2023-2024學年中考數(shù)學16二次函數(shù)的存在性問題【含答案】

專題16二次函數(shù)的存在性問題

【考點1】二次函數(shù)與相似三角形問題

【例1】（2020?湖北隨州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線歹=。/+/+1的對稱軸為直線

3

%=-,其圖象與x軸交于點Z和點8（4,0）,與N軸交于點C.

2

（1）直接寫出拋物線的解析式和/C4。的度數(shù);

（2）動點M，N同時從Z點出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度在線段Z8上運動，點N以每秒0個

單位的速度在線段ZC上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設運動的時間為

W>0）秒，連接再將線段繞點M順時針旋轉90°,設點N落在點。的位置，若點。恰好落

在拋物線上，求f的值及此時點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，設尸為拋物線上一動點，。為N軸上一動點，當以點C,P,。為頂點的三角形

與相似時，請直談寫出點P及其對應的點。的坐標.（每寫出一組正確的結果得1分，至多得4分）

【答案】（1）^=一；/+18+1,NC4O=45°；（2）t=3,。點坐標為（2,3(3)小一|),0(0,一￡)

53

，Q礙;尸5

小,-1)，2g22:AC

/引，&。，-11517

-；A

1-Q93

1687]

"367)

251711613

0,2,20,

TT'E363

【分析】

(I)根據(jù)拋物線的對稱軸以及點B坐標可求出拋物線表達式；

(2)過點N作NEL4B于E,過點。作。尸，46于R證明△NEA/gZSMFD,得到

NE=MF,EM=DF,從而得到點D坐標，代入拋物線表達式，求出t值即可；

(3)設點P(m,--?72+-?7+1),當點P在y軸右側，點Q在y軸正半軸，過點P作PRd_y軸于點R,

44

CPPR

過點D作DS±x軸于點S,根據(jù)△CPQs/\MDB,得到,從而求出m值,再證明△CPQs/xMDB,

求出CQ長度，從而得到點Q坐標，同理可求出其余點P和點Q坐標.

【詳解】

3

解：(1)；拋物線y=〃/+隊+1的對稱軸為直線x=],

?.?拋物線經(jīng)過點B(4,0),

16a+4b+1=0,將b=-3a代入,

13

解得：a=----,b=一,

44

13

拋物線的解析式為：歹=一一f7+—x+1,

44

令y=0,解得：x=4或?1,

令x=0,則y=l,

.?.A(-1,0),C(0,1),

CO1

/.tanZCAO=-----=1,

AO

：.ZCAO=45°；

(2)由(1)易知4(一1,0),

過點、N作NEtAB于E,過點。作于E,

,/ZDMN=90°,

JNNME+NDMF=90。，又NNME+NENM=90。，

AZDMF=ZENM,

?/NM=DM,NDMN=90。,

：.ANEM咨AMFD(AAS),

:.NE=MF,EM=DF,

由題意得：ZCAO=45°,AN=M，AM=3t,

AE=CE=t,EM=AM-4E=2t,

:.DF=2t,MF=t,OF=4t—l,

D(4/—1,2/),

1,3

一一(4r-l)2+-(4/-l)+l=2z,又。＞0,

44

3

故可解得：t=一或0(舍)，

4

3

經(jīng)檢驗，當t=±時，點均未到達終點，符合題意,

4

此時。點坐標為〔21

(3)由(2)可知：D(2,3],t=3時，M(-,0),B(4,0),C(0,I),

I2j44

1,3

設點P(m,——m+—m+l),

44

如圖，當點P在y軸右側，點Q在y軸正半軸，

過點P作PRJ_y軸于點R,過點D作DSJ_x軸于點S,

3

則PR=m,DS=-,

2

若△CPQS^MDB,

，金二駕則”=駕，

MDDSMD'DS2

2ri23丫

m'+——m+—m

-----U-----匕』_=工2，解得：m=0（舍）或1或5（舍）,

459

164

故點P的坐標為：,

VACPQ^AMDB,

.CPCQPR

CQ1

當點p.。1時，1T=7,解得：CQ=—,—+1=—,

\2/~42666

17

???點Q坐標為（0，—）,

同理可得：點P和點Q的坐標為:

小-5。3號｝十一|），。2（0，一||）

1151]7

-

6o,一-Q9J

引,。3

同碎，一答?借，荀,Q,-圜;耳。（不含）?。（°廠翳）;

耳

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖像和性質，二次函數(shù)表達式，全等三角形的判定和性質，相

似三角形的性質，難度較大，計算量較大，解題時注意結合函數(shù)圖像，找出符合條件的情形.

