2023年新高考數(shù)學(xué)試題

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1、已知集合eZ|x?-4萬(wàn)一12<0},B{y\y=esinx,xeR},求NcB（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{x|-l<x<2}

C.{-1,0,1,2}D.{x|x>2,x<-l}

2、化簡(jiǎn)一g+^^z］（cos60°+isin60°）=（）

A.—1B.1C.iD.—i

4

3、在△48C中，點(diǎn)。在5c邊上，且點(diǎn)石在4c邊上，且/￡二一/。，連接

5

DE,若DE=mAB+nAC,則加+〃=（）

4、日常生活中，我們定義一個(gè)食堂的菜品受歡迎程度為菜品新鮮度.其表達(dá)式為R=S,

N

其中R的取值與在本窗口就餐人數(shù)有關(guān)，其函數(shù)關(guān)系式我們可簡(jiǎn)化為y=1急47與0丁，其

中y為就餐人數(shù)（本窗口）,x為餐品新鮮度（R）,則當(dāng)N=2,b=2000時(shí),y近似等于（）

（已知8.6-5,75土4.23x10-6）

A.470B.471C.423D.432

5、素?cái)?shù)對(duì)5,p+2）稱為攣生素?cái)?shù)，將素?cái)?shù)17拆分成〃個(gè)互不相等的素?cái)?shù)之和，其中任

選2個(gè)數(shù)構(gòu)成素?cái)?shù)對(duì)，則為攣生素?cái)?shù)的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.-

5342

1—,,2024

6、設(shè)。=——e2023,,b—In,c=sin(0,2023°),則()

20232023

A.c>a>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a>

7、已知空間四邊形48CD,AB=BC=AC,DBLBC,且3C=4,BD=6,面4BC與面

3co夾角正弦值為1,則空間四邊形/BCD外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

A172+301g172+301君°301+172V3301+1726

36363636

8、已知函數(shù)/（x）=xe"+（1-a）（x+lnx）+3,對(duì)于Vxe[0,+oo）,/（x）24恒成立，則

滿足題意的。的取值集合為（）

A.{0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{1}

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多個(gè)選項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分.

9、下列選項(xiàng)中，不正確的是（）

A.對(duì)于任何兩個(gè)集合，（ZC8）N（ZU8）恒成立

B.“對(duì)于X/x>2,3x+2?0”的否定是“Hx>2,^2-3%+2<0"

C.對(duì)于成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)越小，相關(guān)性越弱

D.一元線性回歸模型中y=3x+2,其中的8,7叫做6,°的最小二乘估計(jì)

10、已知正方體488—邊長(zhǎng)為2,貝！|（）

A.直線8。'與直線/C所成角為工

2

B.與12條棱夾角相同的最大截面面積為

C.面切球與外接球半徑之比為1:6

D.若。為空間內(nèi)一點(diǎn)，且滿足與所成角為1,則。的軌跡為橢圓

11、己知橢圓C:彳+食=l（a〉b>0）的離心率為5,橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)片，鳥所形

成的三角形面積最大值為百，下列說(shuō)法正確的是（）

A.橢圓方程為C:反+片=1

43

B.直線/：3x+4y—7=0與橢圓。無(wú)公共點(diǎn)

12

C.若過(guò)點(diǎn)。做。4，05,3為與橢圓C的交點(diǎn),則弦AB中點(diǎn)〃所在軌跡為圓,且產(chǎn)=一

7

D.若過(guò)點(diǎn)。（3,2）做橢圓兩條切線，切點(diǎn)分別為N,B,尸為直線尸0與橢圓C的交點(diǎn)，

則工"

k^B

12、已知函數(shù)/（x）=e1n（x+l）,/'（x）是/（x）的導(dǎo)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.曲線>=/（%）在（0,/（0））處的切線方程為〉=%

B.f\x）在X6[0,1）上單調(diào)遞增,在X￡（1,+00）上單調(diào)遞減

C.對(duì)于任意的再，￡（°，+°°）總滿足/（演+%2）〉/（演）+/（工2）

D.直線>='與>=/（、）在X￡（-1,0）上有一個(gè)交點(diǎn)且橫坐標(biāo)取值范圍為（一1,一g）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

77

13、若函數(shù)/（x）=sin（2x+°）,0￡（-肛］）關(guān)于％=—對(duì)稱，則夕=______.

