正弦余弦函數(shù)的定義

關(guān)于正弦余弦函數(shù)的定義1.掌握任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義(重點(diǎn))2.識(shí)記正弦、余弦函數(shù)每個(gè)象限的取值符號(hào)（重點(diǎn)）3.掌握正弦、余弦函數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用(難點(diǎn))第2頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天在Rt三角形中，銳角正弦、余弦函數(shù)是如何定義？對(duì)邊鄰邊斜邊（一）回顧舊知OMP第3頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天XYP（x,y）M（二）、探究1-任意角的正弦、余弦函數(shù)定義討論：sinα與cosαr=1sinɑ=cosɑ=O縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)單位圓==y=x=第4頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天xyOP(x,y)αA(1,0)xyOP(x,y)αA(1,0)xyOP(x,y)αA(1,0)思考：終邊落在不同象限任意角sinɑ、cosɑ的值還是y,x值嗎？sinɑ=

=ycosɑ=

=x第5頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：

設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么：（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即y=sinα；

（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即x=cosαOP(x,y)αyxM第6頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天探究2：正弦、余弦函數(shù)的取值符號(hào)三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限+++－－－－+你有什么辦法記住這些信息？縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)思考：當(dāng)角ɑ的終邊分別在第一、第二、第三、第四象限時(shí)，角ɑ的正弦、余弦函數(shù)的正負(fù)號(hào)是什么？第7頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天練一練判斷下列各式的符號(hào)：（1）sin105°.cos230°；（2）sina.cosa<0,問(wèn)a為第幾象限角；解：因?yàn)?05°為第二象限角，230°為第三象限角，所以sin105°>0,cos230°<0

sin105°.cos230°<0

因?yàn)閟ina.cosa<0,所以二者異號(hào)，有兩種情況：sina>0,cosa<0或者sina<0,cosa>0

所以當(dāng)sina>0,cosa<0，a為第二象限角當(dāng)sina<0,cosa>0，a為第四象限角

第8頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天探究3：入股已知角終邊上一點(diǎn)P（x,y）,而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),它的三角函數(shù)定義還成立嗎?自由探討MQ(u,v)N解：取終邊OP與單位圓交于一點(diǎn)Q（u,v）,過(guò)Q點(diǎn)作QN⊥ON;

得到OPMOQN因此有：OQ=QN==yMPOPv=sinα=y1同理可證：y=cosα余弦函數(shù)也成立xyOP(x,y)α第9頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天新知應(yīng)用：

已知任意角α終邊上有一點(diǎn)P（5,-12），求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解因?yàn)辄c(diǎn)P（5,-12）

在角α的終邊上，所以y=5,x=-12

可知r==13則sinα=cosα=-12第10頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：如何利用正弦、余弦定義進(jìn)行各種計(jì)算？1.找出與圓相交的點(diǎn)的坐標(biāo)值P（x,y）2.算出原點(diǎn)與交點(diǎn)之間的距離r=3.利用正弦余弦定義代值計(jì)算：

sinɑ=cosɑ=4.得到正弦、余弦函數(shù)yx第11頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天變式題1---能力提升已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若點(diǎn)P（4,y）是角θ終邊上的一點(diǎn)，且sinθ=則y=()A.-8B.-4C.+8D.+4第12頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天這一課你學(xué)到了什么？1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是如何定義的？2.正弦余弦函數(shù)的在象限里的取值符號(hào)如何？3.如何通過(guò)定義去應(yīng)用計(jì)算？課后作業(yè)：課本P17頁(yè)，練習(xí)2.3.4.5

要求：寫(xiě)在課本上第13頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：在直角坐標(biāo)系的單位圓中，(1)畫(huà)出角

(2)求出角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)；（三）定義應(yīng)用例24－πa=4－πa=解：（1）如圖所示，以原點(diǎn)為角的訂單，以x軸的正半軸為始邊，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交于點(diǎn)P，a=∠MOP=－

