湘教版高中數(shù)學(xué)必修二知識點(diǎn)清單

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第1章平面向量及其應(yīng)用

1.1向量

一、向量的物理背景

1.位移是物理學(xué)中的基本量之一，也是幾何研究的重要對象.研究物體運(yùn)動時，通常

把物體當(dāng)作一個質(zhì)點(diǎn)，用點(diǎn)來表示物體的位置.質(zhì)點(diǎn)從位置A運(yùn)動到位置B,位置的

改變稱為位移.

2.理解位移，要把握三個方面：

①位移由方向和大小唯一確定；

②位移只與質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置相關(guān)，而與實(shí)際運(yùn)動路線無關(guān)；

③兩個位移相等指的是方向相同而且大小相等.

3.物理學(xué)中許多需要考慮大小和方向的量，如速度、加速度、力等.

二、向量的基本要素及幾何表示

1.有向線段

像崩這樣具有方向的線段，稱為有向線段，有向線段品的長度記作|品/

B

有向線段包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度.一

A

2.向量A

像位移這樣既有大小又有方向的量，在數(shù)學(xué)中稱為向量.

向量的幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的方向和長度分別代表了向量的方向和大小.

向量的字母表示：向量用粗體字母任［1刷）或在字母上方標(biāo)箭頭（書寫）來表示，如向量a,b,F,a,

b,F.

3.向量的模

向量a的大小，也就是向量a的長度，稱為a的模，記作|a|.

三、向量的相等

1.相等向量：我們把方向相同、長度相等的向量稱為相等向量.

2.相反向量：我們把長度相等、方向相反的向量a,b稱為相反向量，記作b=-a.

如果b=-a,則同樣也有a=-b.

3.零向量：如果向量a的大小|a|=0,就稱a是零向量，記作0.

我們約定，所有的零向量相等，且零向量的方向是任意的.

四、向量相等及其應(yīng)用

1.向量相等具有傳遞性，即a=b,b=c,則a=c.

2.相等向量與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，只看長度和方向.

3.在幾何圖形中尋找相等向量的方法，先找出與表示已知向量的有向線段平行或在同一直線上且

長度與已知向量長度相等的線段，再構(gòu)造同向或反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向

線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

1.2向量的加法

一、向量的加法

1.三角形法則

已知兩個非零向量a,b,在平面上任取一點(diǎn)0,分別

向量的加法法作UX=a,AB=b,

文字語言

則

則定義從0到B的向量而為a,b

的和，記作a+b.即a+b=OA+AB=OB

,B

向量的加法法bh/a+b

圖形表示

則

aaA

a,a

特殊情形（a與b的方向相b_b

同或相反）ab,...-,

---a+Fb~a+ba

向量的加法求向量和的運(yùn)算稱為向量的加法.兩個向量的和仍是一個向量

向量加法的三將兩個向量表示為首尾相接的有向線段來求和的作圖法則叫作

角形法則向量加法的三角形法則

2.平行四邊形法則

條件對于方向既不相同也不相反的非零向量a,b,可用平行四邊形法則求和

文字從￡廠點(diǎn)0出發(fā)作有向線呼=2,OB=b,以O(shè)A,0B為鄰邊作平行四邊形OACB,則對角

語言線玩就是a與b的和，即玩=a+b

~B~

圖形ba+b/，

3.加法運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a對任意兩個向量a,b成立.

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)對任意三個向量a,b,c成立.

4.零向量的加法性質(zhì)

任意向量與零向量相加后保持不變，等于這個向量本身，即a+O=O+a=a.

如果兩個向量之和為0,即a+b=0,則a與b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，記作b=-a.

當(dāng)然a也是b的相反向量,因此a=-b=-(-a).

5.n個向量相加

如圖所示，在n邊形A也…A"中，有A]A；+A2A；+…+An_iA：=A]A；,

則A1A2+A2A3+…+An_iAn+AnAi=0,4..

n-1

4J

二、向量的減法人

1.向量減法的定義公、一二A

、、<4A

已知兩個向量a,b,求x滿足a+x=b,這樣的運(yùn)算叫作向量的減法，記為x=b-a,'3

x稱為b與a之差.

2.向量的減法法則

減去一個向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a).

.__,__?__,A

已知向量a與b,在平面上任取一點(diǎn)0,作OA=a,OB=b,則AB=b-a,b-a

即b-a表示從向量a的終點(diǎn)指向向量b的終點(diǎn)的向量.a,8

三、向量的加減法運(yùn)算及其應(yīng)用/b

1.利用已知向量表示其他向量的思路0

解決這類問題時，要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運(yùn)用向量加、減法法則和相等向量的定義，同時注

意向量的方向及運(yùn)算式中向量之間的關(guān)系.當(dāng)運(yùn)用三角形法則時，要注意兩個向量首尾順次相接，

當(dāng)兩個向量共起點(diǎn)時，可以考慮用減法.

