93北京市三帆中學2023-2024學年九年級下學期開學考數(shù)學試題

北京三帆中學第二學期初三數(shù)學階段性學習反饋注意：（1）時間120分鐘，滿分100分；（2）答案一律填寫在答題紙上．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.拋物線的對稱軸為直線，則m的值為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查了拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線，計算即可．【詳解】∵拋物線的對稱軸為直線，∴，解得，故選：B．2.圍棋起源于中國，距今已有4000多年的歷史，2017年5月，柯潔與人工智能機器人AlphaGo進行了圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義，理解定義：“將圖形繞著某一點旋轉與原圖形重合的圖形叫做中心對稱圖形．”是解題的關鍵．【詳解】A.符合中心對稱圖形的定義，故此項符合題意；B.不符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；C.不符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；D.不符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；故選：A．3.在Rt△ABC中，，，，則tanB的值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC，再根據(jù)正切公式計算即可．【詳解】在Rt△ABC中，，，，∴BC=，∴tanB=，故選：B．．【點睛】此題考查求角的正切值，勾股定理，熟記計算公式是解題的關鍵．4.下列函數(shù)中，當時，隨的增大而增大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)和二次函數(shù)的性質即可求解，熟練掌握一次函數(shù)，二次函數(shù)和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【詳解】、二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，不符合題意；、一次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，不符合題意；、反比例函數(shù)，當時，隨的增大而增大，符合題意；、反比例函數(shù)，當時，隨的增大而減小，不符合題意；故選：．5.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第一個小孔成倒像的實驗，如圖1，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．翻譯：影像倒立，在光線交會處有一小孔；關于影像的大小，在于小孔相對物、像的位置．在如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，則蠟燭火焰倒立的像的高度與蠟燭火焰的高度的比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)小孔成像的性質及相似三角形的性質求解即可．本題考查了相似三角形性質的應用，解題的關鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．【詳解】根據(jù)小孔成像的性質及相似三角形的性質可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，蠟燭火焰倒立的像的高度與蠟燭火焰的高度的比為，故選：D．6.一個不透明的盒子里裝有紅色和白色的小球共20個，除顏色外無其它區(qū)別，隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回并搖勻，再隨機摸出一個，下圖是某數(shù)學學習小組開展上述摸球活動的實驗結果，下列推斷合理的是（）A.當摸球次數(shù)是300時，記錄“摸到紅球”的次數(shù)是99，所以“摸到紅球”的概率是0.33B.若再次開展上述摸球活動，則當摸球次數(shù)為500時，“摸到紅球”的概率一定是0.40C.隨著試驗次數(shù)增加，“摸到紅球”的頻率總在0.35附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“摸到紅球”的概率是0.35D.可以根據(jù)本次實驗結果，計算出盒子中約有紅球8個【答案】C【解析】【分析】此題考查了利用頻率估計概率．根據(jù)概率公式和給出的摸到紅球的頻率示意圖分別對每一項進行分析，即可得出答案．【詳解】解：A.當摸球次數(shù)是時，記錄“摸到紅球”的次數(shù)是99，所以“摸到紅球”的概率接近，故該選項不正確，不符合題意；B.