2023屆河北省保定市唐縣第一中學高三年級上冊11月期中考試數(shù)學試題

2023屆河北省保定市唐縣第一中學高三上學期11月期中考試數(shù)學試

題

一、單選題

1.已知數(shù)列｛4｝滿足a,+ia.+4「a”+i+l=0,aK)2=—3,則()

A.a,=-3B./=2C.all+2+an=-1D.an+2a?=-1

【答案】D

【分析】根據(jù)遞推公式可知4,=%1=，由4。2=-3,可逐一遞推，進而發(fā)現(xiàn)｛%｝為周期數(shù)列，即

an+\+1

可通過規(guī)律求解.

Cln,i—1

【詳解】由“,,+4+4-4“+1=。得，

%+|十1

=—

將"l02=-3代入上式，得6t|0|=2,/.4QQ%8=-3,........,

所以數(shù)列｛叫為周期數(shù)列，且T=4,4號,*=2,*=-3,小=4，

所以

q=2,出=_3,。“+2%=2'(_；)=_1或4+2%=；x(_3)=-l,

an+2+4=2_gH-1或a“+2+a“=g+(-3)*-1,

故選：D

2.已知正項等比數(shù)列｛4｝滿足q=2,%=2%+生，若設其公比為g,前〃項和為加，則不正確的

是()

A.<7=2B.an=2n

C.S/o=2O47D.an+an+i<an+2

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結合等比數(shù)列前〃項和公式逐一判斷即可.

【詳解】因為等比數(shù)列｛4｝是正項數(shù)列，所以4>0

由“4=2%+。3n2/ndq+Zq。-2=0=>4=2,q=-i舍去，

因此選項A正確；

a?=2-2"-'=2",因此選項B正確；

S,八J?！?=2"-2=2046,因此選項C不正確；

1-2

因為。+囁=2〃+2川一2田=2”+2?2”-4?2〃=-2”＜。，所以選項D正確，

故選：C

3.已知正項等比數(shù)列｛〃〃｝,滿足〃2?〃齊〃2020=16,則…?〃/0/7=()

A.41017B.21017C.4,(J18D.21018

【答案】B

【分析】根據(jù)azw/mozone,利用等比數(shù)列的性質可得4509,然后由?叼?????60]7=。509’0”求解?

【詳解】在正項等比數(shù)列｛劭｝中，〃2?〃，，。2020=16,

因為。2，^2020=aiOU~?

所以(%即MJ=16,

即=%)/=4,

所以“509=2,

所以4?4,。3?"1017=々509⑼7=2'017,

故選：B.

4.已知數(shù)列｛q｝滿足4=28,a^-a?=2n,則組的最小值為()

n

A29n廠廠48n27

A.—B.4\j7—1C.—D.—

354

【答案】c

【分析】采用疊加法求出％,由&?可得”=〃+空-1,結合對勾函數(shù)性質分析在〃=5或6取到最

nnn

小值，代值運算即可求解.

【詳解】因為““+1-4“=2”,所以%-%T=2(〃-1),a?_t-a?_2=2(n-2),L,a2-aA=21,n-l式

相力口可得a,,-q=2(1+2++(“―1))=2.0；)、~—=n(n-l),

所以4=3-/+28,%=/1+生一1N2而一1=4五一1,當且僅當”=2"取至IJ,但〃wN*,2萬45,6),

nn

所以w=5時胃=5+點T/，當〃=6時，*=6+1=胃，曰＜?，所以&的最小值為學.

55566353n5

故選：C

5.數(shù)列｛為｝滿足：?=枇-l(〃eN*,/(UeR),若數(shù)歹U｛a,,-1｝是等比數(shù)列，則2的值是

A.1B.2C.—D.—1

2

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知色哼=幺—=4,根據(jù)式子恒成立，可知對應項系數(shù)相同,

/T4,-1

從而求得結果.

a—14〃一2

【詳解】數(shù)歹式。“—1｝為等比數(shù)列n黃丁=VTT=q

即：Mi“-2=qa“-q

一fA=6T

上式恒成立，可知：(個=4=2

|-2=f

本題正確選項：B

【點睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求解參數(shù)問題，關鍵是能夠通過對應項系數(shù)相同求解出結果.

