2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

2022北京大興高一（上）期中

數(shù)學(xué)

2022.11

1.本試卷共4頁(yè)，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).

3試卷答案一律填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

L己知集合4={-21，。，1，2},8

=<x<2,則A13=（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.{-1,1}D.{0,1}

2.命題“VxeR,Ve2x—1”的否定是（）

A.BxCR,x2<2x-\B.3XGR,x2<2x-l

C.Vx￡R,x2W2x—1D.HreR，/w2x-1

x2,x>0

己知函數(shù)〃X）=12若/⑴=，"，則實(shí)數(shù)加的值為（

3.)

一,x<0

A.B.—1或1C.1或2D.2

4.下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（)

%—1,x<0

B.y=y/x1

A.y=-x+lC.y=-D.

Xx+1,x>0

5.如果且Q+Z?+C=0,那么下列不等式中一定正確的是（)

A.—<y-B.ab>bcC.ab>acD.ac>hc

ab

6.“/>0”是“+的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.己知人r）=N—（加+2）x+2在區(qū)間［1,3］上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.y,o)B.[4,+co)C.(-oo,0)(4,+8)D.(-oo,0][4,+oo)

8.給出下列4個(gè)不等式：①xVl；?O<X<1；③-2<x<0；@-1<X<1,其中，可以使好<1成立的一個(gè)充分條

件的所有序號(hào)為（）

A.①B.②③C.②④D.①④

9.已知“X）為定義在R上的奇函數(shù)，且"x）=/（2-x）,當(dāng)xe［0,l］時(shí)，〃x）=x,則當(dāng)xe［-3,5］時(shí)，

/（x）=g的所有解的和為（）

9「11

A.4B.-C.5D.—

22

10.有加米長(zhǎng)的鋼材，要做成如圖所示窗戶的窗框：上半部分為四個(gè)全等的扇型組成的半圓，下半部分為四個(gè)全

等的小矩形組成的矩形，則窗戶面積的最大值為（）

m2〃12兀22m2

B.--------C.-m±-trTD.

兀+54423兀+108

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/（x）=Y亙的定義域?yàn)?

x—2

12.設(shè)集合A={x,y},B=10,x2},若A=3，則2x+y=.

13若avb,dvc,并且(C-Q)(C-力<0,(d-a)(d-Z?)>0,則a,0,c、,d由小到大順序排列是,

14.設(shè)函數(shù)/⑴的定義域?yàn)椋?』］,能說(shuō)明“若函數(shù)/"）在［。川上的最大值為41）,則函數(shù)/*）在［0』上單調(diào)遞增

“為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

,C，、2

15己知非空集合A,B滿足：AB=R,Ac3=0.對(duì)于函數(shù)j（x）=〈X-1,XGA,給出下列結(jié)論:

2x-l,xeB.

①存在非空集合對(duì)A，B,使得f（x）沒(méi)有最小值；

②不存在非空集合對(duì)4,3,使得"X）為奇函數(shù)；

③存在唯一非空集合對(duì)使得〃x）為偶函數(shù)；

④存在無(wú)窮多非空集合對(duì)A，8,使得方程/（%）=0無(wú)解.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.已知集合A={x|-2WxW7},B={x[m+lWxW〃?+3,〃?eR},且3x0.

(1)當(dāng)〃2=5時(shí)，求ADB;

(2)若Ac為B=A,求機(jī)的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(%)=21一幺，且/(g)=3.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)判斷F(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(3)判斷，x)在區(qū)間(1,+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明.

18.一公司某年用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備，使用x年后需要維護(hù)費(fèi)總計(jì)2/+10X萬(wàn)元，該設(shè)備每年創(chuàng)造利潤(rùn)

50萬(wàn)元.

(1)求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，總利潤(rùn)最大，最大是多少？

(2)求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？

19.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x-1.

(1)作出函數(shù)〃x)圖象(不用列表)，并指出它的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求當(dāng)x<0時(shí)，/(x)的解析式；

(3)討論關(guān)于x的方程/(x)=Z(AwR)的解的個(gè)數(shù).(直接寫出結(jié)論)

20.已知函數(shù)—aeR.

(1)若/(x)是偶函數(shù)，求〃取值；

(2)求關(guān)于x的不等式〃x)>0的解集.

21.已知含有限個(gè)元素的集合A是正整數(shù)集的子集，且A中至少含有兩個(gè)元素.若8是由A中的任意兩個(gè)元素之和

構(gòu)成的集合，則稱集合B是集合A的衍生集.

