桿件的內力、強度、剛度及穩(wěn)定性-組合變形（建筑力學）

概述建筑力學組合變形【學習目標】【學習目標】1.了解受組合變形時構件的受力和變形特點；2.掌握構件受斜彎曲時的應力與變形的分析與計算；3.掌握拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的應力與強度計算；4.掌握偏心拉壓時構件的應力與強度計算；5.了解彎曲與扭轉組合變形時構件的應力與強度計算；6.理解截面核心的概念及應用。13.1概述13.1概述【引言】組合變形是兩種或兩種以上基本變形的組合。分析組合變形問題的關鍵在于根據(jù)疊加原理將外力進行適當?shù)姆纸馀c簡化。只要能將組合變形分解成幾種基本變形，便可應用疊加原理來解決這類構件在組合變形時的強度計算問題。13.1概述一、什么是組合變形前文中分別討論了桿件在基本變形（拉、壓、扭轉、彎曲）時的強度和剛度計算。實際工程中不少構件同時產生兩種或兩種以上基本變形。例如左圖為工業(yè)廠房的立柱，由于偏心外力不通過立柱的軸線，產生偏心彎矩，所以立柱的變形既有壓縮變形，又有彎曲變形；13.1概述如圖所示屋架上的檁條受鉛直方向荷載作用，由于荷載不是作用在檁條的兩個縱向對稱平面上，所以使檁條會在y和z兩個方向彎曲變形；13.1概述再如圖所示的煙囪，除由自重引起的軸向壓縮外，還有因水平方向的風力作用而產生的彎曲變形。這類由兩種或兩種以上基本變形組合的情況，稱為組合變形。13.1概述二、如何計算組合變形分析組合變形時，假設構件的變形在彈性范圍內、小變形條件下，可以認為組合變形中的每一種基本變形都是相互獨立、互不影響的，所以構件可按其原始形狀和尺寸進行汁算。計算時，先將外力進行分解或簡化，使每一種荷載只對應著一種基本變形。分別計算每一種基本變形下發(fā)生的內力、應力和變形，然后根據(jù)各基本變形單獨作用時引起的應力與變形，利用疊加原理、強度理論進行組合與疊加，最后進行強度、剛度計算?！咀ⅰ咳绻麡嫾淖冃纬隽司€彈性范圍，或雖未超出彈性范圍但變形過大，而不能按其原始尺寸和形狀進行計算，這時由于各基本變形之間相互影響，疊加原理不能使用。對于這類問題本教材不做討論，讀者可參閱有關資料。13.4偏心壓縮與截面核心13.4偏心壓縮與截面核心13.4偏心壓縮與截面核心【引言】作用在桿件上的外力，當其作用線與桿的軸線平行但不重合時，桿件就受到偏心壓縮（或拉伸）。偏心壓拉是軸向壓縮（拉伸）與彎曲的組合變形，可以分為單向偏心與雙向偏心，是工程實際中常見的組合變形（右圖所示為單向偏心）?，F(xiàn)以矩形截面梁（柱）為例說明其應力分析的方法。13.4偏心壓縮與截面核心一、單向偏心壓縮（拉伸）當偏心力F通過截面一根形心主軸時，則稱為單向偏心壓縮。如圖所示矩形截面桿，壓力F作用在y軸上的E點處，E點到形心O的距離e稱為偏心距。13.4偏心壓縮與截面核心1.荷載簡化和內力計算首先將偏心力F向截面形心平移，得到一個通過形心的軸向壓力F和一個力偶矩為Fe的力偶。運用截面法可求得任意橫截面上的內力為：軸力：FN

=F，（壓力）

彎矩：Mz=Fe。13.4偏心壓縮與截面核心2．應力計算和強度條件偏心受壓桿截面中任意一點處的應力,可以由兩種基本變形各自在該點產生的應力疊加求得軸向壓縮時，截面上各點處的應力均相同，其值為平面彎曲時，截面上任意點處的應力為13.4偏心壓縮與截面核心截面上各點處的總應力為

