河北省保定市競秀區(qū)2023年數(shù)學(xué)九年級上冊期末考試試題含解析

河北省保定市競秀區(qū)2023年數(shù)學(xué)九上期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，點。是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，AB=AC,若將△480繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)到△4CE的位置，則N4E0

的度數(shù)為（）

C

fK

-----

A.25°B.30°C.40°D.45°

k

2.若反比例函數(shù)y伏。0）的圖象過點（-2,1）,則這個函數(shù)的圖象一定過點（）

A.（2,-1）B.（2,1）C.（-2,-1）D.（1,2）

3.如果零上2℃記作+2C,那么零下3℃記作（）

A.一3℃B.-2℃C.+3℃D.+2℃

4.判斷一元二次方程2/=5x—3是否有實數(shù)解，計算4ac的值是（）

A.-1B.1C.-49D.49

5.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+J』x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k>-3B.k2-3C.k》0D.k》l

6.已知拋物線），=：x2+i具有如下性質(zhì):拋物線上任意一點到定點F（O,2）的距離與到x軸的距離相等.如圖點M的

坐標(biāo)為（3,6）,P是拋物線y=；f+l上一動點，則周長的最小值是（）

A.5B.9C.11D.1

7.如圖，已知矩形。鉆。的面積是200,它的對角線QB與雙曲線y=?x>0）圖象交于點O,且00:03=3:2,

則％值是（）

C.36D.72

8.如圖，AABC中，ZABC=50°,ZACB=60°,點。是AABC的外心.則NBOC=()

C.140°D.125°

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的表達(dá)式是丁="+6（2七）,它與兩坐標(biāo)軸分別交于C、O兩點，且NOCD

=60。，設(shè)點A的坐標(biāo)為（m,0）,若以A為圓心，2為半徑的。A與直線/相交于M、N兩點，當(dāng)MN=2近時，機的

值為（）

A.2y/3--yf6B.2V3-—C.2g2瓜或26+馬8D.273-—^273+—

333333

4

10.如圖，在AABC中，ADJ_BC交BC于點D,AD=BD,若AB=4及，tanC=-,貝！IBC=()

A.8B.8X/2C.7D.772

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如果函數(shù)y=（攵-3）_/-7+"+i是二次函數(shù)，那么k的值一定是

12.關(guān)于X的一元二次方程％2—2x+加=0的二根為X”%，且才一%+々=3%工2，則，"=.

13.在一個不透明的盒子中裝有6個白球，x個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若從中隨機摸出一個球，摸

2

到白球的概率為屋則x=.

14.如圖，點尸在函數(shù)的圖象上，RLJ_x軸于點4,尸軸于點3,且AAP3的面積為4,則4等于.

15.我國經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一道名題，就是“引葭赴岸”問題，（如圖）題目是：“今有池方一丈，葭

生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”

題意是：有一正方形池塘，邊長為一丈，有棵蘆葦長在它的正中央，高出水面部分有一尺長，把蘆葦拉向岸邊，恰好

碰到岸沿，問水深和蘆葦長各是多少？（小知識：1丈=10尺）

如果設(shè)水深為x尺，則蘆葦長用含x的代數(shù)式可表示為尺，根據(jù)題意列方程為.

16.如圖，在AABC中，D為AC邊上一點，且NDBA=NC,若AD=2cm,AB=4cm,那么CD的長等于cm.

17.如圖，04、08是。。的半徑，CA.C方是。。的弦，ZACB=35°,OA=2,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)

果保留R）

18.如圖，AO是。的直徑，弦3c與弦CD長度相同，已知NA=60。，則NDOC=.

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖，在AABC中，AB=BC,D是AC中點，BE平分NABD交AC于點E,點O是AB上一點，。0

過B、E兩點,交BD于點G,交AB于點F.

（1）判斷直線AC與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)BD=6,AB=10時，求。。的半徑.

20.（6分）如圖，屬是ABC的角平分線，延長8E至點。，使得BC=CD.求證：7ABE:NCDE.

