高一數(shù)學(xué)提高篇講義(涵蓋必修1,2,4,5)【答案精解】

一集合與函數(shù)1.1集合及其運(yùn)算集合的三要素：、、集合的表示方法：、、幾個(gè)特別集合：、、、、、4、區(qū)間表示數(shù)集：元素與集合之間的關(guān)系元素與集合：是集合的元素記為，不是集合的元素記為。集合與集合：是的子集，記作或。是的真子集，記作或。規(guī)定是任何集合的，是任何非空集合的。個(gè)元素的集合有個(gè)子集，個(gè)真子集，個(gè)非空真子集。集合的運(yùn)算：（1）交集(2)并集(3)補(bǔ)集【典型例題】(2009年高考北京卷)設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k∈A，假如k－1?A，且k＋1?A，那么稱k是A的一個(gè)“孤立元”．給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有________個(gè)．解析：依題可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的全部集合中，不含“孤立元”，這三個(gè)元素肯定是相連的三個(gè)數(shù)．故這樣的集合共有6個(gè)．答案：6設(shè)集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，則M中全部元素的和為_(kāi)_______．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中全部元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511已知集合A＝{x|x＝a＋eq\f(1,6)，a∈Z}，B＝{x|x＝eq\f(b,2)－eq\f(1,3)，b∈Z}，C＝{x|x＝eq\f(c,2)＋eq\f(1,6)，c∈Z}，則A、B、C之間的關(guān)系是________．解析：用列舉法找尋規(guī)律．答案：AB＝C4、設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以A?B＝(2，＋∞)．5、(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人寵愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人寵愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不寵愛(ài)，則寵愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不寵愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_(kāi)_______．解析：設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都寵愛(ài)的人數(shù)為x，畫出韋恩圖得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴寵愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不寵愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為15-3=12(人)．答案：12【鞏固練習(xí)】1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，則集合A與B的關(guān)系為_(kāi)_______．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若?{x|x2≤a，a∈R}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，則集合A與B的關(guān)系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.答案：BA4．(2009年高考廣東卷改編)已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，則NM.答案：②5．設(shè)a，b都是非零實(shí)數(shù)，y＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(ab,|ab|)可能取的值組成的集合是________．解析：分四種狀況：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，探討得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，則實(shí)數(shù)m＝________.解析：∵B?A，明顯m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：17．設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是________個(gè)．解析：依次分別取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分別求和，留意到集合元素的互異性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：88．滿意{1}A?{1,2,3}的集合A的個(gè)數(shù)是________個(gè)．解析：A中肯定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：39．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，則“A?B”是“a>5”的________．解析：結(jié)合數(shù)軸若A?B?a≥4，故“A?B”是“a>5”的必要但不充分條件．答案：必要不充分條件10．(2009年高考浙江卷改編)設(shè)U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，則A∩?UB＝____.解析：?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}11．(2009年高考全國(guó)卷Ⅰ改編)設(shè)集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，則集合?U(A∩B)中的元素共有________個(gè)．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：312．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，則集合M∩N＝________.解析：由題意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}13．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，則M∩N＝________.解析：因?yàn)榧螻＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}14．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，則(?UA)∩B＝________.解析：?UA＝{0,1}，故(?UA)∩B＝{0}．答案：{0}15．(2010年濟(jì)南市高三模擬)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，則M∩(?UN)＝________.解析：依據(jù)已知得M∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}16．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，從而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}17．(2009年高考江西卷改編)已知全集U＝A∪B中有m個(gè)元素，(?UA)∪(?UB)中有n個(gè)元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：U＝A∪B中有m個(gè)元素，∵(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n個(gè)元素，∴A∩B中有m－n個(gè)元素．答案：m－n18．(2009年高考重慶卷)設(shè)U＝{n|n是小于9的正整數(shù)}，A＝{n∈U|n是奇數(shù)}，B＝{n∈U|n是3的倍數(shù)}，則?U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得?U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}19．定義A?B＝{z|z＝xy＋eq\f(x,y)，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，則集合(A?B)?C的全部元素之和為_(kāi)_______．解析：由題意可求(A?B)中所含的元素有0,4,5，則(A?B)?C中所含的元素有0,8,10，故全部元素之和為18.答案：1820．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}={(x，y)|y＝3x＋b}，則b＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－2y＋4＝0.