山東省日照市2023屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué) 含解析

2020級高三模擬考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A=[x\x<2]B=[x\x2-2x-3<0),

1.已知集合—令，1I則AD8=()

A.[-1,2)B.(2,3]C.(-1,3]D.(-00,3]

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合8,再依據(jù)并集的定義求并集.

【詳解】B={X|X2-2X-3<O}={X|-1<%<3},又4=卜,<2},

所以A8=(YO,3]

故選：D

2.己知復(fù)數(shù)z=2土史，i為虛數(shù)單位，則忖=()

1—1

A.272B.2GC.2亞D.2瓜

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得z,然后求得|z|.

【詳解】z=(2+6i)(l+i)j2+6i)(l+i)=(i+3,)(i+.)=_2+4i;

(1-1八1+1J2

|z|=14+16=2^5.

故選：C

3.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角。的大小如圖所示，貝hang=()

342

A.-B.-C.1D.一

233

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正切值的定義可以先算出tan(6+：］,然后由兩角和的正切公式求出tan夕

過戶作PQ_Lx軸,垂足為Q,根據(jù)正切值的定義：tan(6?+/］=g^=5，則tanj(9+：］=5=粵外二

V4；\OQ\14j1-tan。

2

解得tan6=—.

3

故選：D

4.紅燈籠，起源于中國的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，

營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，

中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分.如圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面

的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為/?,則球冠的面積

S=2成/?.如圖1,已知該燈籠的高為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈

籠中間球面部分所需布料的面積為()

以正六邊形ABCQE尸中心。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，AB、QE交y軸于G、H,

則C(2,0),*—2,0),4(一1,—@,川1,一月,6位,一句,網(wǎng)—1,6),。(1,6),H(0詢,

設(shè)尸(x,y),PA=^-I-x,-V3-yj,PB=(l-%,-V3-yj,PA-PBx2+y2+2\fiy+2,由正六邊

形對稱性，不妨只研究y軸左半部分，

(1)當(dāng)尸在EH上時(shí)，則xe[-1,0],y=6則尸4尸8=/+1]?12；

(2)當(dāng)P在AG上時(shí)，則xw[-1,0],y=-8，則PA.P8=x2—l<0；

(3)當(dāng)P在EF上時(shí)，則/比：丁=e(》+2),XG[-2,-1],則

P4PB=4X2+18X+26=4(X+2]+—<12；

I4)4

(4)當(dāng)P在AF上時(shí)，則/“：y=-V3(X+2),XG則

(3V1

PA-PB=4x2+6x+2x+-——<6.

I4)4

綜上，所求最大值為12.

故選：B.

6.已知x>0,y>(),設(shè)命題。：2'+2''>4-命題9：xy>1,則。是夕的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】取特值，x=g,y=2,滿足2、+2>'24,不滿足孫21；運(yùn)用基本不等式得

孫,即x+yN2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得2，+>'22?=4,運(yùn)用基本不等式和充分必要條件

的定義判斷可得選項(xiàng).

11Q

【詳解】解：當(dāng)x=§,y=2時(shí)，21+22〉4滿足2"+2>'24，但孫=gx2=§<l,不滿足xyNl,

所以，不是0的充分條件；

當(dāng)xyNl,x>0,y>0時(shí)，1〈孫〈(等)，即x+yN2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，所以

(2'+2vY

2A+y>22=4?即2'，2>'24，又442*-2'4-----,當(dāng)且僅當(dāng)》=丁時(shí)取等號(hào)，

——-I2J

解得2'+2〉24,所以。是夕的必要條件，

因此，，是夕的必要不充分條件.

