線性代數(shù)二次型及其標準形

關(guān)于線性代數(shù)二次型及其標準形

1.二次型的定義定義含有個變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型.(二次齊次多項式)當系數(shù)為復數(shù)時，稱為復二次型；當系數(shù)為實數(shù)時，稱為實二次型.第2頁,共56頁，2024年2月25日，星期天3.二次型的矩陣表示式令，則于是

第3頁,共56頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共56頁，2024年2月25日，星期天記第5頁,共56頁，2024年2月25日，星期天

其中為對稱陣：.

——二次型的矩陣表示式說明對稱陣與二次型一一對應；若，二次型的矩陣滿足：⑴的對角元是的系數(shù)；⑵的元是系數(shù)的一半.則對稱陣稱為

二次型的矩陣；二次型稱為對稱陣的二次型；3.二次型的矩陣表示式第6頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例如：二次型的矩陣為于是第7頁,共56頁，2024年2月25日，星期天二、二次型的標準形二次型研究的主要問題是：尋找可逆變換，使

這種只含平方項的二次型稱為二次型的標準形(法式).

特別地，如果標準形中的系數(shù)只在三個數(shù)中取值，那么這個標準形稱為二次型的規(guī)范形.標準形的矩陣是對角陣.第8頁,共56頁，2024年2月25日，星期天三、化二次型為標準型1.經(jīng)可逆變換后，新舊二次型的矩陣的關(guān)系：因為有所以與的關(guān)系為：第9頁,共56頁，2024年2月25日，星期天2.矩陣的合同關(guān)系定義

設(shè)和是階矩陣，若有可逆矩陣，使則稱矩陣與合同.說明合同關(guān)系是一個等價關(guān)系.設(shè)與合同，若是對稱陣，則也對稱陣.對稱陣一定合同相似于一個對角陣.若與合同，則.經(jīng)可逆變換后，二次型的矩陣由變?yōu)榕c合同的矩陣,且二次型的秩不變.第10頁,共56頁，2024年2月25日，星期天把二次型化成標準形相當于把對稱陣用合同變換化成對角陣(稱為把對稱陣合同對角化)，3.化二次型為標準形對二次型作可逆變換，相當于對對稱陣作合同變換；即尋找可逆陣,使.定理8

任給二次型,總其中是的矩陣的特征值.即任何二次型都可用正交變換化為標準形.（主軸定理，P262Th6.1）存在正交變換，使化為標準形第11頁,共56頁，2024年2月25日，星期天推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.

即任何二次型都可用可逆變換化為規(guī)范形.

第12頁,共56頁，2024年2月25日，星期天證

設(shè)有二次型由定理8知，存在正交變換，使設(shè)二次型的秩為，則特征值中恰有個不為0，不妨設(shè)不等于0，于是，令其中則可逆，且變換把化為第13頁,共56頁，2024年2月25日，星期天記，則可逆變換能把化為規(guī)范形第14頁,共56頁，2024年2月25日，星期天推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.

即任何二次型都可用可逆變換化為標準形.

4.用正交變換化二次型為標準形的步驟：⑴寫出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫出所求的正交變換和二次型的標準型.第15頁,共56頁，2024年2月25日，星期天4.用正交變換化二次型為標準形的步驟：⑴寫出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫出所求的正交變換和二次型的標準型.將對稱陣正交相似對角化的步驟：(1)求特征值；(2)求兩兩正交的單位特征向量；(3)寫出正交矩陣和對角陣.第16頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例1

已知二次型用正交變換把二次型化為標準形，并寫出相應的正交矩陣.解

析：此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標準形的“標準程序”.⑴

寫出二次型對應的矩陣二次型對應的矩陣為第17頁,共56頁，2024年2月25日，星期天⑵求的特征值

由，求得的特征值為第18頁,共56頁，2024年2月25日，星期天⑶求的兩兩正交的單位特征向量對應，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得第19頁,共56頁，2024年2月25日，星期天對應，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得第20頁,共56頁，2024年2月25日，星期天對應，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得第21頁,共56頁，2024年2月25日，星期天⑷寫出正交矩陣和二次型的標準形令矩陣則為正交陣，于是，經(jīng)正交變換原二次型化為標準形第22頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例1+：求一個正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標準形（規(guī)范形）．第23頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例1+：求一個正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標準形．解：二次型的矩陣有正交陣使得于是正交變換x=Py把二次型化為標準形f=－2y12+y22+y32第24頁,共56頁，2024年2月25日，星期天如果要把f

化為規(guī)范形，令，即可得f

的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32第25頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例2

已知二次型的秩為2.⑴求參數(shù)以及此二次型對應矩陣的特征值；⑵指出表示何種曲面.