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))點(diǎn)(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.21．設(shè)全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，?IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，則集合M的全部子集是________．解析：∵A∪(?IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．答案：?，{1}，{2}，{1,2}1.2函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)的奇偶性：函數(shù)的周期性：函數(shù)的對(duì)稱性：函數(shù)的圖像：基本初等函數(shù)：7、函數(shù)的零點(diǎn)：【典型例題】1、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋bx＋c(x≤0)))，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則f(x)的解析式為f(x)＝________，關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè)．解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0))).由數(shù)形結(jié)合得f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)有3個(gè)．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0)))32、函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0<a<1)的單調(diào)減區(qū)間是________．解析：∵0<a<1，y＝logax為減函數(shù)，∴l(xiāng)ogax∈[0，eq\f(1,2)]時(shí)，g(x)為減函數(shù)．由0≤logax≤eq\f(1,2)eq\r(a)≤x≤1.答案：[eq\r(a)，1](或(eq\r(a)，1))3．函數(shù)y＝eq\r(x－4)＋eq\r(15－3x)的值域是________．解析：令x＝4＋sin2α，α∈[0，eq\f(π,2)]，y＝sinα＋eq\r(3)cosα＝2sin(α＋eq\f(π,3))，∴1≤y≤2.答案：[1,2]4．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)x∈R，f(x)<b·g(x)x∈R，x2－bx＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①當(dāng)Δ≤0即－eq\f(2\r(5),5)≤m≤eq\f(2\r(5),5)時(shí)，則必需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)))－eq\f(2\r(5),5)≤m≤0.②當(dāng)Δ>0即m<－eq\f(2\r(5),5)或m>eq\f(2\r(5),5)時(shí)，設(shè)方程F(x)＝0的根為x1，x2(x1<x2)，若eq\f(m,2)≥1，則x1≤0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≥1,F(0)＝1－m2≤0))m≥2.若eq\f(m,2)≤0，則x2≤0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,F(0)＝1－m2≥0))－1≤m<－eq\f(2\r(5),5).綜上所述：－1≤m≤0或m≥2.5．(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)隨意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，則下列結(jié)論正確的是________．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由已知eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①6．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，則函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．解析：∵函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝13.答案：137．若函數(shù)f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在區(qū)間(0，eq\f(1,2))內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________．解析：令μ＝2x2＋x，當(dāng)x∈(0，eq\f(1,2))時(shí)，μ∈(0,1)，而此時(shí)f(x)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(x＋eq\f(1,4))2－eq\f(1,8)，則減區(qū)間為(－∞，－eq\f(1,4))．而必定有2x2＋x>0，即x>0或x<－eq\f(1,2).∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－eq\f(1,2))．答案：(－∞，－eq\f(1,2))8、(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)為奇函數(shù)，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期為2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)?f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：09、(2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)、f(11)、f(80)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閒(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝－f(x＋eq\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.解析：f(x)＝－f(x＋eq\f(3,2))?f(x＋3)＝f(x)，即周期為3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：011、(2009年高考山東卷)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝x＋a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的圖象可知a>1時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，0<a<1時(shí)兩函數(shù)圖象有惟一交點(diǎn)，故a>1.答案：(1，+∞)12、設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（）B、C、D、13、(2009年高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，則a、b、c的大小關(guān)系是________．解析：a＝log3π>1，b＝log2eq\r(3)＝eq\f(1,2)log23∈(eq\f(1,2)，1)，c＝log3eq\r(2)＝eq\f(1,2)log32∈(0，eq\f(1,2))，故有a>b>c.答案：a>b>c14、(2010年廣東廣州質(zhì)檢)下列圖象中，表示y＝x的是________．解析：y＝x＝eq\r(3,x2)是偶函數(shù)，∴解除②、③，當(dāng)x>1時(shí)，＝x>1，∴x>x，∴解除①.答案：④15、(2010年濟(jì)南市高三模擬考試)函數(shù)y＝eq\f(x,|x|)·ax(a>1)的圖象的基本形態(tài)是_____．16、(2009年高考安徽卷改編)設(shè)a<b，函數(shù)y＝(x－a)2(x－b)的圖象可能是_____．17、(2010年?yáng)|北三省模擬)函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－a恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a＝__________.解析：先畫出f(x)＝4x－x2的圖象，再將x軸下方的圖象翻轉(zhuǎn)到x軸的上方，如圖，y＝a過(guò)拋物線頂點(diǎn)時(shí)恰有三個(gè)交點(diǎn)，故得a的值為4.