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文檔簡(jiǎn)介
江西省上猶縣2023年數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題
考生須知:
1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色
字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。
2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。
3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。
一、選擇題(每題4分,共48分)
1.如圖所示,二次函數(shù)/=-/+2》+攵的圖像與》軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,()),則關(guān)于x的一元二次方程
2,若二次函數(shù)丫=,^+以+,(。W0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)和(-1,0),則5=。+6+。的值的變化范
圍是()
A.0<S<2B.0<5<1C.1<S<2D.-1<5<1
3.下列事件中,屬于必然事件的是()
A.小明買彩票中獎(jiǎng)B.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,擲得的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)
C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等D.。是實(shí)數(shù),同<0
4.已知反比例函數(shù)y=&
的圖象經(jīng)過(guò)尸(-2,6),則這個(gè)函數(shù)的圖象位于()
x
A.第二,三象限B.第一,三象限
C.第三,四象限D(zhuǎn).第二,四象限
5.已知拋物線產(chǎn)-爐+必+4經(jīng)過(guò)(-2,-4),則力的值為()
A.-2B.-4C.2D.4
6.用配方法解方程f=4x+l,配方后得到的方程是()
A.(X-2)2=5B.(x-2)2=4C.(x-2)2=3D.(x-2)2=14
4
7.在RtAABC中,ZC=90°,BC=4fsinA=y,貝!jAC=()
A.3B.4C.5D.6
8.二次函數(shù)y=2(x+lp+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()
A.(-1,-3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(1,3)
9.-4的相反數(shù)是()
11
A.-B.——C.4D.-4
44
10.如圖,在平行四邊形A8QD中,AC.8D相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E是。4的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)交AO于點(diǎn)F,已
知AAE77的面積為4,則AOBE的面積為()
14TD
B
A.12B.28C.36D.38
11.已知。O半徑為3,M為直線AB上一點(diǎn),若MO=3,則直線AB與。O的位置關(guān)系為()
A.相切B.相交C.相切或相離D.相切或相交
12.為了解某地區(qū)九年級(jí)男生的身高情況,隨取了該區(qū)100名九年級(jí)男生,他們的身高x(c/?)統(tǒng)計(jì)如根據(jù)以上結(jié)果,
抽查該地區(qū)一名九年級(jí)男生,估計(jì)他的身高不高于180czM的概率是()
組別(cm)爛160160V爛170170V爛180x>180
人數(shù)1542385
A.0.05B.0.38C.0.57D.0.95
二、填空題(每題4分,共24分)
13.反比例函數(shù)丁=-3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(T,n),3(祇4),點(diǎn)。是y軸上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)C4+C8的值最小時(shí),點(diǎn)C的
X
坐標(biāo)是.
14.如圖,將半徑為2,圓心角為90。的扇形區(qū)4c繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,點(diǎn)8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E,點(diǎn)。在AC
上,則陰影部分的面積為
15.如圖,在矩形ABCO中,AB=2,BC=3,點(diǎn)E、F、G、”分別在矩形A8CD的各邊上,
EF//HG//AC,EH//FGIIBD,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是
16.如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E,且CE=4A£,點(diǎn)尸在OC的延長(zhǎng)線上,連接即,過(guò)點(diǎn)E作
EGLEF,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AB=5,CF=2,則線段BG的長(zhǎng)是.
17.關(guān)于x的方程2x?+儂+〃=。的兩個(gè)根是-2和1,則nm的值為
18.二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a。0)中的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
_23
X???-101???
~2~222
_5_9_57_
y???-2-20???
-4~4~44
貝!Jax?+bx+c=0的解為?
三、解答題(共78分)
19.(8分)如圖,AB是半圓O的直徑,AD為弦,NDBC=NA.
D
£
o
(1)求證:BC是半圓O的切線;
(2)若OC〃AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的長(zhǎng).