6

14、12+?）X+/6的展開式中/y4的系數(shù)為,

15、若直線/同時(shí)與曲線。］：/+72=2和曲線g:3；="+1均相切，則直線/的方程為

16、已知S：q,a2,%為有窮整數(shù)數(shù)列，對(duì)于給定的正整數(shù)加，若對(duì)于任意的

〃e{1,2,…，加},在，中存在%,aM,—ai+j(z,j>0)使得at+aM+al+2+---+ai+j=n,

則稱，為“加區(qū)同心圓數(shù)列”.若…,怎為“2023區(qū)同心圓數(shù)列”，則后的最小

值為______.

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17、（本小題共10分）

3

在三角形△48C中，角N,B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且sinZ=—,6=4,c>b>a

5

（1）從下列中選擇一個(gè)證明：

cdabcc,,b~+c2-a2

①證明：-----=-----；②證明：cos2=-----------

sinAsinB2bc

（2）求三角形△48C面積的最小值.

18、（本小題共12分）

若一個(gè)數(shù)列的奇項(xiàng)為公差為正的等差數(shù)列，偶項(xiàng)為公比為正的等比數(shù)列，且公差公比相同,

a+(n-X)d,n^2k+l,keN什、，

則稱數(shù)列為“搖擺數(shù)列”其表示為4<aA4-\nw2k,kwN*，若數(shù)列

{4〃}(〃GN*)為“搖擺數(shù)列”且q=1,%+出=%，a2a3=20則

（1）求｛4〃｝的通項(xiàng)公式;

（2）若包=nan,求數(shù)列｛a｝的前In項(xiàng)和T“.（注:="（"+1）（2"+D）

/=16

19、（本小題共12分）

已知底面為正方形的四棱柱45。?！?'5'。'。'，2。=44'=4,￡,月,〃分別為/4,4。',

\FP\

C'。'的中點(diǎn)，三角形S^BE的面積為%尸為直線上一動(dòng)點(diǎn)且=A

\PH\

（1）求證：當(dāng)2=1時(shí)，BPLAC；

（2）求多面體8—ZCC'￡的體積；

（3）當(dāng)％為多少時(shí)，線段8尸與平面BC'￡夾角余弦值為

6

20、（本小題共12分）

人類探索浩瀚太空的步伐從未停止，假設(shè)在未來(lái)，人類擁有了兩個(gè)大型空間站，命名為“領(lǐng)

航者號(hào)”和“非凡者號(hào)”.其中“領(lǐng)航者號(hào)”空間站上配有2搜“M2運(yùn)輸船”和1搜“71

轉(zhuǎn)移塔”，“非凡者號(hào)”空間站上配有3搜“T1轉(zhuǎn)移塔”.現(xiàn)在進(jìn)行兩艘飛行器間的“交

會(huì)對(duì)接”.假設(shè)“交會(huì)對(duì)接”在M年中重復(fù)了〃次，現(xiàn)在一名航天員乘坐火箭登上這兩個(gè)

空間站中的一個(gè)檢查“領(lǐng)航者號(hào)”剩余飛行器情況，記“領(lǐng)航者號(hào)”剩余2搜“M2運(yùn)輸船”

的概率為勺，剩余1搜“M2運(yùn)輸船”的概率為久.其中宇航員的性別與選擇所登錄空間

站的情況如下表所示.

男性宇航員女性宇航員

“領(lǐng)航者號(hào)”空間站380220

“非凡者號(hào)”空間站120280

P(K2Nk)0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

2

內(nèi)n(ad-be),.