若再次開展上述摸球活動，則當摸球次數(shù)為時，“摸到紅球”的概率接近，故該選項不正確，不符合題意；C.隨著試驗次數(shù)的增加，“摸到紅球”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“摸到紅球”的概率是，故該選項正確，符合題意；D.可以根據(jù)本次實驗結果，計算出盒子中約有紅球個，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．7.如圖，點O為線段的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接，．則下面結論不一定成立的是（）A. B.C. D.若，則【答案】D【解析】【分析】本題考查了圓的判定和基本性質，根據(jù)圓的判定和基本性質判斷即可．【詳解】∵點O為線段的中點，點B，C，D到點O的距離相等，∴，故點A，B，C，D都在以點O為圓心，為半徑的圓上，且是直徑，∴，故A正確；四邊形是圓的內接四邊形，∴，故B正確；根據(jù)同弧上的圓周角相等，得到，故C正確；作的平分線，交圓于點E，則，又，∴，∴，∵，∴．故D錯誤，故選D．8.如圖，拋物線的對稱軸是直線，其部分圖象如圖，則下面結論中：①；②；③；④；⑤若點在此拋物線上，且，則．所有正確結論的序號為（）A.①② B.②④ C.②③ D.④⑤【答案】B【解析】【分析】本題考查了拋物線圖象綜合，根據(jù)拋物線開口向下，；對稱軸為，，得到，，判斷；；設拋物線與x軸的交點為且在正半軸上，結合，對稱軸是直線，判定，從而判定時，，結合，可判斷得正誤；結合，，得到，結合，可判定④的正誤；根據(jù)題意，，得到；故，結合，得到，解得或，可判斷⑤的正誤．【詳解】∵拋物線開口向下，；對稱軸為，，∴，，∴；；故①錯誤；②正確；設拋物線與x軸的交點為且在正半軸上，∵，對稱軸是直線，∴，解得，∵，∴，∴時，，∵，∴，故③錯誤；∵，，∴，∵，∴故④正確；根據(jù)題意，，∴；∴，∵，∴，解得或，可判斷⑤的正誤．故⑤錯誤；故選B．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】##【解析】【分析】本題考查一元二次方程的根與判別式的關系，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根求解即可得到答案；【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，故答案為：．10.將拋物線向右平移個單位，向上平移個單位得到_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)“上加下減，左加右減”的規(guī)律進行解答即可，熟知函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】解：拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，根據(jù)“上加下減，左加右減”規(guī)律可得拋物線是，故答案為：或．11.草坪上的自動噴水裝置的旋轉角為，且它的噴灌區(qū)域是一個扇形．若它能噴灌的扇形草坪面積為平方米，則這個扇形的半徑是__米．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)已知得出自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為5平方米，圓心角為200°，利用扇形面積公式S扇形=求出即可．【詳解】解：∵草坪上的自動噴水裝置它能噴灌的草坪是扇形，面積為5平方米，圓心角為200°，∴它能噴灌的草坪的面積為：=5．解得：R=3，故答案為3．【點睛】此題主要考查了扇形面積求法.12.若點，在反比例函數(shù)的圖象上，則m，n的大小關系是m_______n（用“”或“”號連接）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)值大小的比較，解題的關鍵是根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出m、n的值，然后比較大小即可．【詳解】解：∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∵，∴．故答案為：．13.如圖，在中，點在上（不與點，重合），連接．只需添加一個條件即可證明與相似，這個條件可以是_________(寫出一個即可)．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法可求解．【詳解】解：添加的條件為：，理由如下：，，，故答案為：．14.若關于x的一元二次方程有一個根是，則___________．【答案】【解析】【分析】把代入已知方程，求出a的值，根據(jù)一元二次方程的定義舍去不合題意的值即可．【詳解】解：把代入，得，解得：，，∵，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義．