【變式1-1］(2019?湖南婁底?中考真題)如圖，拋物線丁=?2+瓜+。與工軸交于點4(一1,0),點3(3,0),

與y軸交于點C,且過點。(2,-3).點P、。是拋物線y=ax?+bx+c上的動點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當點P在直線。。下方時，求APOD面積的最大值.

(3)直線與線段8c相交于點E,當A06E與A48c相似時，求點。的坐標.

149

【答案】(1)拋物線的表達式為：y=x2-2x-3；(2)SAP。。有最大值，當機=一時，其最大值為一；(3)

416

0(3-2向或(-后2揚或［三姮，￥卜(4普,筆叵］

【分析】

(1)函數(shù)的表達式為：y=a(x+1)(x-3),將點D坐標代入上式，即可求解；

(2)設點尸(加，加2一2機—3),求出OG=3+2m，根據(jù)

2

S&POD=；xOG(XD-XJ=；(3+2m)(2-m)=-/w+|m+3,利用二次函數(shù)的性質即可求解；

(3)分NACB=/BOQ、ZBAC=ZBOQ,兩種情況分別求解，通過角的關系，確定直線OQ傾斜角，進而

求解.

【詳解】

解：(1)函數(shù)的表達式為：_y=a(x+l)(x-3),將點D坐標代入上式并解得：。=1,

2

故拋物線的表達式為：y=x-2x-3...?i

(2)設直線PD與y軸交于點G,設點一2加-3卜

圖1

將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：V=M+f并解得，直線PD的表達式為：y=mx-3-2m,則

0G=3+2m?

S&POD=5xOG（x?！猉p）=5（3+2〃？）（2—/n）——+—/??+3,

149

V-1<0,故“POQ有最大值，當機=一時，其最大值為一；

416

口丫：OB=OC=3.：?NOCB=/OBC=4S，

?；AABC=/OBE,故A08E與A4BC相似時，分為兩種情況:

①當NACB=NBOQ時,AB=4,BC=3日

過點A作AH1BC與點H,

圖2

S》BC=；x/"x8C=；/8x°C，解得：AH=26.

ACH=72

則tanNJC6=2,

則直線0Q的表達式為：y=-2x...@,

聯(lián)立①②并解得：x=±G，

故點。（JJ,—26）或（―26）：

②/比時，

OC3

tanNBAC=—=-=3=tanZBOQ,

OA1

則直線OQ的表達式為：y=-3x...③，

聯(lián)立①③并解得：x=?，

2

也上T3-3付"-1-g3+3付

故點外J一+yA—，-^產(chǎn)［一^，「一J；

綜上，點0（省,-2折或（-省,2折或（安國匕普）或（三叵，三誓

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等，其中（3）,要注意

分類求解，避免遺漏.

【變式1-2］（2019?遼寧盤錦?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+反+c經(jīng)過點/（-1,

0）和點C（0,4）,交x軸正半軸于點8,連接/C,點E是線段08上一動點（不與點。，5重合），以

OE為邊在x軸上方作正方形OEFG,連接F8,將線段F8繞點尸逆時針旋轉90。，得到線段尸P,過點P

作尸4〃y軸，尸目交拋物線于點，，設點￡（a,0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若△ZOC與AFEB相似，求a的值.

（3）當尸H=2時，求點尸的坐標.

【答案】(1)y=-x2+3x+4；(2)a=*或4；(3)點戶的坐標為(2,4)或(1,4)或(駕亙，4).