6.己知數(shù)列｛〃｝滿足々=1也=4,%=(l+sin2號卜,+COS2￡,則該數(shù)列的前23項的和為

A.4194B.4195C.2046D.2047

【答案】A

22

【詳解】當〃為偶數(shù)時，bll+2=fI+sin^h?+cos^=bn+l,有%2%=1，即偶數(shù)項成等差，

所以4+/++%=1電+^1^*1=99.

當”為奇數(shù)時，bn+2=2bn,即奇數(shù)項成等比.

b(\-2'2}

々+&++%=t'2，=2J=4095.

該數(shù)列的前23項的和為99+4095=4194.

故選A.

7.設S,為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，且滿足$238>0，S刈9<0,對任意正整數(shù)〃，都有㈤2㈤,

則k的值為()

A.1008B.1009C.1010D.1011

【答案】C

【分析】根據(jù)S刈8>°，520?<0,結合等差數(shù)列求和公式得到01010coMio?>0,且Mokkowl，從

而確定公差4<0,且|q(?o|最小，從而得到正確答案.

【詳解】因為邑小>0，52??<0,所以2018(%+。刈J>0,2019(/+*)<。,

22

故+。2018=4(X)9+"1010>°，4+%019=2〃[0]0<0,

故4oio<aq(x)9>°,且koiol<kowl'

可知等差數(shù)列｛%｝的公差d<0,且<a2<at,

故同>|生|>|聞>>koo9|，koi（>l<|4oJ<,

結合|q<）io|<|[??|，可得：koiol最小.

綜上：k的值為1010.

故選：C.

8.已知數(shù)列｛q｝的前"項和為S”，且4=2,“向=S“，若4w（0,2020）,則稱項”“為"和諧項”，則

數(shù)列｛q｝的所有“和諧項'’的平方和為（）

A.-x4"+-B.-x4"--

3333

C.-x4'°+-D.Ix412--

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)明與S”的關系，即可求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再利用“和諧項”的定義得出111,

通過等比數(shù)列前〃項和公式即可求解.

【詳解】由4a=S“，得/=S.T（，亞2）,

所以4+i-a“=Sn-S“T，即4田一q=4，于是有a”+i=2a.

因為4=2,所以%=SI=q=2,

所以數(shù)列｛4｝是從/=2起，公比為2的等比數(shù)列，

所以2X2-2=2'T

當”=1時，4=2°=1W2,所以此式不滿足q,故｛%｝的通項公式為

2,(?=1)

2"'',(?>2)

因為q€(0,2020),^m<n<\\.

數(shù)列｛4｝的所有“和諧項”的平方和為:

故選：A.

二、多選題

9.己知等差數(shù)列｛4,｝的前”項和為若火=31忑。=210,則()

A.Sl9=19a1()

B.數(shù)列｛2"”｝是公比為2'的等比數(shù)列

C.若或=(-1)"q,則數(shù)列出｝的前2023項和為Y037

D.若2=H，則數(shù)列出｝的前"項和為五七

【答案】ABD

【分析】應用等差數(shù)列的前八項和、通項公式求基本量可得進而判斷A,再由2仁=——及

2

等比數(shù)列的定義判斷B,應用分組求和、裂項求和判斷C、D.

【詳解】對A,由題設，兀=1飛斗,)=5(%+4。)=210,則q+q°=42,

若等差數(shù)列的公差為d，故2q+9d=42,而q+7d=31,

所以q=3,"曰，貝I]%=4〃-1,

兀=19X(；+[9)=]94,人正確；

對B,2%=2Ml=”，易知｛2%｝是公比為28的等比數(shù)列，B正確;

對C,d=(T)"q=(T)"(4"-l)，則前2023項和為

-3+7-11+15-...+(4X2022-1)-(4X2023-1)--3-4x1011=-4047,C錯誤;

11z1

b產-----=-(-----------),則前“項和為

44+i44/?—14〃+3

1A11、1尸L1-1

-x(----+-)^—+...+即口正確.