=

/+

//

即：式中：A為橫截面面積；Iz為截面對z軸的慣性矩；y為所求點的坐標13.4偏心壓縮與截面核心應用式（13－8）計算正應力時，F(xiàn)、Mz、y都可用絕對值代入，式中彎曲正應力的正負號可由觀察變形情況來判定。當點處于彎曲變形的受壓區(qū)時取負號；處于受拉區(qū)時取正號。截面上最大正應力和最小正應力（即最大壓應力）分別發(fā)生在BC邊緣及AD邊緣上的各點處，其值為13.4偏心壓縮與截面核心由于截面上各點均處于單向應力狀態(tài)，故強度條件為13.4偏心壓縮與截面核心3.對結論的討論當偏心受壓柱是矩形截面時，A

=bh，Wz=bh2/6，Mz=Fe，將各值代入式（13－9）得13.4偏心壓縮與截面核心邊緣B－C上的正應力σmax的正負號，由上式中的符號決定，可能出現(xiàn)三種情況：13.4偏心壓縮與截面核心當e＜h/6時，σmax為壓應力。截面全部受壓，如圖所示。當e=h/6時，σmax為零。截面上應力分布如圖所示，整個截面受壓，而邊緣B-C正應力恰好為零。當e＞h/6時，σmax為拉應力。截面部分受拉，部分受壓。應力分布如圖所示?？梢?，截面上應力分布情況隨偏心距e而變化，與偏心力F的大小無關。當偏心距e＞h/6時，截面上出現(xiàn)受拉區(qū)；當偏心距e≤h/6時，截面全部受壓。13.4偏心壓縮與截面核心二、雙向偏心壓縮（拉伸）當偏心壓力F的作用線與柱軸線平行，但不通過截面任一形心主軸時，稱為雙向偏心壓縮，如圖所示。13.4偏心壓縮與截面核心1.荷載簡化和內力計算設壓力F至z軸的偏心距為ey，到y(tǒng)軸的偏心距為ez。先將壓力F平移到z軸上，產生附加力偶矩Mz=Fey，再將力F從z軸上平移到截面的形心，又產生附加力偶矩My=Fez。偏心力經(jīng)過兩次平移后，得到軸向壓力F和兩個力偶Mz、My，可見，雙向偏心壓縮就是軸向壓縮和兩個相互垂直的平面彎曲的組合。13.4偏心壓縮與截面核心由截面法可求得任一橫截面上的內力為：軸向壓力：FN

=F；F對z軸的力偶矩引起對z軸的彎矩：Mz=Fey；F對y軸的力偶矩引起對y軸的彎矩：My=

Fez。13.4偏心壓縮與截面核心2.應力計算和強度條件橫截面上任一點（y、z）處的應力為應為三部分應力的疊加軸向壓力F引起的應力為Mz引起的應力為My引起的應力為13.4偏心壓縮與截面核心疊加以上結果可得截面上任一點處的應力為即：彎矩引起的應力

//及

///的正負，仍然可根據(jù)及的轉向和所求點的位置決定。截面上應力的正負情況如圖所示。13.4偏心壓縮與截面核心最大正應力在A點處，最小正應力在C點處，其值為由于危險點A、C都處于單向應力狀態(tài)，所以強度條件為13.4偏心壓縮與截面核心比較可知，前面分析單向偏心受壓所得的公式（13－9）、（13－10）式實際上是（13－13）及（13－14）式的特殊情況：壓力作用在端截面的一根形心主軸上，其中一個偏心距為零。13.4偏心壓縮與截面核心例13-4

如圖所示矩形截面柱，柱頂有屋架傳來的壓力F1=100kN，牛腿上承受吊車梁傳來的壓力F2=30kN與柱軸有一偏心距e

=0.2m。現(xiàn)已知柱寬b

=180mm，試問截面高度h為多大時才不會使截面上產生拉應力？在所選h尺寸下，柱截面中的最大壓應力為多少？13.4偏心壓縮與截面核心解：將作用力向截面形心O簡化，得軸向力F=F1+F2=130kN對z軸的力偶矩Mz=F2e