20.(8分)如圖1,拋物線y=V—(a+l)x+a與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸負(fù)半軸交于
點(diǎn)C,若AB=L
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,E是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF〃AC交拋物線于點(diǎn)F,過(guò)E作EG_Lx軸交AC于點(diǎn)M,
過(guò)F作FH_Lx軸交AC于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形EMNF的周長(zhǎng)最大值時(shí),求點(diǎn)E的橫坐標(biāo);
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q、C、B、O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分?
21.(8分)近段時(shí)間成都空氣質(zhì)量明顯下降,市場(chǎng)上的空氣凈化器再次成為熱銷,某商店經(jīng)銷一種空氣凈化器,每臺(tái)
凈化器的成本價(jià)為200元,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn),每月的銷售量y臺(tái)與銷售單價(jià)x(元)的關(guān)系為y=-2x+800.
(1)該商店每月的利潤(rùn)為W元,寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若要使每月的利潤(rùn)為2(X)00元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
(3)商店要求銷售單價(jià)不低于250元,也不高于320元,那么該商店每月的最高利潤(rùn)和最低利潤(rùn)分別為多少?
22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=-d+4x.
(1)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“方點(diǎn)”.試求拋物線y=-f+4x的“方點(diǎn)”
的坐標(biāo);
(2)如圖,若將該拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,新拋物線與x軸相交于A、8兩點(diǎn)(A在8左側(cè)),與)’軸相交于
點(diǎn)C,連接8c.若點(diǎn)P是直線8C上方拋物線上的一點(diǎn),求AP6C的面積的最大值;
(3)第(2)問(wèn)中平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)。,使AQ5C是以3C為直角邊的直角三角形?若存在,直接寫出所
有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
23.(10分)已知關(guān)于x的方程x2+mx+m-2=0.
⑴若此方程的一個(gè)根為1,求m的值;
(2)求證:不論m取何實(shí)數(shù),此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
cot45°
24.(10分)計(jì)算:2cos230°+-----------------sin60°.
tan300+1
25.(12分)一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球,這些球除顏色外無(wú)其它差別,其中紅球有2個(gè),若從
2
中隨機(jī)摸出一個(gè),這個(gè)球是白球的概率為§.
(1)求袋子中白球的個(gè)數(shù);
(2)隨機(jī)摸出一個(gè)球后,不放回,再隨機(jī)摸出一個(gè)球,請(qǐng)結(jié)合樹狀圖或列表求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.
26.某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本,且不高于60元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,每天的銷
售量y(單位:千克)與每千克售價(jià)x(單位:元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
售價(jià)X(元/千克)455060
銷售量y(千克)11010080
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為w(單位:元),則當(dāng)每千克售價(jià)x定為多少元時(shí),超市每天能獲得的利潤(rùn)最大?最大利
潤(rùn)是多少元?
參考答案
一、選擇題(每題4分,共48分)
1、B
【分析】先確定拋物線的對(duì)稱軸,然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),再根據(jù)二次函數(shù)與一元二
次方程的關(guān)系解答即可.
【詳解】解:?.?二次函數(shù)y=-/+2x+k的對(duì)稱軸是直線x=l,圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),
,圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),
.,?一元二次方程一爐+2x+左=0的解為王=3,々=T.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,屬于??碱}型,熟練掌握基本知識(shí)是解題的
關(guān)鍵.
2、A
b
【分析】代入兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得c=l,a=b-\,所以S=?,由拋物線的頂點(diǎn)在第一象限可得一一>0且。<0,
2a
可得匕>0,再根據(jù)。=6一1、a<0,可得S的變化范圍.
【詳解】將點(diǎn)(0,1)代入>=辦2+加中
可得c=l
將點(diǎn)(-1,0)代入y=<2^+樂(lè)+(?(。。0)中
可得。=〃—1
:.S=a+b+c=2b
??,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第一象限
b
:.對(duì)稱軸X-.....>0且6Z<0
2a
:.b>0
Va=h-\,a<0
S=2。+2<0
:.0<S<2
故答案為:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的系數(shù)問(wèn)題,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及各系數(shù)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
3、C
【分析】由題意根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可判斷選項(xiàng).
