2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第22練平面向量的概念及其線性運(yùn)算（精練）

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.設(shè)。是正方形ABC。的中心，則（）

A.向量AO，BO,OC，0￡）是相等的向量

B.向量,0，BO>OC，是平行的向量

C.向量AO，BO，OC>。方是模不全相等的向量

D.AO=OC，BO=OD

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及向量的概念，即可得出答案.

【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，AO>80不共線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，顯然0402不平行，且0,42三點(diǎn)不共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知A。，B0,OC,。。的長(zhǎng)度相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，A0,0C方向相同，20,02方向相同.

又A。，BO,OC,的長(zhǎng)度相等，所以AO=OC,BO=OD,故D項(xiàng)正確.

故選：D.

2.設(shè)如圖，在平行四邊形ABC。中，下列結(jié)論正確的是（）

D________________C

A.AB=CDB.AB+DA=BD

C.AD+BC=0D.AB-AD=DB

【答案】D

【分析】由相等向量的定義即可得A2=-CD，所以A錯(cuò)誤；由向量的加減法則，結(jié)合三角形法則可知BC錯(cuò)誤,

D正確.

【詳解】根據(jù)相等向量的概念可得A8=￡）C=-8,即A錯(cuò)誤；

由向量的三角形法則可得+==即B錯(cuò)誤；

易知AO=BC，所以可得AO+gC=2AO,即C錯(cuò)誤;

由向量的減法法則可得AB-AD=08，所以D正確；

故選：D

3.化簡(jiǎn)以下各式:①A2+2C+C4；?AB+AC-BD+CD-,?OA-OD+AD;?NQ+QP+MN-MP,結(jié)果為零

向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算即可求解.

【詳解】對(duì)于①，A8+8C+C4=Ad+C4=0,故①正確；

對(duì)于②，AB+AC-BD+CD=AB+AD+DB=AB+AB=2AB,^?^^;

對(duì)于③，OA-OD+AD=OD-OD=G，故③正確；

對(duì)于④,NQ+QP+MN-MP=NP+PM+MN=NM+MN=0,

故結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是3.

故選:C.

4.如圖所示，D、E、廠分別是J1BC的邊AB、BC、C4的中點(diǎn)，則4尸_03=（）

【答案】D

【分析】利用平面向量的減法法則結(jié)合相等向量的定義可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。、E、尸分別是ABC的邊A3、BC、C4的中點(diǎn)，貝!JDb〃BC且。歹=；BC,

所以，DF=BE=EC,DB=AD，

因此，AF-DB=AF-AD=DF=BE=ECD.

5.在平行四邊形A3CD中，|A8+A￡>|=|AB-AD|,則必有（）

A.AD=0B.AO=0或AB=0

C.ABCD為矩形D.ABC。為正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)零向量的概念分析判斷A、B；根據(jù)向量線性運(yùn)算可得|AC|=|DB|,即平行四邊形ABCD的對(duì)角線相

等,則可判斷選項(xiàng)C、D.

IUUIII|IULDI|LlUU1ULIUi

【詳解】因?yàn)樵贏BCD中，顯然,。卜0,卜8卜。，則故A、B錯(cuò)誤;

ULIUUUIULILI1UUL1UUUIUL1UU

因?yàn)锳B+ADuACAB—ADuDB,貝!J|AC|=|DB|,

即平行四邊形A3CD的對(duì)角線長(zhǎng)相等，故A3CD為矩形，故C正確；

lUUttli|UUU|

因?yàn)闆]有確定,4，,目是否相等，故無法確定ABC。是否為正方形，故D錯(cuò)誤.

1i1

D.b-a-c

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.

【詳解】依題意，^BD=AD-AB^AC+CD-AB=b+c-a，

故選：C.

7.如圖，在AOAB中，P為線段A8上的一點(diǎn)，且R4=4PA.若。尸=MM+yOB,則（

【答案】A

【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義，化簡(jiǎn)整理即可得出答案.

【詳解】因?yàn)锽A=4PA，所以有。4一。2=4（。4一0尸）,

31

整理可得OP=—OA+—

44

故選：A.

8.已知。是ABC的邊5C上的點(diǎn)，且3C=33O,則向量AO=（）.

A.AB—ACB.—AB--AC

21

C.—AB+—ACD.AB+AC

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘的運(yùn)算，可得答案.