答案：418、已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(kx－1,x－1)(k∈R且k>0)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)在[10，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍．解：(1)由eq\f(kx－1,x－1)>0及k>0得eq\f(x－\f(1,k),x－1)>0，即(x－eq\f(1,k))(x－1)>0.①當(dāng)0<k<1時(shí)，x<1或x>eq\f(1,k)；②當(dāng)k＝1時(shí)，x∈R且x≠1；③當(dāng)k>1時(shí)，x<eq\f(1,k)或x>1.綜上可得當(dāng)0<k<1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(eq\f(1,k)，＋∞)；當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，eq\f(1,k))∪(1，＋∞)．(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函數(shù)，∴eq\f(10k－1,10－1)>0，∴k>eq\f(1,10).又f(x)＝lgeq\f(kx－1,x－1)＝lg(k＋eq\f(k－1,x－1))，故對(duì)隨意的x1，x2，當(dāng)10≤x1<x2時(shí)，恒有f(x1)<f(x2)，即lg(k＋eq\f(k－1,x1－1))<lg(k＋eq\f(k－1,x2－1))，∴eq\f(k－1,x1－1)<eq\f(k－1,x2－1)，∴(k－1)·(eq\f(1,x1－1)－eq\f(1,x2－1))<0，又∵eq\f(1,x1－1)>eq\f(1,x2－1)，∴k－1<0，∴k<1.綜上可知k∈(eq\f(1,10)，1)．19、已知函數(shù)f(x)滿意f(logax)＝eq\f(a,a2－1)(x－x－1)，其中a>0且a≠1.(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求實(shí)數(shù)m的集合；(2)x∈(－∞，2)時(shí)，f(x)－4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍．解：令logax＝t(t∈R)，則x＝at，∴f(t)＝eq\f(a,a2－1)(at－a－t)，∴f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)．∵f(－x)＝eq\f(a,a2－1)(a－x－ax)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函數(shù)．當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(a,a2－1)>0，ax是增函數(shù)，－a－x是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<1，eq\f(a,a2－1)<0，ax是減函數(shù)，－a－x是減函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)．綜上所述，a>0且a≠1時(shí)，f(x)是R上的增函數(shù)．(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<m2－1，,－1<1－m<1，,－1<m2－1<1.))解得m∈(1，eq\r(2))．(2)∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴f(x)－4也是R上的增函數(shù)，由x<2，得f(x)<f(2)，∴f(x)－4<f(2)－4，要使f(x)－4的值恒為負(fù)數(shù)，只需f(2)－4≤0，即eq\f(a,a2－1)(a2－a－2)－4≤0，解得2－eq\r(3)≤a≤2＋eq\r(3)，∴a的取值范圍是2－eq\r(3)≤a≤2＋eq\r(3)且a≠1.【鞏固練習(xí)】1、(2009年高考北京卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,－x，x>1.))若f(x)＝2，則x＝________.解析：依題意得x≤1時(shí)，3x＝2，∴x＝log32；當(dāng)x>1時(shí)，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log322、(2009年高考天津卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0,x＋6，x<0))，則不等式f(x)>f(1)的解集是________．解析：由已知，函數(shù)先增后減再增，當(dāng)x≥0，f(x)>f(1)＝3時(shí)，令f(x)＝3，解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集為0≤x<1或x>3.當(dāng)x<0，x＋6＝3時(shí)，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3<x<0或x>3.綜上，f(x)>f(1)的解集為{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}3．(2009年高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(4－x)，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x＞0，))則f(3)的值為_(kāi)_______．解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－24．若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由題知g(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，且g(2)>0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))∴－4<a≤4.答案：－4<a≤45．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(eq\f(3,4)，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__．解析：∵f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(eq\r(a)，＋∞)上為增函數(shù)，∴eq\r(a)≤eq\f(3,4)，0<a≤eq\f(9,16).答案：(0，eq\f(9,16)]6．(2010年陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax(x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))滿意對(duì)隨意x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0成立，則a的取值范圍是________．解析：由題意知，f(x)為減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,a0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤eq\f(1,4).7、(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則滿意f(2x－1)<f(eq\f(1,3))的x取值范圍是________．解析：由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)<f(eq\f(1,3))，再依據(jù)f(x)的單調(diào)性得|2x－1|<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).答案：(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))8．(原創(chuàng)題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對(duì)x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時(shí)，f(2011)的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－29、．(2010年浙江臺(tái)州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則滿意f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期為4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：010．(2009年高考江西卷改編)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2009)＋f(2010)的值為_(kāi)_______．解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0時(shí)f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期為2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：111．