4377114〃-14〃+3434〃+3

故選：ABD

10.設函數(shù)分于⑺的定義域為R,且滿足/(x)=/(2—x)J(—x)=—/(x—2),當e(-1,1］時,

/(力=-犬+1.則下列說法正確的是()

A.7(2022)=1

B.當xe[4,6]時，〃力的取值范圍為[-1,0]

C.y=/(x-l)為奇函數(shù)

D.方程f(x)=log9(x+l)僅有4個不同實數(shù)解

【答案】BC

【分析】A選項，根據(jù)〃x)=〃2—x)J(—x)=—/(x—2),推導出〃x)=/(x—8),所以y寸(x)的

周期為8,得到〃2022)=〃6)=T,A錯誤；

B選項，根據(jù)函數(shù)性質求出xe[4,5],/(x)=(x-4)2-le[-l,0],當xc(5,6]時，

/(%)=(X-6)2-1e[-1,0),從而確定的取值范圍；

C選項，根據(jù)/(-x)=—/(x-2)得到f(x)關于(1,0)中心對稱，從而y=〃x-l)關于原點中心對稱,

即y=f(x—i)為奇函數(shù)；

D選項，畫出y=f(x)與g(x)=log9(x+l)的圖象，數(shù)形結合求出交點個數(shù)，即可求出方程

/(x)=bg9(x+l)的根的個數(shù).

【詳解】因為/(x—2),

所以〃力=_/(=2),

因為/(x)=〃2—x),

故"2—x)=—/(—x—2),

所以/[2—-f[-(2-x)-2],

BP/(X)=-/(X-4),

所以/(x—4)=—"x—8),

所以〃x)=〃x—8),

所以y習1(x)的周期為8,

因為2022=8x252+6,

所以一(2022)=/(6)

因為〃x)=/(2-力x)=—“X—2),

所以f(6)=〃2-6)=f(T)f(4-2)=-71⑵=-〃2-2)=-40),

因為時，/(x)=-x2+l,

所以〃0)=-()2+1=1,

故〃6)=—/(O)=T,A錯誤；

當xc[4,5],x-4e[0,l],

所以〃X)=-/(x-4)=-[-(X-4)2+l]=(x-4)2-1e[-1,0],

當％c(5,6],2-XG[-4,-3),2-X+4=6-XG[0,1),

所以〃x)="2-x)=-”2-x+4)=-/(6-x)=-[-(6-x)2+l]=(x-6)2-le[-l,0),

綜上：當xe[4,6]時，〃x)的取值范圍為[TO],B正確：

因為/(r)=—/(x-2),所以/(x)關于(1,0)中心對稱，

故y=/(x-l)關于原點中心對稱，所以y=/(x—l)為奇函數(shù)，C正確；

畫出產/(尤)與g(x)=log9(x+l)的圖象,如下：

因為/(8)=log,(8+1),尸(8)=0<[1唱(X+1)]L，

所以兩函數(shù)圖象共有5個交點，所以方程/(x)=k)g9(x+l)僅有5個不同實數(shù)解，D正錯誤.

故選：BC

11.若過點網(wǎng)1,4)最多可作出"(”eN*)條直線與函數(shù)f(x)=(xT)e，的圖象相切,則()

A.A+n<3

B.當〃=2時，4的值不唯一

C.而可能等于Y

D.當〃=1時，2的取值范圍是(-0-ju{0}

【答案】ACD

【分析】由題設切點為(Xo，(x°-l)e"),進而得2=-e&(x；-2x0+l),再構造函數(shù)

g(x)=-e\x2-2x+1),將問題轉化為y=g(x)與y=2的交點個數(shù)問題，再數(shù)形結合求解即可.

【詳解】解：不妨設切點為(%,@-1圮&),因為尸(回=疣不

所以切線方程為y-2=X心'。(x-1),

所以(x°-l)e'。T=x0e*(x0-l),整理得2=-e*(x：-2x0+l),

所以令g(x)=-er(x2-2x+l),則g'(x)=-ev(x2-1),

所以,令g'(x)=。得x=±l.

所以，當x<-l或x>l時，g'(x)<0,g(x)<o,當一1cx<1時，g'M>0,

4

因為，當x趨近于—時，g(x)趨近于0,g(-l)=，，g(0)=-l,g⑴=0,當x趨近于茁時，g(x)

e

趨近于一0°,

所以，函數(shù)以力的圖像大致如圖，

4

所以，當〃=2H寸，2=g(-l)=—,故B錯誤，此時2+“<3成立；

e

，4、1212

當”=3時，Ae—,0,所以義+”<3,-匕匕<-4,故4〃可能等于T,C正確；

ke；ee

當

當”=1時，2€(―℃,—)0{()},顯然幾+”<3,故D正確；

e

綜上，A+n<3,A正確.