熟知方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關鍵．15.如圖，等邊的邊長為2，點A，B在上，點C在內，的半徑為，將△繞點A逆時針旋轉，當AC第一次與相切時，旋轉角為__________°．【答案】【解析】【分析】本題考查了切線的判定，等邊三角形的性質，旋轉的性質，根據(jù)切線垂直于過切點的半徑，解答即可．【詳解】等邊的邊長為2，點A，B在上，點C在內，的半徑為，且，∴，，∴，當AC第一次與相切時，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．16.在平面直角坐標系中，點P在y軸上，點，，為的外接圓．當最大時，點P的坐標為__________．【答案】，【解析】【分析】本題考查了勾股定理，切線的性質，三角形相似的判定和性質，圓的性質，熟練掌握切線的性質，相似的性質是解題的關鍵.【詳解】當?shù)耐饨訄A與y相切時，切點為P時，最大，設外接圓圓心為Q，G是異于點P的一點，連接，，交圓于點T，則，根據(jù)三角形外角性質，得，故，∴最大，∵，∴點Q一定在線段的垂直平分線上，連接，，根據(jù)切線性質，∴，作直徑，連接，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得（舍去），故，當點P在y軸的負半軸時，根據(jù)對稱性，可得；故，.三、解答題（共68分，第17～19、21～23題各5分、20、24～26題各6分、27、28題各7分）17.解方程：．【答案】，.【解析】【分析】利用求根公式即可以求出方程的解.【詳解】求根公式為,將a,b,c分別代入即得，即，.【點睛】熟練掌握求根公式是本題解題的關鍵.18.關于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程根的判別式為，即可證明結論；（2）根據(jù)題意得到是原方程的根，根據(jù)方程兩個根均為正整數(shù)，可求m的最小值．【小問1詳解】證明：由得，，∵，∴方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】∵，∴，∴，∵方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，∴．∴．∴m的最小值為．【點睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．19.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學家阿基米德提出的有關圓的一個引理．如圖，已知劣弧，C是弦上一點．（1）根據(jù)提示完成尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)；①作線段的垂直平分線，分別交劣弧于點D，垂足為E；②以點D為圓心，長為半徑作弧，交劣弧于點F(F，A兩點不重合)，連接．（2）引理的結論為：．證明：連接，，，．∴為的垂直平分線，∴，∴．又∵四邊形為圓的內接四邊形∴______．（）．又∵，∴．又∵，∴__________，∴，（）．∴，∴．【答案】（1）①見解析②見解析（2），圓的內接四邊形，對角互補；，同圓或等圓中，等弧所對圓周角相等；【解析】【分析】本題考查了垂直平分線的基本作圖，三角形全等的判定和性質，圓的內接四邊形的性質．（1）①根據(jù)基本作圖的基本步驟畫圖即可；②按照步驟畫圖即可．（2）根據(jù)三角形全等的判定，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，圓的內接四邊形的性質等推理證明即可．小問1詳解】①根據(jù)基本作圖的基本步驟畫圖如下：則即為所求．②根據(jù)題意，畫圖如下：．則即為所求．【小問2詳解】證明：連接，，，．∴為的垂直平分線，∴，∴．又∵四邊形為圓的內接四邊形∴．（圓的內接四邊形，對角互補）．又∵，∴．又∵，∴，∴，（同圓或等圓中，等弧所對圓周角相等）．∴，∴．20.有一個袋中摸球的游戲．設置了甲、乙兩種不同的游戲規(guī)則：甲規(guī)則：乙規(guī)則：紅1紅2黃1黃2紅1（紅1，紅1）（紅2，紅1）（黃1，紅1）②紅2（紅1，紅2）（紅2，紅2）（黃1，紅2）（黃2，紅2）黃1（紅1，黃1）①（黃1，黃1）（黃2，黃1）黃2（紅1，黃2）（紅2，黃2）（黃1，黃2）（黃2，黃2）請根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）袋中共有小球__________個，在乙規(guī)則的表格中①表示__________，②表示__________；（2）甲的游戲規(guī)則是：隨機摸出一個小球后__________(填“放回”或“不放回”)，再隨機摸出一個小球；（3）根據(jù)甲、乙兩種游戲規(guī)則，要摸到顏色相同的小球，哪一種可能性要大，請說明理由．