任意一個非零向量一定可以表示為兩個向量的和(差)，即通=前+而，AB=NB-NA

(M,N均是同一平面內(nèi)的任意點(diǎn)).

四、向量形式的三角不等式

⑴當(dāng)向量a,b方向既不相同也不相反時，作隹=a,AB=b,則a+b=而，如圖1所示.根據(jù)三角

形的三邊關(guān)系，有||aHb|系|a+b|<|a|+|b|.

圖1圖2圖3

(2)當(dāng)a與b方向相同或a,b中至少有一個為零向量時，如圖2所示，此時,a+b|=|a|+|b|.

(3)當(dāng)a與b方向相反或a,b中至少有一個為零向量時，不妨設(shè)|a|2|b|,如圖3所示，此時

|a+b|=||a|-|b||.

故對于任意向量a,b,總有||a向量||W|a+b|W|a"|b|①.

因?yàn)閨a-b|=|a+(-b)I?所以|a-b|^|aI+1-b|,即|a-b|W|a|+|b|②.

將①②兩式結(jié)合，可得土b|W|a|+|b|,我們稱之為向量形式的三角不等式.

1.3向量的數(shù)乘

一、向量的實(shí)數(shù)倍

1.向量的數(shù)乘

定義求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘

長度Xa=X1a

:

芻入#0且aWO時，入a的方向

方向［當(dāng)人>0時，與a同向，

當(dāng)入V0時，與a反向

幾何意義把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小

特殊情況當(dāng)入=0或a=0時，A,a=0a=0或入a=A0=0

2.向量的線性運(yùn)算

我們把向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量.

二、共線向量

1.共線向量的定義

當(dāng)非零向量a,b方向相同或相反時，我們既稱a,b共線，也稱a,b平行，并且用符號“〃”來

表示它們共線（或平行），記作a//b.

規(guī)定：零向量與所有的向量平行.

2.由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以推知：兩個向量平行=其中一個向量是另一個向量的實(shí)數(shù)倍.

即a〃bo存在實(shí)數(shù)入，使得b=入a或a=入b.

3.兩向量的夾角

如圖所示，設(shè)a,b是兩個非零向量，任選一點(diǎn)0,作嬴=a,OB=b,則射線0A,0B所夾的最小非

負(fù)角NAOB=0稱為向量a,b的夾角，記作<a,b>,取值范圍規(guī)定為［0,n］.在這個規(guī)定下，兩個

向量的夾角被唯一確定了，并有<a,b>=<b,a>.

A

bB

e

當(dāng)0=0時，a,b方向相同；當(dāng)0=n時，a,b方向相反.這兩種情形下a,b所在直線重合，即a,

b共線.當(dāng)時，a,b所在直線相交于點(diǎn)0,即a,b不共線，特別地，當(dāng)0音時，a與b垂

直，記作a，b.

規(guī)定：零向量與任一向量垂直.

三、共線向量的運(yùn)算

1.單位向量

我們把長度為1的向量稱為單位向量.它的長度等于單位長度.對于任一非零向量a,都可得到與

它方向相同的唯一單位向量e=^-a.

|a|

2.共線向量的運(yùn)算

一般地，在一條直線上任取單位向量e,則直線上任何向量a都可寫成2=26,其中實(shí)

數(shù)a的絕對值⑸代表向量a的模，a的正負(fù)代表a與e的方向相同或相反.反過來，任意給定一個

實(shí)數(shù)a,我們總能作一個向量a=ae,使它的長度等于這個實(shí)數(shù)a的絕對值，方向與實(shí)數(shù)a的符號一

致.

四、數(shù)乘運(yùn)算律

1.數(shù)乘運(yùn)算律

一般地，設(shè)a,b是任意向量，x,y是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：

(1)對實(shí)數(shù)加法的分配律：(x+y)a=xa+ya.

(2)對實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律：x(ya)=(xy)a.

(3)對向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb.

2.幾個常用結(jié)論

(1)表示線段AB中點(diǎn)P位置的向量而等于表示線段兩個端點(diǎn)A,B位置的向量鼐，麗的平均值；

(OA+OB)(0為線段AB外一點(diǎn)).

(2)表示4ABC的重心G的位置的向量方等于表示三角形三個頂點(diǎn)A,B,C位置的向量UX,OB,

玩的平均值》(OA+OB+OC)(0>gAABC外任一點(diǎn)).

