專題01 翻折問題（解析版）

專題01翻折問題一、解答題1．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，BD=6，DC=4，求AD的長．小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題：（1）分別以AB，AC所在直線為對稱軸，畫出△ABD和△ACD的對稱圖形，點D的對稱點分別為點E，F(xiàn)，延長EB和FC相交于點G，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）12．【分析】（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE＝AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x?6）2＋（x?4）2＝102，求出AD＝x＝12．【詳解】（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45，∴∠EAF=90．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90，∠F=∠ADC=90，∴四邊形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化簡得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┰诔醵臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．張老師在課堂上又提出了這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）經(jīng)過小組合作交流后，小明代表小組發(fā)言，他們發(fā)現(xiàn)了AB＝2BC，證明方法如下：證明：如圖2，把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴點B、C、D三點共線．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（請在下面補(bǔ)全小明的證明過程）（2）受到小明“翻折”方法的啟發(fā)，另一組代表小剛發(fā)言：如圖3，在△ABC中，如果把條件“∠ACB＝90°”改為“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不變，若BC＝1，求AB的長．【答案】（1）AB=2BC；補(bǔ)全證明過程見解析；（2）AB=．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AB=AD，BC=BD，即可證明△ABD是等邊三角形，可得AB=BD，即可證明BC=AB；（2）如圖，把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC，連接BD，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可證明△ABD是等邊三角形，可得AB=BD，根據(jù)勾股定理可得BD=BC，即可得答案．【詳解】（1）∵把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如圖，把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC，連接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，BD=，∴AB=BD=．3．（2021秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）問題：如圖1，在等邊三角形△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，ED＝EC，回答下列問題：（1）與AE相等的線段是．（2）請證明（1）中得到的結(jié)論，證明思路如下：①小聰思路：如圖2，過E作EF//BC，交AC于點F，請你完成剩下解答過程；②小明思路：如圖3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，請你完成剩下解答過程．【答案】（1）BD；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）思路見（2）（2）①過E作EF//BC，證明△AEF為等邊三角形，再證明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，得到△EBD≌△EBF，再證明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【詳解】（1）BD（2）①小聰思路：過點E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°

∴△AEF是等邊三角形∴AE＝AF＝EF，∠EFC＝∠DBE＝120°，∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）∴BD＝EF∴BD＝AE②小明思路：∵DE＝EC

∴∠ECB＝∠D∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB∴∠DEB＝∠ACE∵△EBD翻折到△EBF∴△EBD≌△EBF

∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE∴∠CEF＝∠A＝60°∵DE＝EF＝CE∴△ECF為等邊三角形∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝BD4．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）閱讀下面的問題及解決途徑．結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問題．(1)填寫下面的表格．(2)將函數(shù)y＝－2x2＋3x＋1的圖像沿y軸翻折，所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．