(2010年江蘇蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對(duì)于定義域內(nèi)隨意的x，滿意f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，若當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)＝x，則f(2009.5)＝________.解析：由f(x＋2)＝－eq\f(1,f(x))，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)12．(原創(chuàng)題)若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a等于________．解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,a2－1＝0,a0－1＝2))無(wú)解或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,a0－1＝0,a2－1＝2))?a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)13、(2009年高考遼寧卷改編)已知函數(shù)f(x)滿意：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝(eq\f(1,2))x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2.∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(eq\f(1,2))log224＝2－log224＝2log2eq\f(1,24)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)14、(原創(chuàng)題)方程xeq\f(1,2)＝logsin1x的實(shí)根個(gè)數(shù)是__________．15、(2010年安徽省江南十校模擬)函數(shù)f(x)＝2x＋x－7的零點(diǎn)所在的區(qū)間是____．①(0,1)②(1,2)③(2,3)④(3,4)16、若函數(shù)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的最大值是m,且f(x)是偶函數(shù)，則m+μ=200817、設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線及直線對(duì)稱，且時(shí)，，則（A）（B）（C）（D）18.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)隨意實(shí)數(shù)都有，則的值是A.0B.C.1D.19、函數(shù)f(x)=1+log2x與g(x)=在同始終角坐標(biāo)系下的圖象大致是20、已知是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的反函數(shù)的圖像大致是21、函數(shù)的圖象可能是（）22、函數(shù)的圖象大致是（）A、B、C、D、二三角函數(shù)與解三角形隨意角的三角函數(shù)定義三角函數(shù)線三角函數(shù)基本公式4、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)正余炫定理【典型例題】例1若一個(gè)α角的終邊上有一點(diǎn)P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，則a的值為_(kāi)_______．解析：依題意可知α角的終邊在第三象限，點(diǎn)P(－4，a)在其終邊上且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，易得tanα＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，則a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3).答案：－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3)例2(2010年南昌質(zhì)檢)若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝_____________.解析：eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5).答案：eq\f(16,5)例3已知向量a＝(eq\r(3)，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，將m表示為α的函數(shù)，并求m的最小值及相應(yīng)的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))的值．解：(1)∵a∥b，∴eq\r(3)cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－eq\r(3)cosα＝2sin(α－eq\f(π,3))．又∵α∈[0,2π)，∴當(dāng)sin(α－eq\f(π,3))＝－1時(shí)，mmin＝－2.此時(shí)α－eq\f(π,3)＝eq\f(3,2)π，即α＝eq\f(11,6)π.(2)∵a⊥b，且m＝0，∴eq\r(3)sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－eq\f(\r(3),3).∴eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))＝eq\f(sinα·(－sin2α),－cosα)＝tanα·2sinα·cosα＝tanα·eq\f(2sinα·cosα,sin2α＋cos2α)＝tanα·eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1,2).例4(2009年高考四川卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))(x∈R)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是________．①函數(shù)f(x)的最小正周期為2π②函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上是增函數(shù)③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱④函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析：∵y＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx，y＝－cosx為偶函數(shù)，∴T＝2π，在[0，eq\f(π,2)]上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．答案：④例5(2010年蘇北四市調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－eq\f(2π,3)，eq\f(2π,3)]上單調(diào)遞增，則ω的最大值為_(kāi)_______．解析：由題意，得eq\f(2π,4ω)≥eq\f(2π,3)，∴0<ω≤eq\f(3,4)，則ω的最大值為eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)例6已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2eq\r(3))，其中ω>0，函數(shù)f(x)＝a·b，若f(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為π.(1)求f(x)的解析式；(2)若對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2eq\r(3))＝sin2ωx＋eq\r(3)(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).∵相鄰兩對(duì)稱軸的距離為π，∴eq\f(2π,2ω)＝2π，∴ω＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).(2)∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，∴x＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]，∴2eq\r(3)≤f(x)≤2＋eq\r(3).又∵|f(x)－m|<2，∴－2＋m<f(x)<2＋m.,若對(duì)隨意x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋m≤2\r(3)，,2＋m≥2＋\r(3)，))解得eq\r(3)≤m≤2＋2eq\r(3).例7(2009年高考浙江卷)已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)＝1＋asinax的圖象不行能是________．