2023-2024學(xué)年北京順義一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年北京順義一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

2023.11

（考試總分：150分考試時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題（每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

[設(shè)集合4三{削x<3x-l},B={x|-l<x<3},則AB

)

A.(―L+8)B.3C.(f3)D.

P7

2.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在（0,+o。）單調(diào)遞減的是（）

.2C=l

A.y=xB.V=xyD.y=-/4-1

X

3.若“幻與g（力是同一個(gè)函數(shù),且/（＞）=x,則g。）可以是（)

x2

(

A.g(x)=(J7)2B.gx)=Cg(x)=ED-g(x)=一

x

4.電訊資費(fèi)調(diào)整后，市話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：通話時(shí)間不超過3分鐘收費(fèi)0.2元;超過3分鐘后，每增加1分鐘

收費(fèi)01元，不足1分鐘按1分鐘計(jì)費(fèi).通話收費(fèi)S（元）與通話時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)圖像可表示為下圖中的

（）

s

0.6-

0.4-

A.

0.2。

36

龍"圖像經(jīng)過點(diǎn)（3,t],則下列命題正確的有（

5.已知幕函數(shù)/（%）=)

A.函數(shù),f（x）為偶函數(shù)B.函數(shù)/（x）為增函數(shù)

/（玉）+/（々）x+x

C.若尤＞1,則〃力＞1D.若0"，則}2

22

6.已知〃：x..k,q:（2—x）（x+l）＜0,如果P是夕的充分不必要條件，則％的取值范圍是（）

A.[2,00)B.C.[l,+oo)D.(2,+co)

7.奇函數(shù)/（x）在（0,田）上單調(diào)遞增，且/⑴=0,則不等式‘（?一,（二"）＞0的解集為（）

x

A.(-1,O)U(1,4W)B.

c.(-1,O)U(O,1)D.(^o,-l)U(l,+oo)

8.已知函數(shù)-如—1,“玉eRJ(x)20”為假命題，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是()

A.(-4,0］B.(-4,0)C.(-00,-4)(O,-H?)D.(-oc,-4)u［0,+oo)

'2

一廠—ux—7,%W1

9.已知函數(shù)/(x)={a，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

一,x>1

、x

A.［-4,0)B.(—oo,—2］C.(—<x\0)D.［—4,—2］

10.定義新運(yùn)算十：當(dāng)。2Z?時(shí)，。十b=a；當(dāng)。</?時(shí)，Q十〃=/,則函數(shù)

/(x)=(l十x)x—(2十x),x€［—2,2］的最大值等于()

A.-1B.1C.6D.12

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

11.函數(shù)/(尤)=:一+反推的定義域?yàn)?

x-1

_____2

12.正3>+(7一3)°—+(0丫=-------

,1

13.已知函數(shù)人刈為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)l>0時(shí)，/(x)=x2+-,則/(-1)=—.

x

14.若偶函數(shù)/(x)在［0,+。)上單調(diào)遞減且/(1)=(),則不等式/(x-3)2()解集是.

15.1859年，我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭將，加”?標(biāo)川”一詞譯成“函數(shù)”，并給出定義：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù),

則此為彼之函數(shù)

①若/(-2)=〃2),則函數(shù)/⑶是偶函數(shù)

②若定義在R上的函數(shù)在區(qū)間(—0,0］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［0,+e)上單調(diào)遞增，則函數(shù)/(x)在R上

是增函數(shù)

③函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋邸?句，a<c<b,若/")在［a,c)上是增函數(shù)，在［c,5］上是減函數(shù)，則

/(初皿=/(c)

④對于任意的方,工2€(0，+8)，函數(shù)/(X)=4滿足/

上面關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的說法正確的序號是.(請寫出所有正確答案的序號)

三、解答題(共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

16.已知集合集={x|28秘},B={x|l<x<6},C={x\x>a},U=R.

(1)求AUB,?A)"B-

(2)若An。。，求a的取值范圍.

4

17.設(shè)函數(shù)y（x）=x+—.

（1）判斷函數(shù)/（X）奇偶性；

（2）當(dāng)xw（O,+。。）時(shí)，求函數(shù)“X）的最小值；

（3）直接寫出函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間（不需證明過程）.