D

21.（6分）經(jīng)過點A（4,1）的直線與反比例函數(shù)y=上的圖象交于點A、C,AB，y軸，垂足為B,連接BC.

x

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若AABC的面積為6,求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，點P在雙曲線位于第一象限的圖象上，若NPAC=90。，則點P的坐標(biāo)是

22.(8分)如圖，一次函數(shù)y=Ax+6(?,b為常數(shù)，原0)的圖象與反比例函數(shù)V=-一的圖象交于A、B兩點,且與x

x

軸交于點C,與y軸交于點。，A點的橫坐標(biāo)與3點的縱坐標(biāo)都是3.

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△408的面積；

12

⑶寫出不等式Ax+b>-—的解集.

23.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程/+2]+〃?一1=0的兩實數(shù)根分別為占,々.

(1)求m的取值范圍;

(2)若%+工2+%X2+5=0,求方程的兩個根.

24.(8分)如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M,與BC相交于點N.連接BM,

DN.

(1)求證：四邊形BMDN是菱形；

⑵若AB=4,AD=8,求MD的長.

(2)6COS2450-2tan30°?tan60°.

26.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZkABC的頂點坐標(biāo)分別為A(-2,-4)、B(0,-4)、C(1,-2).

(0△A8C關(guān)于原點O對稱的圖形是由iG,不用畫圖，請直接寫出△481G的頂點坐標(biāo)：Ai,Bi

Ci；

(2)在圖中畫出△ABC關(guān)于原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2G,請直接寫出△4&G的頂點坐標(biāo)：A2

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、D

【分析】由題意可以判斷4ADE為等腰直角三角形，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知：NEAD=NCAB,AE=AD；

???△ABC為直角三角形，

.?.NCAB=90。，AADE為等腰直角三角形，

，NAED=45°,

故選：D.

【點睛】

該題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).

2、A

k2

【解析】先把(-2,1)代入尸一求出k得到反比例函數(shù)解析式為y=—-,然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,

XX

通過計算各點的橫縱坐標(biāo)的積進(jìn)行判斷.

【詳解】把(-2,1)代入y=勺得k=-2Xl=-2,

x

2

所以反比例函數(shù)解析式為y=--，

x

因為2X(-1)=-2,2X1=2,-2X(-1)=2,1X2=2,

2

所以點(2,-1)在反比例函數(shù)尸--的圖象上.

x

故選A.

【點睛】

k

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=—(k為常數(shù)，k#0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(x,

x

y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.

3、A

【分析】一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示.

【詳解】?.?“正”和“負(fù)”相對，.?.如果零上2"C記作+2℃,那么零下3℃記作一3℃.

故選A.

4、B

【解析】首先將一元二次方程化為一般式，然后直接計算判別式即可.

【詳解】一元二次方程可化為：2V—5x+3=0

4ac=(-5)2-4x2x3=l

故答案為B.

【點睛】

此題主要考查一元二次方程的根的判別式的求解，熟練掌握，即可解題.

5、D

【解析】根據(jù)2)且A-12()列式求解即可.

【詳解】由題意得

(jm)2-4XlX(-l)>0且JM20,

解之得

kn.

故選D.

【點睛】

本題考查了一元二次方程ax2+%x+c=0(aWO)的根的判別式A=^-4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系

式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)A>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

當(dāng)△<()時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

6、C

【分析】作過P作77/_Lx軸于點”，過點用作97_1》軸于點“'，交拋物線=+1于點p,由PF=PH

4

結(jié)合，結(jié)合點到直線之間垂線段最短及MF為定值，即可得出當(dāng)點P運動到點P，時，△PMF周長取最小值，再由點尸、

用的坐標(biāo)即可得出MH'的長度，進(jìn)而得出APM/周長的最小值.