故選：B

7.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足4=1,??a?+1=2S?,設(shè)勿=墨，若存在正整數(shù)

p，q(p<q)，使得4，3,々成等差數(shù)列，則()

A.p=\B.p=2C.p=3D.p-4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式得出“=號(hào)=/，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)項(xiàng)求解即可得出結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛《,｝滿足4=1,aHan+i=2Sn,

當(dāng)〃=1時(shí)，4a2=2S[=2q,解得：a2=2；

當(dāng)2時(shí),2a?=2(S?-Sn_,)=a?(an+l-an_,),

因?yàn)??！搬?,所以見+|-。,1=2,所以數(shù)列｛a,,｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以““=1+(〃-1)=〃，2=爭="，

若存在正整數(shù)p,q(2<q),使得4，bp,4成等差數(shù)列，

則的=優(yōu)+%所以零①

因?yàn)閿?shù)列｛籃｝是單調(diào)遞減數(shù)列，

當(dāng)〃=1時(shí)，由5=1+/,解得：4二1,舍去；

當(dāng)24，<q時(shí)，則[之勺！，仁1—女=2^；

33"-'3P3。

當(dāng)3Vp時(shí),l>p~}>2p,q>0,所以女<1+里，①式不成立，

33K3P芳y33"

41a

所以，=2,則有§=§+/,解得：q=3,

故選：B.

22

8.己知橢圓C：*+￡=l（a>人>0）的左、右焦點(diǎn)為匕，F(xiàn)2,點(diǎn)A（—2,2）為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)

22

。3。）在雙曲線E：?-3=1上，若橢圓上存在一點(diǎn)。，使得|/科+|隼|=8,則〃的取值范圍是

（）

A.（V5+l,5]B,[3,5]C.a+1,2石]D.W6I

【答案】A

【解析】

【分析】先求出橢圓左焦點(diǎn)大坐標(biāo)為（-2,0）,由題得||24|一忙用|=|8-2"區(qū)|44|=2,解不等式得到

44

3<。<5,再解不等式―^<1即得解.

a4-a

22

【詳解】點(diǎn)Q（a,h）在雙曲線E：亍一亍=1上，所以/_〃=4.

所以橢圓左焦點(diǎn)6坐標(biāo)為（-2,0）.

因|刻+|尸耳|=8,所以|即+2“一歸耳|=8,」|即一|尸耳||=|8_勿國用|=2,

所以3WaW5.

因?yàn)?一〃=4,所以/=〃一4.

/、4444

點(diǎn)A（—2,2）橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，所以一+廠<1,二一—j——<1>

所以-124?+16>0,,a>石+1或a<君一1.

綜上：非+1<a<5-

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對得5分.選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知,，耳分別為隨機(jī)事件A8的對立事件，P（A）>0,P（B）>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（A）+P伍）=1

B.P（A|B）+P（A\B）=l

C.若A5互斥,則P（AB）=P（A）P（B）

D.若AB獨(dú)立，則P（A|3）=P（A）

【答案】ABD

【解析】

【分析】結(jié)合互斥事件、對立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A中：由對立事件定義可知P（A）+P（Z）=1,選項(xiàng)A正確；

、小岳OO/4IM,n/7lMP（AB）+P（AB）P（B）,..岳

選項(xiàng)B中：尸+=-----P（B）-------~~PCB）=,選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C中:A,B互斥,P（AB）=O,P（4）＞0,P（B）＞0,P（AB）HP（A）P（8）,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

p（AD\

選項(xiàng)D中：A,B獨(dú)立,則P（A5）=P（4）P（8）,則尸（A怛）=怖蠟=P（A）,故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

10.己知正方體458—AMGA過對角線作平面。交棱A4于點(diǎn)E，交棱CG于點(diǎn)F,則

A.平面a分正方體所得兩部分的體積相等

B.四邊形3尸AE一定是菱形

C.四邊形3五2石的面積有最大值也有最小值

D,平面a與平面DBB｛始終垂直

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正方體的對稱性即可判斷A正確；由平行平面的性質(zhì)和BE,2E的大小可判斷B錯(cuò)誤；結(jié)

合異面直線距離說明四邊形BFQE的面積最小值和最大值取法，判斷C正確；只有當(dāng)政上平面

時(shí)，才有平面平面8片。，判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】對于A：由正方體的對稱性可知，平面。分正方體所得兩部分的體積相等，故A正確；

對于B：因?yàn)槠矫鍭B44//CC12。，平面平面=

平面BFD}E平面CCQQ=R/，.?.BE//D}F.

