第10講 全等三角形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第10講全等三角形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3.善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝热切蔚闹荛L(zhǎng)、面積相等；對(duì)應(yīng)的高線(xiàn)，中線(xiàn)，角平分線(xiàn)相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).考點(diǎn)二、靈活運(yùn)用定理三角形全等是證明線(xiàn)段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線(xiàn)段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線(xiàn)段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)．應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)：1.條件充足時(shí)直接應(yīng)用判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谧C明與線(xiàn)段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線(xiàn)段或角所在的兩個(gè)三角形全等.這種情況證明兩個(gè)三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等．2.條件不足，會(huì)增加條件用判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)捍祟?lèi)問(wèn)題實(shí)際是指條件開(kāi)放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三角形全等的條件．解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．3.條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)用判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谧C明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等．常見(jiàn)的幾種輔助線(xiàn)添加：①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”；②遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；③遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理；④過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；⑤截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，使之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分之類(lèi)的題目．【典型例題】題型一、全等三角形例1.如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB．求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題．【答案與解析】證明：（1）∵BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴AP=AQ.(2)∵AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【總結(jié)升華】在確定全等條件時(shí)，注意隱含條件的尋找.【變式】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．【答案與解析】（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．題型二、靈活運(yùn)用定理例2．如圖，已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF.【思路點(diǎn)撥】將所求的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)或相關(guān)聯(lián)的三角形中進(jìn)行求解．【答案與解析】證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）,∴BE＋CF＞EF.【總結(jié)升華】當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中.【變式】如圖所示，AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.【答案】證明：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴AC=BH,∠H=∠HAC，∵EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴BH=BF，∴BF=AC．例3．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠BAD，AB＞AD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形中大邊對(duì)應(yīng)大角的關(guān)系．【答案與解析】AB-AD＞CD-CB；證明：在AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AD，連結(jié)CE．∵AC平分∠BAD，∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【總結(jié)升華】本題也可以延長(zhǎng)AD到E，使得AE=AB，連結(jié)CE．涉及幾條線(xiàn)段的大小關(guān)系時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形是常用的方法．【變式】如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【答案】證明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．例4．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．【思路點(diǎn)撥】在AC上取AF=AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再證得∠COF=∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得結(jié)論．【答案與解析】在AC上取AF=AE，連接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO與△AFO中，∵∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（對(duì)頂角相等）則∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．題型三、綜合運(yùn)用例5．如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點(diǎn)，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路點(diǎn)撥】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫(xiě)出結(jié)論．

（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過(guò)A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．【答案與解析】證明：（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接AD．∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED與△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）設(shè)AC與FD交于點(diǎn)O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【變式】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE.下列結(jié)論中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有()．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)AABCDEFG【答案】D.例6．如圖，已知△ABC.（1）請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E(BC的中點(diǎn)除外)，連結(jié)AD、AE，寫(xiě)出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請(qǐng)你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件，證明AB+AC＞AD+AE．【思路點(diǎn)撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系．本題（2）中通過(guò)構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵．【答案與解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面積相等.（2）取DE的中點(diǎn)O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)到F點(diǎn)，使得FO=AO，連結(jié)EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可證△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因?yàn)锽D=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可證△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延長(zhǎng)AE交CF于G點(diǎn),在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【總結(jié)升華】正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵.【變式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．【中考過(guò)關(guān)真題練】一．選擇題（共2小題）1．（2011?上海）下列命題中，真命題是（）A．周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等 B．周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等 C．周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等 D．周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等【分析】全等三角形必須是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一檢驗(yàn)．【解答】解：A、周長(zhǎng)相等的銳角三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；B、周長(zhǎng)相等的直角三角形對(duì)應(yīng)銳角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；C、周長(zhǎng)相等的鈍角三角形對(duì)應(yīng)鈍角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；D、由于等腰直角三角形三邊之比為1：1：，故周長(zhǎng)相等時(shí)，等腰直角三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，故全等，真命題．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的運(yùn)用，命題與定理的概念．關(guān)鍵是明確全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．2．（2003?上海）如圖，已知AC平分∠PAQ，點(diǎn)B、D分別在邊AP、AQ上．如果添加一個(gè)條件后可推出AB＝AD，那么該條件不可以是（）A．BD⊥AC B．BC＝DC C．∠ACB＝∠ACD D．∠ABC＝∠ADC【分析】首先分析選項(xiàng)添加的條件，再根據(jù)判定方法判斷．【解答】解：添加A選項(xiàng)中條件可用ASA判定兩個(gè)三角形全等；添加B選項(xiàng)中條件無(wú)法判定兩個(gè)三角形全等；添加C選項(xiàng)中條件可用ASA判定兩個(gè)三角形全等；添加D選項(xiàng)以后是ASA證明三角形全等．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．二．填空題（共3小題）3．（2013?上海）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線(xiàn)上，BF＝CE，AC∥DF，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABC≌△DEF，這個(gè)添加的條件可以是AC＝DF．