2023-2024學年上海市實驗學校高二年級上冊期中考試數(shù)學試卷含詳解

上海實驗中學2023學年第一學期高二年級數(shù)學期中

2023.11

一、填空題（共40分，每小題4分，答案正確得4分，否則不得分）

1,若4撾%AB,且。,則A/（用集合符號表示）.

2.已知圓錐底面半徑為2,母線長為3,則圓錐表面積為.

3.設名用是兩個不同平面，”是直線且機ua.“機〃萬，，是，。//夕，，的條件.（填“充分不必要”、"必

要不充分”、"充要”、”不充分不必要”）

4設x,”R,向量a=（x,l/），b=（\,y,l）c=（2,~4,2）,且。，。，bile,則％+丁的值為

5.如圖的四面體0ABe中，所有棱長均相等，每個面都是全等的正三角形，分別是棱8c的中點，則

直線OA與平面CMN所成角的大小為.

6.把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個圓柱的側面，則該圓柱的體積為.

7.如圖，已知四邊形ABC。是矩形，48=1,30=2,0°_1平面48?！辏厩?50=3,心的中點E,則異面直線

AE與PC所成角的余弦值為.

8.在棱長為6正方體中，E是棱AB的中點，過E'DG作正方體的截面，則該截面的面積是

9.已知兩平行平面公6間的距離為2百，點A、Bea,點C、De/3,且AB=4,CO=3,若異面直線A8

與CO所成角為60。，則四面體ABC。的體積為.

10.如圖，在棱長為2正四面體A-BCD中，E、/分別為直線AB、CD上的動點，且?比1=6.若記9'中

點P的軌跡為L,則國等于.（注：圖表示乙的測度，在本題，L為曲線、平面圖形、空間幾何體

時，目分別對應長度、面積、體積.）

二、選擇題（共16分，每小題4分）

11.直線。與直線》相交，直線0也與直線人相交，則直線。與直線0位置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.以上都有可能

12.己知互不重合的直線a,b,互不重合的平面a,（3,Y,給出下列四個命題，錯誤的命題是（）

A.若a//a,alI/3,a\/3=b,則a//b

B.若a_La,b1/3,則；_[_力

C.若a上尸,aL-y,/3y=a,則a_La

D.若a///，alia,則a///?

13.下列四個正方體圖形中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,P分別為其所在棱的中點，能得出A3//平

面MNP的圖形的序號是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

14.如圖，矩形ABC。中，AB=2AD,E為邊AB的中點，將△AOE沿直線OE翻轉成△4OE（A摩平面ABCD）,

若”,。分別為線段4C,QE的中點，則在AADE翻轉過程中，下列說法錯誤的是（）

小

A.與平面4OE垂直的直線必與直線垂直

B.異面直線與4E所成角是定值

C.一定存在某個位置，使。E_LM。

D.三棱錐Ai-ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值

三、解答題(共44分，要求寫出必要的解答或證明步驟)

15.如圖，三棱柱ABC-AAG中，M,N分別是AB，4G上的點，且2M=2AM，GN=2B1N.設AB=a，

AC-b，A4,=c.

(1)試用a，b，c表示向量MN;

(2)#ZBAC=90°,ZB/IA=ZC4^=60°,AB=AC==1,求MN的長.

16.如圖，四棱錐P-ABC。中，PA1CD,/上4。=/45。=90°，AB//CD,DC=CB=-AB^2,

2

(1)求證：平面ABC。；

(2)求異面直線AB與PO所成角的余弦值.

17.如圖，多面體A6C0E尸中，底面ABC。是菱形，NBC￡>=60°,四邊形8DE五是正方形且DEI平面

ABCD.

(1)求證：CF〃平面AOE；

⑵若AE=6,求多面體A6COE/7的體積V.

18.如圖，在四棱錐P-A3C￡)中，底面ABCO為正方形，平面皿>J_平面ABCO,點M在線段上,

PD平面M4C,PA=PD=?AB=4.

(1)求證：M為PB的中點；

(2)求二面角3—PD-A的大??；

(3)求直線與平面30P所成角的正弦值.