【詳解】

(1)點C(0,4),則c=4,

二次函數(shù)表達式為：y=-x2+bx+4,

將點A的坐標代入上式得：0=-1-b+4,解得：b=3,

故拋物線的表達式為：y=-x2+3x+4；

、AO1

(2)tanZACO=——=一，

CO4

△AOC與aFEB相似，則NFBE=NACO或NCAO,

即：tan/FEB=工或4,

4

,/四邊形OEFG為正方形，則FE=OE=a,

EB=4-a,

,,a1a“

則----=一或-----=4,

4-a4A-a

164

解得：a=一或一；

55

(3)令y=-X2+3X+4=0,解得：x=4或-1,故點B(4,0)；

分別延長CF、HP交于點N,

VZPFN+ZBFN=90°,NFPN+NPFN=90°,

，NFPN=NNFB,

:GN〃x軸，；.NFPN=/NFB=/FBE,

VZPNF=ZBEF=90°,FP=FB,

.,.△PNF^ABEF(AAS),

；.FN=FE=a,PN=EB=4-a,

.?.點P(2a,4),點H(2a,-4a2+6a+4),

：PH=2,

即：-4a2+6a+4-4=|2|,

解得：a=l或4或上叵或三叵（舍去），

244

故：點P的坐標為（2,4）或（1,4）或（色姮，4）.

2

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，其中（2）、（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

【考點2】二次函數(shù)與直角三角形問題

【例2】（2020?湖北咸寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-（》+2與》軸交于點4

2（53、

與y軸交于點兒拋物線N=—^f+bx+c過點8且與直線相交于另一點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸是拋物線上的一動點，當NR4O=ZS4O時，求點尸的坐標；

（3）點N（〃,0）在x軸的正半軸上，點M（0,m）是y軸正半軸上的一動點，且滿足

NMNC=90".

①求加與〃之間的函數(shù)關系式；

②當用在什么范圍時，符合條件的N點的個數(shù)有2個？

【答案】（1）y=--x2+—x+2；（2）或（3,--）或（-2,-3）；（3）?m=--n2+—/?；

36k24j233

,-、25

②0<m<—

12

【分析】

（1）利用一次函數(shù)求出A和B的坐標，結合點C坐標，求出二次函數(shù)表達式；

（2）當點P在x軸上方時，點P與點C重合，當點P在x軸下方時，AP與y軸交于點Q,求出AQ表達

式，聯(lián)立二次函數(shù)，可得交點坐標，即為點P;

(3)①過點C作CD，x軸于點D,證明△MNOs^NCD,可得"2=3一，整理可得結果；

NDCD

②作以MC為直徑的圓E,根據(jù)圓E與線段OD的交點個數(shù)來判斷M的位置，即可得到m的取值范圍.

【詳解】

解：(1):直線y=—+2與x軸交于點4,與'軸交于點8,

令x=0,則y=2,令y=0,則x=4,

AA(4,0),B(0,2),

2(53、

:拋物線歹=+bx+c經(jīng)過B(0,2),CI,

2=cbJ

32255，解得:6，

—=——x—+—Lb+c

14342c=2

27

拋物線的表達式為：y=——X2+-X+2；

36

(2)當點P在x軸上方時，點P與點C重合，滿足ZP4O=NA4O,

當點P在x軸下方時，如圖，AP與y軸交于點Q,

,/ZPAO=ZBAO,

AB,Q關于x軸對稱，

.?.Q(0,-2),又A(4,0),

設直線AQ的表達式為y=px+q,代入,

__1_

-2=q解得：r;=2,

0=4p+q

a=-2

直線AQ的表達式為：y=-x-2,聯(lián)立得:

2

1c

y--x-2

2

Jr，解得：x=3或-2,

27c

y=—x2H-x+2

"36

???點P的坐標為（3,----）或（-2,-3）,

2

53

綜上，”1NR40=ABAO與，點P的坐標為:或（3,----）或（-2,-3）；

2542

(3)①如圖，NMNC=90。，過點C作CD_Lx軸于點D,

.".ZMNO+ZCND=90°,

ZOMN+ZMNO=90°,

NCND=NOMN,又NMON=NCDN=90。,

/.△MNO^ANCD,

n

MONO-^—

：.——=——，即un57,

NDCD

4

②如圖，VZMNC=90°,

以MC為直徑畫圓E,

???N(〃,0)0<n<-1j,

點N在線段0D上（不含O和D）,即圓E與線段OD有兩個交點（不含O和D）,

:點M在y軸正半軸，

當圓E與線段OD相切時，

有NE」MC,即NE2=—MC2,

當點M與點O重合時，如圖,

此時圓E與線段OD（不含O和D）有一個交點,

25一

，當0cm<—時,圓E與線段OD有兩個交點,

12

25

故m的取值范圍是:0<m<——.

