截面的幾何性質(zhì)-慣性矩與慣性積（建筑力學(xué)）

截面的幾何性質(zhì)二、慣性矩在圖5-3中，微面積dＡ到兩坐標(biāo)軸的距離分別為ｙ和ｚ，將乘積ｙ2dＡ和ｚ2dＡ分別稱為微面積dＡ對(duì)ｚ軸和ｙ軸的慣性矩。而把積分Ｉｚ＝∫Ａｙ2·dＡＩｙ＝∫Ａｚ2·dＡ稱為圖形對(duì)ｚ軸和ｙ軸的慣性矩。由慣性矩的定義可知，慣性矩是對(duì)一定的軸而言的，同一圖形對(duì)不同的軸的慣性矩一般不同。慣性矩恒為正值，其量綱和單位與極慣性矩相同。圖形對(duì)一對(duì)正交軸的慣性矩和對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩存在著一定的關(guān)系。由圖5-3的幾何關(guān)系可得

ρ2＝ｙ2＋ｚ2（5-6）

將上述關(guān)系式代入式（5-5），得Ｉρ＝∫Ａρ2dＡ＝∫Ａ（ｙ2＋ｚ2）dＡ＝∫Ａｙ2dＡ＋∫Ａｚ2dＡ即Ｉρ＝Ｉｚ＋Ｉｙ（5-7）式（5-7）表明，圖形對(duì)任一點(diǎn)的極慣性矩，等于圖形對(duì)通過(guò)此點(diǎn)且在其平面內(nèi)的任一對(duì)正交軸慣性矩之和。【例5-3】矩形截面如圖5-6所示，求矩形截面對(duì)正交對(duì)稱軸ｙ、ｚ的慣性矩。解：先求Ｉｚ。取微面積dＡ＝bdｙ，由式（5-6）得

再求Ｉｙ。取微面積dＡ＝hdｚ，則由式（5-6）得三、慣性積如圖5-3所示，微面積dＡ與它到兩坐標(biāo)軸距離的乘積ｙｚdＡ，稱為微面積dＡ對(duì)ｙ、ｚ軸的慣性積，而將積分∫ＡｙｚdＡ定義為圖形對(duì)ｙ、ｚ軸的慣性積，用符號(hào)Ｉｙｚ表示，即Ｉｙｚ＝∫ＡｙｚdＡ（5-8）慣性積是對(duì)于一定的一對(duì)正交坐標(biāo)軸而言的，即同一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸的慣性積不同，慣性積的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零，其量綱和單位與慣性矩相同。

由慣性積的定義可以得出如下結(jié)論：若圖形具有對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零。如圖5-7所示，ｙ為圖形的對(duì)稱軸，在ｙ軸兩側(cè)對(duì)稱位置各取相同的微面積dＡ，它們的ｙ軸坐標(biāo)相同，但ｚ坐標(biāo)等值反號(hào)。因此，兩個(gè)微面積對(duì)ｙ、ｚ軸的慣性積ｙｚdＡ等值反號(hào)，其代數(shù)和為零。由此推知，整個(gè)圖形對(duì)ｙ、ｚ軸的慣性積等于零。

截面的幾何性質(zhì)一、極慣性矩任意平面圖形如圖5-3所示，其面積為Ａ。在圖形內(nèi)坐標(biāo)為（ｙ，ｚ）處取微面積dＡ，并以ρ表示微面積dＡ到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。將乘積ρ2dＡ稱為微面積dＡ對(duì)于Ｏ點(diǎn)的極慣性矩，積分∫Ａρ2dＡ稱為圖形對(duì)Ｏ點(diǎn)的極慣性矩，用符號(hào)Ｉρ表示，即Ｉρ＝∫Ａρ2dＡ（5-5）由極慣性矩的定義可以看出，極慣性矩是相對(duì)于指定的點(diǎn)而言的，即同一圖形對(duì)不同的點(diǎn)的極慣性矩一般是不同的。極慣性矩恒為正，其量綱是長(zhǎng)度的4次方，單位為m4或mm4。

慣性矩和慣性積截面的幾何性質(zhì)【例5-2】求圓截面對(duì)其圓心的極慣性矩。解：如圖5-4所示，設(shè)圓截面直徑為D。取厚度為dρ的環(huán)形面積為微面積dＡ，則有

dＡ＝2πρdρ由式（5-5）