=30kN×0.2m=6kN·m要使截面上不產生拉應力，應滿足：即：解得：h≥0.28m，此時截面中的最大壓應力為13.4偏心壓縮與截面核心例13-5

擋土墻的橫截面形狀和尺寸如圖如示，C點為其形心。土壤對墻的側壓力每米長為F=30kN，作用在離底面h/3處，方向水平向左。擋土墻材料的密度ρ為2.3×103kg/m3。試畫出基礎面m-n上的應力分布圖。13.4偏心壓縮與截面核心解：（1）內力計算。擋土墻很長，且是等截面的，通常取1m長度來計算。每1m長墻自重為土壤側壓力為：F=30kN用截面法求得基礎面的內力為：軸力：FN=G=103.5kN

13.4偏心壓縮與截面核心（2）應力計算基礎底面的面積A=b2×1m=2m×1m=2m2=2×106mm2抗彎截面系數(shù)

基礎面m-m邊上的應力為n-n邊上的應力為?；A面應力分布如圖所示。13.4偏心壓縮與截面核心三、截面核心1．截面核心的概念在前面的研究中，我們知道，偏心受壓桿件截面中是否出現(xiàn)拉應力與偏心距的大小有關。當外力作用在截面形心附近的某一個區(qū)域內時，可以實現(xiàn)使中性軸在橫截面邊緣以外，桿件整個截面上正應力全部為壓應力而不出現(xiàn)拉應力，則形心附近的這個外力作用區(qū)域稱為截面核心。土建工程中大量使用的磚、石、混凝土材料，其抗拉能力遠低于抗壓能力，主要用作承壓構件。這類構件在偏心壓力作用下，應力求使全截面上只出現(xiàn)壓應力而不出現(xiàn)拉應力，為此，就需將外力F作用點控制在截面核心內。13.4偏心壓縮與截面核心2．截面核心的確定我們知道，中性軸將截面分為兩個區(qū)域：一邊是拉應力區(qū)，一邊是壓應力區(qū)。倘若中性軸位置正好與截面的輪廓線相重合，則截面全部處在中性軸一邊，整個截面上只有一種符號的應力。據(jù)此，可用以確定的核心的位置。若設中性軸上點的坐標為y0、z0，由偏心受壓時截面上任意點處的應力計算式：所以有13.4偏心壓縮與截面核心在上式中，ey、y0（ez、z0）同號時，應力為負，所以中性軸與偏心距一定處于形心的兩側，而且中性軸的位置與外力大小無關，只與力作用點的位置及截面形狀、尺寸有關。因此有由此得中性軸方程式（13－15）是一個直線的截距式方程，表明中性軸是一根不通過形心的直線。在形心主軸z及y上的截距分別為13.4偏心壓縮與截面核心中性軸在形心主軸z及y上的截距分別為如果讓中性軸與截面的某條輪廓線相重合，使截面內只產生一種符號的應力，由（13－16）式可以確定此時外力作用點的位置（即偏心距）為13.4偏心壓縮與截面核心再讓中性軸與截面各條輪廓線一一重合，便可得到截面上只產生一種符號的應力時外力作用點的軌跡，即截面核心的輪廓。例13-6求如圖所示矩形截面的截面核心。13.4偏心壓縮與截面核心解：（1）計算有關參數(shù)（2）將AB

邊作為中性軸I-I

，從圖中可得，其截距為

13.4偏心壓縮與截面核心代入（13-17）式，得到力的作用點1的坐標為：從而可在截面上定出點1位置13.4偏心壓縮與截面核心再以AD邊作為中性軸II-II，其截距為代入(13－17)式，得到力作用點2的坐標：類似地以CD、BC為中性軸,可分別得3、4點坐標。