（只需寫(xiě)一個(gè)，不添加輔助線(xiàn)）【分析】求出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可．【解答】解：AC＝DF，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案為：AC＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．4．（2006?上海）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，∠A＝∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是∠B＝∠B1或∠C＝∠C1或AC＝A1C1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定（有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等SAS）可得當(dāng)AC＝A1C1時(shí)可得△ABC≌△A1B1C1．根據(jù)全等三角形的判定（有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等ASA）可得當(dāng)∠B＝∠B1或∠C＝∠C1（AAS）△ABC≌△A1B1C1．【解答】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1；∠C＝∠C1后可分別根據(jù)SAS、ASA、AAS判定ABC≌△A1B1C1，故填A(yù)C＝A1C1；∠B＝∠B1；∠C＝∠C1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．5．（2019?上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長(zhǎng)是．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以將A1點(diǎn)放在左圖的C點(diǎn)上，C1點(diǎn)放在左圖的A點(diǎn)上，D1點(diǎn)對(duì)應(yīng)左圖的D點(diǎn)，從而得出BC∥B1C1，根據(jù)其性質(zhì)得出＝2，解得求出AD的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以將△C1A1D1與△ACD重合，如圖，∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，∴BC∥B1C1，∴＝，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴＝，解得AD＝，∴AD的長(zhǎng)為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行線(xiàn)的性質(zhì)，證得＝是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿(mǎn)分模擬練】一．選擇題（共1小題）1．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）下列命題中，真命題是（）A．周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等 B．周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等 C．周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等 D．周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等【分析】全等三角形必須是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一檢驗(yàn)．【解答】解：A、周長(zhǎng)相等的銳角三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；B、周長(zhǎng)相等的直角三角形對(duì)應(yīng)銳角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；C、周長(zhǎng)相等的鈍角三角形對(duì)應(yīng)鈍角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定相等，假命題；D、由于等腰直角三角形三邊之比為1：1：，故周長(zhǎng)相等時(shí)，等腰直角三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，故全等，真命題．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的運(yùn)用，命題與定理的概念．關(guān)鍵是明確全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．二．填空題（共2小題）2．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，四個(gè)白色全等直角三角形與四個(gè)黑色全等三角形按如圖所示方式擺放成“風(fēng)車(chē)”型，且黑色三角形的頂點(diǎn)E、F、G、H分別在白色直角三角形的斜邊上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若點(diǎn)A、E、D在同一直線(xiàn)上，則OE的長(zhǎng)為．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法分別求出直線(xiàn)AD，直線(xiàn)OC的解析式，聯(lián)立解方程組可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求解．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖：∵∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，△ABO≌△CDO，∴OD＝OB＝3，CD＝AB＝4，∴點(diǎn)A（﹣4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（3，﹣4）、D（3，0），設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝x﹣，設(shè)直線(xiàn)OC析式為y＝mx，∴3m＝﹣4，解得m＝﹣，∴直線(xiàn)OC析式為y＝﹣x，聯(lián)立，解得，∴E（，﹣），∴OE＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點(diǎn)P，若∠APC＝45°，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．【分析】如圖，將DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DQ，則Q（2，6），求出直線(xiàn)AB的解析式，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，將DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DQ，則Q（2，6）∵C（4，0），∴直線(xiàn)CQ的解析式為y＝﹣3x+12，∵∠APC＝∠DCQ＝45°，∴AB∥CQ，∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝﹣3x+3，∴點(diǎn)A（1，0），故答案為：（1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）4．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以1厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)3秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？【分析】（1）求出BP、CQ、CP，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．（2）由題意可知：BP＝PC＝4厘米，CQ＝BD＝5厘米，根據(jù)點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4秒，求出速度即可．【解答】解：（1）∵t＝3秒，∴BP＝CQ＝1×3＝3（厘米），∵AB＝10厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝5厘米．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8厘米，∴PC＝8﹣3＝5（厘米），∴PC＝BD．∵AB＝AC，所以∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，所以BP≠CQ，當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，因?yàn)椤螧＝∠C，AB＝10厘米，BC＝8厘米，∴BP＝PC＝4厘米，CQ＝BD＝5厘米，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4秒，∴VQ＝厘米/秒，即當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分類(lèi)討論思想．5．（2022?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線(xiàn)段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果BE2＝AB?EF，求證：∠ECF＝∠BAE．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)易證四邊形AFCD是平行四邊形，進(jìn)一步根據(jù)SAS即可得證；（2）根據(jù)已知條件可證△EBF∽△EAB，可得∠FBE＝∠BAE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)可得∠FBE＝∠ECF，即可得證．【解答】證明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠DCE，∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEC，∠BAF＝∠AED，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCE＝∠DEC，∴AB＝AE，DE＝DC，∵AF∥CD，AD∥CF，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）∵BE2＝AB?EF，AB＝AE，∴，又∵∠AEB＝∠BEF，∴△EBF∽△EAB，∴∠FBE＝∠BAE，由（1）得△ABF≌△EAD，∴BF＝AD，在平行四邊形AFCD中，AD＝CF，∴BF＝CF，∴∠FBE＝∠ECF，∴∠ECF＝∠BAE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，本題綜合性較強(qiáng)，屬于中考?？碱}型．6．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于點(diǎn)E．（1）求證：AB∥CD；（2）已知BC＝6，AB＝10，求tan∠EBC的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)和等腰三角形的性質(zhì)可證AB∥CD，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再證明△BFE≌△BCE，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得BF＝BC＝6，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，然后證明△AFE∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，從而求出CE的長(zhǎng)，最后在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠D，∴∠ABD＝∠D，∴AB∥CD；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，∴∠BFE＝∠AFE＝90°，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC＝＝＝8，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠ABD＝∠DBC，BE＝BE，∴△BFE≌△BCE（AAS），∴BF＝BC＝6，∴AF＝AB﹣BF＝4，∵∠AFE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AFE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝5，∴CE＝AC﹣AE＝3，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝＝，∴tan∠EBC的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）若干個(gè)正六邊形拼成的圖形中，下列三角形與△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)圖象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根據(jù)圖形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SSS），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：