12

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合，考查了求二次函數(shù)表達式，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，一次函數(shù)表達

式，難度較大，解題時要充分理解題意，結合圖像解決問題.

【變式2-1】如圖，拋物線歹=0?+公—4經(jīng)過A(-3,6),B(5,-4)兩點，與y軸交于點C,連接

AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求證：AB平分NC4。；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得A48V是以AB為直角邊的直角三角形.若存在，求出點M

的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】(I)y=-x2--X-4；(2)詳見解析；(3)存在，點M的坐標為(?-5

-9）或（一11）.

6622

【分析】

(1)將A(-3,0),B(5,-4)代入拋物線的解析式得到關于a、b的方程組，從而可求得a、b的值;

(2)先求得AC的長，然后取D(2,0),則AD=AC,連接BD,接下來，證明BC=BD,然后依據(jù)SSS

可證明△ABCZ/\ABD,接卜來，依據(jù)全等三角形的性質可得到NCAB=NBAD；

(3)作拋物線的對稱軸交x軸與點E,交BC與點F,作點A作AMUAB,作BM_LAB,分別交拋物線的

對稱軸與M\M,依據(jù)點A和點B的坐標可得到tanZBAE--,從而可得到tanZM(AE=2或tan/MBF=2,

2

從而可得到FM和M，E的長，故此可得到點M，和點M的坐標.

【詳解】

解：(1)將A(-3,0),B(5,-4)兩點的坐標分別代入，

9"36—4=0,

25a+5b—4=—4,

1

解得J

故拋物線的表達式為y=y=1x2—』x—4.

66

(2)證明：VA0=3,0C=4,

.?.AC=力：+42=5.

由兩點間的距離公式可知BD=7(5-2)2+(-4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

二BC=5.

/.BD=BC.

在AABC和AABD中，AD=AC,AB=AB,BD=BC,

.?.△ABCdABD,

.*.ZCAB=ZBAD,

AAB平分/CAO；

(3)存在.如圖所示：拋物線的對稱軸交x軸與點E,交BC與點F.

拋物線的對稱軸為x=-,則AE=—.

22

VA(-3,0),B(5,-4),

/.tanZEAB=—.

2

VZM,AB=90°.

/.tanZM,AE=2.

.*.M,E=2AE=11,

5

.?.M'（一，11）.

2

同理：tanNMBF=2.

r5

又：BF一，

2

；.FM=5,

5

AM（-,-9）.

2

...點M的坐標為（*,11）或（*,-9）.

22

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質和判定、

銳角三角函數(shù)的定義，求得FM和M，E的長是解題的關鍵

【變式2-2］（2019?甘肅蘭州?中考真題）二次函數(shù)歹=族2+笈+2的圖象交X軸于力（一1,0）,8（4,0）兩

點，交N軸于點C.動點”從點4出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿48方向運動，過點Mr作MN_Lx

軸交直線8C于點N,交拋物線于點。，連接4C.設運動的時間為/秒.

（1）求二次函數(shù)夕+bx+2的表達式：

（2）連接8。，當/時，求ADNS的面積：

（3）在直線上存在一點P,當AP8C是以/8PC為直角的等腰直角三角形時，求此時點。的坐標；

（4）當/=*時，在直線上存在一點Q,使得N/QC+NO4C=90°,求點。的坐標

4

1Q(35、

【答案】(1)y=一一x12+-X+2(2)2(3)。(1,3)(4)。一，一或

22122J

【解析】

【分析】

(1)直接將A、B兩點的坐標代入列方程組解出即可；

(2)根據(jù)題意得出AM,OM,設3C的解析式為：y=kx+b(k^O),將點C(0,2),8(4,0)代入求出解析式,

然后將尤=2分別代入_)/=一;x2+^x+2和丁=一;x+2中，得：0(2,3),N(2,l),再根據(jù)三角形面

積公式，即可解答

(3)過點P作x軸的平行線，交N軸于點E,過點8作歹軸的平行線，交EP的延長線于點尸，設

。(加(加2+|加+2),￡(0,〃),尸(私〃),產(chǎn)(4,〃)，根據(jù)題意得出"ECMA5EP,根據(jù)