（1）當(dāng)人={2,5,7}時(shí)，寫出集合A的衍生集B；

（2）若A是由4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其衍生集B的元素個(gè)數(shù)的最小值；

（3）判斷是否存在5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A,使其衍生集8={4,6,8,10,12,14,18},并說(shuō)明理由.

2022北京大興高一（上）期中

數(shù)學(xué)

2022.11

1.本試卷共4頁(yè)，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).

3試卷答案一律填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng).

1.己知集合4={一2，-1，°，1，2},B=W-1-X<2},則（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

c.{-1,1}D.{051}

【答案】B

【分析】利用交集的定義可求得集合AcB.

【詳解】由已知可得AB={-1,0,1).

故選：B.

2.命題“VxwR,X222X-1”的否定是(

A.玉/R,x2<2x-\B.BxeR,x2<2x-l

C.X/xeR,dw2x—lD.HxeR,x2<2JV-1

【答案】B

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定即可直接求解.

【詳解】由題意知，

命題“VxeR,/22X—1”的否定為“IceR,/<2x-l”.

故選：B.

x2,x>0

3.已知函數(shù)〃x）=<2若/⑴="?,則實(shí)數(shù)加的值為（）

一,x<0

A.1B.一1或1C.1或2D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求解即可.

【詳解】由題知：/(1)=1=加.

故選：A

4.下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是()

x—1,x<0

A.y=—X4-1B.y=>J~xC.y=-D,y=<

x+1,x>0

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)，基函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A,y=-%+1的定義域和值域都為R,該函數(shù)的定義域與值域相同.

對(duì)于B,y=J7的定義域?yàn)閤e[0,+8),值域?yàn)閥e[0,+8),該函數(shù)的定義域與值域相同.

對(duì)于C，丫=:的定義域?yàn)閤e{xeR|xwO},值域?yàn)閥e{yeR|yN0},該函數(shù)的定義域與值域相同.

對(duì)于D,y=\,八的定義域?yàn)閤eR,值域?yàn)槎　?-8,-1u(l,+8),該函數(shù)的定義域與值域不相同.

x+1,x>0\J7

故選：D

5.如果a>b>c,且a+/?+c=0,那么下列不等式中一定正確的是()

A.—<-J-B.ab>bcC.ab>acD.ac>hc

ab

【答案】C

【分析】分析可知。>0>c,而人的符號(hào)不確定，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】因?yàn)椤?gt;b>c,則3Q>Q+6+C=0>3C,HP(7>0>c,而〃的符號(hào)不確定，

對(duì)于A選項(xiàng)，若力<0,則A錯(cuò)；

ab

對(duì)于B選項(xiàng)，若匕<0,則。匕<6c,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椤?gt;0,由不等式的基本性質(zhì)可得">呢，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閏<0,由不等式的基本性質(zhì)可得ac<8c,D錯(cuò).

故選：C.

6.“f>0”是“1+122”的

()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】r，=2，+1zoo?_1）20of>0

ttt

二“t>（）”是'n+!22”的充分必要條件.

t

故選c

【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

7.已知|x）=%2—（s+2）x+2在區(qū)間［I,3］上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（F,0）B.［4,+00）C.（-oo,0）一（4,+8）D.（-oo,0］［4,+oo）

【答案】D

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（刈=/一（加+2）x+2,開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為、=等，

又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間［1,3］上是單調(diào)函數(shù)，

m+2

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增時(shí)，則有-----<1,解得：m<0；

2

>714-2

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減時(shí)，則有----->3,解得：m>4；

2

綜上可知：實(shí)數(shù)”？取值范圍是（-8,0］/4,+8）,

故選：D.

8.給出下列4個(gè)不等式：①x<l;?0<x<l；③-2<xV0；其中，可以使「VI成立的一個(gè)充分條

件的所有序號(hào)為（）

A.①B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【分析】根據(jù)/<1和一元二次不等式的解法可得一1<X<1,結(jié)合①②③④，然后根據(jù)充分，必要條件進(jìn)行判定.

【詳解】X2<1

...②④是f<1的充分條件；①是必要不充分條件：③是不必要不充分條件.

故選：C.

