2022-2023學(xué)年山東省青島市市南區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年山東省青島市市南區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）

1.（3分）如圖所示的幾何體，它的左視圖是（）

)

A.——B.-C.-D.——

279927

3.（3分）二次函數(shù)丫=32+bx+c在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則圖象與x軸的

4.（3分）國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布報(bào)告顯示，2019年我國單位GD尸能耗約為0.571噸標(biāo)準(zhǔn)煤/萬元，

而2021年我國單位GDP能耗約為0.555噸標(biāo)準(zhǔn)煤/萬元.設(shè)平均每年單位GDP能耗降低率

為x,則可列方程為（）

A.0.571(1-x)2=0.555B.0.571(1-2x)=0.555

C.0.571(1-x2)=0.555D.0.555(1+x)2=0.571

5.（3分）隨著光伏發(fā)電項(xiàng)目投資成本下降，越來越多的“光伏+”項(xiàng)目正在逐步走進(jìn)我們

的生活.光伏發(fā)電不僅能為城市提供清潔能源，還能減少城市污染和能源消耗.如圖，長

BC=8m、寬=的太陽能電池板與水平面成30。夾角，經(jīng)過太陽光的正投影，它在

水平面所形成的陰影的面積為（）

6.（3分）如圖，AABC的頂點(diǎn)分別在單位長度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，貝hin44c的

A.君B-C-1口普

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形。18的頂點(diǎn)0（0,0）,8（2,0）,已知△OAB'

與ACHB位似，位似中心是原點(diǎn)O,且的面積是AtMB面積的4倍，則點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)

4的坐標(biāo)為（）

B.（2,2拘或（-2,-2我

C.（4,46）或（-4,Y班）D.（4,4指）或（-4白，-4）

8.（3分）二次函數(shù)y=*2+6x+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)>=依-6的圖象和反比例

函數(shù)、=佇"￡的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中大致為（）

二、（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.（3分）方程式=2x的根為.

10.（3分）己知4=￡=2（6+2/W0）,則色土主的值為

bd5b+2d

11.（3分）為預(yù)防“新冠病毒”，學(xué)校對教室噴灑84消毒液（含氯消毒劑）進(jìn)行消殺，資

料表明空氣中氯含量不低于0.5%,才能有效殺滅新冠病毒.如圖，噴灑消毒液時(shí)教室空氣

中的氯含量y（%）與時(shí)間K加w）成正比例，消毒液揮發(fā)時(shí)，y與f成反比例，則此次消殺的有

12.（3分）將拋物線丁=-2*+1向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線的

解析式為

13.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程依2+2*+1=0有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是.

14.（3分）如圖，在長80米、寬60米的矩形草地上修建兩條互相垂直的小路，即MOUNP,

EF/!GH,EFYMO,且區(qū)=LK=1米，￡F=63米，則小路的面積為米2.

三、作圖題（本題滿分4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡。

15.（4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.如圖是一塊木板下腳料,

小明想用這塊木板做一個(gè)菱形學(xué)具；請你幫他在木板上畫出以Z4為一個(gè)內(nèi)角且面積最大的

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）計(jì)算：5m230°-2cos450+-78；

2

（2）解方程：2爐+6*-1=0.

17.（6分）中國共產(chǎn)黨的助手和后備軍一中國共青團(tuán)，擔(dān)負(fù)著為中國特色社會主義事業(yè)培

養(yǎng)合格建設(shè)者和可靠接班人的根本任務(wù).某校舉辦了黨史宣講活動慶祝共青團(tuán)成立一百周年,

九年級一班將從報(bào)名的5名學(xué)生（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名擔(dān)任黨史宣

講員.請利用樹狀圖或列表法求抽取的2名學(xué)生中恰有一名男生和一名女生的概率.