四、附加題(共20分，要求寫出必要的解答或證明步驟)

19.如圖，直線AQ_L平面a,直線AQ_L平行四邊形四棱錐/>-力田。。的頂點P在平面。上，

AB"，AD=6,AD±DB>ACr^BD=O,OP//AQ,AQ=2,M,N分別是AQ與。。的中點.

(1)求證：MN//平面QBC；

(2)求二面角M-CB—Q的余弦值.

20.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐”-ABC,

J-CDE,K—EFA，再分別以AC,CE,E4為軸將二ACH,CE/,.E4K分別向上翻轉180°,使H,

J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體(下底面開口)，如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻

畫，定義其度量值等于峰房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體

在該點的各個面角之和(多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示).例如：正四面體在每個頂點有3個

面角，每個面角是三，所以正四面體在各頂點的曲率為2兀-3x'=兀.

33

AA\B\

圖I圖2

(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；

(2)若正六棱柱底面邊長為1,側棱長為2,設BH=x

(i)用x表示蜂房(圖2右側多面體)的表面積S(x)；

(ii)當蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.

上海實驗中學2023學年第一學期高二年級數(shù)學期中

2023.11

一、填空題（共40分，每小題4分，答案正確得4分，否則不得分）

1.若A撾a，AB,且。B=1,則AI（用集合符號表示）.

【答案】e

【分析】根據(jù)兩個面的交點在兩個面的交線上來解答問題.

【詳解】兩個面的交點在兩個面的交線上，

若A撾A（3,且。（3=1,則AG/

故答案為：€.

2.已知圓錐底面半徑為2,母線長為3,則圓錐的表面積為.

【答案】10兀

【分析】先算出圓錐底面周長，進而算出側面積和底面積，最后得到答案.

1,

【詳解】由題意，底面周長為2萬x2=4不，則圓錐表面積為：一x4萬x3+%x22=10乃.

2

故答案為：10”.

3.設a,〃是兩個不同的平面，河是直線且機ua.“機///”是“a//用，，的條件.（填“充分不必要”「必

要不充分“充要”、”不充分不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)線面平行與面面平行的判定的判定與性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由直線mua且〃?///?,則a//〃或a與夕相交，所以充分性不成立；

反之：若機ua且a///，根據(jù)兩平面平行的性質，可得加//力，即必要性成立，

所以〃?//4是a///的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

4.設x,yeR,向量a=/?=（!,y,l）,c=（2,-4,2）,且qj_c，bile>則l+>的值為

【答案】-1

【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標表示以及空間向量共線的坐標表示即可求解.

【詳解】Q?1c.向量a=（x」/），人=（Ly,l），c=（2,T,2）,

a-c=2x—4+2=0>解得X=1,又b//c，

.二=3=:，解得y=-2,

2T2

則x+y=T.

故答案為：-1.

5.如圖的四面體Q43C中，所有棱長均相等，每個面都是全等的正三角形，M,N分別是棱。4,BC的中點，則

直線OA與平面CMN所成角的大小為.

兀

【答案】-

2

【分析】由題意得，四面體。鉆C為正四面體，進而可以證明Q4_L平面CMN，求出線面角.

如圖，連接

由題意得，四面體(MBC為正四面體，

所以BMVOA,

因為CMBM與點M,CMu平面CMN,BMu平面CMN,

所以Q4_L平面CMN，

7t

所以直線Q4與平面CMN所成角的大小為一.

2

7t

故答案為：一.

2

6.把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個圓柱的側面，則該圓柱的體積為.

.2727

【答案】—或—

2萬71

【分析】根據(jù)母線的長度分類討論.

【詳解】設圓柱底面半徑為，高為〃，

3(3Y27

若〃=6,則2%r=3,r--,V=jtrh=x6=——，

2萬12萬J2萬

若h=3,則2萬r=6,則廠=2,V=^r2/z=^xf—x3=—.

式\7T)71

2727

故答案為：—或—.

2萬71

7.如圖，已知四邊形A3C。是矩形，45=1,8。=2,尸。，平面筋。。且口)=3,總的中點E，則異面直線

AE與PC所成角的余弦值為.

【答案】嚕

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解.