13.4偏心壓縮與截面核心中性軸由Ⅰ-Ⅰ繞A點順時針旋轉到時Ⅱ-Ⅱ，力的作用點將沿直線從1點移到2點。這可以從中性軸方程（13－15）式看出：當中性軸繞A點旋轉時，各條中性軸上都含A點坐標（y0=yA，z0=zA），將它代入（13－16）式，得到力作用點的變化規(guī)律為式中yA、zA為不變量，所以ey與ez間成線性關系。因此，將前面所得各點間依次聯(lián)成直線，便得整個截面核心的圖形。13.4偏心壓縮與截面核心如圖所示為一些圖形的截面核心。13.4偏心壓縮與截面核心確定截面核心的步驟如下：（1）以截面外凸邊界為作中性軸，將截距代入（13－17）式，求得截面核心圖形的角點；（2）連接相鄰角點，便到得截面核心圖形。另外，在確定截面核心時須注意，對周邊有凹進部分的截面，如工字形、槽形、T形等，不能將凹進部分的邊界取作中性軸，因為這種線穿過截面，將截面分為拉、壓兩個區(qū)域。13.5彎曲與扭轉組合13.5彎曲與扭轉組合13.5彎曲與扭轉組合彎曲與扭轉的組合變形是機械工程中最常見的情況。機器中的大多數(shù)轉軸都是以彎曲與扭組合的方式工作的?，F(xiàn)以如圖所示曲拐中的AB段圓桿為例，介紹彎曲與扭轉組合時的強度計算方法。13.5彎曲與扭轉組合將外力F向截面B形心簡化，得AB段計算簡圖如圖b所示。橫向力F使軸發(fā)生平面彎曲，而力偶矩為Me=Fa的力偶使軸發(fā)生扭轉。其彎矩圖和扭矩圖如圖所示?？梢?，危險截面在固定端A，其上的內力為：

彎矩M=Fl，扭矩Mn=Me=Fa13.5彎曲與扭轉組合根據(jù)前面章節(jié)的討論,可得截面A的彎曲正應力和扭轉剪應力的分布圖,如圖所示,可以看出,點C1和C2為危險點,點C1的單元體如圖所示,由應力計算公式得點C1的正應力與剪應力為

式中Wz=

d3/32，WP=

d3/16，分別是圓軸的抗彎和抗扭截面系數(shù)。13.5彎曲與扭轉組合危險點Cl或C2處于二向應力狀態(tài)，其主應力為對塑性材料，采用第三或第四強理論。若按第三強度理論，強度條件為：

將式(13－19)代入上式，得：將式(13－18)中的

和

代入上式（13－20），并注意到圓截面的參數(shù)WP=2Wz，于是可得出圓桿的彎扭組合變形下的強度條件為：13.5彎曲與扭轉組合若按第四強度理論，其強度條件為：將式(13－19)代入上式，經(jīng)簡化后得：再以式(13－18)代入上式，即得到按第四強度理論的強度條件為式中，Wz為圓截面桿的抗彎截面系數(shù)。13.5彎曲與扭轉組合例13-7如圖所示為一鋼制實心圓軸，軸上齒輪的受力如圖所示。齒輪C的節(jié)圓直徑dC=500mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=300mm。許用應力[

]=100Mpa，試按第四強度理論計算軸的直徑。13.5彎曲與扭轉組合解：先將齒輪上的外力向AB的軸線簡化，得到如圖所示的計算簡圖。根據(jù)軸的計算簡圖,分別作出軸的扭矩圖Mn圖、垂直平面內的彎矩My圖和水平面內的彎矩Mz圖。13.5彎曲與扭轉組合對于圓軸，因為通過圓心的任何直徑都是形心主軸，所以圓軸在兩個方向彎曲時可以直接求其合成彎矩，即對于C截面對于B截面