(3)將函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的圖像先向左平移1個單位長度，再沿y軸翻折，最后繞原點旋轉(zhuǎn)180°，求所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）閱讀題干材料，弄清題中材料中圖形平移的規(guī)律，“左加右減”進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像與幾何變換，將換成，整理后即可得出翻折后的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（3）利用圖像向左平移、關(guān)于軸翻折、繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)的規(guī)律進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：設(shè)平移后新的函數(shù)圖像上任意點的坐標(biāo)為，將點向右平移1個單位長度得點平移后的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，故答案為：，，；（2）解：將二次函數(shù)的圖像沿著軸翻折，所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是，即，故答案為：；（3）解：將(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的圖像先向左平移1個單位長度，得，再沿y軸翻折，得，即，最后繞原點旋轉(zhuǎn)180°，得，整理得：，故答案為：．答：所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．5．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在數(shù)學(xué)活動《折紙與證明》中，有這樣的一段活動材料：①如圖①，把正方形ABCD對折后再展開，折痕為EF；②如圖②，將點A翻折到EF上點處，且使折痕過點B；③如圖③，沿折疊，得（如圖④）．回答下列問題：(1)判斷：的形狀為______________；并說明你的理由；(2)若正方形紙片的邊長為2，則線段的平方的值為______________．【答案】(1)等邊三角形，理由見解析(2)3【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知垂直平分，結(jié)合正方形的性質(zhì)可知，可判斷是等邊三角形．（2）利用勾股定理解直角可得．【詳解】（1）解：等邊三角形．理由如下：∵如圖②，把正方形紙片對折，折痕為，∴垂直平分．∵將點A翻折，折痕過點B，且使點A落在的點處，∴．∴是等邊三角形．（2）解：∵正方形紙片的邊長為2，垂直平分，∴，，，∴，線段的平方的值為3．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系__________________；【類比運(yùn)用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點C落在邊上的E處，展開后連接，這樣可以將問題解決（如圖4）；請幫小明寫出解答過程：【實踐拓展】（4）如圖5，在一塊形狀為四邊形ABCD的空地上，養(yǎng)殖場丁師傅想把這塊地用柵欄圍成兩個小型的養(yǎng)殖場，即圖5中的和，若平分．請你幫丁師傅算一下需要買多長的柵欄．【答案】（1）；（2）；（3）的周長為5；（4）需要買長的柵欄【分析】（1）將沿翻折得到，則，即可得答案；（2）由，得，由翻折得，，得，所以，于是；（3）將沿翻折，使點C落在邊上的點E處，展開后連接，則，，于是得，則，得，所以，即可得答案；（4）將沿翻折，使點C落在邊上的點E處，連接，作于F，設(shè)，則，可得方程，解得：，即可求得，，則，可得答案．【詳解】解：（1）如圖2，沿翻折得到；（2），理由：，，由翻折得，，，，，，；（3）如圖4，將沿翻折，使點C落在邊上的點E處，展開后連接，由翻折得，，，，，，，，，的周長為5；（4）如下圖5，將沿翻折，使點C落在邊上的點E處，連接，作于F，，，，，，設(shè)，則，，，解得：，，，，需要買長的柵欄．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有一個，按要求回答下列問題：(1)的面積為；(2)畫出將向右平移6格，再向上平移3格后的；(3)畫出繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后的圖形；(4)畫出沿直線翻折后的圖形．【答案】(1)3(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）直接利用三角形面積求法得出答案；（2）利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，進(jìn)而得出；（3）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，進(jìn)而得出；（4）直接利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，進(jìn)而得出．【詳解】（1）的面積為：；故答案為：3；（2）如圖所示：即為所求；（3）如圖所示：即為所求；（4）如圖所示：即為所求；8．（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）閱讀材料：等腰三角形具有性質(zhì)“等邊對等角”．事實上，不等邊三角形也具有類似性質(zhì)“大邊對大角”：如圖1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．證明如下：將AB沿△ABC的角平分線AD翻折（如圖2），因為AB＞AC，所以點B落在AC的延長線上的點B'處．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．（1）靈活運(yùn)用：從上面的證法可以看出，折紙常常能為證明一個命題提供思路和方法．由此小明想到可用類似方法證明“大角對大邊”：如圖3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分線翻折……請你幫助小明完成后面的證明過程．（2）拓展延伸：請運(yùn)用上述方法或結(jié)論解決如下問題：如圖4，已知M為正方形ABCD的邊CD上一點（不含端點），連接AM并延長，交BC的延長線于點N．求證：AM＋AN＞2BD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)BC的中垂線交BC于點E，交AB于點D，連接DC，結(jié)合中垂線的性質(zhì)定理與三角形三邊長的關(guān)系，即可得到結(jié)論；（2）延長DC到點E，使得CE=CN，連接AE交BC于點F．易證△ACE≌△CAN，得AE=AN．過點C作PQ⊥AC，分別交AN、AE于點P、Q，結(jié)合“三角形中，大角對大邊”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，進(jìn)而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)BC的中垂線交BC于點E，交AB于點D，連接DC．