【答案】（1）4；（紅2，黃1）；（黃2，紅1）（2）不放回（3）乙游戲規(guī)則兩次摸到顏色相同的小球的可能性更大，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率：（1）根據(jù)樹狀圖和表格可知一共有2個黃球，2個紅球，共4個球，在乙規(guī)則的表格中①表示（紅2，黃1），②表示黃2，紅1）；（2）由樹狀圖可知，第二次摸球只有3個球，據(jù)此可得答案；（3）分別計算出甲規(guī)則和乙規(guī)則中兩次摸到相同顏色的球的概率即可得到答案．【小問1詳解】解：由題意得，一共有2個黃球，2個紅球，共4個球，在乙規(guī)則的表格中①表示（紅2，黃1），②表示黃2，紅1），故答案為：4；（紅2，黃1）；（黃2，紅1）；【小問2詳解】解：由樹狀圖可知，第二次摸球只有3個球，∴甲的游戲規(guī)則是：隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，故答案為：不放回；【小問3詳解】解：乙游戲規(guī)則兩次摸到顏色相同的小球的可能性更大，理由如下：∵在甲游戲規(guī)則中，從樹狀圖可以看出，所有等可能出現(xiàn)的結果共有12種，而兩次摸到顏色相同的兩個小球共有4種，∴P（甲兩次摸到顏色相同的小球）；∵在乙游戲規(guī)則中，從列表可以看出，所有等可能出現(xiàn)的結果共有16種，而兩次摸到顏色相同的兩個小球共有8種，∴P（乙兩次摸到顏色相同的小球），∵，∴乙游戲規(guī)則兩次摸到顏色相同的小球的可能性更大．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經過點.（1）求的值和圖象的頂點坐標．（2）點在該二次函數(shù)圖象上.①當時，求的值；②若到軸的距離小于2，請根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍.【答案】（1）；（2）①11；②.【解析】【分析】（1）把點P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由點Q到y(tǒng)軸的距離小于2，可得-2＜m＜2，在此范圍內求n即可.【詳解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴頂點坐標為.（2）①當m=2時，n=11，②點Q到y(tǒng)軸的距離小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的特征是解題的關鍵．22.如圖，在中，，的中垂線交邊于點E，交的延長線于點F，連接．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質，中垂線的性質，對頂角的性質，勾股定理．（1）根據(jù)的中垂線交邊于點E，得到，，，結合，得到，證明即可．（2）根據(jù)，得到，根據(jù)，列出比例式，得，求得，勾股定理計算即可．【小問1詳解】∵的中垂線交邊于點E，,∴，，，∵，,∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23.如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點，．與雙曲線的交點為，．（1）當點的橫坐標為時，求的值；（2）若，結合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（）先把點代入雙曲線求出點坐標，再把點坐標代入一次函數(shù)方程求出的值；（）根據(jù)題意即可求得若，的取值范圍；本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解．【小問1詳解】∵點的橫坐標為，且在雙曲線，∴，∵在直線上，∴，解得：；【小問2詳解】解：由得，當時，；當時，，∴，，∴，即，如圖，由，整理得，解得：，，分別代入得，，，∴，或，，則，當時，即，∴，解得：，又∵，∴的取值范圍為或．24.如圖是的直徑，，與分別相切于點B，C，交的延長線于點D，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質，三角函數(shù)的計算即可．（1）根據(jù)切線長定理，得到；根據(jù)切線性質，得到，結合，證明即可．（2）根據(jù)切線的性質，得，結合，連接，利用勾股定理，三角函數(shù)計算即可．【小問1詳解】∵是的直徑，，與分別相切于點B，C，∴；,∵,∴，∵，∴,∴．【小問2詳解】由題意得，，∵，解得，∴，∴，連接，則，∴，解得，∴，∴，∴，解得．25.“城市軌道交通是現(xiàn)代大城市交通的發(fā)展方向，發(fā)展軌道交通是解決大城市病的有效途徑．”如圖，北京地鐵（BeijingSubway）是中華人民共和國北京市的城市軌道交通系統(tǒng)，規(guī)劃于1953年，始建于1965年，運營于1969年，是中國第一個地鐵系統(tǒng)．小華了解到列車從慈壽寺站開往花園橋站時，在距離停車線256米處開始減速．他想知道列車從減速開始，經過多少秒停下來，以及最后一秒滑行的距離．為了解決這個問題，小華通過建立函數(shù)模型來描述列車離停車線的距離s（米）與滑行時間t（秒）的函數(shù)關系，再應用該函數(shù)解決相應的問題．