【詳解】由題意作圖如下：

1-1。1

AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-（AC-AB]=-AB+-AC.

故選：C.

9.如圖，在。1BC中，點(diǎn)D在8C的延長(zhǎng)線上，怛&=3|。。，如果AO=xAB+yAC,那么（）

【答案】B

【分析】用向量的線性運(yùn)算把向量AD分解成AD=xAB+jAC形式即可得答案.

3

【詳解】VAD=AB+BD,BD=-BC,

:.AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB\=--AB+-AC

22、7229

故選：B.

10.在△。48中，P為線段A3上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB,且3P=2尸A，則（）

2112

A.=TB.^=-,y=—

3333

133j_

C.x=-,y=-D.x=-,y=

4444

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

22

【詳解】OP=OB+BP=OB+-BA=OB+-OA-OB\=-OA+-OB,

33>33

所以x=j2,y=11

故選:A

二、多選題

11.下列關(guān)于向量的命題正確的是（）

對(duì)任一非零向量a,6是一個(gè)單位向量

A.

B.對(duì)任意向量a,6，k一4上時(shí)一同恒成立

C.右a=b且c=b，則”=。

39

D.在一。中，。為邊A3上一點(diǎn)，且AC:CB=3:2,則

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念與線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

a=和=1，可得

【詳解】對(duì)于A：由于〃是非零向量，則0同是一個(gè)單位向量，故A正確;

對(duì)于B：根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得:

rr

卜-口+慟（反向）或|a-Z?|=|?|-|^||(

當(dāng)a,方共線時(shí),0=a,6a，b同向）,

rrr

故卜-4上MT,；

當(dāng)a,6不共線時(shí)，由三角形法則可得心-:|rr

rrrr

綜上所述:H川-WMH,故B正確;

對(duì)于C：根據(jù)向量相等的定義可得a=c，故C正確;

uunuuruumuur3uimuur3U一Lmu一ur2u一r3U一lffl

對(duì)于D：S?ftnT#OC=OA+AC=OA+-AB=OA+-(OB-OA]=-OA+-OB,故D錯(cuò)誤;

55

故選：ABC.

12.下列說法錯(cuò)誤的為（

A.共線的兩個(gè)單位向量相等

B.若a〃b，b//c>則a〃c

C.若AB〃CQ，則一定有直線AB〃CD

D.若向量AB，C￡>共線，則點(diǎn)A,B,C,￡）不一定在同一直線上

【答案】ABC

【分析】根據(jù)共線向量、單位向量的相關(guān)概念與性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】選項(xiàng)A：共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：b=o,不一定有?！╡,故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：直線A3與8可能重合，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：若向量AB,CO共線，則AB與8可能平行，此時(shí)A,B,C,D四點(diǎn)不共線，故D正確.

故選：ABC.

13.已知M為AABC的重心，。為邊BC的中點(diǎn)，貝。（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC=0

C.BM=-BA+-BDD.AB+AC=2(MB+MC^

33

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算、基本定理一一判定即可.

【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得MB+MC=2MD,故A正確；

由題意得M為線段AD的靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以M4=-2"D，

又MB+MC=2MD,所以AM+Affi+MC=O,故B正確；

BM=BA+-AD=BA+-（BD-BA^=-BA+-BD,故C正確；

AB+AC=2AD,MB+MC=2MD,又AD=3MD，所以A2+AC=3（M3+MC）,故D錯(cuò)誤.

14.下列說法中正確的是（）

A.若同=0,則”=0

B.若。與b共線，貝!J。=6或。

C.若q,e2為單位向量，則

a

D.時(shí)是與非零向量a共線的單位向量

【答案】AD

【分析】根據(jù)向量相等與共線，逐一判斷即可.

【詳解】依題意，

對(duì)于A：若,|=。，則a=0，故A正確；

對(duì)于B：若a與b共線，貝！Ja=彳仇（力70）,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若為單位向量，則同="|,方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；

a

對(duì)于D：時(shí)是與非零向量。共線的單位向量，故D正確.

故選：AD.

15.（多選）平面上點(diǎn)尸與不共線的三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系：PA+PB+PC=AB,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.尸在CA上，且。尸=2尸A

B.P在A8上，AP=2PB

C.P在上，且BP=2PC

D.尸點(diǎn)為,ABC的重心

【答案】BCD

【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論.