PE=BF,CE=PF,即可解答

(4)當/=』時，/"=』，此時A/點在二次函數(shù)的對稱軸上，以〃點為圓心，4H長為半徑作圓，交

42

MN于。2。2兩點，得出/。力8+/。巳4=90°,再根據(jù)NC0/=NC48,ZCQ,A=ZCAB(同弧所

對圓周角)，即可解答

【詳解】

(1)將點力(-1,0),4(4,0)代入y=。氏2+&+2,得：

a—6+2=0

16。+4b+2=0

1

a=—

解得：\?2

b=>

2

1,3

所以，二次函數(shù)的表達方式為：y=--X2+-X+2

22

3

(2)1.'/=—AM—3

2

乂..OZ=1:.OM=2

設5C的解析式為:y=kx+b(k^Q),將點。(0,2),8(4,0)代入,得:

-

b=2k=

\=>s2

4攵+6=0LC

b=2

、

所以，直線3c的解析式為：y--x+2.

2

1,31

將x=2分別代入^=一]工2+5工+2和y=+2中，得：0(2,3),N(2,l).

DN=2

S&DNB=1x2x2=2.

(3)假設過點尸作X軸的平行線，交y軸于點E,過點8作歹軸的平行線，交加的延長線于點廠，

設￡>(加,-3加2+|_”?+2),￡(0,〃),尸(加,〃),;?(4,〃),由題意得：

APEC三ABFP

:.PE=BF,CE=PF

-

4-m=2-nm-1

.I=〈

—n=m[〃=_]

所以，點。的坐標為：。(1,3)

(4)當f=2時，AM此時河點在二次函數(shù)的對稱軸上，

42

以朋■點為圓心，ZM長為半徑作圓，交于兩點

???C(0,2),〃(|,0)

CM―—-R

2

；.C點在該圓上

:.ZACB=90。

：.ZCAB+ZCBA=9Q°

?;NCQiA=NCAB,NCQ]A=NCAB(同弧所對圓周角)

NC°m+NCB4=90"

ZCQ2A+ZCBA=90°

【點睛】

此題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵在于將已知點代入解析式

【考點3】二次函數(shù)與等腰三角形問題

【例3】(2020?山東濟南?中考真題)如圖1,拋物線》=-爐+bx+c過點/(-1,0),點、B(3,0)與y

軸交于點C.在x軸上有一動點E(加，0)(0<w<3),過點E作直線/_Lx軸，交拋物線于點

(1)求拋物線的解析式及C點坐標；

(2)當m=l時，。是直線/上的點且在第一象限內，若△/CO是以為底角的等腰三角形，求點。

的坐標；

(3)如圖2,連接8M并延長交y軸于點N,連接4",OM,設△N期的面積為S,△MON的面積為

若S=2S2,求機的值.

【答案】(1)>=—一+28+3,。(0,3)；(2)(1,1)或(1,痛)；(3)77-2

【分析】

(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)若△/CD是以為底角的等腰三角形，則可以分8=/?；?C=/。兩種情況，分別求解即可;

(3)SI=-AEX,2S=ON?X,即可求解.

2VM2M

【詳解】

-l-b+c=0

解：(1)將點4、8的坐標代入拋物線表達式得《八八，

-9+3b+c=0

b=2

解得〈

故拋物線的表達式為y=-『+2x+3,

當x=0時，y=3,故點C(0,3)；

(2)當加=1時，點E(l,0),設點。的坐標為(1,a),

由點4、C、。的坐標得，4C=0+1/+(3-0/:如,

同理可得：/0=信+4,C￡>=Jl+(a-3/，

①當CZ)=Z。時，即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得a=l；

②當/C=4)時，同理可得a=±JZ(舍去負值)；

故點。的坐標為(1,1)或(1,網(wǎng));

(3),：E(m,0),則設點-w2+2w+3),

f-m2+2m+3=sm+t

設直線8M的表達式為尸sx+r,則〈，

0=3s+t

m+1

解得：

3

故直線BM的表達式為y=-

33

當x=0時，y=—,故點N(0,二一),則ON=

(-"式+2用+3),

31

2SI=ON-XM=----X〃?=$=—X(w+1)X(-〃7+2加+3),

m+12

解得w=-2士J7(舍去負值)，

經(jīng)檢驗加=J7-2是方程的根，

故加=J7-2.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質、等腰三角形的性質、面積的計算等，其中(2),

要注意分類求解，避免遺漏.