【詳解】解：作過「作P"_Lx軸于點”，

由題意可知：PF=PH,

A"MF局長=MF+MP+PF=MF+MP+PH，

又???點到直線之間垂線段最短，

...當(dāng)M、P、H三點共線時MP+PH最小，此時APA1尸周長取最小值，

過點M作MHJ.X軸于點”‘，交拋物線y=Lf+i于點p,此時周長最小值，

-4

尸(0,2)、M(3,6),

;.MH'=6,FM=7(3-0)2+(6-2)2=5?

APMF周長的最小值=ME+RW=6+5=11.

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及點到直線的距離，根據(jù)點到直線之間垂線段最短找出

△PMF周長的取最小值時點P的位置是解題的關(guān)鍵.

7、D

【分析】過點D作DE〃AB交AO于點E,通過平行線分線段成比例求出。瓦OE的長度，從而確定點D的坐標(biāo)，代

入到解析式中得到k的值，最后利用矩形的面積即可得出答案.

【詳解】過點D作DE〃AB交AO于點E

VDE/7AB

.OEDEOD

"OA~AB~OB

?：OD:DB=3:2

.OEDEOD_3

OA~AB~OB-5

33

：.OE=-OA,DE=-AB

33

AD(-OA,-AB)

?.?點口在丫=々尤＞0)上

x

33

：.k=-OA-AB

55

VQ4.AB=2(X)

99

；.k=—OA-AB=—x200=72

2525

故選D

【點睛】

本題主要考查平行線分線段成比例及反比例函數(shù)，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

8、C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA=70。,根據(jù)圓周角定理解答即可.

【詳解】解：VZABC=50°,ZACB=60°

二ZA=70°

?.?點O是4ABC的外心，

.IZBOC=2NA=140°,

故選:C

【點睛】

本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、外心的定義和圓周角定理.

9、C

【分析】根據(jù)題意先求得。0、0C的長，分兩種情況討論：①當(dāng)點在直線/的左側(cè)時，利用勾股定理求得AG,利

用銳角三角函數(shù)求得AC,即可求得答案；②當(dāng)點在直線/的右側(cè)時，同理可求得答案.

【詳解】令x=0,貝!|y=6,點D的坐標(biāo)為（0,6）,OD=6,

'：NOCO=60",

OP_6

:.oc=2技

tan600也

分兩種情況討論：

①當(dāng)點在直線/的左側(cè)時：如圖,

過A作AGJ_CZ）于G,

,:AM=AN=2,MN=26，

AMG=GN=、MN=近,

2

：,AG=ylAM2-MG2=夜，

在RfAGC中，ZACG=60",

AC」的=夜=29

一sin60。一耳一亍，

V

：.OA=OC-AC=2拒-乙娓,

3

m-2>/3—>/6,

3

②當(dāng)點在直線/的右側(cè)時：如圖，

過A作AG_L直線/于G,

'：AM=AN^2,MN=2叵,

:.MG=GN=LMN=6,

2

,AG=VAM2-MG2=,_（亞j=血,

在RfAGC中，NACG=60。，

一=*一0=2后

二一sin60。一班―亍，

T

：.OA=OC+AC^2y/3+-46,

3

2

**?m=2\^34—\/69

3

綜上：，〃的值為：2A#）或2乖＞Ay[6.

33

故選：C.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，勾股定理，銳角三角函數(shù)，分類討論、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10、C

【分析】證出AABD是等腰直角三角形，得出AD=BD=WAB=4,由三角函數(shù)定義求出CD=3,即可得出答案.

2

【詳解】解：AD上BC交BC于點D,AD=BD,

.?.43。是等腰直角三角形，

:.AD=BD=—AB=4,

2

CD=3,

:.BC=BD+CD=7；

故選：c.

【點睛】

本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)定義；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)定

義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、-1

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可.

【詳解】???函數(shù)y=（左一3）/J7+劣+1是二次函數(shù),

.*.k2-7=2,k-WO

解得k=-l.

故答案為：-1.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確把握二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

1

12、一

2

【分析】先降次，再利用韋達(dá)定理計算即可得出答案.