同理可證：RE//8F,故四邊形是平行四邊形，當(dāng)E不是A4的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)四邊

形不是菱形，故B錯(cuò)誤；

對于C：由B得四邊形BFQE一定是平行四邊形，所以四邊形的面積等于三角形面積的

兩倍，而8口為定值，所以當(dāng)￡到直線8。距離最大時(shí)，三角形8RE面積取最大值，因?yàn)镋為棱A4

中點(diǎn)時(shí)，E到直線8。距離恰為異面直線M、8,距離，即為最小值，此時(shí)三角形8?！昝娣e取最小

值，即四邊形的面積取最小值.因此當(dāng)E與A重合或片重合時(shí)，三角形面積取最大值，即四

邊形的面積即取最大值，故C正確；

對于D：因?yàn)槠矫鍭CG4，平面BgO,又平面ACG4CT平面3~0萬=政，所以只有當(dāng)￡尸1平

面8與。時(shí)，才有平面BEDg,平面8g。，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

II.設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,且/(x)—1是奇函數(shù)，當(dāng)0?xW2時(shí)，/(x)=V4x-x2+l；當(dāng)

x>2時(shí),/(X)=/T+L當(dāng)［變化時(shí),函數(shù)g(x)=/(x)-依-1的所有零點(diǎn)從小到大記為

xt,x2,,xn,貝I/(%)+/(&)++/(玉)的值可以為()

A.3B.5C.7D.9

【答案】ABC

【解析】

【分析】將方程“X)—"一1=0的根轉(zhuǎn)化為/(x)與直線y="+i的交點(diǎn)，并可知"X)與丁=去+1

均關(guān)于(0』)對稱，作出/(X)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定人不同取值時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合對稱

性可求得結(jié)果.

【詳解】〃％)—1為奇函數(shù)，\/(%)圖像關(guān)于點(diǎn)(。,1)對稱,

由“X)-辰一1=0得：f(x)=kx+\,則方程的根即為/(x)與直線丁=丘+1的交點(diǎn),

作出了(X)圖像如圖所示,

并安用1諄)

5

產(chǎn)左31+1

匕、4H4X+1

浮乎產(chǎn)田+1

i2：4

，

^^y=k6x+\

'-3

①當(dāng)人之工」，即攵22時(shí)，如圖中y=/x+l所示時(shí)，“X)與直線y=Ax+l有5個(gè)交點(diǎn)

2—0

/(X)與丁=麻+1均關(guān)于(0,1)對稱，，/(%)+/(%)+--+/($)=5/(0)=5；

②當(dāng)程即1必＜2時(shí)，如圖中產(chǎn)&X+1所示時(shí)，“X)與直線丁=履+1有7個(gè)交點(diǎn)

玉，，?.、X-f,

F(%)與y=\+i均關(guān)于(0,1)對稱，；J(=)+/(w)+…+〃電)=7/(0)=7；

2_1Q_11

③當(dāng)行＜左＜丁5,即區(qū)＜左＜1時(shí)，如圖中y=&x+i所示時(shí)，/(x)與直線丁=履+1有5個(gè)交點(diǎn)

，(x)與y='+l均關(guān)于(0,1)對稱，.?./(3)+/(9)+…+〃毛)=5,(0)=5；

9__11

④當(dāng)〃=屋方=］時(shí)，如圖中y=&x+l所示時(shí)，/(x)與直線丁=履+1有3個(gè)交點(diǎn)%,馬,工3,

/(x)與丁=辰+1均關(guān)于(0,1)對稱，，/(%)+/(%2)+/(工3)=3/(。)=3；

⑤當(dāng)左＜U，即左＜；時(shí)，如圖中y=和丁=%6%+1所示時(shí)，/(x)與直線丁=奴+1有且僅有

一個(gè)交點(diǎn)(0,1),.?./(%)=1.

綜上所述：/(玉)+/(々)+…+/(天)取值的集合為｛1,3,5,7).