18.（6分）某學(xué)校為了抓好常態(tài)化疫情防控,購進(jìn)了一批測溫儀，如圖，測溫儀的長AB=21cm,

測溫距離是AD=3C=12cm,CL±AG,當(dāng)測溫儀與豎直方向的夾角/皿4=37。時(shí)，測溫

儀能夠測量的最大高度AG與最小高度CF的差值A(chǔ)L是多少？（參考數(shù)據(jù)：sin37°?-,

5

19.（6分）將一塊長方體蛋糕平均分成3份，若按照如圖1方式進(jìn)行分割，每份的蛋糕胚

一樣多，但奶油不一樣多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋

糕胚和奶油一樣多呢？如圖2,首先我們可以將蛋糕抽象成矩形，用加粗線條表示有奶油的

邊，然后將矩形沿其對角線分割并拼成如圖3的平行四邊形ABCD,分別取邊4?、8的

三等分點(diǎn)E、尸和G、H,如圖4,按EG、分割成3份（I,II,III）,此種分法能

夠保證每份的蛋糕坯一樣多，奶油是否一樣多，我們只需判斷每份中加粗線條的長度和是否

相等，請你給出判斷并加以證明.

20.（8分）2022年，中國航天邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索.這一年，神舟十四號載人飛

船成功發(fā)射.某航模專賣店向航天愛好者推出了“神舟十四號”飛船模型.每個(gè)模型的進(jìn)價(jià)

是80元，原計(jì)劃按每個(gè)120元銷售，每月能售出30個(gè)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種模型每個(gè)降價(jià)1

元，則每月銷售量將增加2個(gè).

（1）直接寫出每月銷售量y（個(gè)）與每個(gè)降價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)專賣店銷售這種模型每月可獲利w元，當(dāng)每個(gè)降價(jià)多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大？

最大利潤是多少？

21.（8分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,E為OC中點(diǎn)，過點(diǎn)O

作OH//3c交3E的延長線于"，連接C"與

（1）求證：SBCE=AHOE；

（2）當(dāng)四邊形ABCD是怎樣的特殊四邊形時(shí)，四邊形OCHD為菱形？請說明理由.

22.（10分）如圖1,一次函數(shù)了=丘+6的圖象與無軸、y軸分別交于4（1,0）和2（0,2）,以AB

為對角線作矩形OACB，點(diǎn)C恰好在反比例函數(shù)y='（x>0）的圖象上.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）如圖2,作線段BC的垂直平分線，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E,連接?IE、BE,求A鉆E

的面積;

（3）如圖3,若點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，則ABCD周長的最小值為

圖1圖2圖3

23.（12分）數(shù)學(xué)上的對稱通常是指軸對稱、中心對稱，以及對稱的思想方法.某數(shù)學(xué)興趣

小組進(jìn)行折紙活動，來感受圖形中的對稱思想.如圖1,將正方形紙片ABCD對折后展開,

得到折痕HG；如圖2,將紙片再次折疊，使點(diǎn)A落在折痕上，記作點(diǎn)尸；如圖3,連

接AF,得到AABP.

（1）請判斷：AW是三角形；

【問題提出】

興趣小組成員想要進(jìn)一步找到正方形中最大的等邊三角形.

【問題探究】

如圖4,小穎認(rèn)為正方形中最大等邊三角形的頂點(diǎn)一定落在正方形的邊上,她將圖4的APR。

沿AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)。與點(diǎn)3重合（如圖5）,再將AP/近繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)，使尸R與對角線

垂直，延長以，BP分別交CD,4）于點(diǎn)E和尸（如圖6）,連接EF,便可得到如圖7

的最大等邊三角形跳F.設(shè)正方形ABCD的邊長為2.

（2）小麗利用對稱的思想，即M砂關(guān)于直線即對稱，從而求得ZABF=90°一/EBF=匕。,

2

貝|3戶=.315。=n-應(yīng),cosl5°="+夜，tanl5°=2一百）

44

（3）若不知道15。角的三角函數(shù)值，請你換一種方法求防的長.

【問題解決】

（4）如圖8,已知正六邊形中最大的等邊三角形邊長為4,則該正六邊形的邊長為—.

【拓廣應(yīng)用】

（5）A4紙的長為29.70〃，寬為2km,現(xiàn)要在A4紙中剪一個(gè)最大等邊三角形.請你在圖

9中畫出示意圖（不需尺規(guī)作圖），并求該最大等邊三角形的邊長.

24.（10分）如圖，已知拋物線y=-f+2x+3交x軸于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)3的右側(cè)）,

交y軸于點(diǎn)E,其頂點(diǎn)為C,連接AC.

（1）求點(diǎn)A,B,E的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)C坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且NC4F=90。，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

2022-2023學(xué)年山東省青島市市南區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）

1.（3分）如圖所示的幾何體，它的左視圖是（）

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握左視圖的定

義.