18.己知函數(shù)“刀片/一2歐+1.

（1）若函數(shù)/（力為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)“的值；

（2）若函數(shù)/（X）在（-8,4］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（3）求函數(shù)/（力在1,2］上的最小值.

y_1_/7

19.已知定義在區(qū)間（—1,1）上的函數(shù)/（%）=/手■為奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間（—1,1）上的單調(diào)性并用定義證明；

（3）解關(guān)于/的不等式/（2f—1）+/（。<0.

20.2021年3月1日，國務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會(huì)，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項(xiàng)措施,

進(jìn)一步激勵(lì)國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.根據(jù)市場調(diào)查某數(shù)碼產(chǎn)品公司生產(chǎn)某款運(yùn)動(dòng)手環(huán)

的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入20萬元.若該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運(yùn)動(dòng)手環(huán)x萬

100-Ax,0<x<20

只并能全部銷售完，平均每萬只的銷售投入為R（x）萬元，且R（X）=121009000攵當(dāng)該公

----------—,x>20

、xx

司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運(yùn)動(dòng)手環(huán)5萬只并全部銷售完時(shí)，年利潤為300萬元.

（1）求出女的值并寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式W（x）；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí)，公司在該款運(yùn)動(dòng)手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

21.對于正整數(shù)集合A,記A-{a}={x|xeA,xwa},記集合X所有元素之和為S（X）,S（0）=0.若

HxeA,存在非空集合A、4,滿足：①A4=0；②44=A-{x}；③s（A）=s（4）,

則稱A存在“雙拆”.若WxeA,A均存在“雙拆”，稱A可以“任意雙拆”.

（1）判斷集合",2,3,4}和{1,3,5,7,9,11}是否存在“雙拆”？如果是，繼續(xù)判斷可否“任意雙拆”？

（不必寫過程，直接寫出判斷結(jié)果）；

（2）A={al,a2,aJ,a4,a5},證明：A不能“任意雙拆”；

（3）若A可以“任意雙拆”，求A中元素個(gè)數(shù)的最小值.

【答案】

1.B

【分析】化簡結(jié)合A,再應(yīng)用交集的運(yùn)算即可.

【詳解】集合A三{#x<3x—1}={X|X>—},8={x|-l<x<3},則4B=\-,3.

2)

故選：B

2.D

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性直接判斷.

【詳解】對于A,y=f是偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；

對于B,丁=%是奇函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；

對于C,丫=」是奇函數(shù)，在(0,+o>)上單調(diào)遞減，不符合題意；

X

對于D,y=-/+l是偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，符合題意；

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判斷法則，定義域和對應(yīng)法則要相同去判斷A、D選項(xiàng)函數(shù)的定義域與已知函

數(shù)不同，C選項(xiàng)函數(shù)的對應(yīng)法則和已知函數(shù)不一樣，B選項(xiàng)對應(yīng)法則和定義域和已知函數(shù)都一樣，即可

得出答案.

【詳解】解：/(X)=X的定義域?yàn)镽.

A選項(xiàng)：8。)=(?)2定義域?yàn)椋?,+8),與/(幻=》的定義域不同，所以，(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù),

A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：g(x)=#F=x，其定義域?yàn)镽，所以/(*)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)，B正確；

C選項(xiàng)：g(x)=J7=W，與/(x)=x對應(yīng)法則不一樣，所以/(?與g(x)不是同一個(gè)函數(shù)，C錯(cuò)誤；

2

D選項(xiàng)：8。)=工的定義域?yàn)?，2。)^(0,+8),與/。)=彳的定義域不同，所以/㈤與g(x)不是同

x

一個(gè)函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：B

4.B

【詳解】

【分析】由題意知，當(dāng)0<tW3時(shí)，S=0.2.

當(dāng)3<tW4時(shí)，S=0.2+0.1=0.3.

當(dāng)4<tW5時(shí)，S=0.3+0.1=0.4.

所以對應(yīng)的函數(shù)圖像為B.

故選B.

5.A

【分析】代點(diǎn)求出解析式，即可判斷A,B,C,作差法判斷D.