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)對稱性、函數(shù)圖像求解方程根的個(gè)數(shù)問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)?/p>

方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).

e"e*

12.已知——=——=L01,(l—c)e'=(l—d)e"=0.99,則()

a+ib+\VV7

A.a+h>0B.c+d>0

C.a+d>0D.b+c>0

【答案】AD

【解析】

【分析】A.先構(gòu)造函數(shù)/(x),通過函數(shù)的單調(diào)性確定。力的大致范圍，再構(gòu)造

/i(x)=In/(x)-ln/(-x),通過函數(shù)〃(x)的單調(diào)性確定d與一。的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項(xiàng).

B.先構(gòu)造函數(shù)g(x),通過函數(shù)的單調(diào)性確定c,d的大致范圍，再構(gòu)造

〃(x)=Ing(x)—Ing(-x),通過函數(shù)〃(x)的單調(diào)性確定d與-c的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C.通過/(x)=Uj，得至Ug(-a)>g(d)，進(jìn)而可得一。與d大小關(guān)系，進(jìn)而可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D.與C選項(xiàng)同樣的方法即可判斷.

ahx

【詳解】A.------=------=1.01>0.**tz>-l,Z?>-l令/(%)=----(x>-1)

Q+1b+1V71+x'7

則小):善

所以/(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

且/(0)=0,故a>0,—1<人<0.

令〃(x)=In/(x)—In/(―%)=2x-ln(x+l)+In(—x+l),xe(—1,1)

I_i2

則”(x)=2--------+--------=2---------<0,

')x+l-x+11-x17

所以〃(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減，且//(0)=0

1,0)AIn/(/?)-In/(-/?)>0.?./(0)>/(—A)：.f(a)>f(-h)

:.a>-b即。+力>()故選項(xiàng)A正確

B.(l-c)er=(l-J)e(/=0.99>0:.c<\,d<\令g(x)=(1—x)"(x<1)

則g'(x)=-旄\所以g(x)在(y,0)單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,

且g(0)=l,故0<c<l,d<0.

令=Ing(x)-Ing(—x)=2x-ln(x+l)+ln(—x+1)=/Z(X),XG(—1,1)

所以加(x)在(—1,1)上單調(diào)遞減，且加(0)=0

ce(O,l).-.ln^(c)-ln^(-c)>0,g(c)>g(-c)，g(d)>g(-c)

d<—c即c+dvO故選項(xiàng)B錯(cuò)誤

C????/3=懵飛(-力肅=咨>0.99,ae(T0)

r.g(-a)>g(d)又8(》)在(y,0)單調(diào)遞增/.-a>d:.a+d<0

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤

D.由C可知，g(q)>g(c),J?0,l)又g(x)在(0,1)單調(diào)遞減：.-b>c

故選項(xiàng)D正確

故選：AD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在(1—x)5的展開式中的系數(shù)為.

【答案】10

【解析】

【分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，賦值即可求出.

【詳解】(1—x)5的展開式通項(xiàng)為(+1=G(—力"令x=2,所以f的系數(shù)為C；(—1)2=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式某特定項(xiàng)的系數(shù)求法，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)

題.

14.己知函數(shù)/(x)=2sin?x+°)仿>0,網(wǎng)<￡］的最小正周期為)，其圖象關(guān)于直線x=F對稱，

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)最小正周期得到啰=2,利用對稱軸得到*,然后代入計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(力=2而(⑻+8)">0，|同<：|的最小正周期為萬，

所以。=§=2,又因?yàn)橹本€x=2是函數(shù)的一條對稱軸，所以2xg+e=E+g,keZ,解得:

T662

(p=kR+?,keZ,因?yàn)閨同〈工，所以9=工，

626

則函數(shù)f(x)=2sin(2x+F),所以/(—)=2sin(2x—+—)=2cos—=73,

64466

故答案為：

15.對任意正實(shí)數(shù)。，記函數(shù)/(》)=旭^在［。,+8)上的最小值為"%,函數(shù)g(x)=sin5)在［0,a］上

的最大值為M“，若A/。則“的所有可能值.

或麗

【答案】g

【解析】

【分析】根據(jù)/(X)和g(x)函數(shù)圖像，對a分類討論求解即可.

【詳解】“X)和g(x)的圖像如圖:

.。乃.，.an11

sin——,/.M-m=sm——=-a=-?