故選：ACD

,、「2-0

12.關于函數(shù)"x)=1o。M>0下列說法正確的是()

A.方程/(x)=x的解只有一個

B.方程/(/(x))=l的解有五個

C.方程/(f(x))=r,(O<f<l)的解有五個

D.方程/(/(x))=x的解有3個

【答案】AC

【分析1作出函數(shù)/(x)的圖象，換元后從外到內研究，先求y=，與y?(x)圖象交點的個數(shù)，轉化為

內層函數(shù)心)或“(x)的取值范圍，據(jù)此再結合了⑺的圖象即可判斷〃〃x))=f的根的個數(shù).

[2vx<0

【詳解】作出f(x)=h?°圖象如圖,

'[|log2x|,x>0

A項，先證X>k)g2Mx>1)恒成立，即證出2>也(》>1),

設g(x)=T，x>l,則g(x)=——)

當1cx<e時，g'(x)>0,當x〉e時，g'(x)<0,

故g(x)在(l,e)為增函數(shù)，在(e,+o。)上為減函數(shù)，故g(x)1rax=：<g<ln2,

故QlogzX,所以尸與f(x)有唯一交點，故正確；

B項，令f(x)=/,貝！1/(，)=1=「=0或，=3或，=2=/(了)=0或/(幻=3或/(乂)=2=6個解，故錯誤；

C項，令〃=/(x),則/(〃)=r6(0,1)=6(0,1),%e(1,2)

=/a)<0/(x,)e(0,l)/(x3)e(1,2)n±e0f有3個解,

工3有2個解，共有5個解，故正確；

D項，令〃=/Xx)20,則f(“)=xN(),

又/(f(0))=/(l)=0，/(/(D)=/(0)=1,所以0,1是方程/(/(x))=x的兩個解，

當X>0,XX1時，/(/(x))=|log2(|log2x|)|=x,即|log2M=2"或MgzX=2r,

因為x>l時，X>log,X,而y=2"與y=log2X的圖象關于y=x對稱，

故|地2萬|=2、或|叫副=2-*共有3個解；

所以方程/(/(x))=x的解有5個，故錯誤.

故選：AC

【點睛】結合函數(shù)的圖象，利用換元法，分別由外到內分析/(/")),根據(jù)方程的根的個數(shù)可轉化

為兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)求解即可.屬于難題.

三、填空題

fl

13.定義“個正數(shù)A、小、L、P”的“均倒數(shù)”為?二?，若各項均為正數(shù)的數(shù)列｛”“｝的前

P］十〃2十十Plt

?項的“均倒數(shù)”為—^―,則/21=___________.

2n+\

【答案】8083

【分析】設數(shù)列｛《,｝的前”項和為S,,,根據(jù)已知條件可得S,,=(2〃+l)〃，即可求得生以的值.

【詳解】設數(shù)列｛4,,｝的前〃項和為s.，

,、nn1

由已知可得數(shù)列對的前〃項的“均倒數(shù)”為1「二—=不=z—;,

22

可得S,=(2〃+1)〃=2〃2+”，所以,0,021=52021-S2mo=(2X2021+2021)-(2X2020+2020)=8083.

故答案為：8083.

【點睛】思路點睛：己知數(shù)列｛《,｝的前”項和S“，求通項公式?！钡牟襟E：

(1)當般=1時,q=S］；

⑵當心2時,根據(jù)s,可得出Sn_,,化簡得出??=S,-S?_,；

(3)如果《滿足當“22時。,=5,,-5,1的通項公式，那么數(shù)列｛4｝的通項公式為%=S,,-SNT；如

果叫不滿足當〃22時q,=S“-S-的通項公式，那么數(shù)列｛為｝的通項公式要分段表示為

_JS,,n=l

14.若q=1，％+i=2a“-3〃，〃eN*,則%=;

【答案】-5-2M-,+3n+3

【分析】設4m+2(〃+1)+"=23“+沏+”)，求出4=〃=一3,然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.