【詳解】根據(jù)題意，以。為坐標原點，以D4,OC,OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,

1313

則P(0,0,3),A(2,0,0),C(0,l,0),B(2,l,0),E(l,,AE=PC=(0,1,-3),

2222

J__9

―Zi_=4屈

所以cos<AE,PC>=i~~n~|=

\AE\\PC\MIF

所以異面直線AE與PC所成角的余弦值為勺竺.

35

故答案為：士匡

35

8.在棱長為6正方體ABC?！狝耳￡2中，E是棱AB的中點，過E,D，G作正方體的截面，則該截面的面積是

Q1

【答案】3

2

【分析】先確定截面為等腰梯形。E『G，畫出平面圖形OE『G，計算即得解.

【詳解】如圖，在正方體4?CO—AACQI中，E是棱A3的中點，過瓦D，G作正方體的截面為等腰梯形

DEFC.畫出平面圖形QEFG，過點￡作垂足為，.

因為G￡>=6后，EF=3叵,DE=C、F=35所以￡”=述，

所以截面QEFG的面積為_1（6及+3J2）x述=旦.

222

9.已知兩平行平面。、，間的距離為26，點4Bea,點C、D&P，且4?=4,CD=3,若異面直線A8

與CO所成角為60。，則四面體ABCD的體積為.

【答案】6

【分析】在￡內過C作CE//A8,使得CE=AB,利用已知結合等體積法可得答案.

【詳解】在/內過C作CE//AB,使得CE=M,

則四邊形CEBA是平行四邊形，CE=4,NEC￡>=60

因為兩平行平面。、萬間的距離為2百，所以3到平面CDE的距離力=2百，

所以VD-ABC=VD-BCE=%加=g*26xgx4x3xsin60°=6.

故答案為：6

D

10.如圖，在棱長為2的正四面體A-3CD中，E、尸分別為直線A&CD上的動點，且|上可=G.若記所

中點P的軌跡為L，則，|等于___________.（注：圖表示L的測度，在本題，L為曲線、平面圖形、空間幾何

體時，國分別對應長度、面積、體積.）

【答案】乃

【詳解】為了便于計算，將正四面體放置于如圖的正方體中，可知，正方體的棱長為友,建立如圖所示的空間直

角坐標系,設E（0，M，y）,F（血,月，后-%），尸（x,y,z）,卜］-血+%)=5

+

也

2

即（乂一%『+（%+%-四丫=1，又產，即｛x+%=2y,代入上式得

X+也%

X+夜-乃

（2z—血/+（2y—收了=1,即-,即P的軌跡為半徑為;的圓，周長為

42

14=2"r=".

【點睛】本題考查了立體幾何中的解析幾何問題，屬于難題，立體幾何中的軌跡問題，既考查了空間想象能力，

同時又將空間幾何的軌跡問題轉化為平面幾何的軌跡，一般會有兩種方法，一種題設更趨向于空間幾何，根據(jù)幾

何關系與圓錐曲線的定義建立聯(lián)系，得到軌跡，另--種需建立坐標系，得到動點的軌跡方程，根據(jù)方程形式判斷

軌跡.

二、選擇題（共16分，每小題4分）

11.直線。與直線方相交，直線，也與直線人相交，則直線。與直線。的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.以上都有可能

【答案】D

（分析］借助長方體模型可判斷直線a與直線。的位置關系.

【詳解】如下圖所示：

在長方體ABC?！狝耳G2中，將直線〃、b、C分別視為棱A3、A。、A4所在直線，則直線”與直線。相

交;

將直線。、b、。分別視為棱AB、人4、所在直線，則直線。與直線c平行;

將直線。、b、。分別視為棱AB、AA、44所在直線，則直線。與直線。異面.

綜上所述，直線。與直線。相交、平行或異面.

故選：D.

12.已知互不重合的直線“，b,互不重合的平面a,一，/,給出下列四個命題，錯誤的命題是（）

A.若a//a,alI（3,a\0=b，則a//b

B.若a_L￡,a±a,b1/3,則；J.）

C.若a_L￡,aX.y,（3y=a,則a_La

D.若a//夕，alia,則a//〃

【答案】D

【分析】A：根據(jù)線面平行的性質定理進行判斷即可：

B：利用平面法向量和面面垂直的性質進行判斷即可；

C：利用線面垂直的判定定理進行判斷即可；

D：根據(jù)線面關系進行判斷即可.