【詳解】由+=貝!=^PA+PC=AP,得CP=2PA，

則有CP//PA,所以P在CA上，A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BCD

三、填空題

16.給出以下5個(gè)條件：

?a=b;②卜卜忖；③0與6的方向相反；④忖=。或忖=0；⑤a與b都是單位向量.其中能使a〃b成立的是

（填序號(hào)）.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)向量共線的定義即可結(jié)合選項(xiàng)求解.

【詳解】相等向量一定是共線向量，①能使a//b成立；

方向相同或相反的向量一定是共線向量，③能使a//b成立；

M=0或慟=0可知.或方為零向量，零向量與任一向量平行，④能使“//成立

W=W，以及"與方都是單位向量只能得到a與萬的模長(zhǎng)相等，無法確定兩個(gè)向量的方向，故得不到a/功，

故答案為：①③④

17.己知°,方為非零不共線向量，向量4a-Zb與-+B共線，則左=.

【答案】±2

【分析】依題意a,方可以作為平面內(nèi)的一組基，則4a-妨=4（-ka+b）,根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解

得即可.

【詳解】因?yàn)橘?，b為非零不共線向量，所以a,b可以作為平面內(nèi)的一組基底，

又向量4a-筋與一ka+b共線，所以4a-幼=川一版+b）,gp4a-kb=-kAa+Ab，

[4=-kA

所以,一解得左=±2.

故答案為：±2

.......一一一一.2-

e

18.設(shè)q,々是兩個(gè)不共線的向量，關(guān)于向量a，b有①〃=2G,b=-2^；?a=ex-e2,b=-2e1+2%;③a=~~2；

b=G-歷@a=ei+e2；b=2ex—2e2.其中〃，Z?共線的有.（填序號(hào)）

【答案】①②③

【分析】根據(jù)向量共線的條件對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】①〃=-b,共線；

②共線；

③°=48,共線；

④〃和。無法表示成a=助，所以不共線.

故答案為：①②③

31

19.在一ABC中，BE=2EC，S.AE=-AB+-AC,則幾=________.

44

【答案】|

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.

313311

【詳解】AE=-AB+-AC:.-AE——AB=-AC——AE

44944449

3111

即一5E二—EC,:.BE=-EC,4=—.

4433

故答案為：J.

20.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的向量，若向量妨+26與8』+歸的方向相反，則上=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)向量共線定理可得存在實(shí)數(shù)2使姐+26=彳（8d+財(cái)）=8而+左心，

從而得到關(guān)于左，4的方程組，進(jìn)而可求出幾

【詳解】由題意可知履+26與M+歸共線，

所以存在實(shí)數(shù)X使履+26=X(8。+kb^=8Aa+kAb,

[k.=8A2=一A——

因?yàn)閍,萬不共線，所以.-，解得2或2,

〔2=以[=4「4

因?yàn)橄蛄緻+2b與端+4?的方向相反，即L=_12.

k=-4

故答案為：-4.

21.在二ABC中，G是ABC的重心，AB=a,AC=b,則4G=.

1rr

【答案】—(a+b)

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)和向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)。，連接3。，可得A￡>=；(A3+AC),

?

因?yàn)镚是ABC的重心，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可得|AG|=JA￡>|,

22111

由向量的運(yùn)算法貝!I,aS^AG=-AD=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)=-(a+b).

故答案為：—(a+b')

22.已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，AB=Aa+2b,AC=a+a-l)b,若A3,C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)彳=

【答案】2或T

【分析】根據(jù)向量共線運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?。與6是兩個(gè)不共線的向量,

若4B,C三點(diǎn)共線，貝!)AB=%AC，即必+2S=上田+("1)力卜瘍+左(2一1)力,

A—k

可得2=k(f'解得2=左=2或人左=4

故答案為：2或T.

X

23.如圖，在一中，尸為線段A3上的一點(diǎn)，OP=xa4+yOB,且BP=2PA，則]=

B

【答案】2

【分析】根據(jù)圖形，利用平面向量的運(yùn)算法則即可.

【詳解】由題意，結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，由BP=2P4,

^OP-OB=2(OA-OP^,BPOP=|(9A+|OB,所以x=：,y=1.

X

所以一=2.

y

故答案為：2.