2.（3分）如圖為最受歡迎的智力游戲之一一三階魔方，將六個(gè)面分別涂有不同顏色的魔方

平均分割成27個(gè)大小相同的小立方塊，從中任取一個(gè)小立方塊，恰好有兩面涂色的概率為（

【分析】先找出恰好有兩面涂色的小立方塊的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算.

【解答】解：第一層兩面涂色的小立方塊有4個(gè)，第二層兩面涂色的小立方塊有4個(gè)，第三

層兩面涂色的小立方塊有4個(gè)，

所以從中任取一個(gè)小立方塊，恰好有兩面涂色的概率=工=?.

279

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了概率公式：某事件的概率=所求事件作占有的情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

3.(3分)二次函數(shù)丁=取2+灰+。在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則圖象與x軸的

另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.2B.3C.3.5D.4

【分析】由圖象可知二次函數(shù)的對稱軸方程為x=l,根據(jù)對稱性可求得答案.

【解答】解：由圖象可知二次函數(shù)的對稱軸方程為x=l,

又圖象與X軸的交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，

故另一個(gè)交點(diǎn)到對稱軸的距離等于1-(-2)=3,

故另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的對稱軸方程及對稱性，掌握二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)

于對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵.

4.(3分)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布報(bào)告顯示，2019年我國單位GDP能耗約為0.571噸標(biāo)準(zhǔn)煤/萬元，

而2021年我國單位GD尸能耗約為0.555噸標(biāo)準(zhǔn)煤/萬元.設(shè)平均每年單位GD尸能耗降低率

為x,則可列方程為()

A.0.571(1-%)2=0.555B.0.571(1-2x)=0.555

C.0.571(1-/)=0.555D.0.555(1+%)2=0.571

【分析】利用經(jīng)過連續(xù)兩年降低后的GDP=2019年的GZ)P*(1-平均降低率)2,即可得出

關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：0.571(1-x)2=0.555.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

5.(3分)隨著光伏發(fā)電項(xiàng)目投資成本下降，越來越多的“光伏+”項(xiàng)目正在逐步走進(jìn)我們

的生活.光伏發(fā)電不僅能為城市提供清潔能源，還能減少城市污染和能源消耗.如圖，長

BC=8m、寬AB=1.5〃?的太陽能電池板與水平面成30。夾角，經(jīng)過太陽光的正投影，它在

水平面所形成的陰影的面積為（）

圖1圖2

A.12m1B.6m2C.6垂居D.-s/3m2

2

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：在RtABCD中，

ZB=30°,BC=8m,

BD=BC-cos30。=8x3=4出(cm),

2

AB=1.5m,

它在水平面所形成的陰影的面積=L5x4』=6百濟(jì),

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了平行投影，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì),熟練掌握直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，AABC的頂點(diǎn)分別在單位長度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，貝Usin44c的

值為（）

A.A/5B.—C.-D.—

523

【分析】連接BC,過3作BDLAC,利用勾股定理求出AC的長，求出三角形ABC

面積，得到加的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出sin/C鉆的值即可.

【解答】解：連接BC,過3作加，AC于點(diǎn)D,

卞艮據(jù)勾股定理得：AB=742+32=5,AC=732+62=3非,

S=-ACBD=4x6--x3xl--x3x4--x6x3=—,

M"RC22222

BD=#!，

則sin/C4B=g^=且.

AB5

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

7.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形。的頂點(diǎn)0(0,0),3(2,0),已知△。4右，

與△。鉆位似，位似中心是原點(diǎn)O,且△OA8的面積是鉆面積的4倍，則點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)

B.（2,2折或（-2,-2月

C.（4,46）或（-4,Y班）D.（4,4指）或（-4白，-4）

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：.?等邊三角形OAB的頂點(diǎn)0(0,0),3(2,0),

OA.—OB=2,

過A作AC_Lx軸于C,

AAC?是等邊三角形，

OC=-OB=1,AC=-OA=-j3,

22

A(l,a

與公辦臺位似，位似中心是原點(diǎn)O,且△04?的面積是AOAS面積的4倍，

△OAB'與ACMB位似為2:1,

.?.點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1x2,退x2)或(1x(-2),百x(-2))，即(2,2后或(-2,-2若)，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位

似中心，相似比為左，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于左或-0

8.(3分)二次函數(shù)y=o?+云+。的圖象如圖所示，則一次函數(shù)了=℃-/?的圖象和反比例

函數(shù)y=佇絲￡的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中大致為()

X

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下得到a<0,再根據(jù)對稱軸確定出6<0,根據(jù)與y軸的

交點(diǎn)確定出c>0,然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解.