【詳解】A：過。作一平面與a,￡都相交，設=月cy=c,如下圖所示：

則有a//c,a//dna//c//a,又dua,所以c//a,?B=b,所以c//b,因此有a/〃，故本命題是真

命題；

B：因為a_La,bL[5,所以向量”，人是平面%夕的法向量，而所以a_Lb，即.），故本命題

是真命題；

C：設。B=b,ay=c,在平面。內任意一點0,作方_Lb,c_Lc,如下圖所示：由面面垂直的性質定理可

知I：5_L￡,c'_Ly,因為尸y=a,所以有5_La,c'_La,

又因為5c=0,5,cua,所以a_La,故本命題是真命題;

r

D：因為a//4，alia,所以a///或au/?,故本命題是假命題.

故選：D

【點睛】本題考查了線面平行的判定定理和性質定理，考查了面面垂直的性質理，考查了線面垂直的判定定理,

考查了面面平行的性質.

13.下列四個正方體圖形中，A,8為正方體的兩個頂點，M,N,P分別為其所在棱的中點，能得出A3//平

面MNP的圖形的序號是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】C

【分析】用面面平行的性質判斷①的正確性.利用線面相交來判斷②③的正確性，利用線線平行來判斷④的正確性.

【詳解】對于①，連接AC如圖所示，由于網(wǎng)//4。,可尸//8。，根據(jù)面面平行的性質定理可知平面肱0>//平

面ACB,所以AB//平面M/VP.

對于②，連接交叱于。，由于N是AC的中點，。不是BC的中點，所以在平面A3C內A6與DN相

交，所以直線A5與平面M/VP相交.

對于③，連接8,則4B//CD,而CO與PN相交，即C￡）與平面PMV相交，所以A6與平面版VP相交.

對于④，連接8,則AB//CD//NP,由線面平行的判定定理可知AB//平面M/VP.

綜上所述，能得出A8//平面MNP的圖形的序號是①④.

故選：C

【點睛】本小題主要考查線面平行的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎題.

14.如圖，矩形ABC。中，AB=2AD,E為邊AB的中點，將△AOE沿直線OE翻轉成△至平面ABC0,

若M,。分別為線段4C,3E的中點，則在AAOE翻轉過程中，下列說法錯誤的是（）

A.與平面AOE垂直的直線必與直線MB垂直

B.異面直線B例與AiE所成角是定值

C.一定存在某個位置，使QELM。

D.三棱錐M-ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值

【答案】C

【分析】取。。中點N,連接MN,NB,證明MS//平面AOE，然后判斷A.取A。的中點為尸，連接

MF，EF,說明幺律為異面直線身0與A1所成的角.求解即可判斷B；連接4。.推出￡>E_L4C.判斷

DE1A.E,判斷C.推出”=立為定值，判斷。正確.

AD2

【詳解】解：取。。中點N,連接MN,NB.M為AQ的中點，.?.MN//A。,

又?E為AB的中點、，：.DN//EB且DN=EB,

..?四邊形為平行四邊形，.?.N5//0E.

\D\DE=D,MN\\NB=N,

??.平面MNB//平面AOE,

平面4。后，.?.與平面4。后垂直的直線必與直線3M垂直，A正確；

取4。的中點為尸，連接ME，EF,則1/V/EB且M^=￡B，

???四邊形是平行四邊形，.?.3M//￡F,

幺EF為異面直線3M與4E所成的角.

設AD=1,則AB=2AD=2，=AtE=\AiF=—,

???tan/AEb=；，故異面直線BM與AE所成的角為定值，8正確；

連接A。.

△4。后為等腰直角三角形且0為斜邊ZJE中點，

DE1A.O.若DE上MO,則￡>石立平面^M。，.?.OE，4c.

又DE=EC=&DC=2,DE2+EC2=DC2-：.DE±EC,

又EC。AC=C,平面4EC,4E,與已知矛盾，C錯誤；

Q。。=QE=04=04,,二O為三棱錐A,-ADE的外接球球心.

又空=也為定值，正確；

AD2

故選：C.