解析：函數(shù)的最小正周期為T＝eq\f(2π,|a|)，∴當(dāng)|a|>1時(shí)，T<2π.當(dāng)0<|a|<1時(shí)，T>2π，視察圖形中周期與振幅的關(guān)系，發(fā)覺(jué)④不符合要求．答案：④例8、如圖是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分圖象，則下列命題中，正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．①函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)；②函數(shù)f(x)的振幅為2eq\r(3)；③函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(7,12)π；④函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]；⑤函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2,3)π)．解析：據(jù)圖象可得：A＝eq\r(3)，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)?T＝π，故ω＝2，又由f(eq\f(7π,12))＝eq\r(3)?sin(2×eq\f(7π,12)＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－eq\f(2π,3)，故f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))，依次推斷各選項(xiàng)，易知①②是錯(cuò)誤的，由圖象易知x＝eq\f(7π,12)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故③正確，④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有無(wú)窮多個(gè)，區(qū)間[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]只是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，⑤由上述推導(dǎo)易知正確．答案：③⑤例9(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx，假如存在實(shí)數(shù)x1，使得對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，則ω的最小值為_(kāi)_______．解析：明顯結(jié)論成立只需保證區(qū)間[x1，x1＋2010]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sin(ωx＋eq\f(π,4))，則2010≥eq\f(\f(2π,ω),2)?ω≥eq\f(π,2010).答案：eq\f(π,2010)例10(2009年高考寧夏、海南卷)已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖象如圖所示，則φ＝________.解析：由圖可知，eq\f(T,2)＝2π－eq\f(3,4)π，∴T＝eq\f(5,2)π，∴eq\f(2π,ω)＝eq\f(5,2)π，∴ω＝eq\f(4,5)，∴y＝sin(eq\f(4,5)x＋φ)．又∵sin(eq\f(4,5)×eq\f(3,4)π＋φ)＝－1，∴sin(eq\f(3,5)π＋φ)＝－1，∴eq\f(3,5)π＋φ＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ<π，∴φ＝eq\f(9,10)π.答案：eq\f(9,10)π例11(2009年高考天津卷改編)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象________．解析：∵f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，∴eq\f(2π,ω)＝π，故ω＝2.又f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))∴g(x)＝sin[2(x＋eq\f(π,8))＋eq\f(π,4)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x.答案：向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度例12(2010年深圳調(diào)研)定義行列式運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosx,1sinx))的圖象向左平移m個(gè)單位(m>0)，若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是________．解析：由題意，知f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝2sin(x－eq\f(π,6))，其圖象向左平移m個(gè)單位后變?yōu)閥＝2sin(x－eq\f(π,6)＋m)，平移后其對(duì)稱軸為x－eq\f(π,6)＋m＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.若為偶函數(shù)，則x＝0，所以m＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，故m的最小值為eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)例13(2009年高考上海卷)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式sineq\f(πx,2)≥kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝sineq\f(πx,2)的圖象如圖所示，y＝kx的圖象在[0,1]之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，當(dāng)k≤0時(shí)，y＝kx在[0,1]上的圖象恒在x軸下方，原不等式成立．當(dāng)k>0，kx≤sineq\f(πx,2)時(shí)，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．故k≤1時(shí)，x∈[0,1]上恒有sineq\f(πx,2)≥kx.答案：k≤1已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α、β均為銳角，則β等于________．解析：∵α、β均為銳角，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\r(1－sin2(α－β))＝eq\f(3\r(10),10).∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝eq\r(1－(\f(\r(5),5))2)＝eq\f(2\r(5),5).∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(2),2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)例14eq\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)的值為_(kāi)_______．解析：eq\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(cos2α－sin2α,(sinα＋cosα)2)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(cosα－sinα,sinα＋cosα)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝1.例15(原創(chuàng)題)函數(shù)f(x)＝(sin2x＋eq\f(1,2010sin2x))(cos2x＋eq\f(1,2010cos2x))的最小值是________．解析：f(x)＝eq\f((2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1),20102sin2xcos2x)＝eq\f(20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋1,20102sin2xcos2x)＝sin2xcos2x＋eq\f(2011,20102sin2xcos2x)－eq\f(2,2010)≥eq\f(2,2010)(eq\r(2011)－1)．例16(2010年南京調(diào)研)已知：0<α<eq\f(π,2)<β<π，cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋eq\f(π,4))的值．解：(1)法一：∵cos(β－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)cosβ＋sineq\f(π,4)sinβ＝eq\f(\r(2),2)cosβ＋eq\f(\r(2),2)sinβ＝eq\f(1,3)，∴cosβ＋sinβ＝eq\f(\r(2),3)，∴1＋sin2β＝eq\f(2,9)，∴sin2β＝－eq\f(7,9).