將∠B沿BC的中垂線DE翻折（如圖3），使點B落在點C處．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的內(nèi)部，∵DE為BC的中垂線，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如圖4，延長DC到點E，使得CE=CN，連接AE交BC于點F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．過點C作PQ⊥AC，分別交AN、AE于點P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江蘇·九年級期末）折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB上的點C′處（如圖2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解決下列問題：（1）如圖2，上述閱讀材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，則∠C′DB＝_______°．（2）如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面積．（3）如圖4，△ABC中，已知AD⊥BC于點D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度數(shù)．【答案】（1）15；（2）△ABD的面積為6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，即可求出答案；（2）把AC沿角平分線AD翻折，點C落在AB上的點C＇處，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面積；（3）把AB沿AD翻折，點B落在BC上的點B＇處，則BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C＝24°，從而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)，則∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°45°=15°；故答案為：15°．（2）如圖，把AC沿角平分線AD翻折，點C落在AB上的點C＇處，∵AD是角平分線，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面積為6．（3）如圖，把AB沿AD翻折，點B落在BC上的點B＇處，則BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？计谥校﹩栴}背景如圖1，矩形中，，，、分別是、的中點，折疊矩形，使點落在上的點處，折痕為．（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的邊上作出點（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，判斷的形狀；（3）如圖2，若點是直線上的一個動點．連接，在左側(cè)作等邊三角形；連接，則的最小值是______；（4）如圖3，若點是射線上的一個動點將沿翻折，得，所在直線交直線于點，當(dāng)是直角三角形時，的長為多少？請直接寫出答案．【答案】（1）見詳解；（2）是等邊三角形，理由見詳解；（3）；（4）4或6-2或6+2或12【分析】（1）作∠ABK的平分線交AD于P，點P即為所求；（2）先求出∠BKM＝30°；根據(jù)對稱性可得∠AKB=60°，進(jìn)而即可得到答案；（3）由△FBA≌△EBK，因為FM、EH分別是AB、BK上的中線，推出FM＝EH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)HE⊥MN時，EH的值最小，進(jìn)而即可求解；（4）分四種情形分別畫出圖形，求解即可；【詳解】解：（1）如圖①中，點P即為所求：（2）連接AK，在Rt△BKM中，∵sin∠BKM＝＝，∴∠BKM＝30°．∵、分別是、的中點，∴MN是矩形ABCD的對稱軸，∴∠AKM=∠BKM＝30°，AK=BK，∴∠AKB=60°，∴是等邊三角形；（3）如圖②中，連接AF，取BK的中點H，連接EH．∵等邊三角形中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分別是AB、BK上的中線，∴FM＝EH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)HE⊥MN時，EH的值最小，最小值EH＝MB=，∴FM的最小值為．故答案為：．（4）∵M(jìn)B=AB=2，∠MKB=30°，∴MK=6，如圖，當(dāng)∠TEQ＝90°時，則TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=÷=2，設(shè)EK=ET=x，則QE=，∴+x+2=6，解得：x=6-2，即：EK=6-2；如圖，當(dāng)∠TQE＝90°時，此時點Q與點M重合，QE=，∴EK=6-2=4；如圖當(dāng)∠TEQ＝90°時，則∠BEM=45°，∴EM=BM=2，∴EK=6+2，如圖：當(dāng)∠TQE＝90°時，此時點Q與點M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，∴∠KEB=×60°=30°，∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．綜上所述，滿足條件的EK的值為4或6-2或6+2或12．11．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期中）問題情境：如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易證：CE＝DF．（不需要寫出證明過程）問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上請研究．(1)如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N．判斷線段AE與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，CQ（圖中未連），判斷線段EQ與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)在（2）的條件下延長EQ交邊AD于點F．