2223，

當(dāng)〃之1時(shí)，加“=|lgN=lga,M”=L.?.M”一加〃=1一lga=/,4=VT5；

故答案為：—或JT3.

16.設(shè)棱錐ABC。的底面為正方形，且M4=MD,MA±AB,如果工AMD的面積為1,則能夠

放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為.

【答案】0-1##一1+夜

【解析】

【分析】設(shè)球。是與平面AM。，ABCD,M8C都相切的球，求出與三個(gè)面M4￡>,ABCD,A/BC都相切的

球的半徑為r=&-1,再證明0到平面MAB的距離大于球0的半徑r,0到面MCD的距離也大于球

。的半徑，，即得解.

【詳解】如圖，因?yàn)锳B_LAD,ABLMA,AOcMA=AA￡>,M4u平面MAD,所以，AB垂直于平面

MAD,由此知平面MAD垂直平面ABCD.

設(shè)E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則MELA。，所以，ME垂直平面ABC。，ME1.EF.

設(shè)球。是與平面M4。，ABCD,MBC都相切的球.

不失一般性，可設(shè)。在平面ME尸上.于是。為尸的內(nèi)心.

設(shè)球。的半徑為/?,則r=2MEF

EF+EM+MF

-7

設(shè)AD=EF=a,因?yàn)镾^AMD=1,所以ME=—,MF

a

2V2-1

-2夜+2

2

且當(dāng)a=—,即。=夜時(shí)，上式取等號(hào)，所以，當(dāng)AZ>ME=、回時(shí),

a

所以與三個(gè)面MADABCD,MBC都相切的球的半徑為近—1.

作OG_LME于G,易證0G//平面MAB,G到平面MAB的距離就是0到平面MAB的距離.

過G作MH±MA于H,則GH是G到平面MAB的距離.

GHMG

?，

MHG-MEA~AE~MA

AE=—

2

近1

,AEMGTV5

MAMA麗5

手＞收一1,

故O到平面M4B的距離大于球O的半徑r,同樣。到面MC￡＞的距離也大于球。的半徑廠，故球。在棱

錐M-ABC。內(nèi)，并且不可能再大.

據(jù)此可得所求的最大球的半徑為&-1.

故答案為：V2-1

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.在數(shù)列｛%｝中，?與+?+…+a"=n2+n.

n+\

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

12n1

⑵證明:而+逋+…+----------<一

(〃+2"，4'

【答案】（1）%=2"（〃+1）

（2）證明見解析

【解析】

令〃=1可求得為的值，令〃》2,由3+4+2++4—=7?+〃可得

【分析】（1)

234〃+1

幺+空+&++-=/一〃，兩式作差可得出4的表達(dá)式，再驗(yàn)證《的值是否滿足22）的表

234n

達(dá)式，綜合可得出數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

n111>n

（2）計(jì)算得出7~丁=彳,利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列〈,的前〃項(xiàng)和，即可

（〃+2）q2〃+1n+2>〃+2)4

證得結(jié)論成立.

【小問1詳解】

解：因?yàn)殓?收+冬++=tv+n,①

234n+1

則當(dāng)〃=1時(shí)，^-=2,即q=4,

當(dāng)〃22時(shí)，幺+&+幺++—=/—〃，②

234n

①一②得一、=2〃，所以=2〃(〃+1),

〃+1

4=4也滿足%=2〃("+1),故對任意的〃eN*，%=2〃(〃+1).

【小問2詳解】

nn11(11、

(〃+2)a“2”(〃+1)(〃+2)2(鹿+1)(〃+2)2(〃+1〃+2,

1111<1111111

3q4a2(〃+2”?2(2334〃+1n+2)

1111、11

~2(2~~n+2)~4~2(n+2)'

neN*,.\—~~->0,

2(〃+2)，

111

J一而可(“即結(jié)論成立?

A+C

18.已知一ABC中，a,b,c是角4,B,C所對的邊，asin-----=bsinA,且a=l.

2

（2）若AC=8C,在ABC的邊48,AC上分別取。，E兩點(diǎn)，使VA0￡沿線段OE折疊到平面BCE

后，頂點(diǎn)A正好落在邊8C（設(shè)為點(diǎn)P）上，求AO的最小值.