四、解答題

24.已知點(diǎn)0(0,0),4(2,1),8(4,3)及02=。4+9及

⑴若點(diǎn)尸在第一象限，求f的取值范圍；

⑵四邊形。能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的"直；若不能，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴(T，+\l

⑵不能，理由見解析

【分析】(1)由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出OP,利用點(diǎn)P在第一象限，列不等式求得r的取值范圍；

(2)利用四邊形是平行四邊形時(shí)，只需要O尸=A8,列方程求出r的值，即可判斷四邊形。RP能否為平行

四邊形.

【詳解】(1)OP=OA+tOB=(2,1)+?(4,3)=(4f+2,3t+1),

⑷+2>01(1>

由題意得，解得：即f的取值范圍為-于+8.

I3tI1>Vy31JJ

(2)若四邊形OABP是平行四邊形，只需要0P=A8,即0P=0A+/08=A2,

由(1)知，OP=(4/+2,3f+l),而AB=(2,2),

f4r+2=2

。,方程組無解，故四邊形0Azm不能成為平行四邊形.

(3,+1=2

25.已知向量〃，b不共線，AP=a-tbfBP=-a+2bfBQ=3a-2b.

⑴若￡=-2,AP=xBP+yBQ,求x,y的值；

⑵若A,P,。三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)/的值.

53

【答案】⑴x=

⑵t=l

【分析】（i）根據(jù)平面向量的基本定理列方程組來求得x，y的值.

（2）根據(jù)A尸,。三點(diǎn)共線列方程來求得r的值.

【詳解】⑴當(dāng)7=-2時(shí)，AP^a+b，

而xBP+yBQ=x^-a+2Z?)+y(3a-2Z?j=(-x+3y)Q+(2x—2y)Z?,

-x+3y=153

所以2x-2,=r解得x=L=z

(2)AP=a—tb9PQ=BQ—BP=3a—2b—^—a+2bj=4a—4b,

由于"Q三點(diǎn)共線，所以?解得心

26.如圖所示，在J1BC中，D為BC邊上一點(diǎn),且BO=2OC，過。的直線所與直線A3相交于E點(diǎn)，與直線AC

相交于尸點(diǎn)（E,尸兩點(diǎn)不重合）.

⑴用AS,AC表示A。;

⑵若AE=XA3，AF=/JAC,求24+〃的最小值.

12

（1）AD=-AB+-AC

⑵烏

3

【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用AE，AF表示AD，根據(jù)。、E、尸三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系，再利用基本不等式

計(jì)算可得；

【詳解】(1)因?yàn)锽Q=2OC，所以AO-AB=2AC-2AO,

12

化簡(jiǎn)得AO=§A3+]AC；

,12

(2)因?yàn)锳E=4A3,AF=JLLAC,AD=—AB+—AC,

所以+由圖可知力＞0,

323〃

又因?yàn)椤辏?、E、尸三點(diǎn)共線，所以3+二=1,

4a4X、4c〃4A_8

所以2/1+〃=(24+//)?=—I-----1-----N—F2

3343〃3'343〃3

當(dāng)小能即〃=2好時(shí)，22+〃取最小值|.

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.下列命題：①若忖=忖，則0=6;

②若a=b>b=c，貝!Jq=c;

③a=b的充要條件是|=忖且;

④若allb，bile>則allc;

⑤若A、B、C、。是不共線的四點(diǎn)，則AB=OC是四邊形ABC。為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)

是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件

的定義可判斷③⑤；取6=0可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)殁?忖，但°、》的方向不確定，則.、〃不一定相等，①錯(cuò)；

對(duì)于②，若a=b,b=c9則〃=c，②對(duì)；

對(duì)于③，,卜忖且a///?oQ=b或a=-Z?,

所以，所以，“M=W且7/”是“a=b”的必要不充分條件，③錯(cuò)；

對(duì)于④，取6=0,貝!la、2不一定共線，④錯(cuò)；

對(duì)于⑤，若A、B、C、。是不共線的四點(diǎn)，

當(dāng)A8=OC時(shí)，則AB//CD且|AB|=|DC],此時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形，

當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知AB=OC,

所以，若A、B、C、。是不共線的四點(diǎn)，則48=DC是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對(duì).

故選：A.