，即為所求角。4π4π第14頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)由于，點(diǎn)P的坐標(biāo)在第四象限，則4－πa=u=cos()=4－πv=sin()=－4－π22所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-）22第15頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天變式題2：已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)P（12,a）且tana=5/12,求sina+cosa的值。解析：根據(jù)三角函數(shù)定義，tan=a/12=5/12所以ɑ=5,P(12,5),這時(shí)r=13所以sina=5/13,cosa=12/13.從而sina+cosa=17/13第16頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天探究1-直角坐標(biāo)系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)αyx如圖,在直角坐標(biāo)系中，作出一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓（該圓稱(chēng)為單位圓），設(shè)任意角為α，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)。討論：任意角的sinα與cosα函數(shù)值又是什么？M（二）、第17頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天探究1-直角坐標(biāo)系中的任意角呢？x(1,0)OP(u,v)αyx如圖,在直角坐標(biāo)系中，作出一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓（該圓稱(chēng)為單位圓），設(shè)任意角為α，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)。討論：任意角的sinα與cosα函數(shù)值又是什么？M（二）、第18頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天x(1,0)OP(u,v)αyMxxyOP(u,v)αA(1,0)對(duì)于給定的角α，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)都是唯一確定的，所以，正弦、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)。問(wèn)題3：對(duì)于給定的角a,點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)都是唯一的，那么正、余函數(shù)又是一個(gè)什么函數(shù)呢？如果我們用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，則得到任意角的正弦函數(shù)y=sinx

;余弦函數(shù)y=cosx。第19頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題4：

上述定義中，正、余弦函數(shù)的定義域與值域在分別是什么？因?yàn)椋簒表示任意角的大小，所以定義域?yàn)椋喝w實(shí)數(shù)R；而在單位圓中顯然y∈[1,1]，故值域?yàn)椋篬1,1]y=sinxy=cosx第20頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天得出結(jié)論：

正弦、余弦函數(shù)是以角度為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)的函數(shù)。又因?yàn)榻堑募现g可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故它們也看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。第21頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在給定的單位圓中，對(duì)于任意角α（正角、負(fù)角）的三角函數(shù)定義都成立，那么對(duì)于零角，它是否還成立？xyOP(u,v)αA(1,0)問(wèn)題討論：成立第22頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)α是一個(gè)任意的象限角，那么當(dāng)α在第一、二、三、四象限時(shí)，sinα的取值符號(hào)分別如何？cosα的取值符號(hào)分別如何？（三）第23頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天變式題1：

已知角α終邊上一點(diǎn)P求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解因?yàn)辄c(diǎn)P在角α的終邊上，所以可知?jiǎng)tsinα=cosα=第24頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度(r=1)為半徑的圓叫作單位圓．x(1,0)OP(u,v)αyMx當(dāng)點(diǎn)P(u,v)就是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)時(shí),坐標(biāo)系內(nèi)銳角三角函數(shù)會(huì)有什么結(jié)果？由三角形相似知識(shí)可知,比值與點(diǎn)P(u,v)在終邊上的位置無(wú)關(guān),只與角α有關(guān).第25頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

三角函數(shù)都是以角為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(比值)為函數(shù)值的函數(shù).函數(shù)定義域角(弧度數(shù))實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)第26頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天從象限出發(fā)來(lái)記憶：（sina,cosa）“一正正，二正負(fù)，三負(fù)負(fù)，四負(fù)正“記憶法則：課堂練習(xí)--鞏固提升1.判斷下列各式的符號(hào)：（1）sin105°.cos230°（2）cos3.tan(-2/3π)(1)<(2)<第27頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天010-1010-101

在直角坐標(biāo)系的單位圓中，畫(huà)出下列各特殊角，求各個(gè)角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入下表

觀察此表格中的數(shù)據(jù),你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sinx和y=cosx的變化有什么特點(diǎn)嗎？（五）拓展延伸第28頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

觀察右圖，在單位圓中，由任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義不難得到:終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(x+2kπ)

=sinx,k∈

z

終邊相同的角的余弦值相等，即

cos(x+2kπ)

=cosx,k∈z

第29頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

上述兩個(gè)等式說(shuō)明：對(duì)于任意一個(gè)角x，每增加2π的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變.所以，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的.我們把這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期函數(shù).第30頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱(chēng)2kπ(k∈z,k≠0)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.

例如，-4π,-2π,2π,4π等都是它們的周期.其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè)，稱(chēng)為最小正周期.第