函數(shù)的極值（第2課時）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

函數(shù)的極值（第2課時）復(fù)習(xí)引入例1.已知函數(shù)

f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函數(shù)

f(x)的極值.①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)

f(x)為

(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)

f(x)無極值；

②當(dāng)a>0時，由

f′(x)＝0，解得

x＝a.

又當(dāng)

x∈(0，a)時，f′(x)<0，

當(dāng)

x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，

從而函數(shù)

f(x)在

x＝a處取得極小值，且極小值為

f(a)＝a－alna，無極大值.

綜上，當(dāng)

a≤0時，函數(shù)

f(x)無極值；

當(dāng)a>0時，函數(shù)

f(x)在

x＝a處取得極小值

a－alna，無極大值.

解：由

f′(x)＝1－

＝

，x>0，知例2.已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)e

x(a∈R)，當(dāng)實(shí)數(shù)a≠時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：f'(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2+4a]ex.令f'(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠

知－2a≠a－2.分以下兩種情況討論：①若a>，則－2a<a－2.當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)在(－∞,－2a)，(a－2,＋∞)上是增函數(shù)，在(－2a,a－2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數(shù)f(x)在

x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.x(－∞,

－2a)－2a(－2a,

a－2)a－2(a－2,

＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗②若a＜

，則－2a＞

a－2.當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)在(－∞,a－2)，(－2a,＋∞)上是增函數(shù)，在(a－2,－2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝a－2

處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函數(shù)f(x)在x＝－2a

處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.x(－∞,

a－2)a－2(a－2,－2a)－2a(－2a,＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗例2.已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)e

x(a∈R)，當(dāng)實(shí)數(shù)a≠時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.例3.已知函數(shù)

f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在

x＝－1時有極值0，則

a＝____，b＝____.解：因?yàn)?/p>

f(x)在

x＝－1時有極值0，且

f′(x)＝3x2＋6ax＋b，當(dāng)

a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以

f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去.當(dāng)a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).當(dāng)

x∈(－3,－1)時，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)

x∈(－1,＋∞)時，f(x)為增函數(shù)，所以

f(x)在

x＝－1處取得極小值，因此

a＝2，b＝9.練習(xí)3.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則a＝(

)A．4或－