9.已知“X）為定義在R上的奇函數(shù)，且〃x）=/（2—x）,當(dāng)xe［0,l］時(shí)，〃x）=x,貝熠xe卜3,5］時(shí)，

=g的所有解的和為（）

9L11

A.4B.-C.5D.—

22

【答案】A

【分析】分析函數(shù)/(X)的周期性和對(duì)稱性，作出函數(shù)“X)與y=g在［-3,5］上的圖象，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橐阎?(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且"》)=/(2-力，則/(x)=-f(x—2),

所以，f(x+4)=-/(x+2)=/(x),故函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且周期為4，

且函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，故函數(shù)“X)在［-3,5］上的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱,

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，2-xe[0[],則/(x)=42一同=2-x,

作出函數(shù)/(x)與y=g在［-3,5］上的圖象如下圖所示:

由圖可知，直線>=(與函數(shù)/(x)在［-3,5］上的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，分別為

設(shè)a<b<c<d,由圖可知I,點(diǎn)(兄；)、關(guān)于直線元=1對(duì)稱，

點(diǎn)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則a+0+c+d=2x2xl=4.

故選：A.

10.有加米長(zhǎng)的鋼材，要做成如圖所示窗戶的窗框：上半部分為四個(gè)全等的扇型組成的半圓，下半部分為四個(gè)全

等的小矩形組成的矩形，則窗戶面積的最大值為()

?>

-12兀22m2

B.-^―C.-trr+—m-D.

兀+54423兀+108

【答案】D

【分析】設(shè)小矩形的長(zhǎng)為X米，寬為y米，窗戶的面積為S平方米，根據(jù)圖形可得9x+乃x+6y=〃z,進(jìn)而求出面

積S的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)小矩形的長(zhǎng)為X米，寬為y米，窗戶的面積為s平方米，

則9x+;rx+6y=，〃，所以6y=加一(9+萬(wàn))x,

所以S=~x2+4xy=+|^x[m-(9+^)x]

36+萬(wàn),236+萬(wàn)/2m、,2M

------x~+—mx=--------(x--------)-+---------

63636+乃3(36+〃)

rn

由6y>0,得加一(9+4)%>0,解得0<x<------

9+7

「、，八2mm

因?yàn)?<-------<--------

36+79+7

2/779/77"

所以當(dāng)尤=一一時(shí)，窗戶的面積取得最大，且最大值為—

36+乃34+108

故選：D.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)1的=也二1的定義域?yàn)?

x—2

【答案】卜|北1且x02}

【分析】

由分母不能為。和根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0聯(lián)立不等式組，解得即可.

【詳解】由題意得：\,C，解得%21月//2,所以定義域?yàn)閧X|XN1且無(wú)。2}.

x—2W0

故答案為：{乂121且%02}

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

12.設(shè)集合4={%,?,B=10,x2},若A=8，則2x+y=,

【答案】2

【分析】根據(jù)集合相等可得出關(guān)于x、y的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得解.

2

x=X(

【詳解】由集合元素的互異性可知了2工0,則XH0,因?yàn)锳=8,則Iy=0，解得」

因此，2x+y=2.

故答案為：2.

13.若a<b,d<c,并且(c—a)(c—《)<0,(d-a)(d—?>0,則a，b，c"由小到大的順序排列是

【答案】d<a<c<b.

【分析】根據(jù)已知條件分別解關(guān)于c和d的一元二次不等式，從而可得結(jié)論.

【詳解】由(c-a)(c-b)<09得。<cvh,

由〃</?,(d-a)(d-b)>0,得dva或〃>人，

因?yàn)閐vc,所以舍去，

所以d<a<c<bf

故答案為：d<a<c<b.

14.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?』］,能說(shuō)明“若函數(shù)f(x)在［0,1］上的最大值為了⑴，則函數(shù)Ax)在［0』上單調(diào)遞增

“為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

【答案】/(x)=(x—+1,xe［0,l］,(答案不唯一)

【分析】根據(jù)題意，可以構(gòu)造在定義域?yàn)椋?,1］上，先減后增的函數(shù)，滿足最大值為I,即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，要求函數(shù)F(x)的定義域?yàn)椋?,1］,在［0』上的最大值為/。)，但f(x)在［0,1］上不是增函數(shù),

可以考慮定義域?yàn)椋?,1］上，先減后增的函數(shù)的二次函數(shù),

函數(shù)/(x)=(x—]3

H—，xe[0,l]符合,

4

(1YQ

故答案為：f(x)=X--(答案不唯一).

、2)4

6已知非空集合A，8滿足：A8=R,AcB=0.對(duì)于函數(shù)/(X)=<-'’給出下列結(jié)論:

2x-\,xeB.

