排列組合問題的求解策略

關(guān)于排列組合問題的求解策略2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問題分析問題的能力

3.學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題.教學(xué)目標1.進一步理解和應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2

種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．1.分類計數(shù)原理(加法原理)

第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．2.分步計數(shù)原理（乘法原理）第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成這件事,即分步還是分類,確定分多少步及多少類。3.確定排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天一.合理分類與分步策略例1.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?++第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習題第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天二.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例2.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天

練習題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天三.相鄰元素捆綁策略例3.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決.即將需要相鄰的元素合為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天四.不相鄰問題插空策略例4.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（）練習題20第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習題第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天五.定序問題除法策略例5.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(除序法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天練習題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天六.重排問題求冪策略例6.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習題第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天練習題1.一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種1922.有4個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),恰有一個空盒,共有多少不同的裝法.第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天九.選即為排策略（默認）例9.同步20頁8（方法兩種）

27頁2025頁7解決此類問題,提前默認游戲規(guī)則是最基本的指導(dǎo)思想.第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十.小集團問題先整體局部策略31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。例10.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十一.元素相同問題隔板策略例11.有10個運動員名額，在分給7個班，每

班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天練習題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一個球，有多少裝法？第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十二.正難則反總體淘汰策略再淘汰和小于10的偶數(shù)共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.例12.我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十三.構(gòu)造模型策略一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決例13.某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十四.實際操作窮舉策略例14.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2

3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種

還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十四.實際操作窮舉策略例14.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2

3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種

還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2種第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天結(jié)束用心體會，注重反思與實踐第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天十七.化歸策略例18.25人排成5×5方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的

選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3×3方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天從5×5方隊中選取3行3列有_____選法所以從5×5方隊選不在同一行也不在同一列的3人有__________________選法。處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題如此繼續(xù)下去.從3×3方隊中選3人的方法有___________種。再從5×5方隊選出3×3方隊便可解決問題第34頁,共38頁，2024年2月25日，星期天某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習題