五、向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算是向量的基本運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是向量.向量的線性運(yùn)算可以類比實(shí)數(shù)的運(yùn)

算進(jìn)行.用已知向量表示未知向量時，通常要結(jié)合圖形的特點(diǎn)，把未知向量放到三角形或平行四邊

形中，適當(dāng)?shù)剡x擇向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算來求解，有時還需借助共線向量來解決.

六、共線向量的理解及應(yīng)用

1.共線向量定理的理解

⑴由于任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量與共線向量是等價(jià)的，要注

意避免向量平行與平面幾何中的直線平行相混淆.平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以

重合的.

(2)向量的平行不具有傳遞性，若2〃1),b〃c,未必有a〃c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?，?dāng)b=0

時，a,c可以是任意向量，所以a與c不一定平行，但若bWO,則必有a〃b,b〃c=a〃c.因此，

解答問題時要看清題目中是任意向量還是任意非零向量.

(3)共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

2.共線向量定理的應(yīng)用

(1)判定平面幾何中的共線或平行關(guān)系，可用向量的數(shù)乘運(yùn)算來描述，即對于線段AB與CD,如果存

在實(shí)數(shù)、,使得擊=XAB,則AB與CD共線或平行.

(2)一般地，要判斷A,B,C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)X,使得品=入說(或反=入魂等).

(3)平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)入，口，使得沃=入市+口而，其中X+u=l,

點(diǎn)0為平面內(nèi)一點(diǎn).

事實(shí)上，若三點(diǎn)A,B,C共線，則一定存在實(shí)數(shù)m使得說=i同，即衣-加』(而-嬴)，從而玩=(l-m)

OA+mOB,令A(yù),=l-m,u=m,貝U入+u=(bm)+m=l.

1.4向量的分解與坐標(biāo)表示

一、平面向量基本定理

1.設(shè)e”e2是平面上兩個不共線向量，則

⑴平面上每個向量v都可以分解為e”e?的實(shí)數(shù)倍之和，即丫=乂.+丫02,其中x,y是實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)x,y由v=xe1+ye2唯一決定.也就是：如果v=xei+ye.=x，e1+y，e?,則x=x',y=y'.

2.我們稱不共線向量e”ez組成平面上的一組基｛,，e?｝,分解式v=xe】+ye2中的系數(shù)x,y組成的

有序數(shù)組(x,y),稱為v在這組基下的坐標(biāo).

取定了平面上一組基｛e“e?｝之后，可以將平面上每個向量v用它在這組基下的坐標(biāo)來表示，記為

v=(x,y).

二、平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示

1.正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.

2.標(biāo)準(zhǔn)正交基：平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作｛i,j｝.

顯然i=(l,0),j=(0,1).外

3.平面向量與有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系

⑴如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)0為起點(diǎn)作通=a,.a\

則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.qiF7x

設(shè)玄=x'i+y'j,則向量鼐的坐標(biāo)(x',y')就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐火

(x',y')也就是向量鼐的坐標(biāo).

因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一個有序數(shù)對唯一表示.

(2)設(shè)單位向量e”e?的夾角3，e2>=90°,非零向量v的模|v|=r,且v>=a,則v=(rcosa,

rsina).

三、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

(1)兩個向量a=(x,y),b=(x2,y?)的和(或差)的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(或

差)，即a±b=(x”yi)±(x2,y2)=(xl±x2,yi±y2).

(2)一個實(shí)數(shù)X與向量a=(x,y)的積的坐標(biāo)等于這個數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)，

即Xa=X(x,y)=(Xx,入y).

⑶在平面直角坐標(biāo)系中，向量風(fēng)的坐標(biāo)等于終點(diǎn)Q的坐標(biāo)區(qū)，yj減去起點(diǎn)P的坐

標(biāo)(xi,y),BPPQ=(X2-X1>y2-yi).

2.向量平行的坐標(biāo)表示

向量麗=(x“y),CD=(X2,yj平行(也就是共線),可以直接用(x“y,)//(x2,y。來表示.這意味

著其中一個坐標(biāo)是另一個坐標(biāo)的實(shí)數(shù)倍，因此x?尸丫兇成立.

即(X”Y))//(x2,y2)<^Xiy2-y1x2=0.

3.常用結(jié)論

⑴中點(diǎn)向量坐標(biāo)：若A(x“y),B(xz，y),P為AB的中點(diǎn)，則而巫粵(詈，號)(()為坐

標(biāo)原點(diǎn)).