①存在非空集合對(duì)A，B,使得/(x)沒(méi)有最小值；

②不存在非空集合對(duì)A,8,使得f(x)為奇函數(shù)；

③存在唯一非空集合對(duì)A,B,使得/(x)為偶函數(shù)；

④存在無(wú)窮多非空集合對(duì)A,B,使得方程f(x)=0無(wú)解.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①②④

【分析】當(dāng)A=(-8,—1］,3=(—1,+8)時(shí)，f(x)此時(shí)無(wú)最小值，可以判斷①正確；該分段函數(shù)上下均不是奇函數(shù)，

故不存在集合對(duì)符合題意，②正確；通過(guò)舉例可以找到多個(gè)集合對(duì)使得Ax)為偶函數(shù)，則③錯(cuò)：當(dāng)集合滿足

一1史A,且上eB時(shí)，④正確.

2

【詳解】當(dāng)A=(-8,-1］,3=(-1,+8)時(shí)，Ax)此時(shí)無(wú)最小值，可以判斷①正確;若xeA,—xeA,則

/(x)=x2-l,f(-x)=x2-l/(x)^/(-x),為偶函數(shù)，

若xw8,-xe8則〃x)=2%_l,/(-x)=-2x-l/(-x)^-/(x)；

若xeA,—xeB,則/(x)=x~—1/(—x)=—2x—1,/(—x)H—/(x)

若XGB,-xeA,則/(一x)=%2_i,/(x)=2x-l,/(-x)^-/(x)

綜上不存在非空集合對(duì)，使得/(x)為奇函數(shù)，②正確；

當(dāng)3={0},A=(T?,0)_(0,+8)時(shí)，/(X)為偶函數(shù),當(dāng)8={1},A=(T?,1)L(1,+?)時(shí)，/(X)為偶函數(shù)，故不

唯一，③錯(cuò)誤；/(x)=0時(shí)，解得x=i,x=-i,x=；,則當(dāng)集合滿足-leAlwA且3任8時(shí)，方程無(wú)解，又

AB=R,AB#0,所以存在無(wú)數(shù)多非空集合對(duì)，使得方程/(x)=0無(wú)解，④正確.

故答案為：①②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.已知集合A={x|-2WxW7},B=+m+3,/%ER},且BW0.

(1)當(dāng)m=5時(shí)，求AuB；

(2)若Ac為5=A,求機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)Aufi={x|-2<x<8};

(2){加|利<-5或一>6}.

【分析】(1)先求出集合8,然后利用并集的定義直接求解即可，

(2)先求出48,然后由Ac38=A,得AlaB,則可列出關(guān)于加的不等式，從而可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)加=5時(shí)，3={x|6WxW8},

因?yàn)锳={x|-2〈xW7},

所以Au8={x卜2<x<8}；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锽={x|/%+1WxW〃?+3,加￡R},

所以條5=k|%v根+1或x>加+3},

因?yàn)锳c08=A,所以

因?yàn)锳={x|-2WxW7},

所以加+1>7或根+3<-2,

得加>6或m<一5,

所以加的取值范圍為9%M<—5或相>6}.

17.已知函數(shù)/(%)=2x——，且/(一)=3.

X2

(1)求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)判斷/(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(3)判斷/(x)在區(qū)間(1，+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明.

【答案】(1)-1:

(2)奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析；

(3)增函數(shù)，證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)將x=!代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求。；

(2)根據(jù)函數(shù)解析式求出/(一幻，結(jié)合奇偶函數(shù)定義即可判斷；

(3)VX1,%2€(1,+8)且玉</，根據(jù)函數(shù)解析式求得了(%)一/(%2)<0,結(jié)合增減函數(shù)的定義即可下結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

由/(x)=2x---,f(―)=3,

x

得"5)=1一1=3,解得a=—l.

2

所以實(shí)數(shù)。的值為-1；

【小問(wèn)2詳解】

函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

由⑴知，/(x)=2x+f函數(shù)/(x)的定義域?yàn)楹螒?},

f(-x)=-2x--=~(2x+-)=-f(x),即.f(-x)=-fix),

XX

所以函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)；

【小問(wèn)3詳解】

函數(shù)fM在(1,+oo)上為增函數(shù).

由⑴知，f(x)=2x4—,

X

Vxpx2G(l,+co),且不<々，

x

f(])~f-2(Xj—x2)+----—=(%)一為)(2--—),

玉x2中2

又芯一工2<°，°<---<1，所以2------>0,

所以/(%)一/(無(wú)2)=(王一々)(2-，即/(王)</(無(wú)2),

故函數(shù)/(X)在(1,+A)上為增函數(shù).

18.一公司某年用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備，使用X年后需要的維護(hù)費(fèi)總計(jì)2x2+10%萬(wàn)元，該設(shè)備每年創(chuàng)造利澗

50萬(wàn)元.

