三數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用

三、數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題是高考物理考查的能力之一。借助數(shù)學(xué)方法，可使一些復(fù)雜的物理問題，顯示出明顯的規(guī)律性，能快速簡捷地解決問題?？梢哉f任何物理試題的求解過程實際上都是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過求解再還原為物理結(jié)論的過程。下面是幾種物理解題過程中常用的數(shù)學(xué)方法。一、三角函數(shù)法1．輔助角求極值三角函數(shù)：y＝acosθ＋bsinθy＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中tanα＝eq\f(a,b)。當(dāng)θ＋α＝90°時，有極大值ymax＝eq\r(a2＋b2)。例1質(zhì)量為m的物體放置在傾角θ＝30°的粗糙固定斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3),3)，重力加速度為g，現(xiàn)用拉力F(與斜面的夾角為β)拉動物體沿斜面向上勻速運動，下列說法正確的是()A．拉力最小時，物體受三個力作用B．β＝0°時，即拉力沿斜面向上時，拉力F最小C．斜面對物體作用力的方向隨拉力F的變化而變化D．拉力F的最小值為eq\f(\r(3),2)mg2．正弦定理在如圖所示的三角形中，各邊和所對應(yīng)角的正弦之比相等，即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)。例2如圖甲所示，一個邊長為3d的勻質(zhì)玻璃立方體內(nèi)有一個三棱柱真空“氣泡”，立方體置于水平桌面上，其中某一截面圖如圖乙所示，A、B、C、D為正方形四個頂點，Q、N為底邊的三等分點，MN垂直于底邊，PO平行于底邊，O為QM的中點，∠QMN＝30°，D、P位置有相同的光源。真空中光速為c，不考慮光的反射。(1)D處光源向O點發(fā)出一束光恰好不能進入“氣泡”，求該玻璃的折射率；(2)P處光源向O點發(fā)出一束光，求該束光第一次穿過“氣泡”的時間。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．余弦定理在如圖所示的三角形中，有：a2＝b2＋c2－2bc·cosA例3(2023·山東東營市二模)如圖所示，ABDO為某玻璃材料的截面，ABO部分為直角三角形棱鏡，∠A＝30°，OBD部分是半徑為R的四分之一圓柱狀玻璃，O點為圓心。一束單色光從P點與AB成30°角斜射入玻璃材料，剛好垂直O(jiān)A邊射出，射出點離O點eq\f(\r(3),4)R，已知真空中的光速為c。(1)求該單色光在玻璃材料中發(fā)生全反射的臨界角的正弦值；(2)現(xiàn)將該光束繞P點沿逆時針方向在紙面內(nèi)轉(zhuǎn)動至水平方向，觀察到BD面上有光線從Q點射出(Q點未畫出)。求光束在玻璃材料中的傳播時間(不考慮圓柱BD弧面部分的反射光線)。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、均值不等式由均值不等式a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)可知：(1)兩個正數(shù)的積為定值時，若兩數(shù)相等，和最??；(2)兩個正數(shù)的和為定值時，若兩數(shù)相等，積最大。例4某運動員從滑雪跳臺以不同的速度v0水平跳向?qū)γ鎯A角為45°的斜坡(如圖所示)，已知跳臺的高度為h，不計空氣阻力，重力加速度為g，則該運動員落到斜坡上的最小速度為()A.eq\r(\r(2)－1gh) B.eq\r(\r(3)－1gh)C.eq\r(\r(5)－1gh) D.eq\r(\r(6)－1gh)三、利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c(1)當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時，有極值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次項系數(shù)a>0，y有極小值；若a<0，y有極大值)。(2)利用一元二次方程判別式求極值。用判別式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的極值。例5如圖所示，生產(chǎn)車間有兩個完全相同的水平傳送帶甲和乙，它們相互垂直且等高，兩傳送帶由同一電機驅(qū)動，它們正常工作時都勻速運動，速度大小分別為v甲、v乙，并滿足v甲＋v乙＝v，式中v為已知定值，即兩傳送帶的速度可調(diào)但代數(shù)和始終不變。將一工件A(視為質(zhì)點)輕放到傳送帶甲上，工件離開傳送帶甲前已經(jīng)與傳送帶甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳送到傳送帶乙上，且不會從傳送帶乙的右側(cè)掉落。已知工件的質(zhì)量為m，工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。兩傳送帶正常工作時，下列說法正確的是()A．工件在傳送帶甲和乙上共速前受到的摩擦力一定相同B．當(dāng)v甲＝0.5v乙時，工件在傳送帶乙上留下的滑動痕跡最短C．當(dāng)v甲＝0.5v乙時，工件與兩傳送帶因摩擦而產(chǎn)生的總熱量最小D．驅(qū)動傳送帶的電機因傳送工件至少需要額外做的功為eq\f(mv2,4)四、數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強的特點，但每一個重復(fù)過程均不是與原來完全相同的重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)。隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化。該類問題求解的基本思路為：(1)逐個分析開始的幾個物理過程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點和規(guī)律求解。無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用。等差數(shù)列：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d為公差)。等比數(shù)列：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q為公比)。例6如圖甲所示，木板B靜止在光滑水平地面上，距木板B右端x處固定一個物塊A。現(xiàn)有物塊C以v0＝8m/s的速度沖上木板。已知木板B的質(zhì)量mB＝4kg，物塊C的質(zhì)量mC＝2kg，物塊C從沖上木板到最終靜止的v－t圖像如圖乙所示，物塊C始終未從木板上掉下來，已知所有的碰撞均為彈性碰撞，重力加速度g取10m/s2。(1)木板的長度至少是多少？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)物塊A距木板B右端的最大距離？(3)若mC＝4kg，mB＝2kg，A距B板右端的距離eq\f(16,9)m，則木板B運動的總路程是多少？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________