(2)三角形的重心向量坐標(biāo):在AABC中,A(x“y),B(x2,y2),C(x3,y3),若AABC的重心為G,

則而=酶而+耍-(X1+X2+X3,yi+%+y3)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

3\33/

四、平面向量基本定理的應(yīng)用

1.平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用

X1X2>

設(shè)a,b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，X”x2,Y),y2ER,若Xia+yib=X2a+yb則)-這

電=Y2-

個方法應(yīng)用廣泛，常用待定系數(shù)法確定向量.

2.用向量求解平面幾何問題的步驟

(1)選取適當(dāng)?shù)膬蓚€向量作為一組基；

(2)將相關(guān)向量用基表示；

(3)通過向量運(yùn)算得到新的向量關(guān)系式；

(4)將新的向量關(guān)系式“翻譯”成幾何關(guān)系.

五、利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(代數(shù))解決有關(guān)幾何問題

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算一般是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，

則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，在解題的過程中要注意方程思想的運(yùn)用.

2.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解.

1.5向量的數(shù)量積

1.5.1數(shù)量積的定義及計(jì)算

一、平面向量的數(shù)量積

1.設(shè)a,b是任意兩個向量，＜a,b＞是它們的夾角，則定義a?b=|a||b|cos〈a,b＞為a與b的數(shù)量

積.由平面向量夾角的定義可知，＜a,b〉=a的取值范圍為［0,況］.

二、投影向量

1.如圖，作向量UX=a,OB=b,兩個向量的夾角為a,過點(diǎn)B作BB.10A于點(diǎn)B”則而=函+瞄,

其中西與鼐共線.

我們把福稱為熊在方向上的投影向量，投影向量的長度I西1=1而Heosa1稱為投影長.

|OB|cosa刻畫了投影向量的大小和方向，稱為而在嬴方向上的投影.

2.數(shù)量積的幾何意義

一般地，a與b的數(shù)量積等于a的長度周與b在a方向上的投影|b|cosa的乘積，或b的長度|b|

與a在b方向上的投影|a|cosa的乘積.

由此得到利用數(shù)量積計(jì)算b在a方向上的投影|b|cosa的公式：|b|cosa聿.

|a|

三、數(shù)量積的性質(zhì)

1.設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是0,e是與b方向相同的單位向量，則

(l)a?e=e,a=|a|cos9.

(2)aJLb=a,b=0.

⑶當(dāng)a與b同向時，a?b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時,a,b=-1a||b|.

特別地，a?a=|a||a|=Va'a.

(4)|a?b||a||b|.

2.性質(zhì)拓展

(1)(a+b),(a-b)=a2-b2=|a|2-ib|2；

(2)(a±b)2=|a±b|2=a±2a,b+b12=a±2a?b+b'；

四、數(shù)量積的運(yùn)算律

1.設(shè)a,b,c是任意向量，人是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立：

(1)交換律：a?b=b?a；

(2)與數(shù)乘的結(jié)合律：a?(Xb)=X(a?b)；

(3)分配律：a,(b+c)=a?b+a?c.

五、向量數(shù)量積的運(yùn)算

1.求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關(guān)鍵點(diǎn)：模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上向量的線性

運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行化簡.

2.解決幾何圖形中向量數(shù)量積的運(yùn)算問題，要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量，這里的特

殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量.

六、向量數(shù)量積的應(yīng)用

1.根據(jù)公式cos6=蕓計(jì)算非零向量a,b的夾角.

|a||b|

2.對于非零向量a,b,a_Lb=a?b=0,可以用來解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問題.

3.a?a=a2=|a「和|a|=VTG是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).

4.對于平面向量a,b,可以利用公式a?bWKa+b)2-(a-b)2］將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這

兩個向量的“和向量”和''差向量"，再進(jìn)行計(jì)算求解.

1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

一、數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

1.數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a=(x”yj,b=(x2,y2),則a?b=(x”yj?(x2,y2)=x1x2+y1y2.

2.向量的長度的計(jì)算公式

若a=(x,y),則向量a的模(即長度)的公式為a=Va,a=7x2+y2.

3.夾角余弦值的計(jì)算公式

已知兩個非零向量a=(x”y,),b=(x2,y2),則兩向量夾角余弦值的公式為

「Ma'卜〉一|a|b|b一|唇x^就z+yiy花?.

4.垂直條件

已知向量a=(x”yi),b=(x2>y2),則a_Lboa?b=00XiX2+yiy2=0.

5.共線條件

已知向量a=(x”yi),b=(x2,y2),則a〃b=Xiy2-X2yi=0.

二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

1.進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時，通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直接進(jìn)行數(shù)量

積的坐標(biāo)運(yùn)算；二是直接依據(jù)已知條件計(jì)算.

2.對于以平面圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

即可求解.