法二：sin2β＝cos(eq\f(π,2)－2β)＝2cos2(β－eq\f(π,4))－1＝－eq\f(7,9).(2)∵0<α<eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,4)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，∴sin(β－eq\f(π,4))>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，∴sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq\f(3,5).∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝－eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(8\r(2)－3,15).例17(2009年高考福建卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于eq\f(π,3)，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．解：法一：(1)由coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0得coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(π,4)sinφ＝0，即cos(eq\f(π,4)＋φ)＝0.又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))．依題意，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，又T＝eq\f(2π,ω)，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin[3(x＋m)＋eq\f(π,4)]，g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即m＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,12)(k∈Z)．從而，最小正實(shí)數(shù)m＝eq\f(π,12).法二：(1)同法一．(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))．依題意，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3).又T＝eq\f(2π,ω)，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin[3(x＋m)＋eq\f(π,4)]．g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)g(－x)＝g(x)對(duì)x∈R恒成立，亦即sin(－3x＋3m＋eq\f(π,4))＝sin(3x＋3m＋eq\f(π,4))對(duì)x∈R恒成立．∴sin(－3x)cos(3m＋eq\f(π,4))＋cos(－3x)·sin(3m＋eq\f(π,4))＝sin3xcos(3m＋eq\f(π,4))＋cos3xsin(3m＋eq\f(π,4))，即2sin3xcos(3m＋eq\f(π,4))＝0對(duì)x∈R恒成立．∴cos(3m＋eq\f(π,4))＝0，故3m＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴m＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，從而，最小正實(shí)數(shù)m＝eq\f(π,12).例18設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的最大值，并寫出訪取最大值是的集合；（Ⅱ）已知中，角的對(duì)邊分別為若求的最小值.【答案】（Ⅰ）……的最大值為……分要使取最大值，故的集合為……分注：未寫“”扣1分；結(jié)果未寫成集合形式扣1分.假如兩者都不符合也扣1分.（Ⅱ）由題意，，即化簡(jiǎn)得……分，，只有，…分在中，由余弦定理，……………分由知，即，當(dāng)時(shí)取最小值……………分【鞏固練習(xí)】1．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(a，|a|)，且a≠0，則sinα的值為_(kāi)_______．解析：當(dāng)a>0時(shí)，點(diǎn)P(a，a)在第一象限，sinα＝eq\f(\r(2),2)；當(dāng)a<0時(shí)，點(diǎn)P(a，－a)在其次象限，sinα＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)2.（原創(chuàng)題)若一個(gè)α角的終邊上有一點(diǎn)P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，則a的值為_(kāi)_______．解析：依題意可知α角的終邊在第三象限，點(diǎn)P(－4，a)在其終邊上且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，易得tanα＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，則a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3).答案：－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3)3.已知sinx＝2cosx，則sin2x＋1＝________.解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)4．函數(shù)f(x)＝sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,2))＋sineq\f(2,3)x的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是________．解析：f(x)＝coseq\f(2x,3)＋sineq\f(2x,3)＝eq\r(2)sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,4))，相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，T＝eq\f(2π,\f(2,3))＝3π，∴eq\f(T,2)＝eq\f(3π,2).答案：eq\f(3π,2)5.(2009年高考遼寧卷改編)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，則f(0)＝________.解析：eq\f(T,2)＝eq\f(11,12)π－eq\f(7,12)π＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.又(eq\f(7,12)π，0)是函數(shù)的一個(gè)上升段的零點(diǎn)，∴3×eq\f(7,12)π＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，代入f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，∴f(0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6.假如tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩根，則eq\f(sin(α＋β),cos(α－β))＝________.解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，則eq\f(sin(α＋β),cos(α－β))＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3,1－3)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)7.設(shè)α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，β∈(0，eq\f(π,4))，cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，則sin(α＋β)＝________.解析：α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，α－eq\f(π,4)∈(0，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，∴sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5).∵β∈(0，eq\f(π,4))，∴eq\f(3π,4)＋β∈(eq\f(3π,4)，π)．∵sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，∴cos(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－eq\f(π,4))＋(eq\f(3π,4)＋β)]＝－cos(α－eq\f(π,4))·cos(eq\f(3π,4)＋β)＋sin(α－eq\f(π,4))·sin(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65)，即sin(α＋β)＝eq\f(56,65).8.