2.在等腰梯形ABC。中，AB=2DC,瓦方分別為AD,3。的中點(diǎn)，G為跖的中點(diǎn)，則AG等于（）

33311313

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

84822448

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合已知和等腰梯形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AB=2DC,瓦尸分別為的中點(diǎn)，G為E尸的中點(diǎn)，

所以可得：AG=AE+EG^-AD+-EF=-AD+-（AB+DC}=-AD+-AB.

,2224、'28

故選：B.

3.已知°,6為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.°-6=0B.如果a與6平行，那么a與6相等

C.\a-b\=0D.如果a與6平行，那么“=b或，工

【答案】D

【分析】根據(jù)單位向量的定義及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定義即可求解.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤埃?為兩個(gè)單位向量，當(dāng)兩個(gè)向量方向不相同時(shí)，兩個(gè)向量不相等，所以故A

不正確；

對(duì)于B,如果“與6平行，則兩個(gè)向量方向相同時(shí)，此時(shí)a與。相等，方向相反時(shí)，此時(shí)。與6不相等，故B不正

確；

對(duì)于C,\a-b\=J（a-b^2a+￡=，2-2.cos（a,b）,由于不知道向量a與b的夾角，所以無法求出|a-6|

的值；故C不正確；

對(duì)于D,如果°與。平行，則兩個(gè)向量方向相同或相反，那么°=6或；=工，故D正確.故選：D.

4.下列命題中正確的是（）

A.若。=>，則3a>26B.BC-BA-DC=AD

C.同+忖=卜+6|00與匕的方向相反D.若川由，則存在唯一實(shí)數(shù)％使得a=勸

【答案】B

【分析】由向量的定義，加減法則運(yùn)算及共線條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算法則，水:-朋-"'=4?-叱=47+8=陋.故8正確；

對(duì)于C：同+忖=,+可0。與6的方向相同，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：根據(jù)向量平行的判定定理，若a//b且6=0時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)入使得a=2b.故D錯(cuò)誤.

故選：B.

5.已知尸A=2pB+fPC,若A、B、C三點(diǎn)共線，則為（）

3\AC\

112

A.-B.-C.-D.2

【答案】A

【分析】先求得t的值，再去求網(wǎng)的值

\AC\

221

【詳解】由=+若A、B、。三點(diǎn)共線，可得］+/=1,貝!|"耳

貝！|PZ=|pB+gpC,BA=PA-PB=1(PC-PB)=|BC,

AC=PC-PA=-(PC-PB)=-BC,貝!|1^!=1^L=L

3、'3\AC\\AC\2

故選：A

6.已知點(diǎn)。在ABC的內(nèi)部，分別為邊AC,BC的中點(diǎn)，且|。4一0c-2。@=2,則歷。+50|=()

A.3B.1C.-D.2

22

【答案】B

【分析】利用向量的加減法的幾何表示運(yùn)算即可.

［詳解］由題意得IOA-OC-2OB\=\OA+OC-2(OC+OB)|=|2OD-4OE|

=2\OD-OE-OE|=21ED+EO\=2,

所以|所+前|=1.

故選：B.

7.在，ABC中，2BD=BC，3BE=BA，且CE與A￡)交于點(diǎn)P,若CP=xG4+yC3(x,yeR),則x+y=()

2347

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到AP=，CP=〃CE,利用6、C8分別表示出CP，再根據(jù)平面向量基本

定理得到方程組，解得4、〃，再代入計(jì)算可得.

【詳解】依題意A、P、。三點(diǎn)共線，故AP=XAr>,

所以CP=C4+A尸=04+4AD=C4+4(CD-C4)

=CA+A|-CB-CA|=-CB+(l-/l)CA,

')2

C、P、E三點(diǎn)共線，故CP=〃CE,

貝?。〤尸=4（CA+AE）=〃1cA+gA5[=4CA+g〃A5

01Q

=JLLCA+-/LL（CB-CA^=—]UCA+—JLICB,

1-fo4

—〃=1—AA,——

所以:，，解得:，

—〃=—〃=—

l32I5

.1

x=一

1?5~3

所以CP=￡C4+￡CB,又CP=xCA+yCB,所以,所以x+y=±.

55，5

8.已知點(diǎn)。是ABC的AC邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BQ上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若AE=xAB+yAC,

則；的最小值為（）

x3y

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件可推得》+3y=i,進(jìn)而根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.

由題意得：AC=3AD>AE=xAB+yAC=xAB+3yAD.