【解答】解：：二次函數(shù)圖象開口方向向下，

「.a<0,

，對稱軸為直線》=-2<0,

2a

?與y軸的正半軸相交，

.,.c>0,

.?.）=公-人的圖象經(jīng)過第一二四象限，

當(dāng)工二-1時(shí)，y=a-b+c>0,

反比例函數(shù)y=a~b+C的圖象在第一三象限，

X

只有A選項(xiàng)圖象符合.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等確定出“、6、c的情況是解題

的關(guān)鍵.

二、（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.（3分）方程尤2=2x的根為_玉=。2_工2=2_.

【分析】移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：f=2尤，

x2-2x=0,

尤（尤—2）=0,

x=0,或x—2=0,

%—0,%2=2,

故答案為：X[=0,%2=2.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步驟:

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式

分別為零,得到兩個(gè)一元一次方程;④解這兩個(gè)一元一次方程,它們的解就都是原方程的解.

10.(3分)已知@=￡=2(6+2，/。)，則”主的值為-.

bd5b+2d-5~

【分析】根據(jù)比的基本性質(zhì)和合比的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：/=￡=2g+24#0),

bd5

2c2

..—=一,

2d5

a+2c_2

"b+2d~3?

故答案為：-.

5

【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì).

11.(3分)為預(yù)防“新冠病毒”，學(xué)校對教室噴灑84消毒液(含氯消毒劑)進(jìn)行消殺，資

料表明空氣中氯含量不低于0.5%,才能有效殺滅新冠病毒.如圖，噴灑消毒液時(shí)教室空氣

中的氯含量y(%)與時(shí)間《相加)成正比例，消毒液揮發(fā)時(shí)，y與f成反比例，則此次消殺的有

【分析】設(shè)y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式為〉=《宜人>0),代入(3,6)得到y(tǒng)=2龍；設(shè)藥物燃燒后y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=b(k、>0)代入(3,6)得到y(tǒng)=-(x>6),把y=0.5代入y=2尤，

XX

得到X=L,把y=0.5代入y=竺，得至l]x=36,于是得到結(jié)論.

4x

【解答】解：?噴灑消毒液時(shí)教室空氣中的氯含量y(%)與時(shí)間*加〃)成正比例，

設(shè)y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式為y=k/k>0),代入(3,6)得：6=3匕

k[=2,

y=2x；

設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為y=殳（匕＞0）代入（3,6）為6=幺，

x3

二.左2=18,

，噴灑消毒液時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丫=2望騏灰6）；消毒液揮發(fā)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式為j=—（%＞6），

x

把y=0.5代入y=2尤,得：x=:,

把y=0.5代入＞="，得：x—36）

x

36--=35.75.

4

所以此次消殺的有效作用時(shí)間是35.75:應(yīng)〃.

故答案為：35.75.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解

答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

12.（3分）將拋物線丁=-2*+1向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線的

解析式為—y=-2（尤-2）2—.

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可.

2

【解答嘛:將拋物線y=-2d+1向右平移2個(gè)單位長度所得直線解析式為y=-2（x-2）+1;

再向下平移1個(gè)單位為：y=-2（x-2）2.

故答案為：y=-2（x-2）2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加

下減是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程居+2x+l=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是_七0且

k?!_?

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：△=4-4左..0,

..k,,1f

上w0,

.,.左w0且鼠1,

故答案為：左且鼠1；

【點(diǎn)評】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

14.（3分）如圖，在長80米、寬60米的矩形草地上修建兩條互相垂直的小路，即MOHNP,

EF//GH,EF_LMO,且JK=LK=1米，￡F=63米，則小路的面積為146米

【分析】MQLNP,FRLGH,ES工DC,易得AFRHs^ESF,即可求得FH、MN的

長度，根據(jù)平行四邊形面積公式即可小路的面積；注意要減去中間小正方形的面積.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)石作過點(diǎn)M作MQ_LN尸，過點(diǎn)尸作用，GH,垂足

分別為S、Q、R,

由題意知：AD=ES=BC=603^,AB=DC=80,JK=LK=MQ=FR=1米.