已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈R)，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n－1.(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若f(A)＝，f(B)＝，求f(C)的值．解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx.∵x∈R，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,1]．(2)∵f(A)＝，f(B)＝，∴sinA＝，sinB＝.∵A，B都為銳角，∴cosA＝＝，cosB＝＝.∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.∴f(C)的值為.9.已知角α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.(1)求tan(α＋eq\f(π,4))的值；(2)求cos(eq\f(π,3)－2α)的值．解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，又α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴tanα＝eq\f(4,3)，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，(1)tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(\f(4,3)＋1,1－\f(4,3))＝－7.(2)cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)，cos(eq\f(π,3)－2α)＝coseq\f(π,3)cos2α＋sineq\f(π,3)sin2α＝eq\f(1,2)×(－eq\f(7,25))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(24,25)＝eq\f(24\r(3)－7,50).10.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形。（Ⅰ）求的值及函數(shù)的值域；（Ⅱ）若，且，求的值。18．本小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。解：（I）由已知可得，又正三角形的高為，從而所以函數(shù)的周期，即函數(shù)的值域?yàn)椤?.6分（II）因?yàn)?，由（I）有，即由，知所以故……………………12分三數(shù)列3.1數(shù)列與不等式【典型例題】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的實(shí)力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題經(jīng)常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．一．先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿意，試求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：解：（1）由已知得，時(shí)，，作差得：，所以，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以二．先放縮再求和1．放縮后成等差數(shù)列，再求和例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求證：；(2)求證：解：（1）在條件中，令，得，，又由條件有，上述兩式相減，留意到得∴所以，，所以（2）因?yàn)?，所以，所?．放縮后成等比數(shù)列，再求和例3（2012廣東）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，，且，，成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有。（1）∵且成等差數(shù)列∴解得（2）∵………………①∴……………………②②-①化得∵∴∴，故數(shù)列{}成首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，于是有∴，（3）∵（當(dāng)n=1時(shí)，取等號(hào)。）∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，取等號(hào)。）∴3．放縮后為差比數(shù)列，再求和例4．已知數(shù)列滿意：，．求證：證明：因?yàn)?，所以與同號(hào)，又因?yàn)?，所以，即，即．所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：．令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5已知數(shù)列中，證明：放縮一：＝點(diǎn)評(píng)：此種放縮為常規(guī)法，學(xué)生很簡(jiǎn)潔想到，但須要保留前5項(xiàng)，從第6項(xiàng)起先放大，才能達(dá)到證題目的，這一點(diǎn)學(xué)生往往又想不到，或因意志力不堅(jiān)毅而放棄。須要保留前5項(xiàng)，說(shuō)明放大的程度過(guò)大，能不能作一下調(diào)整？放縮二：點(diǎn)評(píng)：此種方法放大幅度較（一）小，更接近于原式，只需保留前2項(xiàng)，從第3項(xiàng)起先放大，能較簡(jiǎn)潔想到，還能再進(jìn)一步靠近原式？放縮三：本題點(diǎn)評(píng)：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動(dòng)的項(xiàng)數(shù)也隨著發(fā)生改變，放縮程度越小，精確度越高，保留不動(dòng)的項(xiàng)數(shù)就越少，運(yùn)算越簡(jiǎn)潔，因此，用放縮法解題時(shí)，放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避開(kāi)運(yùn)算上的麻煩。3.2數(shù)列與其他學(xué)問(wèn)綜合問(wèn)題【典型例題】例1、已知數(shù)列為等差數(shù)列，每相鄰兩項(xiàng)，分別為方程，（是正整數(shù)）的兩根.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）求之和;（3）對(duì)于以上的數(shù)列和,整數(shù)981是否為數(shù)列｛｝中的項(xiàng)？若是,則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是,則說(shuō)明理由.1.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得由得由另解:由得(其余略)(2)(10分)(3)∵n是正整數(shù),是隨n的增大而增大,又＜981,＞981∴整數(shù)981不是數(shù)列｛｝中的項(xiàng).例2、已知數(shù)列{}、{}滿意：，an+bn=1，.(1)求：b1、b2、b3、b4、b5.(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求實(shí)數(shù)a為何值時(shí)恒成立．1.解：（1)∵∴（2）∵∴∴數(shù)列{}是以－4為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列∴…...…........3分(3)∵∴=+++......+=—+—+—+......+—=—=…….....5分∴…………….............………........7分由條件可知(a—1)n2+(3a—6)n—8<0恒成馬上可滿意條件設(shè)f(n)=(a—1)n2+(3a—6)n—8…………….................................................................................................................………........9分a＝1時(shí)，恒成立,a>1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不行能成立a<l時(shí)，對(duì)稱軸f(n)在為單調(diào)遞減函數(shù)．.......10分∴∴a<1時(shí)恒成立綜上知：a≤1時(shí)，恒成立………………........................................…............…....12分例3、公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列是等差數(shù)列，求非零常數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，求的最大值。例4.