(1)求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，總利潤(rùn)最大，最大是多少？

(2)求使用設(shè)備生產(chǎn)多少年，年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？

【答案】(1)10年，102萬(wàn)元；(2)7年，12萬(wàn)元.

【分析】(1)設(shè)該設(shè)備使用x年后獲得總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y=—25-10)2+102,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;

(2)由(1)可得上V=-2(》+4二9-20),結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.

xx

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)該設(shè)備使用x年后獲得總利潤(rùn)>萬(wàn)元，

貝ijy=50x-98-(2x2+1Ox)=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,

該二次函數(shù)為開(kāi)口向下、對(duì)稱軸為x=10的拋物線，

所以當(dāng)x=10時(shí)，函數(shù)y即總利潤(rùn)取得最大，且最大值為102萬(wàn)元；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知，年平均利潤(rùn)為

y—2.x^+40x—9849I49

—=-------------=-2(xH-----20)?-2(2Jx----20)=12,

xxxVx

49

當(dāng)且僅當(dāng)了=—即x=7時(shí)，等號(hào)成立，

x

所以使用設(shè)備7年后的年平均利潤(rùn)最大，旦最大值為12萬(wàn)元.

19.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x-1.

ky

(1)作出函數(shù)/(X)的圖象(不用列表)，并指出它的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)求當(dāng)x<0時(shí)，的解析式；

(3)討論關(guān)于x的方程/*)=%(%eR)的解的個(gè)數(shù).(直接寫出結(jié)論)

【答案】(1)圖象見(jiàn)解析，單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1),(1,+8)

(2)/(%)=-f—2x+l

(3)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)/(0)=0,再求出x<()時(shí)函數(shù)的解析式，即可得到函數(shù)在R上的解析式，從而畫

出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)由(1)可得函數(shù)在x<0時(shí)的解析式；

(3)方程/(》)=%(%eR)的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù))，=/(%)與丁=左的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象即可判斷.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?(x)是R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x-\,

當(dāng)x<0時(shí)則—x>0,/(-%)=(-%)2-2(-x)-1=x2+2x-1,因?yàn)?(*)是R上的奇函數(shù)，

所以〃—x)=—/(x),所以/(x)=-f-2x+l,

x~—2x—1,x>0

綜上可得〃x)=<0,x=0,所以函數(shù)圖形如下所示：

~x~—2.x+1,x<0

由函數(shù)圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。,+8)；

【小問(wèn)2詳解】

解：由(1)可得當(dāng)x<0時(shí)/(%)=-/-2工+1；

【小問(wèn)3詳解】

解：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2-2x-l=(x-l)--2.

所以〃1)=-2,

當(dāng)x<0時(shí)/(x)=—f—2x+1=—(x+l)~+2,所以/(—1)=2,

因?yàn)殛P(guān)于x的方程/(x)=&(&eR)的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=/(x)與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由圖可得當(dāng)2>2或攵<—2時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有1個(gè)解；

當(dāng)攵=±2或0<A41或一14左<0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有2個(gè)解；

當(dāng)％=0或1<左<2或一2<攵<一1時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)解；

綜上可得：當(dāng)4>2或左<—2時(shí)方程只有1個(gè)解，當(dāng)人=±2或0<k41或一1?人<0時(shí)方程有2個(gè)解，當(dāng)％=0或

1<左<2或一2<4<一1時(shí)方程有3個(gè)解.

20.已知函數(shù)/(x)=ax2+(2a-l)x-2,tzeR.

(1)若/(x)是偶函數(shù)，求〃的取值；

(2)求關(guān)于x不等式〃x)>0的解集.

【答案】(1)a——

2

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義可求得實(shí)數(shù)。的值；

(2)由已知可得/(x)=(6-1)(》+2)>0,對(duì)實(shí)數(shù)”的取值進(jìn)行分類討論，利用二次不等式和一次不等式的解法

解原不等式，可得其解集.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為偶函數(shù)，則VxwR,/(-%)=/(%),

所以，cv3一(2a—l)x—2=izx~+(2a—l)x—2,所以，2(2a—l)x=0恒成立，

所以，2a-1=0,解得〃=

2

【小問(wèn)2詳解】

解：/(x)=ax24-(26f-l)x-2=(ax-l)(x+2)>0.

①當(dāng)。=0時(shí)，原不等式即為x+2<0,解得xv—2；

②當(dāng)。工0時(shí)，方程/(x)=0