解

⑴二次型的矩陣因為的秩為2，所以的秩也為2，因而第26頁,共56頁，2024年2月25日，星期天當時，的特征多項式為第27頁,共56頁，2024年2月25日，星期天于是，的特征值為⑵由定理8知，必存在正交變換其中為正交矩陣(不必具體求出)，使二次型于是，曲面這表示準線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.在新變量下稱為標準形第28頁,共56頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共56頁，2024年2月25日，星期天一、情形1配方法的系數(shù)例3用拉格朗日配方法化二次型成標準形，并求所用的變換矩陣.

解第30頁,共56頁，2024年2月25日，星期天用到的線性變換為即用到的線性變換為即配方法第31頁,共56頁，2024年2月25日，星期天配方法第32頁,共56頁，2024年2月25日，星期天33所用的變換矩陣為于是，的標準形為配方法第33頁,共56頁，2024年2月25日，星期天二、情形2的系數(shù)例4用拉格朗日配方法化二次型成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣.

解先用下面可逆變換，使二次型中即配方法第34頁,共56頁，2024年2月25日，星期天用到的線性變換為即配方法第35頁,共56頁，2024年2月25日，星期天用到的線性變換為即配方法第36頁,共56頁，2024年2月25日，星期天配方法第37頁,共56頁，2024年2月25日，星期天配方法第38頁,共56頁，2024年2月25日，星期天于是，配方法第39頁,共56頁，2024年2月25日，星期天于是，所用的變換矩陣為因此，的規(guī)范形為配方法第40頁,共56頁，2024年2月25日，星期天三、慣性定理定理9

(慣性定理)設(shè)有二次型，它的秩為，有兩個可逆變換及使及則正數(shù)的個數(shù)相等.（證明：P275Th6.3）中正數(shù)的個數(shù)與中第41頁,共56頁，2024年2月25日，星期天說明二次型的標準形正系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的負系數(shù)的個數(shù)稱為負慣性指數(shù).

正慣性指數(shù)；若二次型的正慣性指數(shù)為，秩為，則的規(guī)范形變可確定為只有用正交變換把二次型化為標準形，標準形的系數(shù)才是二次型矩陣的特征值.第42頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個？為什么？第43頁,共56頁，2024年2月25日，星期天解析：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性定理解題.容易求得的特征值，于是可知，所對應的二次型的正慣性指數(shù)為；負慣性指數(shù)為.合同的二次型應有相同的正、負慣性指數(shù)，故選(B).

應選(B)，理由是:第44頁,共56頁，2024年2月25日，星期天例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個？為什么？第45頁,共56頁，2024年2月25日，星期天一、正定二次型的概念定義設(shè)有二次型，⑴如果對任何，都有⑵如果對任何，都有，則稱為負定二次型，并稱對稱陣是負定的；陣是正定的；(顯然0)，則稱為正定二次型，并稱對稱第46頁,共56頁，2024年2月25日，星期天說明按定義，當變量取不全為零的值時，二次型若是正定()二次型，則它的對應值總是正數(shù)().負定負數(shù)若是正定二次型，則就是負定二次型.第47頁,共56頁，2024年2月25日，星期天二、正定二次型的性質(zhì)與判別法定理10二次型為正定的充要條件是：它的標準形的個系數(shù)全為正數(shù)，即它的正慣性指數(shù)等于.推論1

正定二次型(正定矩陣)的秩為.推論2對稱陣為正定矩陣的充要條件是：的特征值全為正.證明第48頁,共56頁，2024年2月25日，星期天定理10的證明證已知，有可逆變換，使先證充分性：設(shè)，任給，則，故再證必要性:

用反證法.

假設(shè)有，取(單位坐標向量)，這與為正定相矛盾.這就證明了.則有，且第49頁,共56頁，2024年2月25日，星期天定理11

(霍爾維茨定理)⑴對稱陣為正定的充要條件是：的各階主子式都為正.即⑵對稱陣為負定的充要條件是：的奇數(shù)階主子式為負，偶數(shù)階主子式為正.即第50頁,共56頁，2024年2月25日，星期天正定二次型的判定：正定的正慣性指數(shù)的個特征值全為正的規(guī)范形為合同于單位陣的各階主子式全為