因?yàn)?,E,。三點(diǎn)共線，所以x+3y=l,

所以，口+：]（x+3y）=型+2+222隹:+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)『=至，即工=[,y=。時(shí)取等號(hào).

3yx26

故選：D.

9.設(shè)￡＞、E、/分別是_ABC的三邊BC、CA.AB上的點(diǎn)，且OC=2B￡＞，CE=2EA，AF=2FB，則（）

A.人^+臺(tái)石+仃與^^/反向平行B.AO+8E+C尸與8c同向平行

C.32E+3c戶一3c與C4反向平行D.32E+3c戶一3c與CA不共線

【答案】A

【分析】將A。、BE、CF用AB和AC表示，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及平行的概念判斷可得答案.

【詳解】因?yàn)镈C=2BD，所以加=}c,

因?yàn)镃E=2EA,所以AE=；AC,

—2

因?yàn)锳尸=2尸B，所以Ab

AD=AB+BD=A3+~BC=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,

BE=AE-AB=^AC-AB9

2-

CF=AF-AC=-AB-AC9

2112ill1

所以AD+5E+C尸=-AB+-AC+-AC-AB+-AB-AC=-AB——AC=-CB=——BC,

33333333

所以AO+5石+C廠與5C反向平行，故A正確，B錯(cuò)誤；

3BE+3CF-BC=^AC-AB)+3(^AB-AC)-BC

=-2AC-AB-BC=-2AC-AC=-3AC=3CA,

所以33E+3CF-8C與CA同向平行，故CD錯(cuò)誤.

故選：A

10.已知ABC所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)p滿足AP=k4AC+|A4A3,則直線就一定經(jīng)過.ABC的()

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】C

【分析】由題意可得4P=|A8||4C|($4C+&A8),平行四邊形法則知親AC+*A8表示的向量在三角形角A

的平分線上，從而即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)锳P=|AB|AC+|AC|AB

AP=\AB\\AC\(-^—AC+-^—AB),

\AC\\AB\

..根據(jù)平行四邊形法則知士AC+gAB表示的向量在三角形角A的平分線上，

IAC||

而向量"與募電+看鉆共線，

P點(diǎn)的軌跡過.ABC的內(nèi)心.

故選：C.

二、多選題

11.下列關(guān)于向量的敘述正確的是（）

A.向量AB的相反向量是BA

B.模為1的向量是單位向量，其方向是任意的

C.若A,B,C,。四點(diǎn)在同一條直線上，且=則A2=C￡>

D.若向量a與〃滿足關(guān)系°+6=0,貝！la與b共線

【答案】ABD

【分析】由相反向量、單位向量、共線向量的定義以及性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：A向量A8的相反向量是BA，正確：

B.模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，正確：

C.若A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB=CD,則A3=C￡>,不正確，因?yàn)锳B與CO可能方向相反;

D.若向量“與匕滿足關(guān)系°+》=0,°—6，則a與6共線，正確.

故選：ABD

12.下列有關(guān)四邊形A8CO的形狀判斷正確的是（）

A.若AD=BC，則四邊形ABC。為平行四邊形

B.若=則四邊形ABC。為梯形

C.若A8=DC，且|Aq=|A4,則四邊形ABCO為菱形

D.若AB=DC，且泥J.胡，則四邊形ABCD為正方形

【答案】ABC

【分析】由向量平行與相等的關(guān)系確定四邊形的邊的關(guān)系得結(jié)論.

【詳解】AD=BC,則A￡>=3C且AD//8C,四邊形ABCD是平行四邊形，A正確；

AD=^BC,則且ADwBC,四邊形ABCD是梯形，B正確；

若A8=DC，四邊形ABCD是平行四邊形，又網(wǎng)=|叫，即M=AD,則四邊形ABCD為菱形，C正確;

若A5=DC，四邊形ABCD是平行四邊形，AC_LBD,即AC18D,則四邊形ABCD為菱形，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

13.如圖，在邊為1的正方形ABCD中，則（）

DR-----------71c

A'B

A.ABCD^iB.ABAC^l

c.|AC+BD|=2D.\AC+DC\=2

【答案】BC

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；利用平面向量的加法、減法法則以及向量的模長(zhǎng)

可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1,

對(duì)于A選項(xiàng)，ABCD=-AB2=-1>A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，AB-AC=AB-^AB+AD^=AB2+AB-AD=l,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，AC+BD^(AB+AD)+^AD-AB^=2AD,

所以，|AC+8U=|2A4=2,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，AC+DC=AB+AD+AB^2AB+AD,

所以，|AC+￡>C[=|2AB+AD卜+=八廟+4AB.>1￡)+而=，4+0+1=指,D錯(cuò).