則∠AEF=°；(4)拓展提高：如圖3，若該正方形ABCD邊長為8，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B′C′恰好經(jīng)過點A，過點A作AG⊥MN，垂足分別為G，若AG＝5，請直接寫出AC′的長．【答案】(1)AE＝MN，理由見解析；(2)EQ＝CQ，理由見解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）過點B作BF//MN交CD于點F，則四邊形MBFN為平行四邊形，得出MN=BF，BF⊥AE，由ASA證得△ABE≌△BCF，得出AE=BF，即可得出結(jié)論；（2）在圖2中，連接AQ、CQ，易證△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）連接AQ，過點Q作HI//AB，分別交AD，BC于點H、I，則四邊形ABIH為矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，證△DHQ是等腰直角三角形，得HD=HQ，AH=QI，由HL證得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH=∠QEI，證∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出結(jié)果；(4)延長AG交BC于E，則EG=AG=5，得AE=10，由勾股定理得：BE，則CE=BC-BE，由折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果．（1）（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，過點B作BF∥MN交CD于點F，如圖1所示：∴四邊形MBFN為平行四邊形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在圖2中，連接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵M(jìn)N⊥AE于F，F(xiàn)為AE中點，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：連接AQ，過點Q作HI//AB，分別交AD．BC于點H、I，如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABIH為矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI=AB=AD，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠BDA=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵M(jìn)N是AE的垂直平分線，AQ=QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ=QE，AH=QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH=∠QEI，∠AQH＋∠EQI=90°，△AQE是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°故答案為：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延長AG交BC于E，如圖4所示：則EG=AG=5，∴AE=10，在Rt△ABE中，BE=CE=BC-BE=8-6=2，由折疊的性質(zhì)得：AC'=CE=2，故答案為：AC′=2.12．（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）（1）背景問題：如圖①，已知矩形ABCD，E是邊CD上一點，將△BCE沿BE翻折，使得C落在AD上的點F處，求證：△ABF∽△DFE．

（1）嘗試應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD中，∠A=∠D=90°，點E在AD上，∠BEC=90°，2∠BCE+∠ECD=180°，過點E作EF⊥BC垂足為F，若EF=2，BC=5，求AE的長．（2）拓展創(chuàng)新：如圖③，已知矩形ABCD，AB=9，BC=12，E是邊CD上一動點，將△BCE沿BE翻折至△BPE，連接AP在上取點T，使得PT=2AT，連接DT，求出DT長度的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和翻折得到∠BFE＝∠A＝∠D＝∠C＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF＝∠AFB，證得△EDF∽△FAB；（2）證明△ECF∽△BEF，得CF=1，BF=4

，由△ABF∽△DFE，2∠BCE+∠ECD=180°，構(gòu)造矩形ABGD，由BG=AD建立方程，解方程求解即可；(3)在AB邊上取Q，使得BO=2AQ，連接TQ，則求得，可得T在以Q為圓心4為半徑的圓上，根據(jù)點圓關(guān)系求最值即可．【詳解】（1）證明：如圖1，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠C＝90°，由翻折得∠EFB＝∠C＝90°．∵∠DEF＋∠DFE＝90°，∠AFB＋∠DFE＝180°?90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）嘗試應(yīng)用：如圖2，過點B作BG⊥CD，交DC的延長線于點G，設(shè)DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°?∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF2=CF·BF解得CF=1，或（舍去）CF=1，BF=4，∵△ABF∽△DFE∴設(shè)CD=x，則AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共線，在矩形ABGD中則由BG=AD得∴（2）拓展創(chuàng)新：在AB邊上取Q，使得BQ=2AQ，連接TQPT=2AT，T在以Q為圓心4為半徑的圓上，當(dāng)點T落在DQ上，即DT＝DQ?4時，DT的值最小，∴DTmin=13．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AB＝6cm，BC＝8cm點E從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動，速度是2cm/s；點F從點B出發(fā)，沿BD方向勻速運(yùn)動，速度是1cm/s，MN是過點F的直線，分別交AB、BC于點M、N，且在運(yùn)動過程中始終保持MN⊥BD．