EFHGH,

:.ZEFS=AFRH,

sinZEFS=sinZFRH,

ESFR601

——=——.即Hn——=---

EFFH63FH

:.FH=—

20

同理可得MN=—.

20

7121

=—x60+—x80-l=146（米2）.

小路onon

故答案為：146.

AEGB

0

P

DSFHC

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，注意輔助線的應(yīng)用.

三、作圖題（本題滿分4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡。

15.（4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.如圖是一塊木板下腳料,

小明想用這塊木板做一個(gè)菱形學(xué)具；請你幫他在木板上畫出以為一個(gè)內(nèi)角且面積最大的

【分析】根據(jù)對角線互相垂直平分且一條對角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形.

【解答】解：如圖：

【點(diǎn)評】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握菱形的應(yīng)用和設(shè)計(jì)是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）計(jì)算：5m230O-2cos450+-^；

2

（2）解方程：2爐+6》-1=0.

【分析】（1）先把三角函數(shù)代入，再計(jì)算求值；

（2）用公式法求解.

【解答】解:（1）sz7?3O。一2cos45。+」而

2

=--72+A/2

4

=;

4

（2）a=2,b=6,c=—1>

.-.△=36+4x2xl=44>0,

一6±2而-3±VH

/.x=------------=-------------，

42

-3+A/TT-3-711

??—9X?—?

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程和特殊角的三角函數(shù)值，掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算是解題的

關(guān)鍵.

17.（6分）中國共產(chǎn)黨的助手和后備軍一中國共青團(tuán)，擔(dān)負(fù)著為中國特色社會主義事業(yè)培

養(yǎng)合格建設(shè)者和可靠接班人的根本任務(wù).某校舉辦了黨史宣講活動慶祝共青團(tuán)成立一百周年,

九年級一班將從報(bào)名的5名學(xué)生（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名擔(dān)任黨史宣

講員.請利用樹狀圖或列表法求抽取的2名學(xué)生中恰有一名男生和一名女生的概率.

【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取的2名學(xué)生中恰有一名男生和一名

女生的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取的2名學(xué)生中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果有12種,

...抽取的2名學(xué)生中恰有一名男生和一名女生的概率為工■=3.

205

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

【點(diǎn)評】此題考查了用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，

適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.（6分）某學(xué)校為了抓好常態(tài)化疫情防控,購進(jìn)了一批測溫儀，如圖，測溫儀的長AB=21cm,

測溫距離是AD=3C=12cm,CLLAG,當(dāng)測溫儀與豎直方向的夾角Nffl4=37。時(shí)，測溫

儀能夠測量的最大高度AG與最小高度CF的差值A(chǔ)L是多少？（參考數(shù)據(jù)：sin37°?-

5

?43

cos37°p一,tan37°?—

54

圖1圖2

【分析】由銳角的正弦，余弦，正切定義表示出有關(guān)的量，即可解決問題.

【解答】解：?測溫儀與豎直方向的夾角Nffl4=37。，

.\ZAKD=CKL=37°，

AF)

sinZAKD=——

AK

AK=AD12

—二20(cm),

sin37°

5

ATJ

tanZAKD=-----,

DK

AD12

DK=—二16(cm)

tan37°

4

/.CK=CD-DK=21-16=5(cm),

cosZCKL=—,

CK

4

KL=CKcos3T=5x-=4(an),

:.AL=AK+KL=20+4=24cm).

：.溫儀能夠測量的最大高度AG與最小高度CF的差值A(chǔ)L是24cm.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握銳角的三角函數(shù)定義.

19.（6分）將一塊長方體蛋糕平均分成3份，若按照如圖1方式進(jìn)行分割，每份的蛋糕胚

一樣多，但奶油不一樣多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋

糕胚和奶油一樣多呢？如圖2,首先我們可以將蛋糕抽象成矩形，用加粗線條表示有奶油的

邊，然后將矩形沿其對角線分割并拼成如圖3的平行四邊形ABCD,分別取邊AB、8的

三等分點(diǎn)E、尸和G、H,如圖4,按EG、FH分割成3份(I,II,III),此種分法能

夠保證每份的蛋糕坯一樣多，奶油是否一樣多，我們只需判斷每份中加粗線條的長度和是否

相等，請你給出判斷并加以證明.