3.與向量有關(guān)的最值問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決，特別是二次函數(shù)與三角函數(shù)，借助向

量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

三、平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

1.利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題關(guān)鍵在于把其他語言

轉(zhuǎn)化為向量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

2.解決投影向量問題的方法

已知非零向量a=(x”y),b=(x2>y2),則a在b方向上的投影向量為

ab,b_XlX2+yiy2,(xy>)=[(XlX2+yiy2>X2儀62+”2方2]

|b||b|xj+yj",'Lx；+y；'x升及J'

1.6解三角形

一、余弦定理

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方

文字語言

和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

符號語言a2=bJ+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+bJ-2abcosC

222222222

A口「

其他形式cosA=-b-+-c---a-，cosB=-a-+-c----b-,cosC=-a-+-b----c-

2bc2ac2ab

二、正弦定理及常見變形

文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等

符號語言‘7=-=='7：=2R(R為4ABC外接圓的半徑)

sinAsinBsine

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

sinA=—,sinB=—,smC=—，

常見2R2R2R

變形a：b：c=sinA:sinB:sinC,

.J+Rc=2R(R為AABC外接圓的半徑)

sinA+sinB+sinC

三、三角形解的個數(shù)的確定

1.在AABC中，已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心，邊長a為半徑畫弧，則此弧與除去頂點(diǎn)A的射線

AB的公共點(diǎn)個數(shù)即為三角形解的個數(shù).

圖形關(guān)系式解的情況

/C

yab/?

(l)a=bsinA

一解

(2)a2b

AH一一

(1)(2)

C

A為

銳角bsinA<a<b兩解

c

a<bsinA無解

AR

c

\a(

aa>b一解

:b

A，點(diǎn)A

A為

鈍角

或直角C,(

/

一叱bzaWb無解

?

ABAR

四、三角形的面積公式

△ABC的面積S=|absinC=|bcsinA=|acsinB.

五、解三角形實(shí)際問題的一般步驟

實(shí)際問題分析轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題（畫出圖形）

檢

驗(yàn)

數(shù)學(xué)結(jié)論解三錯形問題

六、利用正、余弦定理解三角形

1.三角形共有六個元素，當(dāng)已知條件較復(fù)雜時，需要我們辨別條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理來求解.

2.常見情況

(1)當(dāng)已知條件以邊與正弦值之比的關(guān)系出現(xiàn)時，選擇正弦定理；

(2)當(dāng)已知條件涉及正弦或外接圓半(直)徑時，選擇擴(kuò)充的正弦定理；

(3)當(dāng)已知條件涉及邊的平方或者兩邊的積時，選擇余弦定理；

⑷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的

一次式，要考慮用正弦定理.

以上特征都不明顯時，兩個定理都有可能用到.

七、利用正、余弦定理解決實(shí)際問題

1.用正、余弦定理解決實(shí)際問題的幾點(diǎn)概括

⑴不能到達(dá)的同一水平面上兩點(diǎn)的距離問題；

⑵不能到達(dá)底部的高度問題；

(3)在運(yùn)動變化過程中蘊(yùn)含的解三角形的問題.

在解決這些問題時，要認(rèn)真領(lǐng)悟相關(guān)術(shù)語，根據(jù)問題中的文字語言，自行畫出圖形或?qū)㈩}中條件與

所給圖形中的幾何量相對應(yīng)，然后利用余弦定理和正弦定理計(jì)算.培養(yǎng)學(xué)生文字語言、圖形語言和

符號語言相互轉(zhuǎn)譯的能力以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

1.7平面向量的應(yīng)用舉例

一、向量在幾何中的應(yīng)用

1.向量的坐標(biāo)法，對于某些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形

等，可建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.

2.證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題，常用向量平行的條件：若a=(x“y),b=(x2,

y2)(a#0),則a〃b=Xiy2-X2yi=0.

3.證明線線垂直：設(shè)兩個非零向量a=(x”yj,b=(x2,y2),則a_Lb=XiX2+yiy2=0,由非零向量a_Lb

推出線線垂直.

4.求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：若a=(x,y),則|a|=V^=尸可；

22

若A(x”yi),B(xz,y2)?則|AB：=的|=y/(_x1-x2)+(Yi-y2).

二、向量在物理中的應(yīng)用

1.物理中常見的向量有力、速度、加速度、位移等.

2.力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運(yùn)算，運(yùn)動的疊加則用到向量的合成.

3.動量mv是數(shù)乘向量.

4.功是力F與在其作用下發(fā)生位移s的數(shù)量積.