K=-------------------------n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（1）是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇登錄空間站的情況與性別相關(guān)聯(lián)；

（2）若左為函數(shù)/（、）=」x-極大值的22倍，求切〃+/與切的遞推關(guān)系式；

Inxe

（3）求X"的分布列與數(shù)學(xué)期望￡（X“）.

21、（本小題共12分）

放射變換是處理圓錐曲線綜合問(wèn)題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用

22

了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將C:二+仁=l（a>b>0）由仿射變換得：

ab

22

x'=2，y'=上，則橢圓三+1=1變?yōu)閤'2+y'2=l,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為

a.ba2b2

k'=-k,然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過(guò)計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換

b

回橢圓即可.已知橢圓C:1+4=l（a〉b〉0）的離心率為止，過(guò)右焦點(diǎn)名且垂直于x

ab5

O氏

軸的直線與C相交于43兩點(diǎn)且43=2,過(guò)橢圓外一點(diǎn)尸做橢圓。的兩條切線4,/2

512

且4_1_乙，切點(diǎn)分別為M,N

（1）求證：點(diǎn)P的軌跡方程為一+/=9；

(2)若原點(diǎn)。到/1,4的距離分別為4，d2,延長(zhǎng)表示距離4,d2的兩條直線，與橢

圓C交于匕平兩點(diǎn)，試求：w中點(diǎn)Z所形成的軌跡與尸所形成的軌跡的面積之差是否為

定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

22、(本小題共12分)

/?+InY

已知函數(shù)/(x)=,QER在x=e處取到極值.

x

(1)求Q,并指出/G)的單調(diào)遞增區(qū)間；

x-x>

(2)若/(x)與有兩個(gè)交點(diǎn)M，x2,且玉<%2，證明：2i.

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練

數(shù)學(xué)?參考答案及評(píng)分細(xì)則

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第一冊(cè)：集合與常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)的概念與性質(zhì)、三角函數(shù)

【難度系數(shù)】0.88

【答案】C

【解析】A{xe|x2-4x-12<0}={-1,0,1,2,3,4,5},

B{y|y=esinx,xe號(hào)={y螺<y<e}

=0,1,2}

2、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：復(fù)數(shù)(探究與發(fā)現(xiàn))、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【難度系數(shù)】0.82

【答案】B

解析

3

(16、(167

---1-——z(cos60°+isin60°)-------1-------Z(cos180°+zsin180°)=-1x(-1)=1

、22J22

7

3、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：平面向量及其應(yīng)用

【難度系數(shù)】0.83

【答案】A

【解析】加=方+次=_工(方+%)+壯％=_，方+』％,.?.加=_，，〃=』，

25210210

1

m+n=——

5

4、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第一冊(cè)：函數(shù)的概念與性質(zhì)

【難度系數(shù)】0.77

【答案】A

【解析】當(dāng)N=2,b=2000時(shí)，x=R=￡=^^=1000:8.66-75。4.23x10-6,

N2

6=1+8.6*J

8.6-575x1000-o6(1000)-1,y-470

5、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：隨機(jī)事件與概率

【難度系數(shù)】0.65

【答案】B

【解析】17=2+3+5+7其中為攣生素?cái)?shù)的情況有2種，分別是｛(3,5),(5,7)｝，總

方法數(shù)為

所以滿足條件的所占比例為2二=上1

C；3

6、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第一冊(cè)：函數(shù)的概念與性質(zhì)，復(fù)習(xí)參考題?泰勒展開式

【難度系數(shù)】0.33

【答案】A

—1

【解析】2023a=e2°23,—x0.00049432n:—0,2023。T--——1-1>1

202320232023

2024202420241

20236=2023In二二，ln^^<---1=n20236<1a>b

2023202320232023

ri、

o21120232024

2023c=2023sin(0.2023)>2023sin——二2023sin------?2023_180(P?------>------

360180018003!18002023

1)

c>a>b

7、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：立體幾何初步、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