【詳解】將點(diǎn)（3：）代入函數(shù)〃力=￡,得"=3",則a=—2,

即"x）=＜2,所以是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減，A正確，B錯(cuò)誤;

當(dāng)X＞1時(shí)，!＜1,即/（X）＜1,C錯(cuò)誤;

X

當(dāng)0＜%＜々時(shí)，/（/；/⑸-/（詈）

11

整理得下+了＞

X\X2

化簡得U+：2)-+8+：)2〉&,

5W

即證明（3+：）=1+生+4+4■+生+1>8成立,

不X1芍%2

利用基本不等式，1+蛋+與+與+”+122+2石+2=8,

Mx}x2x2

因?yàn)?。＜玉?2，故等號不成立，.'.1H--H—+--+1＞8,

%%]%x2

即止？功〉/（詈）D錯(cuò)誤

故選：A

6.D

【分析】先將9化簡，再根據(jù)充分不必要條件可判斷得解.

【詳解】（2-x）（x+l）＜0,解得》〈一1或x〉2,或x〉2,

因?yàn)镻是0的充分不必要條件，即。對應(yīng)的集合是《對應(yīng)集合的真子集，2.

故選：D.

7.D

【分析】

本題首先可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為祖?！?,然后分為x>l、（）<x<l、一l<x<（）、

X

》<-1以及x=l、-1五種情況進(jìn)行討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性判斷出函數(shù)值的大小，即可得出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（X）是奇函數(shù)，

所以/（一力=一/（力，不等式/（X）—/（?）>0即也立>0,

XX

因?yàn)槠婧瘮?shù)“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，且/⑴=0,

所以當(dāng)x>l時(shí)，/（x）>0,此時(shí)-2/1立〉0,

X

當(dāng)0cx<1時(shí)，/（x）<0,此時(shí)2/（x）<o；

x

當(dāng)一1cx<（）時(shí)，/（x）>0,此時(shí)2,，<o；

x

當(dāng)x<—l時(shí)，/（x）<0,此時(shí)21（X）〉0,

x

當(dāng)x=l、-1時(shí)，^1^=0，

X

綜上所述，不等式/a）一〃T）〉0的解集為（—8,—l）U（l,~F9。）,

X

故選：D.

【點(diǎn)睛】解抽象函數(shù)解不等式方法：（1）化簡不等式；（2）確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）畫出函數(shù)的草圖,

或求出函數(shù)的零點(diǎn)；（4）根據(jù)圖象或單調(diào)性，求出不等式的解.

8.A

【分析】由'勺彳€凡，姓2一如一120，，為假命題，得到“VxeR,"?/一根^一1<0，，為真命題，利用判別

式法求解.

【詳解】因?yàn)?勺xeR,肛2一,依一120，，為假命題，

所以“VxeR,mx1-/nr-1<0”為真命題,

當(dāng)〃2=0時(shí)，-1<0成立;

[m<0

當(dāng)〃2工0時(shí)，｛/、2八解得Y<mv0,綜上：-4<m<0,

[△=（一相）+4m<0

所以實(shí)數(shù)，”的取值范圍是（T,0].

故選：A.

9.D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.

—dx—7,xW1

【詳解】由函數(shù)/(X)=]Q在R上單調(diào)遞增函數(shù)，

一,x>1

-?>1

2

則滿足，解得-4WaW-2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-4,-2].

-I2-a-1<a

故選：D.

10.C

【分析】當(dāng)—和1<XW2時(shí)，分別求出函數(shù)/(X)的表達(dá)式，然后利用函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)求出

函數(shù)/(X)的最大值.

【詳解】解：由題意知

3

當(dāng)-2Wx〈l時(shí)，f(x)=x-2,當(dāng)1<XW2時(shí)，f(x)=x-2,

XVf(x)=x-2,f(x)=x3-2在定義域上都為增函數(shù)，，f(x)的最大值為f(2)=23-2=6.

故選C.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)新定義運(yùn)算以及函數(shù)最值的求解問題，在解題的過程中，需要對題中所給的

條件正確轉(zhuǎn)化，再者就是對函數(shù)最值的求解方法要靈活掌握.