【答案】（1）-

3

(2)2A/3-3

【解析】

44-C

【分析】（1）由正弦定理邊角互化得sinAsin-----=sin8sinA,又A+C=TT—5,可得

2

cos-=sin結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果；

2

（2）由題意可知一ABC為等邊三角形，設(shè)4）=加，則80=1—=由余弦定理得

BP'=設(shè)8P=x,04x〈l,所以m=2-x+------3,利用基本不等式可求

2-x

得答案.

【小問1詳解】

A+rA+C

因?yàn)閍sin-----=AsinA,所以由正弦定理邊角互化得sinAsin-----=sinBsinA,

22

因?yàn)锳e（O,兀）,sinAwO,A+C=7t-8,所以sin（四一g）=sin8,g|Jcos—=sinB,所以

1222

cos—B=2csi-n—Bcos—B,

222

因?yàn)锽e(O,;t),所以gw(0,=],cosgK0,所以sinO=，，

2\2)222

所以0=二,即gJ.

263

【小問2詳解】

TT

因?yàn)锳C=8C,B=—,所以ABC為等邊三角形，即AC=8C=AB=1,

3

設(shè)A￡)=m,則83=1—m,PO=加，

2

DD2IRD?_pr)BP2+(l-m)2-m2=,，整理得

所以在△3PD中，由余弦定理得cos8=^-BPBD

2-2BP(l-m)2

BP2=

...八...—x+1(2—x)~—3(2—x)+33

設(shè)BoPn=x,。<x<1,c所r以m=-------=----L-----------------=2-x+------3,

2—x2—x2—x

由于故l42-x42,

所以/〃=2-x+二一—3>2>/3-3,當(dāng)且僅當(dāng)2-x=H-=6時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=2-0，

2-x2-x

所以A。的最小值為2百一3.

19.如圖，已知圓錐P—A8C,AB是底面圓。的直徑，且長為4,C是圓O上異于A,8的一點(diǎn),

PA=26.設(shè)二面角P—AC-8與二面角P—3C—A的大小分別為a與力.

11

(1)求-------2-----------------2的值;

tan-atan"(3

（2）若tan￡=0tana，求二面角A-PC—3的余弦值.

【答案】（1）y

（2）一叵

33

【解析】

c11

【分析】（1）作出名〃，從而求得——+—可的值.

tan-atan-/7

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面PAC和平面P8C的法向量，計(jì)算出二面角A—PC—3的余弦

值.

【小問1詳解】

連結(jié)PO.

因?yàn)辄c(diǎn)P為圓錐的頂點(diǎn)，所以P01平面ABC.

分別取AC,BC的中點(diǎn)〃，N,

連接PM，OM,PN,ON,則在圓。中，OM±AC.

由尸01平面ABC,得POLAC.

又POOM=O,故AC_L平面PMO,

所以AC_LPM.

所以NPA/0=a.

同理，ZPNO=J3.

于是高+熹=（黑）+（器）=（篇=/^^弓

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

幾何法求解二面角，要根據(jù)二面角的定義來求解；向量法求解二面角，關(guān)鍵是求得二面角的兩個(gè)半平面

的法向量，并且要注意二面角是銳角還是鈍角.

20.已知拋物線C：f=2py(p>o)的焦點(diǎn)為為C上的動(dòng)點(diǎn)，EQ垂直于動(dòng)直線y=(<0),垂

足為Q,當(dāng)△EQE為等邊三角形時(shí)，其面積為4G.

(1)求C的方程；

22

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線/與C相切，且與橢圓二+二=1交于兩點(diǎn)，直線。Q與AB交

42

于點(diǎn)加，試問：是否存在/,使得=若存在，求，的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)x2=4y；

(2)f=-l.