【難度系數(shù)】0.31

【答案】C

2

加2+“2_2mncos0I4243

【解析】歐=------------------------9------------------------1--------

sin20443

=^xl6+4x6x1+4x6xl+±^=24+12^

JZ=4X6X-X2A/3X-=8V3

23

=叱=24百4H6,Rl=84-4873,

訥S表24+126Y

43

H4—彳1726+301

§2一扁一84-486一36

8、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第一冊(cè)：函數(shù)的概念與性質(zhì)；選擇性必修第二冊(cè)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及

其應(yīng)用

【難度系數(shù)】0.15

【答案】D

【解析】原不等式可變化為：+(Inx+x)-1+(1-a)(lnx+x)>0

現(xiàn)在證明eMA'+Onx+x)—120；設(shè)，=lnx+x,g(7)=e'—Z—1

易得：g(?)>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)t=0,lnx+x=0時(shí)，等號(hào)可取

所以證明e,nx+x+(Inx+x)-1+(1-a)(lnx+x)>0即證：(1一a)(lnx+x)>0

當(dāng)lnx+x>0時(shí)，1一。之0,a>l；同理，當(dāng)lnx+x<0時(shí)，1一。<0,a<l

所以綜上所述，°的取值集合為{al4=1}

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多個(gè)選項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分.

9、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第一冊(cè)：集合的運(yùn)算、命題與否命題：選擇性必修第三冊(cè)：一元線性

回歸模型定義、成對(duì)數(shù)據(jù)分析相關(guān)系數(shù)概念與理解

【難度系數(shù)】0.76

【答案】BCD

【解析】通過(guò)集合的計(jì)算以及結(jié)合作幅圖，故A正確；“對(duì)于Vx>2,X2-3X+2>0"

的否定是X2-3X+2>0",故B錯(cuò)誤；對(duì)于成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的

絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越小，相關(guān)性越弱，故C錯(cuò)誤；一元線性回

歸模型中y=6x+&,其中的b,汀叫做6,。的平均值，b,。叫做6,。的最小二乘估計(jì),

故D錯(cuò)誤

10、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：立體幾何初步；選擇性必修第一冊(cè)：圓錐曲線的定義

【難度系數(shù)】0.66

【答案】AB

【解析】：4Cc5。=。n/C，平面BDD'B'=>AC1BD',

故A正確；

與12條棱夾角相同的最大截面為各棱中點(diǎn)依次連接所形成的的正六邊形，面積為

—x(V2)2x6=3V3,故B正確；面切球與外接球半徑之比為必=3,故C錯(cuò)誤；

4AC41

過(guò)點(diǎn)0向作垂線，垂足為H,易證紗〃28,所以/〃。。=60°=。'0=2”，

在平面ABCD中，以,DC所在直線分別為x,y軸，則

7X2+/+4=2|v|=1,為雙曲線，故D錯(cuò)誤

11、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第一冊(cè)：圓錐曲線

【難度系數(shù)】0.32

【答案】AC

「1

222

【解析】2(a=4n—x+2v=1,故A正確；

”43

I22

xy[

—i——1

43nA>0,故有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

3x+4y-7=0

0「+磔「|四2

因?yàn)閟」空四」件|叫且卷+原

22阿2M2一四2M2

兩邊同乘也L得11521a2+b2

-------1-------=----------==

4|0H|252---|叩2----a2b2

所以［0引=r￡/==/+丫2=單二代入數(shù)據(jù)得爐+2=之故?正確；

114r壽,.7

通過(guò)選擇兩組特殊值驗(yàn)證得售為定值不成立，故D錯(cuò)誤.