【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共

面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角：

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,,當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成

的角.

三、解答題（共44分，要求寫出必要的解答或證明步驟）

15.如圖，三棱柱ABC-A4G中，M,N分別是上的點，且=24也,6代=28小.設A8=”，

AC=b>AA,=c.

Q）試用a，b，c表示向量MN；

（2）若N8AC=90o,N8A4]=NC44=60o,A8=AC=A4|=1,求MN的長.

【答案】（1）MN^-a+-b+-c

333

⑵旦

3

【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.

（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.

【小問1詳解】

解：政V=M4,+AG+GN

=-BA,+AC+-CB

33

]12

=--AB+-AAi-hAC+-（AB-AC）

111

=-AB+-A4,+-AC,

11.1

：.MN^-a+-b+-c；

333

【小問2詳解】

解：AB=AC=A4,=1,.'Ja|=||=jc|=1?

ABAC=90°,.\ab=O,ABAA,=ZCAA,=60°,

,1

ac=bc=—,

2

5

一

A/N|2="(a+A+cJ=：(。2+b2+c2+2a-b+2a-一9-

:.\MN|=y-

75

即MN的長為

3

16.如圖，四棱錐P-ABC。中，PALCD,ZPAD^ZABC=90°，AB//CD,DC=CB=-AB^2,

2

PA^2.

P

（1）求證：Q4_L平面ABC。；

（2）求異面直線AS與尸。所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）B.

3

【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理即可證明.

（2）因為AB//CD，則NPCD即為異面直線AB與所成角，在"DC中求得各邊的長度，由余弦定理即可求

得NP”,根據(jù)異面直線夾角的范圍即可判斷夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明：；Q4_LCD,Q4，AD,CE>AD=D,

；?P4_L平面ABC。，

p

(2)VABHCD

NPDC為異面直線AB與PO所成的角或其補角，

VPA_L平面A8CD,DC=CB=LAB=2,/^=2.

2

貝IAD=yj22+22=272

在Rt\PAD中,P￡>=y/p^+AD2=5+(2可=,

AC=>]AB2+BC2=742+22=2石，

???PC=yJp^+AC2=5+(2司=2>/6

.?.在APOC中，由余弦定理可得

CD?+PD?-PC?4+12-24_V3

:.cosZPDC=

2xCDxPD85/3-3

因為異面直線夾角的范圍為og

.?.異面直線AB與P￡＞所成角的余弦值為昱.

3

【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定，異面直線夾角的求法，余弦定理在解三角形中的應用，注意異面直線夾角

的范圍，屬于基礎題.

17.如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，NB8=60°，四邊形BDEF是正方形且DE±平面

ABCD.

(1)求證：CF〃平面ADE；

⑵若AE=6,求多面體A8CDER的體積V.

【答案】（1）證明詳見解析；（2）上.

3

【分析】（1）由面面平行的判定定理先證明平面BCE//平面血>,進而可得CF//平面AED；

（2）將多面體ABCD所拆成兩個四棱錐，由四棱錐的體積公式即可求出結果.

【詳解】（1）證明：A8CZ）是菱形，.?.BC//4。.

又平面ADE，ADu平面ADE，，⑶。//平面ADE.又尸是正方形，

B尸a平面A￡）E，。￡<=平面人￡）￡：，，3尸//平面4￡>￡.BCu平面8CF,Bbu平面BC/

BCcBF=B，平面BCF〃平面AED，：.CF//平面AED.

（2）解：連接AC,記ACcBO=0.

ABC。是菱形，AC1BD,且AO=8O.

由。平面ABC。，ACu平面ABC。，DEIAC

￡>￡u平面5D￡F，B￡>u平面6OEF，DEcBD=D，

.?.4。_1平面8?！陸粲?。，

即AO為四棱錐A-BDEF的高.

由ABC。是菱形，ZBC￡>=60°,則△ABD為等邊三角形，由AE=&，則

-DE—1，AO=~^->SBDEF=1,^A-BDEF~T^BDEF'=~~,—^A-BDEF=

2363

【點睛】本題主要考查線面垂直的判定以及幾何體的體積，證明線面垂直，有時需要先證面面垂直，熟記判定定

理以及體積公式即可，屬于常考題型.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方形，平面Q4DJ_平面ABC。，點M在線段尸8上，

PD平面MAC,PA=PD=娓,AB=4.