連接EM、EN、EF，兩點同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0<t<3.6），請回答下列問題：(1)求當(dāng)t為何值時，△EFD∽△ABD?(2)求當(dāng)t為何值時，△EFD為等腰三角形；(3)將△EMN沿直線MN進(jìn)行翻折，形成的四邊形能否是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)當(dāng)t的值為時，△EFD∽△ABD(2)當(dāng)t的值為或時△EFD為等腰三角形(3)不存在，理由見解析【分析】（1）當(dāng)△EFD∽△ABD時，得到相似比，解得即可；（2）根據(jù)題意，等腰三角形分三種情況：EF＝DE時；EF＝DF時；DE＝DF時；作出相應(yīng)圖形，結(jié)合條件求解即可；（3）假設(shè)存在這樣的菱形，當(dāng)時，過點E作EQ⊥BC于點Q，利用勾股定理求出兩條線段長，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可確定結(jié)論存在與否．【詳解】（1）解：如圖所示：在矩形ABCD中，AD＝BC＝8cm，∠A＝∠ABC＝90°，在Rt△ABD中由勾股定理得（cm），由題意得：DE＝2tcm，BF＝tcm，∴cm，∵△EFD∽△ABD，∴，∴，解得∴當(dāng)t的值為時，△EFD∽△ABD；（2）解：△EFD為等腰三角形有三種情況：①EF＝DE時，點E在DF的垂直平分線上，過點E作EG⊥DF于點G，如圖所示：則cm，在Rt△DEG中，，∴5DG＝4DE，∴，解得：；②EF＝DF時，點F在DE的垂直平分線上，過點F作FH⊥AD于點H，如圖所示：則cm，在Rt△DHF中，，∴5DH＝4DF，∴，解得，∵，∴不合題意舍去；③DE＝DF時，則2t＝10－t，解得：；綜上：當(dāng)t的值為或時，△EFD為等腰三角形；（3）解：不存在．假設(shè)△EMN沿直線MN翻折后點E落在點處，由折疊得：，，當(dāng)翻折后的四邊形為菱形時，，∴EM＝EN，∴，過點E作EQ⊥BC于點Q，如圖所示：則四邊形EQCD為矩形，∴EQ＝CD＝6cm，CQ＝DE＝2tcm，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴，此方程無解，∴不存在這樣的菱形．（2022秋·江蘇·九年級期中）(1)【原題呈現(xiàn)】在課本中，安排有這樣一個思考問題：“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論”老師在課堂中提出這樣的問題，并展示了小明的部分解答小明：AB=2BC．證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：點B、C、D在一條直線上．（請在下面補(bǔ)全小華后面的證明過程）(2)【變式拓展】如圖2，在△ABC中，把（1）中條件“∠ACB=90°”改為“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不變，則．(3)【能力遷移】我們發(fā)現(xiàn)，翻折可以探索圖形性質(zhì)，請利用翻折解決下面問題．如圖3，點D是△ABC內(nèi)一點，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)2(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得出點B、C、D共線，再由等邊三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（2）把?ABC沿著AC翻折，得到?ADC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得出?ABD為等邊三角形，由題意確定∠BCD=90°，運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)論；（3）把△ABD延AB邊翻折得到△AEB，連接ED，EC，由翻折及各角之間的關(guān)系得出△AEC為等邊三角形，再由勾股定理及等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：點B、C、D共線，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如圖所示，把?ABC沿著AC翻折，得到?ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴?ABD為等邊三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，，即；（3）；理由：把△ABD延AB邊翻折得到△AEB，連接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB，∴∠ACB=∠AEB=210°，∴∠EBC=360°-210°-60°=90°，∵AD=AC，AE=AD，∴AE=AC，∴△AEC為等邊三角形，∴EC=AE=AD，在Rt△EBC中，，∵BC=BD，EC=AD，∴．15．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題情境：如圖1，P是外的一點，直線PO分別交于點A，B．(1)探究證明：如圖2，在上任取一點C(不與點A，B重合)，連接，求證：；(2)直接應(yīng)用：如圖3，在中，，，以為直徑的半圓O交于D，P是弧上的一個動點，則的最小值是．(3)構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長為2的菱形中，，M是的中點，N是邊上一動點，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值為．(4)綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點，點，分別以1，2為半徑作、，M，N分別是，上的動點，直接寫出的最小值為．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)7【分析】(1)在中，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可求證；(2)連接交于點P，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而求得；(3)的軌跡是以M為圓心，半徑是1的圓，故連接，求得，進(jìn)而求得的最小值；(4)作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接交x軸于點P，求出的長，進(jìn)而求得的最小值．