KAB

12、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第二冊(cè)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【難度系數(shù)】0.14

【答案】ACD

1

【解析】/,(x)=eJC-ln(l+x)+e=cxln(l+x)+----,故

1+xv71+X

_f(O)=e。.如(1+0)+占

=1,/(O)=eOln(l+O)=O,因此，曲線歹=/(x)在點(diǎn)

(0,/(0))處的切線方程為了=》.故A正確;

12_______1_

g(x)=/,(x)=exln(l+x)

+----，則g'(x)=e*ln(l+x)+2

1+X1+x(1+x

21

設(shè)〃(x)=ln(l+x)+-----------xe[0,+oo),

2

122x2+l

則〃(x)=--------------1---------------->0,故〃(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

1+X(1+X)2(1+X)3(1+X)3

故"(0)=1>0,因此g'(x)>0對(duì)任意的xe[0,+8)恒成立,

故g(x)在［0,+。。)上單調(diào)遞增.故B錯(cuò)誤;

X1+X2X1%2

設(shè)加(x)=+x2)-/(%1)-/(x2)=eIn(1+%1+x2)-eIn(1+%1)-eIn(1+x2)

則

加'(x)=eXl+X2In(1+x.+x)H-----------cX]必…)+±=g(x+x)-g(x)

12?7121

、1+^+%2_

由(II)知g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，故當(dāng)西〉0,%〉0時(shí)，

,

m(x)=g(x1+x2)-g(x1)>0

因此，加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故加(x)>加(0)=/(0+》2)-/(。)=一/(0)=。

因此，對(duì)任意的占，/e(0,+°°)，總滿足/(xj+x2)>/(X])+/(%)，故C正確；當(dāng)x=-l

時(shí)，f(X)—>—CO

1

—X<In—<——

222

又因?yàn)?(x)T,所以直線_^=%與^=/(x)在xe(—1,0)上有一個(gè)交點(diǎn)且取值范圍為

1,——故D正確

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第一冊(cè)：三角函數(shù)的性質(zhì)

【難度系數(shù)】0.82

__TC_>x5TC

【答案】一或——

66

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin(2x+e),0e(—肛乃)關(guān)于xj對(duì)稱,

.{71)7171J7r7萬(wàn)7

所以/—=sm一+。=±1=一+。=一+左keZ=(p=—+k兀，

6Jv3)326

jr、冗

keZ,當(dāng)左=0時(shí)，(p-—；當(dāng)左=—1時(shí)，(p------

66

14、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第三冊(cè)：二項(xiàng)展開式

【難度系數(shù)】0.86

【答案】90

【解析】12+子[+.6=[2+曰仆6+°獷)=

15、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第一冊(cè)：直線與圓的位置關(guān)系；選擇性必修第二冊(cè)：導(dǎo)數(shù)的

幾何意義

【難度系數(shù)】0.67

【答案】x-y+2=0

【解析】f(x)=ex,設(shè)在曲線y=/(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為10，*+1),所以切線方程為

xxxxx

y-[e0+1)=e°(x-x0)e°x-y+(^e°+1+xoe°)=0,曲線x?+y2=2上的圓心

(0,0)到切線方程的距離為行n中與塞=后nX。=0,所以切線方程為

卜)2

x-y+2=0

16、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第二冊(cè)：數(shù)列

【難度系數(shù)】0.47

【答案】64

【解析】對(duì)于此題，我們先從簡(jiǎn)單的算起.

當(dāng)上=1時(shí)，則最多能表示為共1個(gè)數(shù)字；當(dāng)左=2時(shí)，則%,電最多能表示/%%+。2

共3個(gè)數(shù)字；當(dāng)左=3時(shí)，則%,a2,a3最多能表示%,a2,a3,aA+a2,a2+a3,a{+a2+a3

共6個(gè)數(shù)字；

n(1+〃

當(dāng)左=〃時(shí)，則q,a2,…，最多能表示〃+—+—----\-l=^i=-----二個(gè)

i=\2

數(shù)字；

n(1+77)72

，〃+(〃—1)+(〃-2)+—?+1=￡/=--^―>2023(?eZ)=nn-n=64

z=lZ

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：平面向量的應(yīng)用、解三角形、正弦定理、余弦定理

【難度系數(shù)】0.67

【解析】(1)若選擇①證明：—

SIIL4sine

證法一：三角形外接圓法

BBB

)

