桿件的內(nèi)力、強度、剛度及穩(wěn)定性-截面幾何性質(zhì)（建筑力學）

7.4慣性積主慣性矩7.4慣性積主慣性矩一、慣性積如圖7-12所示，我們將整個截面上微面積dA與它到y(tǒng)、z軸距離的乘積yzdA稱為微面積dA對y、z兩軸的微慣性積，而把微面積dA與它到y(tǒng)、z軸距離的乘積yzdA的總和，定義為截面對y、z軸的慣性積，用Iyz表示：

由慣性積的定義可知，慣性積數(shù)值，可能為正、為負或為零。它的單位是m4或mm4。7.4慣性積主慣性矩根據(jù)式（7-15），如果截面具有一個（或一個以上）對稱軸，如圖7-13，則對稱軸兩側(cè)微面積的zydA值大小相等，符號相反，這兩個對稱位置的微面積對z、y軸的慣性積之和等于零，推廣到整個截面，則整個截面的Iyz=0。這說明，只要z、y軸之一為截面的對稱軸，該截面對兩軸的慣性積就一定等于零。7.4慣性積主慣性矩二、主慣性矩如圖7-14所示，當坐標軸z、y軸繞其原點轉(zhuǎn)動

角時，坐標軸變?yōu)閦1、y1軸，截面對轉(zhuǎn)動前后的兩對不同坐標軸的慣性矩及慣性積之間，存在著一定的關(guān)系，截面對轉(zhuǎn)動后的坐標軸z1、y1的慣性矩及慣性積，是角度

的函數(shù)。可以證明，總能找到一個角度

0，使截面對于相應(yīng)的z0、y0軸的慣性積等于零。則z0、y0軸稱為O點處的主慣性軸。截面對一點處主慣性軸的慣性矩，稱為該點處的主慣性軸矩?？梢宰C明，一點處的主慣性軸矩，是截面對通過改點的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。7.4慣性積主慣性矩截面形心處的主慣性軸，稱為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。截面對形心主軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。在計算組合圖形截面的形心主慣性矩時，首先要確定其形心位置，然后視截面是否有對稱軸而采用不同的計算方法。如果組合圖形截面有一條或一條以上的對稱軸，則通過截面形心且包括對稱軸在內(nèi)的兩條正交軸線，就是截面的形心主慣性軸，按照移軸公式并疊加計算得到的慣性矩即是形心主慣性矩。截面幾何性質(zhì)小結(jié)1.在地球附近的物體，重力的合力作用線相對于物體總是通過一個確定的點，這個點就稱為物體的重心。均質(zhì)體的重心與形心是重合的。平面圖形的形心位置，只與平面圖形的形狀有關(guān)。2.對于任意（組合）的平面圖形，由于。所以，在確定的坐標系中，如果已知面積、面積靜矩、形心坐標三項幾何量中的兩項，就可以計算另外一項。3.截面對一軸的慣性矩恒為正。截面對任一直角坐標系中二坐標軸的慣性矩之和，等于它對坐標原點的極慣性矩。一點處的主慣性軸矩，是截面對通過改點的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。7.3慣性矩7.3慣性矩一、慣性矩的概念如圖7-2所示，將整個圖形上微面積dA與它到z軸（或y軸）距離平方的乘積的總和，稱為該圖形對z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示，即7.3慣性矩二、簡單圖形慣性矩的計算簡單圖形的慣性矩可直接用式（7-8）通過積分計算求得。例7-2

矩形截面高為h、寬為b。試計算截面對通過形心的軸（簡稱形心軸）z、y（圖7-4）的慣性矩Iz和Iy。7.3慣性矩解：（1）計算Iz。取平行于z軸的微面積dA=b·dy，dA到z軸的距離為y，應(yīng)用式（7-8）得7.3慣性矩（2）計算Iy取平行于y軸的微面積dA=hdz，dA到y(tǒng)軸的距離為z，應(yīng)用式（7-8）得7.3慣性矩因此，矩形截面對形心軸的慣性矩為(熟記)7.3慣性矩例7-3

圓形截面直徑為D（圖7-5）試計算它對形心軸的慣性矩。7.3慣性矩三、平行移軸公式同一平面圖形對不同坐標軸的慣性矩各不相同，但它們之間存在著一定的關(guān)系。下面討論圖形對兩根互相平行的坐標軸的慣性矩之間的關(guān)系。如圖7-6所示截面，C為截面形心，A為其面積，zc軸和yc軸為形心軸，z軸與zc軸平行，且相距為a。y軸與yc軸平行，其間距離為b。相互平行的坐標軸之間的關(guān)系可表示為