（1）證明：如圖1，，，，；（2）解：如圖2，連接OA，交半于點P，，在中，，∴，的最小值是，故答案是：；（3）解：如圖3，連接、，交于點，∵四邊形是菱形，，，是等邊三角形，∵M(jìn)是的中點，的軌跡是以M為圓心，半徑是1的圓，，，，∴，長度的最小值為，故答案為：；（4）解：如圖4，作點A關(guān)于x軸的對稱點C，連接，交x軸于點P，交于點N，連接PA交于M，，，∵點，點，∴點，，∵分別以1，2為半徑作、，，，，故答案是：7．16．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具，類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究．下表是探究過程中的部分信息：x…012……4a14…請按要求完成下列各小題：(1)a的值為______；(2)在圖中畫出該函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合函數(shù)的圖象，解決下列問題：①下列說法正確的是：______．（填所有正確選項）A．函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱B．當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為C．當(dāng)時，y隨x的增大而增大②直接寫出不等式的解集為______．(4)將該函數(shù)圖像在直線上方的部分保持不變，下方的部分圖像沿直線進(jìn)行翻折，得到新函數(shù)圖像，若經(jīng)過點的一次函數(shù)圖像與新函數(shù)圖像W只有1個交點時，請直接寫出k滿足的條件______．【答案】(1)1(2)見解析(3)①BC；②或(4)或或【分析】（1）把代入即可求出a的值；（2）先描點再連線畫出函數(shù)圖像即可；（3）①根據(jù)函數(shù)圖象可以看出函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，關(guān)于x軸不對稱，即可判斷A錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象可判斷當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，得出B正確；根據(jù)函數(shù)圖象可判斷當(dāng)時，y隨x的增大而增大，得出C正確；②根據(jù)函數(shù)圖象寫出不等式的解集即可；（4）根據(jù)題意畫出翻折后的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求出k的范圍即可．【詳解】（1）解：把代入得：，即，故答案為：1．（2）解：該函數(shù)的圖象，如圖所示：（3）解：①A．函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，故A錯誤；B．當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，故B正確；C．當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故C正確；故答案為：BC；②根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，；故答案為：或；（4）解：如圖所示：設(shè)點，，，，，設(shè)的解析式為，把，代入得：，解得：，的解析式為：，設(shè)的解析式為，把，代入得：，解得：，的解析式為：，設(shè)的解析式為，把，代入得：，解得：，的解析式為：，根據(jù)圖像可知，當(dāng)直線經(jīng)過和點時，直線與圖像W只有一個交點，把，代入得：，解得：；∵，∴，根據(jù)圖像可知，當(dāng)直線與平行時，直線與圖像W只有一個交點，且此時直線繞點繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，直到與平行之前，直線與圖像W只有一個交點，∴當(dāng)或時，直線與圖像W只有一個交點；綜上分析可知，當(dāng)或或時直線與圖像W只有一個交點．故答案為：或或．17．（2017江蘇省宿遷市，第25題，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點P為曲線M或曲線N上的一動點，點Q為x軸上的一個動點，若以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）Q（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．【詳解】試題分析：（1）由已知拋物線可求得A、B坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)，利用對稱性可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得曲線N的解析式；（2）由外接圓的定義可知圓心即為線段BC與AB的垂直平分線的交點，即直線y=x與拋物線對稱軸的交點，可求得外接圓的圓心，再利用勾股定理可求得半徑的長；（3）設(shè)Q（x，0），當(dāng)BC為平行四邊形的邊時，則有BQ∥PC且BQ=PC，從而可用x表示出P點的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到x的方程，可求得Q點坐標(biāo)，當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時，由B、C的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對稱中心的坐標(biāo)，從而可表示出P點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到關(guān)于x的方程，可求得P點坐標(biāo)．試題解析：（1）在中，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x=0可得y=﹣3，又拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折后得到曲線N，∴C（0，3），設(shè)曲線N的解析式為，把A、B、C的坐標(biāo)代入可得：，解得：，∴曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為M，則點M為線段BC、線段AB垂直平分線的交點，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，又線段AB的解析式為曲線N的對稱軸，即x=1，∴M（1，1），∴MB==，即△ABC外接圓的半徑為；（3）設(shè)Q（t，0），則BQ=|t﹣3|．