由于BCD段軸上的扭矩相同，所以截面B是危險截面。13.5彎曲與扭轉組合由第四強度理論的強度條件式（13－23）可知將Wz=

d3/32代入上式，得【討論】從該例可知，對于彎曲與扭轉組合變形的桿件，在進行強度計算時，可以直接用式(13-21)和式(13-23)，所以主要工作量是確定各截面上的彎矩和扭矩。組合變形小結組合變形小結1．疊加原理成立的條件：（l）材料的應力-應變之間保持線性關系。（2）構件必須是產生小變形，且每一種荷載作用下桿件的變形不會影響其他荷載作用時桿件所產生的內力。2．構件受組合變形時，其強度問題的解決步驟是：（1）將外力向截面形心簡化，分解為幾種基本變形。（2）根據(jù)所給各基本變形的內力圖，判斷可能的危險截面，并確定危險截面上的內力分量。（3）根據(jù)危險截面上與各內力分量的應力分布．判斷危險點的位置。（4）計算危險點處各基本變形產生的應力，如為單向應力狀態(tài)即進行疊加，如為復雜應力狀態(tài)則應按照強度理論建立強度條件。組合變形小結3．熟練掌握桿件在拉（壓）、彎曲組合與偏心壓縮清況下的應力分析及強度計算，由于危險點處于單向應力狀態(tài)，所以可使用單向拉（壓）時的強度條件。即組合變形小結4．圓軸受彎曲、扭轉組合變形時，危險點處于復雜應力狀態(tài)，故強度條件(塑性材料)為按照第三強度理論：按照第四強度理論：13.2斜彎曲13.2斜彎曲13.2斜彎曲中曾介紹，如果構件有一縱向對稱平面，當橫向外力作用于這一對稱面內時，構件在縱向對稱平面內發(fā)生平面彎曲。但是，在實際工程結構中，作用于梁上的橫向力有時并不在梁的縱向對稱面內。如圖所示，屋面桁條傾斜地放置于屋頂桁架上，所受外力不在縱向對稱面內，此時構件就要發(fā)生斜彎曲。13.2斜彎曲為了說明問題，以矩形截面懸臂梁為例，介紹斜彎曲的應力和變形的分析方法。設外力F作用于梁自由端，過形心且與y軸夾角為

。取Oxyz坐標系如圖所示。將F向兩個形心主軸方向分解，其分量分別為

Fy=Fcos

，F(xiàn)z=Fsin

由圖知，F(xiàn)y將使梁在xy面內發(fā)生平面彎曲；而Fz則使梁在xz面內發(fā)生平面彎曲。所以，構件在F作用下，將產生兩個平面彎曲的組合變形。13.2斜彎曲一、內力的換算在距自由端為x的橫截面m-m上，兩個分力Fy和Fz所引起的彎矩值分別為其中M=F·x，它表示力F對截面m-m所引起的總彎矩13.2斜彎曲二、應力分析如圖13-4a、b所示，距自由端為x的橫截面m-m上任意點處（坐標為y、z），由Mz和My所引起的正應力分別為它們在截面上的分布如圖所示。σ/、σ//在截面上各區(qū)間的正負號如圖所示。13.2斜彎曲由疊加原理可知m-m截面上任意點處的總應力應是σ/和σ//疊加，即式中Iy、Iz分別橫截面對形心主軸z和y的慣性矩；y、z則表示計算截面上任一點的坐標值。應用上式計算任意一點處的應力時,應將該點的坐標,連同符號代入,便可得該點應力的代數(shù)值。也可通過平面彎曲的變形情況直接判斷正應力σ的正負號。正值和負值分別表示拉應力和壓應力。13.2斜彎曲由式（13-2）可見，應力σ是坐標y、z的線性函數(shù)，所以它是一個平面方程。正應力σ在橫截面上的分布規(guī)律可用一傾斜平面表示（如圖）。斜平面與橫截面的交線就是中性軸，它是橫截面上正應力等于零的各點的連線，這條連線也稱為零線。零線在危險截面上的位置可由應力σ=0的條件確定，即：即有：所以：13.2斜彎曲式中的y0、z0為中性軸上任一點的坐標。當y0=0、z0