(l,4w)

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出函數(shù)解析式滿足的不等式組，即可求得答案.

【詳解】要使〃x)=——+有意義，則L,、，解得且XO1,

''x-\[2+x?0

則其定義域?yàn)椋篬—2,1)(1,+8).故答案為：[—2,1)(1,+8)

12.-4

【分析】根據(jù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】^37+(7t-3)0-85+(^4)3=V9+l-(23p-4

3x-

=3+1-23-4=-22=-4-

故答案為：-4.

13.-2

【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+-,故/(1)=1+1=2.

X

?：fM為奇函數(shù)，.?./(-I)=一/(1)=-2.

故答案為：-2.

14.［2,4］

【分析】先對/(%-3)20化簡為“x-3)2〃l),然后利用函數(shù)/(X)為偶函數(shù)并結(jié)合其單調(diào)性質(zhì)從

而求解.

【詳解】由題意知函數(shù)"X)為偶函數(shù)，且"1)=0,八%一3)20,

所以得:/(x-3)>/(l),

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在［0,+向上單調(diào)遞減，所以得：忖一3區(qū)1,

解之得：2WxW4,即解集為：［2,4］.

故答案為：［2,4］.

15.函數(shù)性質(zhì)的說法正確的序號是.(請寫出所有正確答案的序號)

【答案】②④

【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值和基本不等式應(yīng)用對選項(xiàng)一一判斷即可.

【詳解】對①，偶函數(shù)是對定義域內(nèi)任意X,都有/(-x)=/(x),僅取X=2時(shí)成立，不能確定是偶函數(shù),

故①錯(cuò)誤；

對②，定義在R上的函數(shù)/(X)在區(qū)間上(7,0］單調(diào)遞增，在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，其中x=()時(shí)

兩段函數(shù)圖像相接，

故函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以②正確；

對③，函數(shù)y=的定義域?yàn)橛颍?a<c<h,若“X)在［a,c)上是增函數(shù)，在［c,可上是減函數(shù),

不一定有F(x)max如當(dāng)/(x)={?>0?

—X—Z,X2U

故③錯(cuò)誤;

對④，由基本不等式可得。2+〃224匕，即2,2+〃）2（a+6）2,進(jìn)一步可得小《產(chǎn)2審,當(dāng)

且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立，

對任意玉,馬?0,+8）,則愛,惠;后,當(dāng)且僅當(dāng)玉=9時(shí)等號成立，

由/（x）=VL則21（））；/（%）,故④正確

故答案為：②④.

16.（1）AUB={x|l<立8},（Q/A）B-[x\\<x<2}（2）{a|a<8}

【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)的定義，即可求解；

（2）利用運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合數(shù)軸，即可求解.

【小問1詳解】

AUB={x|2<r<8}U{x|la<6}={x|l<爛8}.

；"A={X|x<2或x>8},；.（屯A）PB={x[1<x<2].

【小問2詳解】

,：AnC^0,作圖易知，只要a在8的左邊即可，

-------------------------------->-

2a8x

的取值范圍為囹。<8}.

17.17.奇函數(shù)18.419.（^,—2）和（2,+8）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可判斷；

（2）利用基本不等式可得解；

（3）根據(jù)對勾型函數(shù)的圖像可得解.

【小問1詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)“X）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,w）,

4

X/（-x）=-x--；=,

所以函數(shù)〃x）是奇函數(shù).

【小問2詳解】

0,

4/44

.-.f(x)=x+->2Jx--=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=二，即x=2時(shí)等號成立,

xV%x

所以X€(0,+。。)時(shí)，/(X)的最小值為4.

小問3詳解】

函數(shù)“X)的增區(qū)間為(F,—2)和(2,4w).

2-2a,a<1

18.(1)a=Q(2)(3)\-a2,l<a<2

5-4a,a>2

【解析】

【分析】(1)由偶函數(shù)定義可直接構(gòu)造方程求得。的值；

(2)由二次函數(shù)單調(diào)性可確定對稱軸位置，由此可得。的取值范圍；

(3)分別在,1<。<2和的情況下，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定最小值點(diǎn)，進(jìn)而得到最小值.