①當(dāng)BC為平行四邊形的邊時，如圖1，則有BQ∥PC，∴P點縱坐標(biāo)為3，即過C點與x軸平行的直線與曲線M和曲線N的交點即為點P，x軸上對應(yīng)的即為點Q，當(dāng)點P在曲線M上時，在中，令y=3可解得x=1+或x=1﹣，∴PC=1+或PC=﹣1．當(dāng)x=1+時，可知點Q在點B的右側(cè)，可得BQ=t﹣3，∴t﹣3=1+，解得t=4+；當(dāng)x=1﹣時，可知點Q在點B的左側(cè)，可得BQ=3﹣t，∴3﹣t=﹣1，解得t=4﹣，∴Q點坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）；當(dāng)點P在曲線N上時，在中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，∴PC=2，此時Q點在B點的右側(cè)，則BQ=t﹣3，∴t﹣3=2，解得t=5，∴Q點坐標(biāo)為（5，0）；②當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的中點為（，），設(shè)P（x，y），∴x+t=3，y+0=3，解得x=3﹣t，y=3，∴P（3﹣t，3），當(dāng)點P在曲線M上時，則有3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t=2+或t=2﹣，∴Q點坐標(biāo)為（2+，0）或（2﹣，0）；當(dāng)點P在曲線N上時，則有3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，∴Q點坐標(biāo)為（1，0）；綜上可知Q點的坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．18．（2020秋·江蘇淮安·九年級?？计谀┢揭啤⑿D(zhuǎn)與翻折是幾何變換中的三種基本變換，也是初中課程中十分重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，平移、旋轉(zhuǎn)與翻折只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，因此我們又稱這三種變換為全等變換．小明發(fā)現(xiàn)，在解決一些數(shù)學(xué)問題時，可以利用這三種變換使得問題簡單化．(1)如圖1，已知正方形ABCD的邊長為2，點E、H在對角線AC上，點F、I在BC邊上，點G、J在CD邊上，且EGHJAD，EFHIAB，求陰影部分的面積；小明將正方形沿AC翻折，得到如圖2所示的ABC，他發(fā)現(xiàn)圖1中陰影部分的面積就等于圖2中ABC的面積，所以圖1中陰影部分的面積為；(2)如圖3，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD上，且FHBC，EGAB，EG與FH交于點I，求陰影部分的周長；小明將FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了陰影部分的周長為；(3)如圖4，四邊形ABCD中，AB=AD，∠A=120°，∠C=105°，BC=，CD=2，求四邊形ABCD的面積．(4)如圖5，，且B、C、D在一條直線上，BA=BC=2，設(shè)∠ACB=，直線BC上方有一點E滿足CA=CE且∠ACE=，連接AE，當(dāng)=°時，AE取得最大值，AE的最大值為．（注：點A、E、F均在直線BC上方）【答案】(1)2(2)36(3)(4)22.5，4+2【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，直接求△ABC的面積；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，求矩形ABCD的周長即可；（3）將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得△ADE，連接CE，過點E作EH⊥CD，交CD的延長線于H，由∠B+∠ADC=135°，得∠EDH=45°，得出△CDE的面積，在Rt△ECH中，由勾股定理得CE=10，過A作AF⊥CE于F，再求出△ACE的面積即可；（4）將△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使CD與CE重合，點F的對應(yīng)點為N，連接MN，可得∠MCN=90°，MN=2，由AE≤AM+MN+NE，即AE最大值為4+2，此時點A、M、N、E四點共線．（1）解：∵正方形ABCD的邊長為2，∴×2×2=2，故答案為：2；（2）解：由平移的性質(zhì)知，=2×（8+10）=36，故答案為：36；（3）解：如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得△ADE，連接CE，過點E作EH⊥CD，交CD的延長線于H，∴DE=BC=6，∠B=∠ADE，∠EAC=120°，∵∠BAD=120°，∠BCD=105°，∴∠B+∠ADC=135°，∴∠CDE=135°，∴∠EDH=45°，∴EH=DH=6，=×CD×EH=×2×6=6，在Rt△ECH中，由勾股定理得CE=10，過A作AF⊥CE于F，∴∠CAF+∠EAF=∠EAC=60°，CF=EF=CE=5，∴∠ACF=30°，∴AC=2AF，∵，即，∴，∴，∴；（4）解：將△ABC沿AC翻折得△AMC，△CFD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使CD與CE重合，點F的對應(yīng)點為N，連接MN，∴CM=CB，CN=CF，∵∠ACB=α，∠ACE=90°+2α，∴∠MCN=90°，∵BA=BC=2，，∴BA=BC=CF=FD=CM=CN=AM=EN=2，∴MN=2，∴AE≤AM+MN+NE，即AE最大值為4+2，此時點A、M、N、E四點共線，∴4α=90°，∴α=22.5°，故答案為：22.5，4+2．19．（2021春·江蘇無錫·九年級?？计谥校┱奂埐粌H是一項有趣的活動，也是一項益智的數(shù)學(xué)活動．今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看著折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論．實踐操作，解決問題(1)如圖1，將矩形紙片沿對角線翻折，使點落在矩形所在平面內(nèi)，邊和相交于點．在圖1中，①和的數(shù)量關(guān)系為___________．②連接，和的位置關(guān)系為___________(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫?/p>