三、向量在幾何中的應(yīng)用

1.用向量解決幾何問題的步驟

建立平面幾何與向量的聯(lián)

平面幾何問題系，用向量表示問題中涉及

的幾何元素

將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向

向量問題

量問題

通過向量運(yùn)算，研究幾何元

向量運(yùn)算

素間的關(guān)系

用運(yùn)算結(jié)果得出幾何問

幾何問題

題中的結(jié)論

2.三角形“四心”的向量表示

⑴在AABC中，^|OA|=|OB|=|OC|^OA2=OB2=OC2,則點(diǎn)0是AABC的外心;

(2)在AABC中，若蕊+福+就=0,則點(diǎn)G是aABC的重心；

(3)在aABC中，若麗-嬴=入(AB+|BC)(X>0),則直線AP過aABC的重心；

(4)在aABC中，若前?HB=HB-HC=HC?HA,則點(diǎn)H是AABC的垂心；

(5)在aABC中，若而=5加入(儡+儡)(入>0)，則直線AP過AABC的內(nèi)心.

四、向量在物理問題中的運(yùn)用

1.用向量方法解決物理問題的“三部曲”

表示把物理問題中的相關(guān)量用向量表示

電伊轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量

的運(yùn)算使問題得以解決

還原把結(jié)果還原為物理問題

第2章三角恒等變換

2.1兩角和與差的三角函數(shù)

一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

名稱公式

兩角差的余弦公式(簡記為Ccos(a-0)=cosacosB+sinasinB

兩角和的余弦公式(簡記為Can)cos(a+P)=cosacosP-sinasinB

兩角差的正弦公式(簡記為S(?w)sin(a-0)=sinacos0-cosasinB

兩角和的正弦公式(簡記為S(a+B))sin(a+B)=sinacosB+cosasinB

兩角和的正切公式(簡記為T(a+B))tan(a+B)=空空嗎

1-tanatanp

兩角差的正切公式(簡記為T(a-B))tan(a-P)=tana-tanp

1+tanatanp

2.我們將求兩角和a+B的正弦、余弦、正切的公式都稱為和角公式，將求兩角差a-B的正弦、

余弦、正切的公式都稱為差角公式.

3.它們之間存在著緊密的聯(lián)系，這種聯(lián)系可用框圖來表示：

兩角差,兩角和

的耳弦的正弦兩角和兩角差

兩角差兩角和的正切的正切

的余弦-的余弦

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二、靈活應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式

1.給角求值

此類題目涉及兩角和與差公式的正用和逆用，sin(a+B)=sinacosB+cosasinB即為

正用，sinacosB+cosasinB=sin(a+B)即為逆用.公式的逆用是三角函數(shù)式變形的重要

手段，有時還需把三角函數(shù)式中的系數(shù)0,1當(dāng)，日等視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常

數(shù)換為三角函數(shù)使用.

例如：-cosa--sina=sin-cosa-cos-sina=sinf-—

2266\6)

18/58

2.給值求值

解決給值求值的問題時，應(yīng)先分析已知角與所求角間的關(guān)系，再考慮三角函數(shù)名稱的聯(lián)系，最

后選擇合適的公式求值.

解題關(guān)鍵是將所求角用已知角表示出來，即角的代換.常見的角的代換的形式：a=(a+B)-B,

a=B-(B-a),a[(a+B)+(a-B)]=g[(a+3)-(B-a)],

歲=(a-[Xi—B)，a+B=(2a+B)-a,2a=(a+B)+(a-§),20=(a+p)-(a-3)^.

3.給值求角

解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值，而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的

范圍來確定，最好是角的取值范圍在該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi).當(dāng)所求角的范圍是(0,“)或(n,2n)

時，一般求余弦值；當(dāng)所求角的范圍是償，引或(*，9時，一般求正弦值.

三、靈活應(yīng)用兩角和與差的正切公式

1.“1”的代換：在中，若分子中出現(xiàn)“1”，則常利用5吟來代換，以達(dá)到化簡求值的目

的，如告tan(?a)；至浮追加k+習(xí)等。

2.整體意識：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tana±tanB"及"tana?tanB”兩個整體，常考

慮T(0土B)的變形公式:

①tana+tan3=tan(a±3)(1+tanatanB),

tana±tan0

②1干tanQtanB=

tan(a±p)

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2.2二倍角的三角函數(shù)

一、二倍角的正弦、余弦、正切公式

記法公式

S(2a)sin2a=2sinacosa

C(2a)cos2a=cos'a-sin2a=1-2sin'a=2cos2a-1

c2tana

T(2a)tan2a=------

l-tanza

二、與二倍角公式有關(guān)的公式變形

1F.2csi?nacosa=s.m2ca,si.nacosa=1-s?m2ca，cosa=-si-n-2-a-，

22sina

.sin2a2-2c2tana

sina=-----，cosa-sma=cos2a,------=tann2Q.