7.3慣性矩根據(jù)慣性矩的定義，截面圖形對形心軸yC、zC的慣性矩分別為而截面圖形對z

、y軸的慣性矩分別為將（a）式代入（c）式并展開，得7.3慣性矩

7.3慣性矩所以有式（7-9）稱為慣性矩的平行移軸定理或平行移軸公式。它表明截面對任一軸的慣性矩，等于它對平行于該軸的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。7.3慣性矩平行移軸定理在慣性矩的計算中有廣泛的應(yīng)用。利用此公式可以根據(jù)截面對形心軸的慣性矩、來計算截面對與形心軸平行的其它軸的慣性矩、或者進行相反的運算。從式（7-9）可知，因a2A及b2A均為正值，所以在截面對一組相互平行的坐標軸的慣性矩中，以對形心軸的慣性矩最小。7.3慣性矩例7-4

用平行移軸定理計算如圖7–7所示矩形對z與y軸的慣性矩Iy、Iz。7.3慣性矩解：前述矩形截面對形心軸zC、yC的慣性矩分別為應(yīng)用平行移軸定理公式（7-9）可得7.3慣性矩四、組合圖形的慣性矩的計算在工程實踐中，經(jīng)常遇到組合圖形，有時由矩形、圓形、三角形等幾個簡單圖形組成，有時則由幾個型鋼截面組合而成。若一個組合圖形，總面積為A，由面積為A1、A2、A3三塊圖形組合而成，根據(jù)慣性矩定義可知所以組合圖形對某軸的慣性矩，必等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸的慣性矩的和。簡單圖形對本身形心軸的慣性矩可通過積分或查表求得，再應(yīng)用平行移軸公式，就可計算出組合圖形對其形心軸的慣性矩。7.3慣性矩實際中常見的組合截面多具有一個或兩個對稱軸，這種對稱組合截面對形心主軸的慣性矩，是在彎曲等問題中經(jīng)常用到的截面幾何性質(zhì)。下面通過例題來說明其計算方法。例7-5

計算圖7-8所示T形截面對形心軸z、y的慣性矩。7.3慣性矩解：（1）求截面形心位置。由于截面有一根對稱軸y，故形心必在此軸上，即zc=0為求yc，先設(shè)z0軸如圖，將圖形分為兩個矩形，這兩部分的面積和形心對z0軸的坐標分別為7.3慣性矩（2）計算Iz、Iy。根據(jù)公式（7-10）整個截面對z、y軸的慣性矩應(yīng)等于兩個矩形對z、y軸慣性矩之和，即：Iz=I1z+I2z兩個矩形對本身形心軸的慣性矩分別為7.3慣性矩應(yīng)用平行移軸公式可得所以

7.3慣性矩由于圖形對稱，y軸經(jīng)過矩形A1和A2的形心，所以7.3慣性矩例7-6

試計算圖7-9所示由兩根№20槽鋼組成的截面對形心軸z、y的慣性矩。7.3慣性矩解：組合截面有兩根對稱軸，形心C就在這兩對稱軸的交點。由附錄型鋼表查得每根槽鋼的形心C1或C2到腹板邊緣的距離為19.5mm，每根槽鋼截面積為：A1=A2=3.283×103mm2每根槽鋼對本身形心軸的慣性矩為7.3慣性矩整個截面對形心軸的慣性矩應(yīng)等于兩根槽鋼對形心軸的慣性軸之和，故得：7.3慣性矩五、慣性半徑、極慣性矩1.慣性半徑上面介紹了慣性矩的定義。在工程實際應(yīng)用中，為方便起見，還經(jīng)常將慣性矩表示為截面面積A與某一長度平方的乘積，即式中，iy和iz

分別稱為截面對y軸或z軸的慣性半徑，單位為m。由式（7-11）可知，慣性半徑可由截面的慣性矩和面積這兩個幾何量表示為7.3慣性矩寬為b、高為h的矩形截面，對其形心軸z及y的慣性半徑，可由式（7-12）計算得直徑為D的圓形截面，由于對稱，它對任一根形心軸的慣性半徑都相等。由（7-12）式算得7.3慣性矩2.極慣性矩如圖7-10所示，將整個圖形上微面積dA與它到原點O距離（極半徑）

平方的乘積的總和，稱為該圖形對原點O的極慣性矩，用IP表示，即由圖7-10可以看出，ρ、y、z之間,存在著下列關(guān)系：所以，由式（7-13）及式（6-8）可知