【詳解】解:A.小明買彩票中獎(jiǎng),是隨機(jī)事件;
B.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,擲得的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù),是隨機(jī)事件;
C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等,是必然事件;
D.。是實(shí)數(shù),同<0,是不可能事件;
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下,一定發(fā)生的事件.不可能事件是
指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件,不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
4、D
【分析】將點(diǎn)P(-2,6)代入反比例函數(shù)求出k,若k>0,則函數(shù)的圖象位于第一,三象限;若kVO,則函數(shù)的圖象
位于第二,四象限;
【詳解】???反比例函數(shù)戶K的圖象經(jīng)過(guò)尸(-2,6),
X
.R-k
??0-------9
-2
.?.k=-12,
即kVO,這個(gè)函數(shù)的圖象位于第二、四象限;
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像性質(zhì),掌握反比例函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵.
5、C
【分析】將點(diǎn)(-2,-4)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)-R+bx+4經(jīng)過(guò)(-1,-4),
所以-4=-(-1)1-16+4,
解得:b=l.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì),明確拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線的解
析式是解題的關(guān)鍵.
6、A
【分析】將方程的一次項(xiàng)移到左邊,兩邊加上4變形后,即可得到結(jié)果.
【詳解】解:方程移項(xiàng)得:x2-4x=l,
配方得:x2-4x+4=l,
即(X—2)2=1.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了用配方法解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式.
7、A
【分析】先根據(jù)正弦的定義得到sinA=—BC上=一4,則可計(jì)算出AB=5,然后利用勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng).
AB5
AB
44
----——,
AB5
:.AB=5,
?'.AC=VAB2-BC2=L
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.
8、B
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式:y=2(x+l『+3,直接得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解:由拋物線為:y=2(x+lp+3,
拋物線的頂點(diǎn)為:(一1,3).
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),掌握拋物線的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.
9、C
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解.
【詳解】-4的相反數(shù)是4,故選C.
【點(diǎn)晴】
此題主要考查相反數(shù),解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的定義.
10、A
【分析】根據(jù)平行是四邊形的性質(zhì)得到AD〃BC,OA=OC,得到△AFEs^CEB,根據(jù)點(diǎn)E是OA的中點(diǎn),得到
AE=^EC,AAEB的面積=4OEB的面積,計(jì)算即可.
【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形,
.?.AD〃BC,OA=OC,
.,.△AFE^ACEB,
,點(diǎn)E是OA的中點(diǎn),
?e-SCBE=9s.AFE=36,
,SoEB=;SCBE=$36=12.
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì),掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)
鍵.
11、D
【解析】試題解析“因?yàn)榇咕€段最短,所以圓心到直線的距離小于等于1.
此時(shí)和半徑1的大小不確定,則直線和圓相交、相切都有可能.
故選D.
點(diǎn)睛:直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系:若dVr,則直線與圓相交;若(1=一則直線于圓相切;若d>r,則直
線與圓相離.
12、D
【分析】先計(jì)算出樣本中身高不高于180c,〃的頻率,然后根據(jù)利用頻率估計(jì)概率求解.
【詳解】解:樣本中身高不高于180cm的頻率=一而一=0.1,
所以估計(jì)他的身高不高于180“〃的概率是0.1.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了概率,靈活的利用頻率估計(jì)概率是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每題4分,共24分)
【分析】先求出A,B點(diǎn)的坐標(biāo),找出點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D,連接AD與y足軸交于點(diǎn)C,用待定系數(shù)法可求出
直線AD的解析式,進(jìn)而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
【詳解】解:如下圖,作點(diǎn)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D,連接AD與y足軸交于點(diǎn)C,
?.?反比例函數(shù)了=一:的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,n),8(根,4),
.*.A(-4,1),B(-1,4),D(1,4)
設(shè)直線AD解析式為:y=kx+b,
317
將A,D坐標(biāo)代入可求出:k=-.b=—
317
,直線AD解析式為:y=+y
.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)是:(0,^1
故答案為:
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用對(duì)稱求線段的最小值,解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)求出各點(diǎn)的坐標(biāo).