2cosal-tanza

2.l±sin2a=sin'a+cos'a+2sinacosa=(sina±cosa)：

1+cos2a.21-cos2a

3.cosa=-------，sma=-------.

22

.c2tanal-tan2a

4.sin2a=-----,cos2oa=------.

l+tanzal+tan2a

三、利用二倍角公式化簡、求值

1.應(yīng)用二倍角公式化簡、求值的策略

(1)關(guān)注四個方向：化簡(求值)時分別從“角”“函數(shù)名”“嘉”“形”四個方向著手分析，充分

利用所學(xué)的三角函數(shù)的和、差、倍角等公式.

⑵注意統(tǒng)一：應(yīng)用二倍角公式解題時，要注意公式中角的形式，若角的形式不統(tǒng)一，

則需利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一角后再利用二倍角公式解題.

四、兩角和與差的三角函數(shù)與二倍角公式的綜合應(yīng)用

1.公式的綜合應(yīng)用關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.

注意公式的正用、逆用、變形用，有時需運(yùn)用拆角、拼角等技巧.

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2.三角函數(shù)恒等變形的方向

(1)從“角”分析解題思路；

(2)從“函數(shù)名稱”分析解題思路;

(3)從“式子結(jié)構(gòu)”分析解題思路.

2.3簡單的三角恒等變換

一、三角變換公式

名稱內(nèi)容

Sa：sin-=±1-cosa

i2q-2-；

半角公式Ca：COS-=±1+cosa

I27-2~：

Ta：tan-=±1-cosa

i2q1+cosa

2tan?1-tan2^2tan^

sina=----cosa=--------tana=--------

萬能公式1+taM?l+taM]i-taM5

其中aW2kJT+Ji,kGZ

sina+sin0=2sin^^cos^^；

22

sina-sinP=2cos^^sin^^；

和差化積22

,0小a+Ba-B

公式cosa+cosP=2cos--cos--；

22

cosa-cosB=-2sin^^sin^^

22

sinacos3=-[sin(a+B)+sin(a-B)]；

積化和差cosasin0=-[sin(a+B)-sin(a-B)]；

公式cosacos3=|[cos(a+B)+cos(a-B)]；

sinasin3=-1[cos(a+p)-cos(a-3)]

輔助角asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+4)),

公式其中sin^=7==5?cosL--,0<e〈2n

va2+bzVra2+b2

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二、半角公式的運(yùn)用

1.利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的二倍關(guān)系.

(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍，為定符號做準(zhǔn)備.

(3)選公式：涉及半角的正切值時，常利用公式tan;「na」-cosa計(jì)算,涉及半角的正、余弦值時，

21+cosasina

常利用公式sin?異二尸，cos全空尸計(jì)算.

(4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.

三、三角恒等式的證明與三角函數(shù)式的化簡

1.三角恒等式證明的常用方法

(1)由因?qū)Чǎ鹤C明的方式一般是化繁為簡；

(2)左右歸一法：證明等號兩邊都等于同一個式子或同一個常數(shù)；

(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，

即化異為同；

(4)比較法：設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“翼=1(右邊W0)”；

右邊

(5)分析法：即執(zhí)果索因法，從被證明的等式出發(fā)，逐步探求使等式成立的條件，直到

符合已知條件或出現(xiàn)明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立.

2.化簡三角函數(shù)式的基本思路

三角函數(shù)式的化簡是三角恒等變換的一個重要方面，其基本方法是統(tǒng)一角，統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱.

常用方法：異名函數(shù)化為同名函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，弦切互化，特殊角的三角函數(shù)

與特殊值的互化等.

在具體實(shí)施過程中，應(yīng)著重抓住“角”的統(tǒng)一，通過觀察角、函數(shù)名、項(xiàng)的次數(shù)等，找到突破口，

利用切化弦、升暴、降暴、逆用公式等手段將其化簡.化簡的結(jié)果應(yīng)滿足以下幾點(diǎn)：①能求值盡量

求值；②函數(shù)名稱盡量少；③項(xiàng)數(shù)盡量少；④次數(shù)盡量低；⑤分母、根號下盡量不含三角函數(shù).

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四、輔助角公式的運(yùn)用

1.(1)公式形式：

,ba

asina+bcosa=ya2+b2sin(a+(1))其中sin--,===,cos?！?/p>

ova2+b2Va2+b2

22b

asina+bcosa=Va+bcos(a-(|))o其中sin6=,：。,cos<l>~,Q

Va2+b2Va2+b2

(2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要根據(jù)具體條件而定，一般要求變形后角a的系

數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).