7.3慣性矩上式說明：截面對任一直角坐標系中二坐標軸的慣性矩之和，等于它對坐標原點的極慣性矩。因此，盡管過一點可以作出無限多對直角坐標軸，但是截面對其中任意一對直角坐標軸的兩個慣性矩之和始終是不變的，且等于截面對坐標原點的極慣性矩。7.3慣性矩例7-7計算圓形截面的極慣性矩。7.3慣性矩解：圓形的極慣性矩既可直接由（7-13）式積分計算，也可由（7-14）式利用慣性矩計算?，F(xiàn)分別用兩種方法計算如下：(1)用（7-13）式積分計算如圖7-11(a)所示，取圓環(huán)作為微面積，，代入（7-13）式，得:7.3慣性矩（2）根據(jù)公式（7-14）式計算，利用已知圓截面的慣性矩值（見例7-3）代入公式（7-14）式，得:7.3慣性矩例7-8

如圖7-11b所示，計算內(nèi)、外徑分別為d和D的空心圓的極慣性矩Ip。解：取，則其中，為空心圓的內(nèi)外徑之比。7.2面積靜矩7.2面積靜矩一、面積靜矩的概念如圖7-2所示，一任意平面圖形，其面積為A。在圖形平面內(nèi)選取坐標系Oyz，在平面圖形內(nèi)坐標為z、y處取一微面積dA，根據(jù)力對軸之矩的定義，若將微面積dA看成是一個“從里向外的力”，則乘積ydA就是“該力dA”對z軸之矩。故此，我們將乘積ydA稱為微面積dA對z軸的靜矩，將乘積zdA稱為微面積dA對y軸的靜矩。即有

dSz=ydA

dSz=zdA

7.2面積靜矩而截面圖形內(nèi)每一微面積dA與它到y(tǒng)軸或z軸距離乘積的總和，稱為截面對y軸和z軸的面積靜矩（亦稱為面積矩、靜矩），用Sy或Sz表示，即7.2面積靜矩※靜矩概念的應(yīng)用靜矩可用來確定截面圖形形心的位置。如圖7-2所示，若令該截面圖形形心C的坐標為yc、zc，根據(jù)靜力學中的合力矩定理有由上式及式（7-4）可得即有7.2面積靜矩公式(7-4)的意義即平面圖形對z軸（或y軸）的面積靜矩等于圖形面積A與形心坐標yc（或zc）的乘積。當坐標軸通過圖形的形心時，其面積靜矩為零；反過來，若圖形對某軸的面積靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。7.2面積靜矩二、簡單組合圖形的面積靜矩的計算當截面由若干個簡單圖形（如矩形、圓形、三角形等）組成時，由靜矩的定義可知，截面各組成部分對某一軸的靜矩的代數(shù)和，等于整個組合截面對同一軸的靜矩。即式中，Ai、zi、yi分別代表任一組成部分的面積及其形心坐標。應(yīng)當指出，在求圖形對某軸的面積靜矩時，一般都設(shè)為正值；但是若求組合圖形對某軸的面積靜矩時，如果該軸位于圖形內(nèi)，則圖形的一部分對該軸的面積靜矩是正的，而圖形的另一部分對該軸的面積靜矩是負的。7.2面積靜矩將式（7-6）代入式（7-5），可得組合截面形心坐標的計算公式7.2面積靜矩例7-1

如圖7-3所示的截面圖形，試求該圖形的形心位置及圖形對y軸、z軸的面積靜矩。7.2面積靜矩解：選取坐標軸如圖所示，把圖形分成兩個矩形，則A1=10×120=1200mm2

A2=10×70=700mm2

z1=5mmz2=45mmy1=60mmy2=5mm代入公式（7-7）得7.2面積靜矩圖形對y軸、z軸的面積靜矩：根據(jù)公式（7-6）得7.1重心形心截面幾何性質(zhì)

【學習目標】1.了解重心、形心、面積靜矩、慣性矩、慣性積的概念；2.掌握確定形心位置的方法；3.掌握平面圖形對一軸的面積靜矩、慣性矩的計算。截面幾何性質(zhì)【引言】力學中所研究的桿件，其橫截面都是具有一定幾何形狀的平面圖形。與橫截面的形狀及尺寸有關(guān)的許多幾何量（如面積A、極慣性矩IP、抗扭截面系數(shù)WP等）統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，桿件的強度、剛度與這些幾何性質(zhì)密切相關(guān)。經(jīng)驗告訴我們，直桿在拉壓時，在相同的材料下，如果橫截面面積越大，就越能承受軸力；桿件受扭時，在面積相同的情況下，空心圓軸比實心圓軸能承受更大的扭矩。以后在彎曲等其它問題的討論中，還將遇到各種平面圖形的截面的另外一些幾何性質(zhì)。7.1重心形心一、重心