2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練-專項(xiàng)九 角平分線問題

專項(xiàng)九角平分線問題

關(guān)鍵詞角平分線

思路1:角平分線+垂線出全等

結(jié)論：如圖，aPBDgZ^PBE.

連駕邀訓(xùn)筑

1.如圖，在aABC中，AO是NBAC的平分線，ZC=90°,BC=6,BD=4,則點(diǎn)。到直線

AB的距離是.

A

c\^＞第1題）

2.如圖，在四邊形A3CO中，ZBAD=\20°,ZC=60°,8。平分NABC.求證：AD=CD.

思路2：角平分線十垂線出等腰

結(jié)論：如圖，4ABN為等腰三角形.

國轆洲蘇：

3.如圖，ZiABC的面積為10,點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分NABC,AP±BP,求APBC的

面積.

A

（第3題）

4.如圖，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,AO是N84C的平分線，過點(diǎn)B作BE丄厶

交AO的延長線于點(diǎn)E.求證：AD=2BE.

（第4題）

思路3：角平分線+平行線出等腰

B

方法指導(dǎo)：如圖，AB〃CD,CE平分NACD交AB于點(diǎn)E,則可得^ACE為等腰三角形.

通型題訓(xùn)級

5.如圖，在AABC中，D,E分別是邊A8,AC的中點(diǎn)，連接OE,NABC的平分線交。E于

點(diǎn)、F.

(1)若AB=8,BC=\2,求EP的長;

(2)連接AR求證：ZAFB=90°.

（第5題）

6.如圖，在AABC中，CO平分NACB交AB于點(diǎn)。，DE〃AC交BC于點(diǎn)、E,DF//BC交AC

于點(diǎn)日求證：四邊形OECF是菱形.

（第6題）

思路4：出現(xiàn)角平分線可考慮構(gòu)造全等.

瘓繭訓(xùn)黎

J-Sjj—

7.如圖，在AABC中，NA=2NB,CO平分NACB交4?于點(diǎn)D求證：BC=AD+AC.

（第7題）

答案

1.2

2.證明：如圖，過點(diǎn)。作OE丄于E,作OE丄BA,交的延長線于點(diǎn)F.

%-----一一。

工

BEC（第2題）

?.?點(diǎn)D在NABC的平分線上，，DE=DF.

VZBAD=120°,/.ZDAF=60°,

AZDAF=ZC.

■:DEIBC,DF±AF,

.*.ZF=ZDEC=90°,

/.△ADF^ACDE,

/.AD=CD.

3.解：如圖，延長AP交8C于D

A

B。c(第3題)

'.?BP平分/ABC,.,.ZABP=ZDBP,

TAP丄BP,/.ZAPB=ZDPB=90°.

在AABP和ADBP中，

NABP=NDBP,

BP=BP,

NAPB=NDPB,

.?.△ABPg/\DBP(ASA).

/.AP=DP,SAPBA=SAPBD.

*,?易得SAPCA=SAPCD,

SAPBC=SAPBD+SAPCD=；S△ABC=5.

4.證明：如圖，作AC、BE的延長線，交于點(diǎn)F.

?；BE丄AD,

.,.ZAEB=ZAEF=90°,

?,.ZCAD=90°-ZF,

VZBCF=180o-ZACB=90°,

/.ZCBF=90o-ZF,

.?.ZCAD=ZCBF,

在AACD和"CF中，

VZCAD=ZCBF,AC=BC,ZACD=ZBCF=90°,

/.△ACD^ABCF,/.AD=BF.

：AD平分NBAC,

.".ZFAE=ZBAE,

又?:ZAEF=ZAEB,AE=AE,

.,.△AEF^AAEB,

，EF=BE,，AD=BF=2BE.

5.(1)解：：。，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

：.DE是AABC的中位線，

：.DE〃BC且DE*BC,

'：BC=12,：.DE=6.

；BF平分NABC,NDBF=ZCBF,

,JDE//BC,:.NDFB=/CBF,

：.ZDBF=ZDFB,

：.DF=BD=^AB=^x8=4,

：.EF=DE-DF=6-4=2.

(2)證明：由(1)可知=BD=AD,

?:AD=DF,：.ZDFA=ZDAF.

設(shè)NO?l=a,則/B。/=NO陰+ND4R=2a,

,:BD=DF,

180°-ZBDF180。-2a

=

ZDFB=ZDBF=290°-ot,

：.ZDFA+ZZ)FB=a+(90°-a)=90°,即ZAFB=90°.

6.證明：如圖.

A

BEC(第6題)

?.?DE〃AC,DF〃BC,二四邊形DECF為平行四邊形.

?.?AC〃DE,Z2=Z3.

?..CD平分NACB,.*.Z1=Z2,.*.Z1=Z3,

/.DE=EC,平行四邊形DECF為菱形.

7.證明：在8C邊上截取EC=AC,連接OE,則BC=BE+EC.

?.?CO是NACB的平分線，

:./DCE=ZDCA.

(EC=AC,

在ACOE和△COA中，5/DCE=ND