DDC

圖⑴圖(2)?(3)

設(shè)△48C的外接圓的圓心為0,半徑為R,如圖.

d

由圖(1)知，當(dāng)Z為銳角時(shí)，A=D,^—=2R.

siih4

二.由圖(2)知，當(dāng)Z為鈍角時(shí)，^=180°-D.siiL4=sinD=—^-2R"sinA-2R-

BL

如圖(3),當(dāng)/=90。時(shí)，-^―=a=BC=2R

siivl

...對(duì)于任意三角形都a有=同理，-h^=2eR-^—=21R:.工=工

sirk4sinSsinC.sirvlsin5

證法二：向量法

以Z作為原點(diǎn)，以射線48的方向?yàn)閤軸的正方向建立直角坐標(biāo)系,C在y軸上的投影為

C,如下圖所示

..?向量充與正在y軸上的投影均為園，即\pC'\=/cos(J-90°)=6sin4,

b

|0C|=|5c|sin5=asin5,QsinB=Z?siib4即3

siiL4sinB

同理，旦二上，，旦二，一二上

sirvlsinCsim4sinBsinC

以同樣的方式可以證明A為銳角或直角時(shí)定理同樣成立，...—=—

siib4siiiS

722_2

若選擇②證明：cosA=一。

2bc

2.證法一：建系法

以4點(diǎn)為原點(diǎn)，△ZBC的邊48所在直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系

則4(0,0),C(bcos4bsiih4),5(c,0).

由兩點(diǎn)間的距離公式得=(bcos/—c)，伍siM—0)2,即/=/+C2—2bcosZ.

人2,2_2

同理可證62=+。2-2accosB,(?=+62-2^cosC,cosA=--------------?

2bc

證法二：解析法

當(dāng)△48。為銳角三角形時(shí)，過(guò)。作CZ)，48于。.

則AD=bcosA,BD=AB-AD-c-bcosA.

在Rf△BCD中,BC2=CD2+BD2,即4二〃sin2/+(c—bcos/)?

所以/=/+，_2bcosA.

同理可證〃=a2+c2-2acosB,c2=a2+b2-2abeosC.

當(dāng)△48。為鈍角三角形時(shí)，過(guò)。作CZ)垂直于48的延長(zhǎng)線于。，則

AD=bcosA,CD=bsmA,BD=AD-AB=bcosA-c

在Rf△BCD中,BC2=CD2+BD2,即/=/sin2/+0co4—cp.

所以/=/+。2_2bccosA

°17?,13,6

(2)S=—besmA=-x—x4xc=-c

2255

c>b>c>A

S=LcsinZ」x，4xc=32^

22555

18、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第二冊(cè)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式

【難度系數(shù)】0.69

ai+(n-l)d,nu2k+l,kGN

【解析】（1）設(shè)。屋

nx

axq~,nG2k,ke.N*

1+%=%+2d%=1

由題意得v/(6+2")=20=><出=2

d=2d=q=2

12〃一1,〃￡2左+1,后￡N

〃￡2左，左￡N*

2〃2一n,ne2k+\,keN

⑵bn=nan

n?2〃T,ne2k,keN*

先求奇數(shù)項(xiàng)的和:

2

bn=2n-n9〃晝2左+1,ksN,S〃=2x[F+32+…+(2〃—1了]—/引入

If；=22+42+---+(2H)2=4(12+22+---+772)