【詳解】解：設4向+2("+1)+"=2(q+/1"+〃)，

所以4川=2?！?力?+“-4，

I/I=—3

八八，/.2=w=-3

w-2=0

67.-3(77+1)-3

所以%-3”3=2,

所以數(shù)列應-3"-3｝是一個以4-3-3=-5為首項，以2為公比的等比數(shù)歹IJ,

所以a,「3〃_3=(-5)x2"T,

所以4=-52-'+3〃+3.

故答案為：-5.2"T+3〃+3.

15.英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列''在航空航天中應用

廣泛,若數(shù)列｛七｝滿足蒼小=天一卷十，則稱數(shù)列｛七｝為牛頓數(shù)列?如果函數(shù)"X)=犬-4,數(shù)列｛々｝

為牛頓數(shù)列，設%=In受三，且4=1,毛＞2.則/。"=

尤,-2

【答案】22020

【分析】由牛頓數(shù)列的定義可得乙”與x“的關系式，代入。用可得a?+l=2a?,進而通過等比數(shù)列的

通項公式即可求得結果.

"X")_x七-44+4

【詳解】因為〃力=犬-4,所以/'(x)=2x,所以X“M=%-

f'M"2x"2x”

片+4+?_(毛+2)2

所以x向+2=十N一

2%2%

七+42=⑸-2>

%-2=

2x“2x.

?+2)2,

,/、2

J+22x,=(x.+2)2伍+2

所以(x「2)2[x-2)

x.+i-2(X“_2)2n

2%

X+2x.+2=21n^^=2a?,

所以一y

%”-2x,「2

a=

即:n+i2ali,又q=1,

所以數(shù)列｛““｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)歹lj,

所以4=1X2"T=2"T,所以。曲M22020,

故答案為：22020.

四、雙空題

16.在處理多元不等式的最值時，我們常用構造切線的方法來求解.例如：曲線y=f在k1處的切

2

線方程為y=2x-1,S.X>2X-\，若已知〃z+w+f=3,則/+/+產N2w-l+2"-l+2r—l=3，當

機=〃=.=1時等號成立，所以M+〃2+產的最小值為3.已知函數(shù)f(x)=x3-6/+12x,若數(shù)列｛0“｝

滿足4,42,且q+4+???+/=10,則數(shù)列"(q)｝的前10項和的最大值為：若數(shù)列出｝滿

足4*0,且4+&+…+如=210,則數(shù)列｛，(4)｝的前100項和的最小值為________.

【答案】70630

【分析】利用導數(shù)的幾何意義求x=l、x=3處的切線方程，根據(jù)題設描述，數(shù)形結合求｛7("")｝的前

10項和最大值、"3"))的前100項和的最小值，注意等號成立條件.

【詳解】f'M=3x2-12x+12=3(x-2)2>0,則/(x)在R上單調遞增，如下圖所示：

①易知1(1)=7J")=3,

所以曲線>J(x)在x=l處的切線方程為y-7=3(x-l),即y=3x+4,

結合圖象知/(x)43x+4(x<2),所以f&)434+4,

所以_/"(4)+，(”2)+…+/("io)-3(。|+a2+…+Go)+4。=70,

當且僅當4=。2="-=4o=1時，等號成立；

JCQX

②曲線y—f(x)在x=網(wǎng)處的切線為y=(3廝—12%+12)(x—0)+X—6J+\2X0,

因為"NO,則令此切線過原點，解得%=3或%=0,

所以曲線y=f（x）在x=3處的切線方程為，=3X,結合圖象知_/（x）23x（xN0）,

所以/3）+"4）+…+/（g0）23（4+么+...+九。）=630當且僅當勿=0或2=3時等號成立，

取優(yōu)=偽=...=%）=3,%=%=...=%?=0,即也』的前100項中有70項為3,30項為0時，等號

成立.

故答案為：70,630.

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)導數(shù)幾何意義求切線方程，數(shù)形結合列不等式求"（4,）｝、｛/（〃）｝前”

項和的最值.

五、解答題

17.已知等差數(shù)列｛〃,,｝和正項等比數(shù)列也｝滿足q=4,4=2,b,Hb“,%=4+2.

⑴求｛q｝和也｝的通項公式；

⑵對于集合A、B,定義集合A-B=｛x|xeA且工生可，設數(shù)列｛。,,｝和也｝中的所有項分別構成集

合A、B,將集合A-B的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛1｝的前30項

和$30?

