方案是等差數(shù)列，①甲方案獲利：（萬(wàn)元），銀行貸款本息：（萬(wàn)元），故甲方案純利：（萬(wàn)元），②乙方案獲利：（萬(wàn)元）；銀行本息和：（萬(wàn)元）故乙方案純利：（萬(wàn)元）；綜上可知，甲方案更好。點(diǎn)評(píng)：這是一道比較簡(jiǎn)潔的數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，由于本息金及利潤(rùn)是熟識(shí)的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過(guò)的公式求解。例12．（2005湖南20）自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生實(shí)力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響.用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都及xn成正比，死亡量及xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。（Ⅰ）求xn+1及xn的關(guān)系式；（Ⅱ）揣測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿意什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）（Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)隨意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。解析：（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為（II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得：因?yàn)閤1>0，所以a>b。揣測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變。（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0<xn<3－b,n∈N*,特殊地，有0<x1<3－b.即0<b<3－x1。而x1∈(0,2)，所以。由此揣測(cè)b的最大允許值是1.下證當(dāng)x1∈(0,2)，b=1時(shí)，都有xn∈(0,2),n∈N*①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論明顯成立。②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0,2)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0。又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由①、②可知，對(duì)于隨意的n∈N*，都有xn∈(0,2)。點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項(xiàng)和性質(zhì)上有很大的用處，同時(shí)該題又結(jié)合了實(shí)際應(yīng)用題解決問(wèn)題。題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題例13．（2006年北京卷）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“肯定差數(shù)列”。（Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“肯定差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；（Ⅱ）證明：任何“肯定差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)。解析：（Ⅰ）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.（答案不唯一）；（Ⅱ）證明：依據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下：假設(shè){an}中沒(méi)有零項(xiàng)，由于an=|an-1-an-2|，所以對(duì)于隨意的n，都有an≥1,從而當(dāng)an-1>an-2時(shí)，an=an-1－an-2≤an-1－1（n≥3）；當(dāng)an-1<an-2時(shí)，an=an-2－an-1≤an-2－1（n≥3）,即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.令cn=n=1，2，3，……，則0<cn≤cn-1－1（n=2，3，4……）.由于c1是確定的正整數(shù)，這樣削減下去，必定存在某項(xiàng)c1<0這及cn>0（n=1，2，3……）沖突.從而{an}必有零項(xiàng)。若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記an-1=A（A≠0），則自第n項(xiàng)起先，沒(méi)三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值O，A，A，即所以肯定等差數(shù)列{an}中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加高校生對(duì)情景問(wèn)題的閱讀、分析和解決問(wèn)題的實(shí)力。例14．（2005江蘇23）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且其中A,B為常數(shù)。（Ⅰ）求A及B的值；（Ⅱ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；（Ⅲ）證明不等式對(duì)任何正整數(shù)m、n都成立分析：本題是一道數(shù)列綜合運(yùn)用題，第一問(wèn)由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關(guān)系式，即求出A、B；其次問(wèn)利用公式，推導(dǎo)得證數(shù)列{an}為等差數(shù)列。解答：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。由(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=An+B知：。解得A=－20，B=－8。（Ⅱ）方法1由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,①所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28,②②-①,得,(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20,③所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④④-③,得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因?yàn)?5n+2),所以an+3-2an+2+an+1=0,即an+3-an+2=an+2-an+1,.又a3-a2=a2-a1=5,所以數(shù)列為等差數(shù)列。方法2.由已知，S1=a1=1,又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8,所以數(shù)列是惟一確定的。設(shè)bn=5n-4,則數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和Tn=于是(5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)由惟一性得bn=a,即數(shù)列為等差數(shù)列。（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.要證了只要證5amn>1+aman+2因?yàn)閍mn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要證5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2因?yàn)?20m+20n-37,所以命題得證。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)學(xué)問(wèn)，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維實(shí)力及相關(guān)運(yùn)算實(shí)力等。五．思維總結(jié)1．?dāng)?shù)列求和的常用方法（1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；（2）裂項(xiàng)相消法：適用