已知函數(shù)，若數(shù)列：成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)若，令，求數(shù)列前項(xiàng)和；(3)在(2)的條件下對(duì)隨意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.解：(1)由求得，所以，求得.(2)，，錯(cuò)位相減得(3)，所以為遞增數(shù)列.中的最小項(xiàng)為，所以.例5.已知曲線y=，過(guò)曲線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作切線(斜率為）。（I）求直線與曲線y=交于另一點(diǎn)；（II）在（I）的結(jié)論中，求出的遞推關(guān)系。若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）在（II）的條件下，記，問(wèn)是否存在自然數(shù)m，M，使得不等式m<Rn<M對(duì)一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由。17.解：（I）y′=（II）（III）①②②－①得：此時(shí)M=2，m=0【鞏固練習(xí)】1、已知向量向量與垂直，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.解（1）向量與垂直即 …………2分是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列…………4分。…………5分（2），，…………8分……①……②………10分由①—②得，……12分………14分2、已知等比數(shù)列{an}滿意((I)求{an}的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.（17）解：（Ⅰ）設(shè)an＝a1qn－1，依題意，有eq\b\lc\{(\a\al(a1a2＝a\o(2,1)q＝－\f(1,3)，,a3＝a1q2＝\f(1,9)，))解得a1＝1，q＝－eq\f(1,3)． …4分所以an＝(－eq\f(1,3))n－1． …5分（Ⅱ）bn＝eq\f(n＋1,1×2)＋eq\f(n＋1,2×3)＋…＋eq\f(n＋1,n(n＋1))＝(n＋1)[eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))]＝(n＋1)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝n． …7分記數(shù)列{eq\f(bn,an)}的前n項(xiàng)的和為Sn，則Sn＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n×(－3)n－1，－3Sn＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n×(－3)n，兩式相減，得4Sn＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n×(－3)n＝eq\f(1－(－3)n,4)－n×(－3)n，故Sn＝eq\f(1－(4n＋1)(－3)n,16)． 3、已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為18，是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，若恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，（1）求的通項(xiàng)公式．（2）記數(shù)列，的前項(xiàng)和為，求證：19/解（1）是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)………2分又………4分………6分（2）…8分又因?yàn)榧础?2分所以：……12分4（2006年全國(guó)卷I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，，證明：解：易求（其中n為正整數(shù)）所以：5（2006年福建卷）已知數(shù)列滿意 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）證明： 解：（I）易求 （II）證明： 點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)高考題向我們說(shuō)明白數(shù)列求和中不等關(guān)系證明的兩種方法：1.每一項(xiàng)轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)差，求和后消去中間項(xiàng)（裂項(xiàng)法）與放縮法的結(jié)合；2.用放縮法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。6.數(shù)列中，且滿意（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求;（3）設(shè),，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)隨意,均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解（1）由,可知成等差數(shù)列，（2）由得∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故（3）==(－)∴∴要使總成立，需恒成立，即。故適合條件的的最大值為7。7.已知數(shù)列中，求證：方法一：方法二：點(diǎn)評(píng)：方法一用的是放縮法后用裂項(xiàng)法求和；方法二是通過(guò)放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，從數(shù)值上看方法二較方法一最終結(jié)果的精確度高，但都沒(méi)超過(guò)要證明的結(jié)果3。8（2009四川高考）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)隨意正整數(shù)n,都有成立，記（1）、求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在找出一個(gè)正整數(shù)K；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）、記，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)隨意正整數(shù)n都有；【解析】（I）當(dāng)時(shí)，又∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，…………………3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)∴∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有∴不存在正整數(shù)，使得成立?！?分（III）由得又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，…………………14分9.已知函數(shù)且隨意的、都有（1）若數(shù)列（2）求的值.5.解：（1）而（2）由題設(shè)，有又得上為奇函數(shù).由得于是故10.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)全部都成立的最小正整數(shù)m.2.解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),則f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必需且僅須滿意≤，即m≥10，所以滿意要求的最小正整數(shù)m為10.四其他學(xué)問(wèn)串講4.1直線與圓1、(2012·山東)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．8．解析因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧eq\o(\s\up7(⌒),\s\do5(PA))＝2，即圓心角∠PCA＝2，則∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，CB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin2,1－cos2)．答案(2－sin2,1－cos2)2、(2012·無(wú)錫期中)若圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對(duì)稱，則ab的取值范圍是________．1．解析因?yàn)閳Ax2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對(duì)稱，所以，點(diǎn)(－1,2)在直線2ax－by＋2＝0上，所以，a＋b＝1，ab＝a(1－a)≤eq\f(1,4).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))3、(2012·江西)過(guò)直線x＋y－2eq\r(2)＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．2．解析直線