【答案】⑴%=3〃+1,b,=2"

⑵%=1632

【分析】（1）設等差數(shù)列｛%｝公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為〃（4>0）,根據(jù)已知條件求出q的值,

結合等比數(shù)列的通項公式可求得打，求出％的值，可求得d，利用等差數(shù)列的通項公式可求得凡；

（2）分析可知，所以｛4｝前30項由｛%｝的前33項去掉圾｝的％=4,4=16,%=64這3項構成，

利用等差數(shù)列的求和公式可求得號）的值.

【詳解】（1）解：設等差數(shù)列｛%｝公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為以4>0）,

bb+2b2

n+2=?+i?>：.q=q+2,解得q=2或q=-l<0（舍去）.

又々=2,所以2=2x2"—=2".

所以為=a+2=10,

^=￡IZ￡!L=12Z1=3,

3—12

所以，a”=q+(〃-3)4=10+3(〃—3)=3〃+l.

(2)解：；%)=91,%=100,又％=64<121<仿=128,

所以S3。中要去掉數(shù)列也｝的項最多6項，

數(shù)列圾｝的前6項分別為2、4、8、16、32、64,

其中4、16、64三項是數(shù)列｛q｝和數(shù)列也｝的公共項，

所以｛c“｝前30項由｛。力的前33項去掉也｝的打=4,九=16,%=64這3項構成.

SM=(?,+?,++43)-(d+仇+4)=犯4丁⑼-(4+16+64)=1632.

18.己知正項等比數(shù)列優(yōu)”｝,滿足痣%=1，的是12田與5劣的等差中項.

⑴求數(shù)列｛“〃｝的通項公式；

⑵設7-----簿----+(T)",n，求數(shù)列｛加｝的前n項和加

(。“+4-2八4"+4-1)

【答案】(1)4=2"3,〃€N*;

(2)答案見解析.

【分析】(1)正項等比數(shù)列｛““｝的公比設為4,4>0,根據(jù)已知求出“3=1，4=2,即得解;

(2)-+(-l)n-n,再裂項相消分類討論得解.

2—12—1

【詳解】(1)正項等比數(shù)列｛4｝的公比設為dq>0,

由42a4=1，可得43=1，

牝是124與5a3的等差中項,可得2%=124+5%,

,12

即為%-=彳+5,解得4=2,

則4,=僅"-3=2”-3,〃€e

(2)b“=-------%-------?+(-1)"-M=7~,2：：_+(_1)?.n.

(%-2)(--1)(2n+,-2)(2n+l-l)

則S=|---------1—：-----：----F-H---------——|+[—1+2—3+4—5+6+.

(2-12、2-122-123-12"-12n+'-lJ

當”為偶數(shù)時，s,,=i-Q+M

當"為奇數(shù)時，S“=l-手匕-等.

19.設等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，%=4,%=S3.數(shù)列｛加｝滿足：對每個

neN*,S"+2,S"M+b?,Sn+2+b?成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛〃｝的通項公式;

(2)記c”=,nGN*,證明：c,+c2++c“<2冊，”GN*.

2，

【答案】(1)4=2〃-2,M€N*,hn=n+n,neN；

(2)證明見解析.

【分析】(1)設數(shù)列｛叫的公差為d,根據(jù)己知求出《=0/=2,即得數(shù)歹U｛a,,｝S“=〃-〃根據(jù)已知

即得數(shù)列色,｝通項;

(2)先求出c.=再利用數(shù)學歸納法證明.

'n(n+l)

【詳解】(1)解：設數(shù)列｛4｝的公差為d,

4+2d=4

由題意得解得％=0,d=2,

q+3d=3ai+3d

nc*

/.Sn=—(0+2〃-2)=〃-—〃，〃eN.

2

數(shù)列也｝滿足：對每個〃eN*,S“+bn,S?+2+b?成等比數(shù)列.

整理得包=:(黑「5￡+2)，

解得"=/+〃,〃eN*.

2/1-2n-\

(2)證明：%'---------N*

2hn72n(n+1)〃5+1)

用數(shù)學歸納法證明:

①當n=l時，q=0<2,不等式成立;

②假設〃二%,(k《N*)時不等式成立，即4+弓++,<2〃,

則當n=k+l時,

即〃=左+1時，不等式也成立.