2

【詳解】VX的一元二次方程x-2x+m=0的二根為內(nèi)，”

；?（玉>=2xl-m

:.—m-%]+x2=3X}X2

m=

xx+%2~3X]X2

又%+%=2,x1x2=m

代入得2=3〃z

解得：m=g

2

故答案為!.

2

【點睛】

本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若X的一元二次方程℃2+法+c=o的二根為4與，則為+々=—二，

a

_￡

人xIx八-)~~?

■a

13、1

【分析】直接以概率求法得出關(guān)于x的等式進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：由題意得：—一=』，

解得x=3,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了概率的意義，正確把握概率的求解公式是解題的關(guān)鍵.

14、-1

【解析】由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義結(jié)合AAP8的面積為4即可得出k=±

1,再根據(jù)反比例函數(shù)在第二象限有圖象即可得出k=-1,此題得解.

【詳解】?.?點尸在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點A,軸于點B,

X

1

：.S^APB=-\k\=4,

:?k=±l.

又???反比例函數(shù)在第二象限有圖象，

:?k=-1.

故答案為-1.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握“在反比例函數(shù)y=士圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y

X

軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值陽是解題的關(guān)鍵.

15、(x+1)；x2+52=(x+1)2.

【解析】試題分析：設(shè)水深為X尺，則蘆葦長用含X的代數(shù)式可表示為(X+1)尺，根據(jù)題意列方程為V+52=(X+1)2.

故答案為（x+1）,X2+52=（X+1）2.

考點：由實際問題抽象出一元二次方程；勾股定理的應(yīng)用.

16、1

AnAR

【解析】由條件可證得△ABCS/SAOB,可得到——,從而可求得AC的長，最后計算的長.

ABAC

【詳解】'：ZDBA=ZC,NA是公共角，.,.△ABCs△405,.?.歿=〃_,即冬=0-,解得：AC=8,：.CD=8-

ABAC4AC

2=1.

故答案為：L

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握利用兩組角對應(yīng)相等可判定兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵.

77

17,——

9

【分析】利用扇形的面積公式計算即可.

【詳解】,：ZAOB=2ZACB=70°,

.＜、70兀"_7冗

3609

7TT

故答案為三.

【點睛】

本題主要考查扇形的面積公式，求出扇形的圓心角是解題的關(guān)鍵.

18、60°

【分析】連接BD交OC與E,得出乙48。=90°,從而得出NAD5=30。；再根據(jù)弦BC與弦CO長度相同得出

BD1OC,即可得出NOOC的度數(shù).

連接BD交OC與E

AD是。的直徑

ZABD=90°

ZA=60°

ZADB=30°

弦8c與弦CO長度相同

???BDLOC

NOOC=9()°—30°=6()°

故答案為600.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，輔助線得出乙鉆。=90。是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共66分）

19、（1）（1）AC與。O相切，證明見解析；（2）0O半徑是

4

【解析】試題分析：（1）連結(jié)OE,如圖，由BE平分NABD得到NOBE=NDBO,加上NOBE=NOEB,則ZOBE=ZDBO,

于是可判斷OE〃BD,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到BDJ_AC,所以O(shè)E_LAC,于是根據(jù)切線的判定定理可得AC與

（30相切；

（2）設(shè)OO半徑為r,則AO=10-r,證明AAOEsaABD,利用相似比得到-----=—,然后解方程求出r即可.

106

試題解析：（DAC與。O相切.理由如下：

連結(jié)OE,如圖，

TBE平分NABD,

二NOBE=NDBO,

VOE=OB,

:.NOBE=NOEB,

二NOBE=NDBO,

，OE〃BD,

VAB=BC,D是AC中點，

；.BDJ_AC,

AOEIAC,

.??AC與。O相切；

（2）設(shè)（DO半徑為r,則AO=10-r,

由（1）知，OE〃BD,

.?.△AOEsaABD,

AOOE10-rr

：.——=——,即an-----=一,

ABBD106

.15

..r=—，

4

即。O半徑是?.