14、三+6
3
【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合扇形面積求法以及等邊三角形的判定與性質(zhì)得出Sm=S^ADE-S^AD=SSiKABC
-S弓形AD,進(jìn)而得出答案.
【詳解】連接80,過(guò)點(diǎn)8作BN_LAO于點(diǎn)N,
BC
,?,將半徑為2,圓心角為90。的扇形B4C繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,
:.ZBAD=60°,AB=AD,
.?.△ABO是等邊三角形,
二NABZ)=60°,
則NA8N=30。,
故AN=1,BN=W>,
S陰影=SMADE-S^KAD—SmABC-S弓彩AO
_90-^-22(60-7T-22
360[360
3
故答案為—+-73.
【點(diǎn)睛】
考查了扇形面積求法以及等邊三角形的判定與性質(zhì),正確得出△ABD是等邊三角形是解題關(guān)鍵.
15、2后
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等,利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)度,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式表示EP、
E”的長(zhǎng)度之和,再根據(jù)四邊形EFG"是平行四邊形,即可得解.
【詳解】解:???矩形ABCD中,AB=2,3C=3,
由勾股定理得:AC=3D=JAB2+AC2=亞+32=屈,
':EF//AC,
.EFEB
?,就一而
'JEH//BD,
.EHAE
??茄一瓦’
EFEHEBAE,
:.+=——+——=1,
ACBDABAB
二EF+EH=AC=屈,
':EF//HG,EH//FG,
???四邊形EFG"是平行四邊形,
:.四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2(所+EH)=2岳,
故答案為:2屈.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例定理、矩形的對(duì)角線相等和勾股定理,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出
EFEH
—+——=1是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
ACBD
16、5
【分析】如圖,作于H.利用勾股定理求出EF,再利用四點(diǎn)共圓證明AEFG是等腰直角三角形,從而可得
FG的長(zhǎng),再利用勾股定理在HfACFG中求出CG,由BG=CG—BC即可解決問(wèn)題.
【詳解】解:如圖,作FHLPE于H.
四邊形ABCD是正方形,A3=5,
AC=5^/2,ZACD=ZFCH=45°,
NFHC=90°,CF=2,
CH=HF=M,
CE=4AE,
EC=4>/2?AE=C,
EH=5y/2,
在Rt^EFH中,EF2=EH2+FH2=(5&y+(V2)2=52,
ZGEF=ZGCF=90P,
:.E,G,F,C四點(diǎn)共圓,
:.NEFG=NECG=45。,
EG=EF,
二在Rt^EFG中,F(xiàn)G2=2EF2=104,
二在RtkCFG中,CG=7FG2-CF2=J104-22=10,
BG=CG-BC=10-5=5,
故答案為:5.
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)及判定、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直
角三角形解決問(wèn)題,屬于中考填空題中的壓軸題.
17、-1
【分析】由方程的兩根結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求出m、n的值,將其代入nm中即可求出結(jié)論.
【詳解】解:???關(guān)于x的方程2/+蛆+〃=0的兩個(gè)根是-2和1,
mnc
,一一=-1t,-=-2,
22
Am=2,n=-4,
nm=(-4)x2=-8.
故答案為:-1.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
18、x=—2或1
【分析】由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#))過(guò)點(diǎn)(-1,-2),(0,-2),可求得此拋物線的對(duì)稱軸,又由此拋物線過(guò)點(diǎn)
(1,0),即可求得此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn).繼而求得答案.