【小問1詳解】

/(%)為偶函數(shù)，.?./(-x)=F(x),即爐+2以+1=丁-2ar+1,

:.2a=—2a,解得：a=0.

【小問2詳解】

/(X)的對稱軸為x=a,/(x)在(-8,4］上是減函數(shù)，,a",

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［4,+8).

【小問3詳解】

由題意知：/(x)開口方向向上，對稱軸為x=a,

當(dāng)aWl時(shí)，“X)在［1,2］上單調(diào)遞增，.?./(x)min=/⑴=2—2a；

當(dāng)l<a<2時(shí)，/(x)在［1,。)上單調(diào)遞減，在(。,2］上單調(diào)遞增，.?./(%*11=/(。)=1一〃；

當(dāng)。之2時(shí),“X)在［1,2］上單調(diào)遞減，.?./(項(xiàng)代=/(2)=5—4a；

2-2a,a<\

綜上所述：/(X)min=T—/』<a<2.

5-4a,a>2

19.(1)a=0(2)單調(diào)遞增，證明見解析(3)(0,1)

【分析】(1)由題意/(0)=。=0,由此即可得解.

(2)由定義法證之即可.

(3)結(jié)合奇函數(shù)的單調(diào)性即可求.

【小問1詳解】

因?yàn)槎x在區(qū)間(一1,1)上的函數(shù)/(x)=MV_1_Z7■為奇函數(shù)，

則/(0)=a=0,經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，則。=0；

【小問2詳解】

由⑴知〃力=三丁/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,

%_(￥2-1)(赴一司)

證明如下：設(shè)-1<玉<*2<1考+1(%2

其中XjX2-1<0,x2-x1>0,

所以<0,即/(%)</(%),

故函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

由/(2-1)+/⑺<0,又/(X)為奇函數(shù)，即/⑵一1)<一/?)=/(-。，

'2r-l<-t

又f(x)在區(qū)間(一1,1)上單調(diào)遞增，貝卜-1,解得0<r<；.

-r<1

則解集

-2X2+80X-50,0<X<20

20.(1)k=2,W(x)=<2050-20x-^^),x>20

X

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為30萬只時(shí)，公司在該款運(yùn)動(dòng)手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元.

【解析】

【分析】(1)由題意可得W(x)=xR(x)-20%-50,由W(5)=300可求出女，然后可得W(x)的解析

式；

(2)利用二次函數(shù)的知識求出當(dāng)0<xW20時(shí)W(x)的最大值，利用基本不等式求出當(dāng)x〉20時(shí)年(打的

最大值，然后作比較可得答案.

【小問1詳解】

由題意可得W(x)=xR(x)-20x-50

當(dāng)x=5時(shí)R（5）=100—5左，所以W（5）=5R（5）-20-5—50=500—25Z-150=300

解得左=2

-2X2+80X-50,0<X<20

所以W（x）=—20%-50-?“八2180002

2050—20x------,x>20

、x

【小問2詳解】

當(dāng)0cxM20時(shí)，W（X）=-2X2+80X-50,其對稱軸為x=20

所以當(dāng)尤=20時(shí)W(x)取得最大值750萬元

1onnn900

當(dāng)x>20時(shí)，W（x}=2050-20x-=2050-20x+<2050-20-2,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)X=2也即x=30時(shí)等號成立

x

因?yàn)?50>75()

所以當(dāng)年產(chǎn)量為30萬只時(shí)，公司在該款運(yùn)動(dòng)手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元.

21.(1)答案見解析(2)證明見解析(3)7

【分析】(1)根據(jù)題中定義判斷可得出結(jié)論；

(2)不妨設(shè)利用反證法，通過討論集合A中去掉的元素，結(jié)合“任意雙拆”的

定義得出等式，推出矛盾，即可證得原結(jié)論成立；

(3)分析可知集合A中每個(gè)元素均為奇數(shù)，且集合A中所有元素都為奇數(shù)，分析可知〃27,當(dāng)a=7

時(shí)，A={1,3,5,7,9,11』3},根據(jù)“任意分拆”的定義可判斷集合A可“任意分拆”，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：對于集合