【分析】設(shè)與9交于點(diǎn)與EG交于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NP/MB交廠”于點(diǎn)尸，根

據(jù)題意可得AB/ADC,BF=CH=EF=GH=AE=DG,則I,II,III區(qū)域均為平行四邊

形，易通過A4s證明三APNM=AGDN,得至1］次/=用1=0/,以此即可

證明.

【解答】此種分法能夠保證奶油一樣多.

與EG交于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NP//AB交FH于點(diǎn)尸，如圖,

圖3

圖4

四邊形ABCD為平行四邊形，E、/為邊的三等分點(diǎn)，G、H為CD邊三等分點(diǎn),

:.AB//DC,BF=CH=EF=GH=AE=DG,

，四邊形FBCH、EFGH、AEGD均為平行四邊形，

NPHEF,EN//FP,

四邊形EFPN為平行四邊形，ZFBM=ZPNM,

：.NP=EF=BF=DG,

在NFBM和APNM,

ZFMB=/PMN

<NFBM=ZPNM,

BF=NP

"BM=^NM（AAS）,

:.BM=NM,

同理可證明APNM=kGDN,

貝i]NW=ZW,

BM=NM=DN,

:.AE+DG+DN=EF+GH+NM=BF+CH+BM,

即此種分法能夠保證奶油一樣多.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，理清題意，正確作出

輔助線，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

20.（8分）2022年，中國航天邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索.這一年，神舟十四號載人飛

船成功發(fā)射.某航模專賣店向航天愛好者推出了“神舟十四號”飛船模型.每個(gè)模型的進(jìn)價(jià)

是80元，原計(jì)劃按每個(gè)120元銷售，每月能售出30個(gè)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種模型每個(gè)降價(jià)1

元，則每月銷售量將增加2個(gè).

（1）直接寫出每月銷售量y（個(gè)）與每個(gè)降價(jià)無（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)專賣店銷售這種模型每月可獲利w元，當(dāng)每個(gè)降價(jià)多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大？

最大利潤是多少？

【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；

（2）利用配方法求出二次函數(shù)最值即可得出答案.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y=30+2x；

（2）設(shè)每個(gè)降價(jià)x元,

253025

根據(jù)題意得，w=(120-80-x)(30+2x)=-2x2+50x+1200=一2(尤-y)2+,

二.當(dāng)每個(gè)降價(jià)至元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤是型”元.

22

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的

意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系.

21.(8分)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,E為OC中點(diǎn)，過點(diǎn)O

作OH/ABC交班的延長線于連接S與

(1)求證：ABCE=AHOE；

(2)當(dāng)四邊形ABCD是怎樣的特殊四邊形時(shí)，四邊形OCHD為菱形？請說明理由.

【分析】(1)由ASA證明ASCE三AHOE即可；

(2)先證四邊形3CHO是平行四邊形，得CH=OB,CHHOB,再證四邊形OCHD是平

行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：OH//BC,

;.ZBCE=NHOE,

￡是。。的中點(diǎn)，

;.CE=OE,

在NBCE和NHOE中，

ZBCE=ZHOE

<CE=OE,

ZBEC=ZHEO

:.\BCE=NHOE{ASA)-,

(2)解：當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形OCHD為菱形，理由如下：

由(1)可知，NBCE=MiOE,

:.BE=HE,

CE=OE,

：.四邊形3aTO是平行四邊形，

:.CH=OB,CHHOB,

四邊形ABCD是矩形，

:.OA^OC,OB=OD,AC^BD,

;.CH=OD,OC=OD,

，四邊形OCHD是平行四邊形，

又OC=OD,

,平行四邊形OSD是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判

定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(10分)如圖1,一次函數(shù)〉=丘+匕的圖象與x軸、y軸分別交于4(1,0)和2(0,2),以AB

為對角線作矩形OACB，點(diǎn)C恰好在反比例函數(shù)y='(彳＞0)的圖象上.