P

（1）求證：M為P8的中點；

（2）求二面角B-PD—A的大??；

（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）巫.

39

【分析】（1）設AC,BD的交點、為E，由線面平行性質定理得ME,再根據(jù)三角形中位線性質得M為

心的中點.（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求

向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系求二面角大?。?）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立

各點坐標，列方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系求線面角

大小

【詳解】（1）設AC,BD的交點為E，連接ME.

因為P。，平面M4C,平面平面=所以P。ME.

因為A3CD是正方形，所以E為的中點，所以M為PB的中點.

（2）取AO的中點0,連接OP,0E.因為P4=PD，所以OP_LA￡>.

又平面平面ABC。，且OPu平面24。，所以OPL平面ABCD.

因為0￡u平面ABC。，所以OP_LOE.因為ABC。是正方形，所以

如圖，建立空間直角坐標系。一孫z,則尸（0,0,夜），￡）（2,0,0）,B（-2,4,0）,

所以30=（4,T,0）,PD=（2,Q,-y/2）.

n-BD=O4x-4y=0

設平面80P的法向量為〃=（x,y,z）,則<，即《

n-PD=O2x-0z=0

令x=l,則y=l,z=V2,于是〃=（1』,3）.

平面PAD的法向量為p=（0,1,0）,所以cosp）ri-p_\

〃||p|2

,JT

由題知二面角8—PD—A為銳角，所以它的大小為

7

/、\n-MC\2J6

設直線MC與平面BDP所成角為a,則sina=cos（〃,MC）=-

\/|/?||MC|9

所以直線MC與平面3OP所成角的正弦值為偵.

9

四、附加題（共20分，要求寫出必要的解答或證明步驟）

19.如圖，直線AQL平面a,直線AQ_L平行四邊形48c。，四棱錐P-488頂點P在平面a上，

AB=幣，AD=6AD±DB，ACcBD=O、OPiIAQ,AQ=2,M,N分別是AQ與CD的中點.

（1）求證：MN//平面Q8C；

（2）求二面角M—C8—Q的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）主叵

10

【分析】（1）連接OM,ON,由題意可證得平面OMN〃平面QBC,利用面面平行的性質定理可得MN〃平面

QBC；

（2）過。作OZ〃OP,以DA,O8,￡>Z所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面MQB的

法向量為勺=（0,-1,2）,平面QCB的法向量為巧=（0,-1,1）,據(jù)此計算可得二面角M-CB-Q的平面角。的

余弦cos。=.

10

【詳解】（1）連接OM,CW,底面ABC。為平行四邊形，

N是C。的中點，。是8。的中點，，ON//BC,

M是A。的中點，。是AC的中點，，OMUQC,

ONCOM=0,BCcQC=C,.?.平面。MN〃平面QBC,

MN1平面。MN,MN〃平面QBC；

（2）由AQJ.平面c,AQ,平行四邊形ABC。，

??平面a〃底面ABCO，OP//AQ,OP=AQ=2,

，四邊形PQA。為矩形，且尸。,底面ABC。，ADYDB，過。作OZ〃QP,

以D4,OB,OZ所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系（如圖），

由AB=V7，AD=0，AD±DB,知。3=2，

ZXO,O,O）、A（6o,O）、-1）、N（6,0,-2）、3（0,2,0）、C（-石,2,0）,

MB=（-6,2,1）、C5=DA=（6,0,0）、。8=（一百,2,2）,

設平面MCB的法向量為q=(4,y,4),

it.MB--y/3x,+2y+4=0

則〈,

%-CB=v3X|=0

取y=-l,4=2,Xj=0,Bpr\=(0,-1,2),

設平面QCB的法向量為%=（/，%，Z2）

n2-QB--\/3x2+2y2+2z2=0

則《

n2CB=\f3x2=0

取%=-1，=1,x2=0,即4=(0,-1,1),

"i，n2_2)(0,-1,1)3Vio

???二面角M-CB-Q的平面角e的余弦cos?=

同同