第01講變量之間的關(guān)系（知識解讀達(dá)標(biāo)檢測）（原卷版）

第01講變量之間的關(guān)系【題型1常量與變量】【題型2函數(shù)的表示方法表格法】【題型3函數(shù)的表達(dá)式】【題型4函數(shù)的圖像】【題型5動點問題的函數(shù)圖像】【題型6分段函數(shù)】考點1：變量、自變量、因變量、常量變量：在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。自變量、因變量：如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。注意：變量：在某一過程中發(fā)生變化的量，其中包括自變量與因變量。自變量是最初變動的量，它在研究對象反應(yīng)形式、特征、目的上是獨立的；因變量是由于自變量變動而引起變動的量，它“依賴于”自變量的改變。常量：一個變化過程中數(shù)值始終保持不變的量叫做常量.【題型1常量與變量】【典例1】（2023秋?蒼梧縣期中）在圓的面積計算公式S＝πr2中，r表示半徑，則變量是（）A．2 B．S，r C．π，r D．S【變式11】（2023春?招遠(yuǎn)市期末）汽車以每小時100千米的速度勻速行駛，行駛的路程隨時間的變化而變化，在這個變化過程中，自變量是（）A．汽車 B．路程 C．速度 D．時間【變式12】（2023春?橋西區(qū)校級期中）某學(xué)校用100元錢買乒乓球，所購買球的個數(shù)w與單價n（元）之間的關(guān)系是，其中（）A．100是常量，w，n是變量 B．100，w是常量，n是變量 C．100，n是常量，w是變量 D．無法確定哪個是常量，哪個是變量【變式13】（2023春?任城區(qū)期末）在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫會隨著太陽照射時間的長短而變化，在這個變化過程中，自變量是（）A．熱水器里的水溫 B．太陽光的強(qiáng)弱 C．熱水器的容積 D．太陽照射時間的長短考點2：函數(shù)的三種表示方法（1）列表法（用表格）采用數(shù)表相結(jié)合的形式，運用表格可以表示兩個變量之間的關(guān)系。列表時要選取能代表自變量的一些數(shù)據(jù)，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對應(yīng)值。列表法最大的特點是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對應(yīng)值，但缺點是具有局限性，只能表示因變量的一部分。（2）解析法（關(guān)系式）關(guān)系式是利用數(shù)學(xué)式子來表示變量之間關(guān)系的等式，利用關(guān)系式，可以根據(jù)任何一個自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值（3）圖像法（用圖象）對于在某一變化過程中的兩個變量，把自變量x與因變量y的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些點，這些點所組成的圖形就是它們的圖象（這個圖象就叫做平面直角坐標(biāo)系）。它是我們所表示兩個變量之間關(guān)系的另一種方法，它的顯著特點是非常直觀。不足之處是所畫的圖象是近似的、局部的，通過觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準(zhǔn)確的。三種方法的優(yōu)缺點比較【題型2函數(shù)的表示方法表格法】【典例2】（2023春?鋼城區(qū)期末）某科研小組在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系的一些數(shù)據(jù)（如表）：下列說法錯誤的是（）溫度/℃﹣20﹣100102030聲速/（m/s）318324330336342348A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速 B．溫度越高，聲速越快 C．當(dāng)空氣溫度為20℃時，聲音5s可以傳播1740m D．當(dāng)溫度每升高10℃，聲速增加6m/s【變式21】（2023春?新泰市期末）如表是研究彈簧長度與所掛物體質(zhì)量關(guān)系的實驗表格，則彈簧不掛物體時的長度為（）所掛物體重量x（kg）12345彈簧長度y（cm）1012141618A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式22】（2023?花都區(qū)一模）下表反映的是某地區(qū)電的使用量x（千瓦時）與應(yīng)繳電費y（元）之間的關(guān)系：用電量x（千瓦時）12345…應(yīng)繳電費y（元）0.551.11.652.22.75…以下說法錯誤的是（）A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量 B．用電量每增加1千瓦時，電費增加0.55元 C．若用電量為8千瓦時，則應(yīng)繳電費4.4元 D．若所繳電費為3.75元，則用電量為7千瓦時【變式23】（2023春?棲霞市期末）在《科學(xué)》課上，老師講到溫度計的使用方法及液體的沸點時，好奇的王紅同學(xué)準(zhǔn)備測量食用油的沸點，已知食用油的沸點溫度高于水的沸點溫度（100℃），王紅家只有刻度不超過100℃的溫度計，她的方法是在鍋中倒入一些食用油，用煤氣灶均勻加熱，并每隔10s測量一次鍋中油溫，測量得到的數(shù)據(jù)如下表：時間t/s010203040油溫y/℃1030507090王紅發(fā)現(xiàn)，燒了110s時，油沸騰了，則下列說法不正確的是（）A．加熱10s，油的溫度是30℃ B．在一定范圍內(nèi)，每加熱10s，油的溫度升高20℃ C．估計這種食用油的沸點溫度約是230℃ D．加熱50s，油的溫度是100℃考點3：函數(shù)的表示方法：圖像法對于在某一變化過程中的兩個變量，把自變量x與因變量y的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些點，這些點所組成的圖形就是它們的圖象（這個圖象就叫做平面直角坐標(biāo)系）。它是我們所表示兩個變量之間關(guān)系的另一種方法，它的顯著特點是非常直觀。不足之處是所畫的圖象是近似的、局部的，通過觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準(zhǔn)確的。理解圖像：a.