故選：BC.

14.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重

心到垂心的距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知ABC的外心為重心為G,

垂心為H,/為8C的中點(diǎn)，且AB=5,AC=3,則下列結(jié)論正確的有()

A.。為線段G8的中點(diǎn)B.AGBC=~

C.AO?BC=-4D.Gff=j(OA+OB+OC)

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，由條件結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及線性運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，有OH=3OG,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22(11)11

由G是三角形ABC的重心可得=+不AC=耳42+34。，

所以AG.BC=g(AB+AC>(AC_AB)=g(|AC|2-1AB|2)=|x(9-25)=-y,

故B項(xiàng)正確；

過三角形ABC的外心O分別作AB,AC的垂線，垂足為D,E,

如圖，易知D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

貝！IAOBC=AO(AC-AB)=AOAC-AOAB

=|AO||AC|cosZOAE-\AO\\AB\cosZOAD

121.211

=\AE\\AC\-\AD\\AB\=-AC——AB=-x9——x25=-8,

2222

故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)镚是三角形ABC的重心,所以有GA+G8+GC=0,

^.OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=3OG+GA+GB+GC=3OG,

即OG=^(OA+OB+OC),

2

又GH=2OG,<GH=-{OA+OB+OC),故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

三、填空題

15.下列關(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是.

①零向量平行于任意向量；

②對(duì)于非零向量。涉，若力/九則a=±b；

③對(duì)于非零向量6,若。=±6,則a//b;

④對(duì)于非零向量a,b,若allb，則a與6所在直線一定重合.

【答案】①③

【分析】根據(jù)平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據(jù)相等向量和相反向量的定義可判斷③.

【詳解】因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，所以①正確；

對(duì)于非零向量若a〃b，則a和6是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，

故a不一定等于±6,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于非零向量6,若°=±。，貝（I〃與b是相等向量或相反向量，故a〃人故③正確；

對(duì)于非零向量a,6,若allb，貝必和6是平行向量，也是共線向量，但“與6所在直線不一定重合.

故選：①③

16.已知向量a、b不共線，^.c=xa+b,d=a+（2x-\）b,若c與d共線，則實(shí)數(shù)尤的值為

【答案】1或

【分析】利用向量共線的充要條件以及一元二次方程求解.

【詳解】已知向量〃、Z?不共線，c=xa+b,d=a+（2x-l）b9所以cwO,dwO,

若。與d共線，則存在實(shí)數(shù)乙使c=td，即XQ+b=（?+（2x-l）Z?J,

x=t1

所以<Joiv即2%2_%一1=0,解得x=l或-不

l=t（2x-l）2

故答案為：1或-;.

17.已知°,方是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB-ma+2b>BC-3a+mb>若A,8,C三點(diǎn)共線，貝!|〃z=.

【答案】土瓜

【分析】利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義求出AC的坐標(biāo)，把A,B,C三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為Aa/bAB，

再根據(jù)向量相等可得答案.

【詳解】由題意可得AC=A8+BC=（ma+2b^+3a+mb=（3+m）?+（2+m）Z?,

VA,B,C三點(diǎn)共線，：.AC=AAB>

（3+m）a+（2+m）〃=丸[機(jī)a+26]=丸根〃+2X0,

=5+m,

故.有.9zm=2+/解叫""，或"

1212

故答案為：土布.

AB

18.已知平面上不共線的四點(diǎn)0,A,B,C,若QA—4O5+3OC=0，貝！J

CA

3

【答案】7

4

【分析】由OA-4O2+3OC=0可得。4-OB=3OB-3OC，即可得答案

【詳解】OA-4OB+3OC=0^>OA-OB=3OB-3OCnBA=3CB-

ABz

則4氏C三點(diǎn)共線，且C在BA的反向延長(zhǎng)線上，如下圖所示，則——=三

CA4

故答案,為：43

4

-------

CB

14

19.點(diǎn)P是線段A