=0代入時，方程可以滿足，由此可知，零線是一條過坐標原點的直線。它與y軸的夾角為只有當Iz=Iy，tan

=-tan

?？梢姡憔€與力的作用線不垂直。13.2斜彎曲為了進行強度計算，必須找出構件上的危險截面和危險點。可見，對前圖所示懸臂梁，固定端就是危險截面，對應于點A和C就是危險點。其中A有最大拉應力，C有最大壓應力。其應力的絕對值為【注】斜彎曲時，梁內剪應力很小，通常不予計算。13.2斜彎曲三、強度條件進行強度計算,首先要確定危險截面和危險點的位置。對于前圖所示的懸臂梁,固定端截面的彎矩值最大,是危險截面。對矩形、工字形等具有兩個對稱軸及棱角的截面，最大正應力必定發(fā)生在角點上。將角點坐標代入式（13－2）式便可求得任意截面上的最大正應力值。若材料的抗拉和抗壓強度相等，則斜彎曲的強度條件為13.2斜彎曲公式（13－3）根據(jù)這一強度條件，同樣可以進行強度校核、截面設計和確定許可荷載。但是，在設計截面尺寸時，要遇到Wz和Wy兩個未知量，可以先假設一個的比值，再根據(jù)強度條件式（13－3）計算出桿件所需的Wz值，從而確定截面的尺寸及計算出Wy值，再按式（13－3）進行強度校核。

通常對矩形截面取,對工字形截面取對槽形截面取。13.2斜彎曲四、變形的分析自由端因Fy所引起的撓度為fy

，因Fz所引起的撓度為fz

由疊加原理，自由端的總撓度是兩個方向撓度的矢量和，即

13.2斜彎曲若總撓度f與y軸的夾角為

，則從上式可見，對于Iy

Iz的截面，

。這說明變形后梁的撓曲線與集中力F不在同一縱向平面內，故稱為斜彎曲，如圖所示。13.2斜彎曲式（13－5）有些截面，如圓形或方形截面，其Iy

=Iz，則有

=

，表明撓曲線與集中力F仍在同一縱向平面內，仍然是平面彎曲。13.2斜彎曲例13-1

如圖所示，屋架上的木檁條采用100mm×140mm的矩形截面，跨度l=4m，簡支在屋架上，承受屋面荷載q=1kN/m（包括檁條自重）。木材的許用拉應力[σ]=10MPa，試驗算檁條強度。13.2斜彎曲解：據(jù)題意將檁條簡化為一簡支梁，其最大彎矩發(fā)生在跨中點截面：由截面尺寸算得13.2斜彎曲由Mmax的方向可判別出，截面下邊緣的C點處拉應力最大所以檁條滿足強度要求。13.2斜彎曲例13-2

如圖所示吊車梁由工字鋼制成，材料的許用應力[σ]=160MPa，l=4m，F(xiàn)=30kN，現(xiàn)因某種原因使F偏離縱向對稱面，與y軸的夾角

=5°。試選擇工字鋼的型號。13.2斜彎曲解：（1）荷載分解和內力計算吊車荷載F位于梁跨中時,吊車梁處于最不利的受力狀態(tài),梁的跨中截面彎矩最大,是危險截面。先將荷載F沿y、z軸分解，得13.2斜彎曲由Fy引起在Oxy平面內的平面彎曲，中性軸為z軸?？缰械淖畲髲澗貫橛蒄z引起在Oxz平面內的平面彎曲，中性軸為y軸，跨中的最大彎矩為（2）選擇截面。先設Wz/Wy=8，將強度條件式（13－3）變換為13.2斜彎曲所以查型鋼表，選取用22b工字鋼，其相關數(shù)據(jù)Wz=325cm3=325×103mm3，Wy=42.7cm3=42.7×103mm3。(3)強度校核按選用的型號，根據(jù)強度條件式（13－3）進行校核。所以選用22b工字鋼是合適的。13.3壓縮(拉伸)與彎曲組合13.3壓縮(拉伸)與彎曲