認(rèn)真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象；b.從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標(biāo)），特別是圖像的起點、拐點、交點【題型3函數(shù)的表達(dá)式】【典例3】（2023秋?商河縣期末）某市的出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)（包括3千米）收費8元，超過3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租車行駛的距離為x（x＞3）千米，則需付費用y元與x（千米）之間的關(guān)系式是（）A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3【變式31】（2022秋?隴南期末）如圖，將質(zhì)量為10kg的鐵球放在不計重力的木板OB上的A處，木板左端O處可自由轉(zhuǎn)動，在B處用力F豎直向上抬著木板，使其保持水平，已知OA的長為1m，OB的長為xm，g取10N/kg，則F關(guān)于x的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．【變式32】（2023秋?鄞州區(qū)期末）一輛汽車加滿油后，油箱中有汽油55升，汽車行駛時正常的耗油量為每千米0.1升，則加滿油后，油箱中剩余的汽油量y（升）關(guān)于已行駛的里程x（km）的函數(shù)解析式為．【變式33】（2023秋?金灣區(qū)期末）長方形的周長為36cm，其中一邊長為x（cm），面積為y（cm2），則y與x的關(guān)系可表示為．考點4：事物變化趨勢的描述對事物變化趨勢的描述一般有兩種：(1)隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）（或者用函數(shù)語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而增加（大））；(2)隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸減?。ɑ蛘哂煤瘮?shù)語言描述也可：因變量y隨著自變量x的增加（大）而減小）.注意：如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣，可以采用分段描述.例如在什么范圍內(nèi)隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）等等.【題型4函數(shù)的圖像】【典例4】（2023秋?利辛縣校級期末）在一輛小汽車行駛過程中，小汽車離出發(fā)地的距離s（km）和行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖，根據(jù)圖中的信息，下列說法錯誤的是（）A．小汽車共行駛240km B．小汽車中途停留0.5h C．小汽車出發(fā)后前3小時的平均速度為40千米/時 D．小汽車自出發(fā)后3小時至5小時之間行駛的速度在逐漸減小【變式41】（2023秋?上城區(qū)期末）有一塊長方形菜園ABCD，一邊利用足夠長的墻，另三邊用長度為20m的籬笆圍成，設(shè)長方形的長BC為xm，寬AB為ym，則下列函數(shù)圖象能反映y與x關(guān)系的是（）A．B．C．D．【變式42】（2023秋?渝北區(qū)期末）周日上午，小張跑步去公園鍛煉身體，到達(dá)公園后原地鍛煉了一會之后散步回家，下面能反映小張離公園的距離y與時間x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A．B． C．D．【變式43】（2023秋?普寧市期末）如圖1，一個正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內(nèi)，現(xiàn)以一定的速度往水槽中注水，28s時注滿水槽，水槽內(nèi)水面的高度y（cm）與注水時間x（s）之間的函數(shù)圖象如圖2所示．如果將正方體鐵塊取出，又經(jīng)過秒恰好將水槽注滿．考點5：估計（或者估算）對事物的估計（或者估算）有三種：1.利用事物的變化規(guī)律進(jìn)行估計（或者估算）.例如：自變量x每增加一定量，因變量y的變化情況；平均每次（年）的變化情況（平均每次的變化量=（尾數(shù)－首數(shù)）/次數(shù)或相差年數(shù)）等等；2.利用圖象：首先根據(jù)若干個對應(yīng)組值，作出相應(yīng)的圖象，再在圖象上找到對應(yīng)的點對應(yīng)的因變量y的值；3.利用關(guān)系式：首先求出關(guān)系式，然后直接代入求值即可.【題型5動點問題的函數(shù)圖像】【典例5】（2023秋?大埔縣期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P從頂點D出發(fā)沿正方形的邊運動，路線是D→C→B→A，設(shè)P點經(jīng)過的路程為x，△APD的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【變式51】（2023秋?涇陽縣期末）如圖①，在長方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿B﹣C﹣D﹣A方向勻速運動至點A停止，已知點P的運動速度為2cm/s，設(shè)點P的運動時間為t（s），△PAB的面積為y（cm2），若y關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示，則長方形ABCD的面積為（）A．108cm2 B．54cm2 C．48cm2 D．36cm2【變式52】（2023秋?寬甸縣期末）如圖1，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B→C→A勻速運動到點A，圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則△ABC的面積是（）A．12 B．12 C．6 D．6【變式53】（2023春?曲阜市期末）如圖1，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形ABCD的周長是（）A．18 B．20 C．26 D．36【題型6分段函數(shù)】【典例6】（2022秋?