由①②得。+。2++cn<2\[n,〃￡N*.

20.在四棱錐P—ABC。中，△88為等邊三角形，ZDAB=}20°,AD=AB=PD=PB=2,點、E為

PC的中點.

（1）求證：8E//平面24￡）；

（2）已知平面PBZ）_L平面ABCD,求二面角B-CP-O的余弦值.

7

【答案】⑴證明見解析；⑵

【分析】（1）取CZ）中點M,進而證明平面EMB〃平面PAD,然后通過面面平行的性質定理得到答

案；

（2）連接AC交BO于O,根據(jù)條件證明ACJL8C,P0_L平面ABCZ）,進而建立空間直角坐標系，

通過空間向量的夾角公式求出二面角的余弦值.

【詳解】（1）取C。的中點連接EM,BM,

為PC中點，

EM//PD,而EMZ平面PAD,PDu平面PAD，,EMU平面PAD,

又,/△BCD為等邊三角形，BMXCD

VZDAB=12O°,AD=AB,

：.ZADB=ZABD=30°,ZADC=ZCDB+ZADB=600+30°=90°,

ADA.CD,'：BMAD共面于平面ABCD,：.BMHAD,

而平面尸A￡）,ADu平面PAO,BM〃平面PA。，

又EMIBM=M,；.平面EA/B〃平面PAD,而EBu平面，EB〃平面PAD.

（2）根據(jù)條件，連接AC交8。于。，連接尸0,由對稱性知，。為8。中點，且AC上8。，POVBD

,：平面PBD_L平面ABCD,且交于BD,：.尸。/平面ABCD,

?.?在△AOD中，AOLOD,AD=2,ZADO=30°,則AO=1,OD=6

又PD=2,PO=5-（可=1,

在正ABCD中，BD=2OD=,ACO=3.

以。為坐標原點，女，加,辦所在方向分別為x，%z軸的正方向建立空間直角坐標系

O—xyz,

則吸，-瘋0）,C（3,0,0）,P（0,0,l）,B（0,A/3,0）,

ADP=（0,73,1）.兄=（3,0,-1），PB=（O,V3,-1），

設平面PCZ）的法向量為“=（x,y,z），平面PCS的法向量為〃2，

n}-DP=\/3y4-z=0

所以令x=l,則6,31

々PC=3x-z=0

n-PB=6b-c=0

2令。=1,則％=（L后3-

n2-PC=3?-c=0

馬.%二7

cos<4,%>=

k—ll^—l1]a3

7

由圖可知，二面角3-CP-。為鈍角，所以二面角3-CP-。的余弦值為：

/V

21.已知橢圓E:/+鏟=1,（a>6>0）的左、右焦點分別為耳，鳥，焦距與短軸長均為4.

（1）求E的方程;

（2）設任意過尸2的直線為/交E于"，N,分別作E在點M,N上的兩條切線，并記它們的交點為P,

過”作平行于/的直線分別交于4,B,求也也的取值范圍.

\OP\

22

【答案】（1）3+J=1

84

（2）（0,1]

【分析】（1）根據(jù)焦距和短軸的公式求解即可；

（2）設/的方程為x=〃+2,知（不）。"（七,力），聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)橢圓的切線方

程，聯(lián)立可得P（4,-2f）,設MN的中點為根據(jù)韋達定理可得?！?六，再結合三

角形與橢圓的性質可得R,o,Q,尸四點共線，從而化簡IOA+O0=1L20,再根據(jù)。,P的橫坐標關

\OP\\OP\

系，結合參數(shù)的范圍求解即可

_______22

【詳解】（1）由題意，2，洋_6=4,3=4,解得從=4,a2=8,故橢圓一+4-=1

84

（2）由題意，鳥（2,0）,顯然/的斜率不為0,故設/的方程為x="+2,M（x?y,）,N（x2,y2）,

則.至十7口，gp（r2+2）y2+4ry-4=0,故%+必=-冷，耳必=一號.聯(lián)立過M,N的切線方

x=ty+2

紀+里=1

程84，即卜必》+2》跖尸8>2,

型+也=]'2yMy，

,84

相減可得（與%-々乂卜=8（%-X）,即[（當+2）%一（優(yōu)+2）乂上=8（%一乂），