X

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖2,作線段3C的垂直平分線，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E,連接他、BE,求AABE

的面積；

(3)如圖3,若點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，則ASCD周長的最小值為_后+1

圖1圖2圖3

【分析】(1)將A(l,0)和8(0,2)代入〉=區(qū)+6可得左和6的值，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可

解決問題;

(2)利用割補(bǔ)法求出AABE的面積即可;

(3)作點(diǎn)3關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)8',連接C3'交x軸于O',此時(shí)ABCD的周長最小，根據(jù)勾

股定理求出EC的長，從而得出答案.

【解答】解：(1)將AQO)和5(0,2)代入》=丘+〃得,

p+z?=o

\b=2'

y——2x+2,

四邊形。4BC是矩形，

..AC=OB=2,

C(l,2),

:.m=2

2

...)=一，

x

.?.一次函數(shù)＞=-2彳+2,反比例函數(shù)表達(dá)式＞=』；

x

(2)由題意知E(g,4),

13

.1△ABE的面積為一x3xl=—；

22

(3)作點(diǎn)3關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)連接C3'交x軸于D,此時(shí)ABCD的周長最小,

3(0,2),

B'(0,-2),

B'C=412+4。=屈,

班＞+CD的最小值為#7,

.?.ABCD周長的最小值為JF7+1,

故答案為：V17+1.

【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，軸

對稱-最短路線問題等知識，熟練掌握軸對稱-最短路線問題是解題的關(guān)鍵.

23.（12分）數(shù)學(xué)上的對稱通常是指軸對稱、中心對稱，以及對稱的思想方法.某數(shù)學(xué)興趣

小組進(jìn)行折紙活動，來感受圖形中的對稱思想.如圖1,將正方形紙片ABCD對折后展開,

得到折痕"G；如圖2,將紙片再次折疊，使點(diǎn)A落在折痕"G上，記作點(diǎn)尸；如圖3,連

接AF,得到AAB尸.

（1）請判斷：AABF是等邊三角形；

【問題提出】

興趣小組成員想要進(jìn)一步找到正方形中最大的等邊三角形.

【問題探究】

如圖4,小穎認(rèn)為正方形中最大等邊三角形的頂點(diǎn)一定落在正方形的邊上,她將圖4的APR。

沿AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)。與點(diǎn)3重合（如圖5）,再將AP/S繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)，使尸R與對角線由）

垂直，延長歐，3P分別交CD,AD于點(diǎn)E和P（如圖6）,連接EF,便可得到如圖7

的最大等邊三角形際.設(shè)正方形的邊長為2.

（2）小麗利用對稱的思想，即ABEF關(guān)于直線對稱，從而求得ZABF=二一"BF=燈,

2

則跖=.（sinl5°=^~^,cosl5°=^+^,tanl5°=2-^）

44

（3）若不知道15。角的三角函數(shù)值，請你換一種方法求加'的長.

【問題解決】

（4）如圖8,己知正六邊形中最大的等邊三角形邊長為4,則該正六邊形的邊長為—.

【拓廣應(yīng)用】

（5）A4紙的長為29.7cm,寬為21cm,現(xiàn)要在A4紙中剪一個(gè)最大等邊三角形.請你在圖

9中畫出示意圖（不需尺規(guī)作圖），并求該最大等邊三角形的邊長.

【分析】（1）由折疊可知，BG=AG=-AB=-FBZFGB=ZFGA=90°可得

22

NBFG=30。=ZAFG,故NAFB=60。，從而AABF是等邊三角形;

2

(2)在RtAABF中，cos150=——，即得8/=2#一2立；

BF

⑶設(shè)DE=DF=x,則EF=6x=BF=BE,AF=AD-DF^2-x,在RtAABF中，由

勾股定理得（2-X）2+22=（缶y，解得x的值即可得BF=2娓-2丘;

（4）畫出圖形，由銳角三角函數(shù)列出算式，即可求出正六邊形的邊長；

（5）畫出圖形，由銳角三角函數(shù)列出算式，即可求出最大等邊三角形的邊長.

【解答】解：（1）如圖：

由折疊可知，BG^AG=-AB=-FB,NFGB=NFGA=90°,

22

:.ZBFG=30°=ZAFG,

.-.ZAFB=60°,

又AB=BF,

是等邊三角形，

故答案為：等邊；

(2)如圖:

在RtAABF中,

AH

cosNAB方二——,

BF

,u。2V6+V22

..cos15=----，即Hn--------=---9

BF4