【變式3-1】（2020?貴州黔東南?中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c（aWO）與x軸交于4、8兩點（點4

在點8的左邊），與y軸交于點C（0,-3）,頂點。的坐標為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）在y軸上找一點E,使得△口（7為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標.

（3）點尸是x軸上的動點，點。是拋物線上的動點，是否存在點尸、Q,使得以點P、0、B、。為頂點，

8。為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、。坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=x2-2x-3；（2）滿足條件的點E的坐標為（0,3）、（0,-3+如）、（0,-3-屈）、（0,

4

--）；（3）存在，P（-1+20,0）、Q（1+20,4）或P（-1-272，。）、QC-2丘,4）.

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式，再將點C坐標代入求解，即可得出結論；

（2）先求出點4C坐標，設出點E坐標，表示出4E,CE,AC,再分三種情況建立方程求解即可；

（3）利用平移先確定出點。的縱坐標，代入拋物線解析式求出點。的橫坐標，即可得出結論.

【詳解】

解：（1）I?拋物線的頂點為（1,-4）,

???設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4,

將點C（0,-3）代入拋物線y=a（x-1）2-4,得a-4=-3,

?'?a=1,

；?拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4=/-2x-3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為丁=（-2.3,

令y=0,則X2-2X-3=0,

Ax=-1或4=3,

：.B(3,0),力(-1,0),

令x=0,貝Uy=-3,

：.C(0,-3),

??AC—J10,

設點E(0,m),則/￡=，/+1,CE=|"?+3|,

???△/CE是等腰三角形，

，①當AC=AE時，yjlO=J"J+1>

，m=3或/n=-3(點C的縱坐標，舍去)，

：.E(3,0),

②當/C=CE時，川=|小+3],

.,.附=-3+y/w,

：.E(0,-3+布)或(0,-3-V10)?

③當NE=CE時，J他2+1=|加+3],

4

.'.in=---,

3

4

..E(01—-),

3

即滿足條件的點E的坐標為(0,3)、(0,-3+)記)、(0，-3-J16)、(。，-1

(3)如圖，存在，川。(1,-4),

，將線段8。向上平移4個單位，再向右(或向左)平移適當?shù)木嚯x，使點8的對應點落在拋物線上，這

樣便存在點Q，此時點D的對應點就是點P,

.,.點0的縱坐標為4,

設Q(t,4),

將點Q的坐標代入拋物線夕=/-2x-3中得，1-2L3=4,

.1=1+20或f=l-272，

：.Q(1+272-4)或(I-20,4),

分別過點。，。作x軸的垂線，垂足分別為凡G,

?.,拋物線y=x2-2x-3與x軸的右邊的交點8的坐標為(3,0),且。(1,-4),

:.FB=PG=3-1=2,

二點P的橫坐標為(1+2貶)-2=-1+2也或(1-2貶)-2=-1-272)

即尸(-1+2拒，0)、。(1+28，4)或尸(-1-2血，0)、Q(1-272-4).

【點睛】

此題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解

題關鍵.

4

【變式3-2】(2019?四川眉山?中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=--V+bx+c經(jīng)過點

9

Z(-5,0)和點6(1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)點尸是拋物線上工、。之間的一點，過點P作尸EJ_x軸于點E,PG,夕軸，交拋物線于點G,過點

G作GE_Lx軸于點當矩形尸跖G的周長最大時，求點尸的橫坐標；

(3)如圖2,連接Z0、80,點加■在線段上(不與4、8重合)，作NDMN=/DBA,交線段

于點N,是否存在這樣點"，使得ADAW為等腰三角形？若存在，求出ZN的長；若不存在，請說明理

由.

【答案】⑴歹=一黑一胃+衰。(-2,4)；(2)點尸的橫坐標為-*⑶AN=1或

【分析】

(1)根據(jù)2(-5,0)和點5(1,0)可得拋物線的表達式為y=—(x+5)(x-l),可知對稱軸為x=-2,代入解析

7

式即可得出頂點坐標；(2)設點2(根,-2"2-￡加+當］,則尸￡=-,加2-3加+改，

1999J999

PG=2(-2-m)=-4-2m,可得矩形PEFG的周長=2(PE+PG),即可求解；(3)由D為頂點，A、B

為拋物線與x軸的交點可得AD=BD,即可證明ZDAB=NDBA,根據(jù)NDMN=/DBA,利用角的和差關

系N得NNMA=NMDB,即可證明△5DM:\AMN,可得四=也；分MN=DM、NM=DN、

BMBD

DN=DM,三種情況分別求解即可.