如.+叫+聯(lián)*=〃(24On

2i=i3

S=2y^-W-n2=2」----△---^一4義」——△-----L-n2

"乙”T.￡

\/=i7\J07

再求偶數(shù)項(xiàng)的和:

nl

bn=n-2-,n&2k,kwN*,

132H12462n

5；;=2x2+4x2+---+2nx2-=lx2+2x2+3x2+---+7?2

262B+22462H2H+2

45；;=1X2+2X2+---+?2^S'n-AS'n=2+2+2+???+2-?2-3S；

4(1一4〃)4〃+i4

=4+42+43+…+4"_〃4"+i=_3----L_〃4"+i=--------柳"+10

1-43

〃4"+i4,,+1-4(3z?-l)4,,+1+4

s“=^—

9

.T/吟+1)(4〃+1)八,〃(〃+1)(2〃+1))；,(31)4日+4

-Tln=S?+Sn=2\-----------------4*---------------\-11+---------------

19、【考查知識(shí)點(diǎn)】必修第二冊(cè)：立體幾何初步；選擇性必修一：空間向量與立體幾何

【難度系數(shù)】0.82

S=4x/zx■—=4—力—2

【解析】⑴三角形S^BE的面積為4,所以2,

因?yàn)?44'=4,E,F,〃分別為44',A'D',C'￡>'的中點(diǎn)，

且過(guò)平面外一點(diǎn)做與已知平面垂直的直線有且只有一條，故平面45CD

IFP\

當(dāng)4=1時(shí)，=2=0為切中點(diǎn)，...BP在平面45CD上的投影為的一部

分.

?-BDLAC^BPLAC

11(2+4)X4A/2廠1

(2)VRACCT~Sx—BDx——-----------x2A/2x—=16

D-￡JTice以2323

(3)以8為原點(diǎn)，5C所在直線為x軸，A4所在直線為y軸，A8'所在直線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系設(shè)尸的橫坐標(biāo)為°,.??5(0,0,0),后(0,4,2),橫'(4,0,4),尸(a,6—a,4)

所以屁=(0,4,2),5C=(4,0,4)設(shè)平面BCE法向量萬(wàn)=(x,y,z)

ii-BE-0f4y+2z=0fz=-2y

所以一

nBC=014x+4z=01z=一x

令z=—In拓=(1,2,—1)?/AP=(凡6—a,4)

\BP-n|8-6/|1Q]="6

cos3=T=^——-----------———><

\BP\\n2

V6xV2a-12o+526[a2=2

IFPI

4=」=o

\PH\

FP

&=^^=4

PH

20、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第三冊(cè)：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布；選擇性必修第二冊(cè):

數(shù)列

【難度系數(shù)】0.44

,1000x(380x280-120x220?

【解析】(1)K23=----------------------------------J106.67>10,828

500x500x600x400

.?.有99.9%的把握認(rèn)為選擇登錄空間站的情況與性別相關(guān)聯(lián).

1111

(2)求導(dǎo)得左=2,百=二c.4c=1—,q=c=■C.*=_2,

\_/QDk_--QD

C*C；、127

,'i+k?不?%+n0,h0一百—+§/

Pi=27

C；C；]一，

C；Ghv1216

%=■Px+(『PlFl)=一甲+---

ICkk+k327

i

c0101「11?

當(dāng)〃"時(shí)?“=才.才.p“_]+才?才?q『i+o-(i-P,T—q『i)=aP”i+3/1，①

、i2

)=一/i+

3

241212

2+

2X①+②，得2p“+qn=-pn^+-qn^--Qn-i+y=-(A-I^?-i)+J-

從而2,“+/t=+—i)?

(3)2pl+ql-l=^,所以2,“+["=l+；g]=l+[j'〃eN*.③由②,有

31(3、p31,1(1Y~'3z

/”=一§/「汁又名”=百，所CCH以%二百一3+丁〃eN..

由③，有e

"2

…31,

故1-=—+一,MeN.

5

X”的概率分布列為:

X”012

p%P?

n

則E(X)“=0x(1—P"—q")+lx%+2xp“=1+I,〃eN*.

21、【考查知識(shí)點(diǎn)】選擇性必修第一冊(cè)：圓錐曲線

【難度系數(shù)】0.68

【解析】

（1）由仿射變換得：x'=二,y'=^,則橢圓［+4=1變?yōu)閤'2+y'2=1

設(shè)原斜率分別為左，k2,k,k2=-1,變換后為勺，k'2=-k2,所以

bb

22