（1）建立模型①收集數(shù)據(jù)t（秒）04812162024s（米）256196144100643616②建立平面直角坐標系為了觀察s（米）與t（秒）關系，建立如圖所示的平面直角坐標系；③描點連線請在平面直角坐標系中將表中未描出的點補充完整，并用平滑的曲線依次連接；④選擇函數(shù)模型觀察這條曲線的形狀，它可能是__________函數(shù)的圖象；⑤求函數(shù)解析式（2）應用模型列車從減速開始經過__________秒，列車停止；最后一秒鐘，列車滑行的距離為__________米．【答案】（1）③見解析④二次；⑤（2）32；【解析】【分析】本題考查了列表、描點、連線，畫二次函數(shù)圖形，待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解，掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．（1）③根據(jù)題意連線即可求解；④根據(jù)曲線判斷函數(shù)圖象為二次函數(shù)圖象；⑤待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式，當時，解得，進而求得當，時的函數(shù)值，即可求解．【小問1詳解】③根據(jù)題意連線如下：④根據(jù)曲線的形狀，可判斷函數(shù)圖象為二次函數(shù)圖象，故答案為：二次；⑤設拋物線的解析式為，根據(jù)題意，得，解得，故拋物線的解析式為．【小問2詳解】當，得，解得．當時，；當時，，故（米），故答案為：32，．26.在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）拋物線經過點和，請比較和的大?。唬?）若拋物線與x軸的一個交點的坐標為．①求拋物線與x軸的另一個交點的坐標；②拋物線上兩點，，滿足，求的取值范圍．【答案】26.27.①；②或【解析】【分析】本題考查了拋物線的增減性應用，拋物線與x軸的交點問題，（1）根據(jù)，根據(jù)對稱軸距離遠近，結合開口方向，解答即可．（2）①根據(jù)，確定拋物線的對稱軸，設拋物線與x軸的另一個交點的坐標為，列式計算即可；②拋物線上兩點，，根據(jù)，結合圖象列出關于的不等式組，進而即可求解【小問1詳解】∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，且點與對稱軸的距離越大，函數(shù)值越大，∵，∴．【小問2詳解】①∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∵拋物線與x軸的一個交點的坐標為，設拋物線與x軸的另一個交點的坐標為，根據(jù)題意，得，解得；故拋物線與x軸的另一個交點的坐標為，②∵拋物線上兩點，，滿足，∴兩個點中，必定一個在x軸的上方，另一個在x軸的下方，∵拋物線與x軸的交點的坐標為，，，∴或，解得或，故的取值范圍是或．27.如圖，在中，，點D是邊上的一點，將線段繞點D順時針旋轉得到線段，使點E落在線段上，連接，點F為線段的中點，連接，．（1）①依題意補全圖形；②若，判斷的形狀，并證明；（2）若，，當點D在線段上運動，且時，線段的最小值為__________．【答案】（1）①依題意補全圖形；②等腰直角三角形，見解析（2）【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定，平行四邊形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，垂線段最短原理（1）①依題意補全圖形．②延長到點G，使得，連接，證明四邊形是平行四邊形，直線是線段的垂直平分線，利用三角形全等和兩直線平行，同旁內角互補，證明即可（2）過點A作于點H，連接，并延長交于點M，證明是等邊三角形，且邊長為3，根據(jù)垂線段最短，作，當點F與點G重合時，最小計算即可．【小問1詳解】①根據(jù)題意，補圖如下：②當，是等腰直角三角形，理由如下：延長到點G，使得，連接，∵F是的中點，，，∴四邊形是平行四邊形，直線是線段的垂直平分線，∴，，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，解得，∴，∴，故是等腰直角三角形．【小問2詳解】過點A作于點H，連接，并延長交于點M，∵，，，∴，∵點F為線段的中點，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，且邊長為3，根據(jù)垂線段最短，作，當點F與點G重合時，最小，故，故答案為：．28.已知平面上的點P和直線，，定義點P關于直線，的“和距離”如下：若點P到直線，的距離分別為，，則稱為點P關于直線，的“和距離”，記作．特別地，當點P在直線上時，；當點P在直線上時，．若對于不同的兩點P，Q，他們關于直線，的“和距離”相等，即，則稱點P，點Q互為“等和距點”．在平面直角坐標系中，已知直線．（1）若點，則在點，，中，是點P關于x軸和y軸的“等和距點”的是__________；（2）若點