永春縣校級期中）某商場在“五一”期間舉行促銷活動，根據(jù)顧客按商品標(biāo)價一次性購物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法：①如果不超過500元，則不予優(yōu)惠；②如果超過500元，但不超過800元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過800元的部分給予6折優(yōu)惠．促銷期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應(yīng)分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款多少元．【變式61】（2022?阿壩州）在某火車站托運物品時，不超過1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg計）需增加托運費0.5元．則托運xkg（x為大于1的整數(shù)）物品的費用為元．【變式62】（2022秋?城陽區(qū)期中）我國自2011年9月1日起，個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入低于3500元的部分不收稅；月收入超過3500元但低于5000元的部分收3%的所得稅，如某人的月收入為3860元，則他應(yīng)繳納個人工資、薪金所得稅為：（3860﹣3500）×3%＝10.8元，如果某人本月繳納個人工資、薪金所得稅33元．那么此人本月工資、薪金收入是元．【變式63】（2022春?華安縣校級月考）為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市制定了如下用水收費標(biāo)準(zhǔn)，每戶每月的用水不超過10噸時，水價為每噸1.2元，超過10噸時，超過部分按每噸1.8元收費，該市某戶居民5月份用水x噸（x＞10），應(yīng)繳水費y元，（1）寫出y與x之間的關(guān)系式；（2）某戶居民若5月份用水16噸，應(yīng)繳水費多少元？一．選擇題（共8小題）1．（2023秋?濰坊期末）小亮爸爸到加油站加油，如圖是所用的加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌，金額隨著數(shù)量的變化而變化．則下列判斷正確的是（）A．金額是自變量 B．單價是自變量 C．7.76和31是常量 D．金額是數(shù)量的函數(shù)2．（2023秋?溧陽市期末）蘋果熟了，從樹上落下來．下面可以大致刻畫出蘋果下落過程中（即落地前）的速度變化情況的圖象是（）A． B． C． D．3．（2023秋?橋西區(qū)期末）海拔高度h（千米）與此高度處氣溫t（℃）之間有下面的關(guān)系：海拔高度h/千米012345…氣溫t/℃201482﹣4﹣10…下列說法錯誤的是（）A．其中h是自變量，t是因變量 B．海拔越高，氣溫越低 C．氣溫t與海拔高度h的關(guān)系式為t＝20﹣5h D．當(dāng)海拔高度為8千米時，其氣溫是﹣28℃4．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期末）某景區(qū)有一根長60cm的特大蠟燭，若每小時燃燒4cm，那么蠟燭剩余長度y（cm）與燃燒時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示為（）A． B． C． D．5．（2023?蕉城區(qū)校級開學(xué)）一只兔子和一條小狗同時從同一地點向相同方向出發(fā)，它們的運動距離與時間關(guān)系圖象如圖所示，則關(guān)于該圖象下列說法正確的是（）A．小狗的速度始終比兔子快 B．在前5秒內(nèi)，小狗比兔子快 C．圖中BC段表明小狗的速度是4m/s D．整個過程中小狗和兔子的平均速度相同6．（2022秋?港北區(qū)校級期末）如圖①，在矩形MMPQ中，動點R從點N出發(fā)，沿著N→P→Q→M方向運動至點M處停止．設(shè)點R運動的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，那么下列說法不正確的是（）A．當(dāng)x＝6時，y＝10 B．當(dāng)y＝5時，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周長是187．（2023?五華區(qū)校級開學(xué)）學(xué)校教學(xué)樓有4層，小青第一節(jié)課在四樓上數(shù)學(xué)課，第二節(jié)到二樓上藝術(shù)課，第三節(jié)到三樓上科學(xué)課，中午到一樓食堂吃飯．下面能較準(zhǔn)確地描述這件事的是圖（）A． B． C． D．8．（2023秋?明光市期中）星期天，小馬同學(xué)騎自行車到圖書館看書，在圖書館看了一會兒書后突然有急事回家，他按原路快速騎自行車回家，下列圖象能大致表示出小馬同學(xué)離家的距離y（km）與時間x（h）之間的關(guān)系的是（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）9．（2023秋?無錫期末）已知一根彈簧秤不掛物體時彈簧的長度為7cm，在彈性限度內(nèi)，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，則掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)表達(dá)式是．10．（2023秋?萊蕪區(qū)期末）“元旦”期間，小明一家人開車到滑雪場滑雪，出發(fā)前，汽車油箱內(nèi)儲油45升，當(dāng)行駛40千米時，發(fā)現(xiàn)油箱余油量為35升（假設(shè)行駛過程中汽車的耗油量是均勻的）．寫出余油量Q（升）與行駛路程x（千米）之間的關(guān)系式為．11．（2023春?錦江區(qū)校級期中）如圖1，已知長方形ABCD，動點P沿長方形ABCD的邊以B→C→D的路徑運動，記△ABP的面積為y，動點P運動的路程為x，y與x的關(guān)系如圖2所示，則圖2中的m的值為．12．（2023秋?百色期中）一個長方形的面積為12，一邊長為x，另一邊長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是．13．（2023春?周村區(qū)期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿B→C→D→A勻速運動，設(shè)點P運動的路程為x，三角形ABP的面積為y，圖象如圖