【詳解】解:?.?二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/))過(guò)點(diǎn)(-1,-2),(0,-2),
...此拋物線的對(duì)稱軸為:直線x=-,,
2
?.?此拋物線過(guò)點(diǎn)(1,0),
...此拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為:(-2,0),
ax2+bx+c=0的解為:x=-2或1.
故答案為x=-2或1.
【點(diǎn)睛】
此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題.此題難度適中,注意掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解此題的關(guān)鍵.
三、解答題(共78分)
19、(1)見解析;(2)AD=4.5.
【分析】(1)若證明BC是半圓O的切線,利用切線的判定定理:即證明AB_LBC即可;
(2)因?yàn)镺C〃AD,可得NBEC=ND=90。,再有其他條件可判定ABCEsaBAD,利用相似三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)邊
的比值相等即可求出AD的長(zhǎng).
【詳解】(1)證明:???AB是半圓O的直徑,
.*.BD±AD,
.,.ZDBA+ZA=90°,
VZDBC=ZA,
AZDBA+ZDBC=900BPAB_LBC,
ABC是半圓O的切線;
(2)解:VOC/7AD,
.,.ZBEC=ZD=90°,
VBD±AD,BD=6,
,BE=DE=3,
VZDBC=ZA,
.'.△BCE^ABAD,
CEBE43
——=——,即an一=——;
BDAD6AD
;.AD=4.5
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.同
時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì).
20、(1)y=f+2x-3;見解析;(2)一士絲;見解析;(3)存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(-1,-1)或(--,--)
224
或(二5+屈,15二3質(zhì));詳解解析.
22
【分析】(1)f-(a+l)x+a=O,則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有AB="V+%)2-4工e=J(aT)2=4,即可求解;
(2)設(shè)點(diǎn)E(m,//+2m-3),點(diǎn)F(-3-〃2,〃/+4時(shí),四邊形EMNF的周長(zhǎng)C=ME+MN+EF+FN,即可求解;
(3)分當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限、點(diǎn)Q在第四象限兩種情況,分別求解即可.
【詳解】解:(1)依題意得:x2-(a+l)x+?=0,
貝U3+9=a+1,玉/=a,
則AB="(%]+工2)~—4斗*2==4>
解得:a=5或-3,
拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,故a=5舍去,則a=-3,
則拋物線的表達(dá)式為:J=x2+2x-3…①;
(2)由y=_/+2x-3得:點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為:(-3,0).(1,0)、(0,-3),
設(shè)點(diǎn)E(m,/〃2+2m-3),OA=OC,故直線AC的傾斜角為15°,EF/7AC,
直線AC的表達(dá)式為:y=-x-3,
則設(shè)直線EF的表達(dá)式為:y=-x+b,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入上式并解得:
直線EF的表達(dá)式為:y=-x+(〃/+3"3卜“②,
聯(lián)立①②并解得:x=m或-3-m,
故點(diǎn)F(-3-,”,加2+4加),點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為:(以一,3)、(-m-3,m+3),
貝!JEF=A/2(XF-x£)=V2(-2m-3)=MN,
四邊形EMNF的周長(zhǎng)C=ME+MN+EF+FN=-2m2-(6+40)/〃一6五,
V-2<0,故S有最大值,此時(shí)m=_3+2&,
2
故點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為:—3上2立;
2
(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí),當(dāng)QC平分四邊形面積時(shí),
則,°|=巧{=1,故點(diǎn)Q(T,-4);
當(dāng)BQ平分四邊形面積時(shí),
則Sos。二/工岡團(tuán),^四邊形QCBO=2、1*3+5乂3乂,力,
解得:XQ=一:故點(diǎn)Q[-T,—,}
②當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限時(shí),
3上(—5+歷15一3技)
同理可得:點(diǎn)Q---,——-——;
122,
綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(t,t)或卜;-3)或-5y產(chǎn)-產(chǎn)).
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、圖形的面積計(jì)算等,其中(1)(3)都要注意分類求解,避免遺
漏.