【解析】

【分析】(D根據(jù)正三角形得三角形的邊長，再根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解；

(2)設(shè)則Q(x0,f),可得％。°=,，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得勺=4%,設(shè)A(5，x),

、4Jxo2

k

川私外)，中點(diǎn)旦］,由點(diǎn)差法可得OM=-—，從而可以求出J

122yz2%

【小問1詳解】

/XEQF為等邊三角形時(shí)，其面積為4百，

.".1x|EQ|2sin^=4^3,解得怛°|=4,

根據(jù)|EF|=|EQ|和拋物線的定義可知，。落在準(zhǔn)線上，即y=/=-g

??.(7的方程為k=4"

【小問2詳解】

假設(shè)存在，，使得|4W|=|BM，則M線為段A3的中點(diǎn),

設(shè)Ex0,^-J（x0工0）,依題意得。（拓J）,則kOQ=F

由y=工可得y=二，所以切線/的斜率為勺=一/，

422

設(shè)A（x,，X）,3（/,%），線段的中點(diǎn)M（西；必

（22

王+里=1,,,,

由［4222，可得上立+上應(yīng)?=（），

二+五=］42

I42

所以（%+々）（4一%2）+（乂+%）（%一%）=0

42

整理可得：-y,-3y,?y,七+y區(qū),=-J1,即％//?！?_彳1，所以1彳/?.=_彳1，

u

x,-x2xx+x22222

可得生M=---＞又因?yàn)閗°Q=k0M=L,

/尤0

,,1

所以當(dāng)f=-l時(shí)，k0Q=J=--一，此時(shí)O,M,Q三點(diǎn)共線，滿足〃為AB的中點(diǎn)，

X。

綜上，存在/,使得點(diǎn)”為A3的中點(diǎn)恒成立，t=-\.

21.第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝

法國隊(duì)獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

Q/W

（i）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，

2

門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有］的可

能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期

望；

（2）好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下

開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如

此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為外，易知

Pi=1,P2=0?

①試證明：為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為q,?比較“0與00的大小.

【答案】（1）分布列見解析；期望為1

3

（2）①證明見解析；②”[0<%0

【解析】

【分析】（1）方法一：先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；

1\

工-!

方法二：判斷X~B97結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列和期望公式確定結(jié)論;

（2）①記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為外,則當(dāng)〃22時(shí)，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率

為Pi，由條件確定的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明;

②由①求出色o4o，比較其大小即可.

【小問1詳解】

方法一：X的所有可能取值為04,2,3,

在一次撲球中，撲到點(diǎn)球的概率尸='XLXLX3=?，

3339

所以p（x=o）=cr「變,p（x=i）=c；1q=%,

'）A9j729\）39V9J729

z1\28z1\

/_r1i

n--24-)=

P(X=2=C；9997

\7-729xk

所以X的分布列如下:

X0123

512192241

P

729729729729

1

E（X）=口X1+*X2+LX3=^

7297297297293

方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點(diǎn)球的概率為p=="

門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0」,2,3,易知X?B（3,g

所以P(X=〃)=C；x-x-，女=0,1,2,3,

19,

故X的分布列為:

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E（X）=3x：=；.

【小問2詳解】

①第”次傳球之前球在甲腳下的概率為P”,

則當(dāng)〃N2時(shí)，第n—1次傳球之前球在甲腳下的概率為P,i，

第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-P,i，

則Pn=Pn-\X0+(1_)Xg=p,i+g,

即p—1If?一",又p「廠1屋2

所以｛p“一;｝是以I為首項(xiàng)，公比為-g的等比數(shù)列.

2(1Y-112(1V11

②由①可知p“=*--所以化0=*--

3312,33

一"\1「22(1丫11

所以4o=5(1_80)=5Z-T-->--

故〃10<%0?

22.己知函數(shù)/'(%)，g(x)=lnx+a(Q￡R).

(1)若直線>=X是y=g(x)的切線，函數(shù)p(x)=1z/總存在玉<々，使得

F(^)+F(X2)=2,求玉+E(X2)的取值范圍；

(2)設(shè)G(x)=〃x)—g(x),若|G(x)=b恰有三個(gè)不等實(shí)根，證明：a--<b<2a-2.

【答案】⑴(―,2)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出。，然后分析出",占的范圍，最后將玉+廠(%)化成只含有々

的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解；

(2)|G(x)=〃恰有三個(gè)不等實(shí)根，顯然不能G(x)的極小值非負(fù)，討論參數(shù)。的范圍，當(dāng)G(x