2.應(yīng)用輔助角公式可將不同名的三角函數(shù)式的和(差)轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)式，從而可結(jié)合三角函

數(shù)的有關(guān)知識解決問題.在實(shí)際解題時，要注意靈活掌握該公式，合理引入輔助角，確定各量之間

的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“合二為一”.

第3章復(fù)數(shù)

3.1復(fù)數(shù)的概念

一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及表示

1.復(fù)數(shù)：我們把形如a+bi(其中a,beR)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，通常用字母z表示，

BPz=a+bi(a,bSR),其中a稱為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部,

記作Rez,b稱為復(fù)數(shù)a+bi的虛部，記作Imz,i稱為虛數(shù)單位.

2.復(fù)數(shù)集

(1)定義：全體復(fù)數(shù)組成的集合稱為復(fù)數(shù)集.

(2)表示：復(fù)數(shù)集通常用大寫字母C表示，即集合C={a+bi|a,beR).

二、復(fù)數(shù)的分類

實(shí)數(shù)(b=0),

1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bWR)

虛數(shù)(b力0)(當(dāng)a=0時為純虛數(shù)).

2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示：

虛數(shù)集

復(fù)數(shù)集

純虛數(shù)集實(shí)數(shù)集

三、兩個復(fù)數(shù)相等

1.若兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,dGR)的實(shí)部與虛部分別相等，則稱這兩個復(fù)數(shù)相等，即a+bi=c+di=a=c

且b=d.

2.特別地，a+bi=0=a=0且b=0.

3.需要注意的是，兩個實(shí)數(shù)可以比較大小，但當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時，它們之間不

能比較大小，只能說相等或不相等.

四、對復(fù)數(shù)概念的理解

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1.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR,i為虛數(shù)單位)，則

⑴當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，z為實(shí)數(shù)；

⑵當(dāng)且僅當(dāng)a=b=O時，z為實(shí)數(shù)0；

(3)當(dāng)b#0時，z為虛數(shù)；

(4)當(dāng)a=0且bWO時，z為純虛數(shù)；

(5)當(dāng)a#0且b#0時，z為非純虛數(shù).

2.對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bCR,i為虛數(shù)單位)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，又要從實(shí)部與虛部的角度把復(fù)數(shù)z

分解成兩部分去認(rèn)識它，即用兩個實(shí)數(shù)認(rèn)識一個復(fù)數(shù).將復(fù)

數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個實(shí)數(shù)(實(shí)部、虛部)問題是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法.

3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

一、復(fù)數(shù)的加減法

1.復(fù)數(shù)的加、減法法則

設(shè)zi=a+bi,za=c+di(a,b,c,deR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

2.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律

對任意復(fù)數(shù)Zl,Z2,Z3,有

⑴交換律：Z|+Z2=Z2+Z1；

⑵結(jié)合律：(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

二、復(fù)數(shù)的乘法與乘方

1.復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR)是任意兩個復(fù)數(shù),那么(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對任何復(fù)數(shù)Z“Z2,Z3,有

(1)交換律：Z1?Z2=Z2,Zi;

(2)結(jié)合律：(Z1?Z2)?Z3=Z1?(z2?Z3);

⑶分配律：Z|(Z2+Z3)=Z1Z2+Z|Z3，

3.復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算律

對任何復(fù)數(shù)z,Z\,Z2及正整數(shù)m,n,有

⑴zn=z?

⑵(z")"=z°"；

(3)(zi,Z2)n=z",z".

規(guī)定i°=l.

4.虛數(shù)單位i的幕的周期性

i4ntl=i,嚴(yán)2=-1,i4n+3=-i,i4"=l,其中nWZ.

三、復(fù)數(shù)的除法

24/58

1.設(shè)Zi=a+bi,z=c+di(a,b,c,dGR,且c+di#O),貝U紅"詈號叫■亭管.

2zzzz

z2c+aic+ac+a

2.一般地，3稱為Z的倒數(shù)，若2=2+加工0，則上f-義工

zza2+b2a2+b2

四、復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng).

2.復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，利用復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律可以簡化計(jì)算.

五、復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的策略

(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律.

(2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘與分母的虛部互為相

反數(shù)的復(fù)數(shù)，化簡后可得，類似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化.

2.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中的常用結(jié)論

(1)(l±i)2=±2i,井i,詈-i.

1-11+1

(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bWR).

⑶設(shè)3戶若包，3?節(jié)回，則5,以具有如下關(guān)系：

①3尹3尹1;

②1+3l+32=0；

③3132二1.

⑷產(chǎn)+/叫沈2+j4n+3=08夕).

六、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程根的問題