21、(1)W=-2x2+1200x-160000;(2)300元;(3)最高利潤(rùn)為20000元,最低利潤(rùn)為15000元.
【分析】(D根據(jù)銷售利潤(rùn)=每天的銷售量x(銷售單價(jià)-成本價(jià)),即可列出函數(shù)關(guān)系式;
(2)令W=20000代入解析式,求出滿足條件的x的值即可;
(3)根據(jù)(1)得到銷售利潤(rùn)的關(guān)系式,利用配方法可求最大值,將x=250代入即可求出最小值.
【詳解】解:(1)由題意得:W=(x-200)y=(x-200)(-2x+800)=-2x2+1200.r-160000;
(2)4W=-2x2+1200x-160000=20000>
解得:Xj=x,=300,
故要使每月的利潤(rùn)為20000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為300元;
(3)W=-2x2+1200x-160000=-2(x-300)2+20000,
當(dāng)x=250時(shí),W=-2(250-3OO)2+20000=15000;
故最高利潤(rùn)為20000元,最低利潤(rùn)為15000元.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,難度適中,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握利用配方法求二次函數(shù)的最大值.
3?7
22、(1)拋物線的方點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),(3,3);(2)當(dāng)加=3時(shí),AP8C的面積最大,最大值為一;(3)存在,Q(l,4)
28
或(一2,-5)
【分析】(1)由定義得出x=y,直接代入求解即可
(2)作輔助線PD平行于y軸,先求出拋物線與直線的解析式,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),利用點(diǎn)坐標(biāo)求出PD的長(zhǎng),進(jìn)而求出
面積的二次函數(shù),再利用配方法得出最大值
(3)通過(guò)拋物線與直線的解析式可求出點(diǎn)B,C的坐標(biāo),得出△OBC為等腰直角三角形,過(guò)點(diǎn)C作CM_LBC交x軸于
點(diǎn)M,作BNJ_BC交y軸于點(diǎn)N,得出M,N的坐標(biāo),得出直線BN、MC的解析式然后解方程組即可.
【詳解】解:(1)由題意得:x=y;.——+4x=x
解得玉=0,X2=3
拋物線的方點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),(3,3).
(2)過(guò)尸點(diǎn)作)'軸的平行線交8C于點(diǎn)O.
易得平移后拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,直線8c的解析式為y=+3.
設(shè)加2+2/〃+3),則£)(加,—,2+3).
J.PD=—w2+2m+3—(―m+3)=—nr+3m(0<m<3)
?,-SSPBC=1(-m2+3/n)x3=-1fw-1+^-(0<m<3)
327
.?.當(dāng)根=-時(shí),APBC的面積最大,最大值為一.
28
(3)如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CMJ_BC交x軸于點(diǎn)M,作BNJ_BC交y軸于點(diǎn)N
由已知條件得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(3,0),C的坐標(biāo)為C(0,3),
.,.△COB是等腰直角三角形,
可得出M、N的坐標(biāo)分別為:M(-3,0),N(0,-3)
直線CM的解析式為:y=x+3
直線BN的解析式為:y=x-3
y——+2x+3y——尤?+2x+3
由此可得出:《或*
y=x+3y=x-3
x=lx=-2
解方程組得出:.或<
[y=4
.??。(1,4)或(-2,-5)
【點(diǎn)睛】
本題是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題目,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出拋物線與直線的解析式.
23、(1)今;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a邦)的根的判別式△=b?-4ac:當(dāng)A>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)
根;當(dāng)△=(),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)A<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
(1)直接把x=l代入方程x2+mx+m-2=0求出m的值;
(2)計(jì)算出根的判別式,進(jìn)一步利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論即可.
解:(D根據(jù)題意,將x=l代入方程x2+mx+m-2=0,
得:1+m+m-2=0,
解得:m=!;
2
(2),.,△=m2-4xlx(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,
不
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