【詳解】

4

X2

(1)；拋物線^=9-+bx+c經(jīng)過點/I(-5,0)和點3(1,0).

4

4X21620

...拋物線的表達式為：y=——(x+5)(x—1)=9----X4---

99

-5+1

，對稱軸為：x=----=-2,

2

4

把x=-2代入歹=一§(》+5)(工一1)得：y=4,

.??頂點。(—2,4).

」41620

(2)設點尸2-yw+—

則PE=一士加2一3加+小，PG-2(-2-m]--4-2m,

999''

矩形PERG的周氏=2(尸￡+尸6)=2(—]加2—募/?+?—4—2加)=一±(m+?)+箸，

：上。,

9

1717

.?.當加=一_L時，矩形尸EEG周長最大，此時，點尸的橫坐標為一一-

44

(3八?點D為拋物線頂點，A、B為拋物線與x軸的交點,

/.AD=BD,

/.ZDAB=ZDBA,

ADMN=/DBA,/BMD+NBDM=180°—/DBA，ANMA+NDMB=180°—ZDMN-

二ANMA=ZMDB，

\BDM:\AMN,

.ANAM

VD(-2,4),A(-5,0),B(1,0)

AB=6,4)=8。="2+32=5,

①當A/N=￡)忖時，

VZNAM=ZMBD,ZNMA=ZMBD,

\BDM=M.MN,

AM=BD—5，

AN=MB-AB-AM=1；

②壬NM=DN時，則ZNDM=/NMD,

VZDMN=ZDBA,

/.ZNDM=ZDBA,

VZDAB是公共角，

\AMD:\ADB,

,ADAM

??----=------，

ABAD

AD2=ABxAM>即：25=6x4",

..A…M——25,

6

25

ANAMANT

——=——，即an一,

BMBD6—255

6

A八N，——55:

36

③當ZW=Z)A/時，

ZDNM>NDAB，而ZDAB=ZDMN，

，ZDNM>4DMN,

:.DN片DM；

綜上所述：AN=l或應.

36

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、三角形相似和全等、等腰三角形性質等知識點，其中(3),

要注意分類求解，避免遺漏.

【考點4］二次必教與平行四邊形問題

【例4】(2020?四川綿陽?中考真題)如圖，拋物線過點A(0,1)和C,頂點為D,直線AC與拋物線的

對稱軸BD的交點為B(，0)，平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E,與直線AC交于點F,點F的

橫坐標為述，四邊形BDEF為平行四邊形.

3

(1)求點F的坐標及拋物線的解析式；

(2)若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當4PAB面積最大時，求點P的坐標及4PAB面積的

最大值；

(3)在拋物線的對稱軸上取一點Q,同時在拋物線上取一點R,使以AC為一邊且以A,C,Q,R為頂點

的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標.

(備用圖)

2

【答案】(1)—）；y--x+2y/3x+1（2）（—5/3,—）；—yfi

361224

f4/-37"、，廠、10r-37

Rl———~I或Q（,3，-10）,R（。3,——）

【分析】

(I)由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-?x+l,求出F點的坐標，由平行四邊形的性質得出-

3

3a+l=—a-8a+l-(--求出a的值，則可得出答窠;

33

(2)設P(n,-n2+2J3n+1),作PPJ_x軸交AC于點F,則F(n,-3n+1),得出PP=-M+Zjin,

33

由二次函數(shù)的性質可得出答案；

(3)聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C(-73,-設Q(、石，m),分兩種情況：①當AQ為對

33

角線時，②當AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標即可.

【詳解】

解：⑴設拋物線的解析式為y=ax?+bx+c(a#0),

VA(0,1),B(60),

設直線AB的解析式為y=kx+m,

.V3k+m=0

m=1

一也

解得＜3，

m=1

二直線AB的解析式為y=-3x+1,

3

..?點F的橫坐標為生8,

3

.?.F點縱坐標為-也x勺8+1=-

333

41

**?F點的坐標為(—,\/3,-r-

33

又：點A在拋物線上，

Ac=l,

對稱軸為：x=----=V3，

2。

；.b=-2年,

，解析式化為:y=a