4

D

考點：圓切線的判定：相似經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過

圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.解決(2)小題的關(guān)鍵是利用相似比構(gòu)建方程.

20、證明見解析.

【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得NABE=NC8￡,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NCDE=NCBE,從而可得

ZABE=NCDE,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證.

【詳解】BE是A8C的角平分線

：.ZABE=ZCBE

BC=CD

:"CDE=/CBE

:.ZABE^ZCDE

又ZAEB=ZCED

：NABE:VCDE.

【點睛】

本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

411

21、(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-(2)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=—x-1；(3)(-,8).

x22

【分析】(1)將點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式中，即可得出結(jié)論；

(2)先求出AB,設(shè)出點C的縱坐標(biāo)，利用AABC的面積為6,求出點C縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)表達(dá)式中，求出

點C坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；

(3)先求出直線AP的解析式，再和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)???點A(4,1)在反比例函數(shù)y=V的圖象上，

.\k=4xl=4,

4

.?.反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-；

(2)設(shè)點C的縱坐標(biāo)為m,

：AB_Ly軸，A(4,1),

，AB=4,

VAABC的面積為6,

/.-ABx(1-m)=6,

4

由(1)知，反比例函數(shù)的表達(dá)式為丫=一，

x

...點C的縱坐標(biāo)為：-2,

.,.點C(-2,-2),

設(shè)直線AC的解析式為y=k'x+b,

4k'+b=l

將點A(4,1),C(-2,-2)代入y=k'x+b中,

-2k'+b=-2

：.<2,

b=-l

二直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=-1；

(3)由(2)知直線AC的函數(shù)表達(dá)式為丫=^*-

VZPAC=90°,

AAC±AP,

???設(shè)直線AP的解析式為y=-2x+b\

將A(4,1)代入y=-2x+b‘中，-8+b'=L

，b'=9,

，直線AP的解析式為y=-2x+9①，

4

由(1)知，反比例函數(shù)的表達(dá)式為丫=一②，

x

Cf1

x=4Ax=—

聯(lián)立①②解得，?(舍)或2,

g[y=8

工點P的坐標(biāo)為(,，8),

2

故答案為：（一，8）.

2

【點睛】

考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，方程組的解法，用方程或方程組的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

7

22、（l）j=-X-1；（2）4AOB的面積為萬；（3）xV-4或0VxV3.

【解析】（1）先根據(jù)A點的橫坐標(biāo)與5點的縱坐標(biāo)都是3,求出A,B,再把A,B的值代入解析式即可解答

（2）先求出C的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可解答

（3）一次函數(shù)大于反比例函數(shù)即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的上邊時，對應(yīng)的x的取值范圍；

12

【詳解】（I；?一次函數(shù)7=丘+伙七b為常數(shù)，寫0）的圖象與反比例函數(shù)V=--的圖象交于4、8兩點，

且與X軸交于點C,與y軸交于點o,A點的橫坐標(biāo)與8點的縱坐標(biāo)都是3,

.?.3=上，

x

解得：x=-4,

12

y=-=-4,

故5(-4,3),A(3,-4),

把A,5點代入^=履+/>得:

-4k+b=3

3人+人=一4’

k=-\

解得：

故直線解析式為：J=-X-1；

（2）y=-x-1,當(dāng)y=0時，x=-1,

故。點坐標(biāo)為：（-1,0）,

,117

則AAO5的面積為：一xlx3+—xlx4=—；

222

12

⑶不等式kx+b>——的解集為：xV-4或0<x<3.

x

【點睛】

此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題關(guān)鍵在于把已知點代入解析式

23、(1)m<2；(2)原方程的兩根是-3和1.

【分析】(1)根據(jù)根的判別式求出的取值范圍；

(2)將再，Xz代入方程，求得玉+Z+2=0,再根據(jù)石+%2+玉*2+5=