河南省南陽市新野縣第三高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

河南省南陽市新野縣第三高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線l：y=x+6與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A.2或1

B.1

C.0

D.2參考答案：D略2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為A．

B．2

C．

D．

參考答案：D3.已知是非零向量，且滿足則與的夾角是（）參考答案：B4.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，過A1點(diǎn)可作條直線與直線AC和BC1都成60°角（） A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角． 【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；空間角． 【分析】因?yàn)锳D1∥BC1，過A1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所成的角都等于600，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD1所成的角都等于600．可分在平面ACD1內(nèi)和在平面ACD1外兩種情況尋找．因?yàn)橐c直線AC和AD1所成的角都相等，故在平面ACD1內(nèi)可考慮角平分線；在平面AC11外可將角平分線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)考慮． 【解答】解：因?yàn)锳D1∥BC1，所以過A1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所 成的角都等于60°，即過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD1所 成的角都等于60°． 因?yàn)椤螩AD1=60°，∠CAD1的外角平分線與AC和AD1所成的角相等， 均為60°，所以在平面ACD1內(nèi)有一條滿足要求． 因?yàn)椤螩AD1的角平分線與AC和AD1所成的角相等，均為30°， 將角平分線繞點(diǎn)A向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與面ACD1垂直的過程中， 存在兩條直線與直線AC和AD1所成的角都等于60°； 故符合條件的直線有3條． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．在解決本題的過程中，轉(zhuǎn)化思想很重要，屬于中檔題． 5.用秦九韶算法求多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)求值，需要做的乘法和加法的次數(shù)分別是（

）A．7,4

B．6,7

C．7,7

D．4,4參考答案：C6.（多選題）已知曲線，則下列曲線中與曲線T有公共點(diǎn)的是（

）A. B.C. D.參考答案：BD【分析】首先根據(jù)曲線過點(diǎn)確定BD選項(xiàng).化簡曲線的方程，得到，結(jié)合圖像判斷AC選項(xiàng)中的曲線與沒有公共點(diǎn).【詳解】由于曲線過點(diǎn)，而曲線也過，所以B選項(xiàng)符合.由于曲線過點(diǎn)，而曲線也過，所以D選項(xiàng)符合.由于，所以，所以，兩邊平方并化簡得，兩邊平方并化簡得，所以.所以曲線的方程為.對(duì)于A選項(xiàng)，畫出、圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)曲線沒有公共點(diǎn).（圓圓心，半徑為，圓心到直線的距離，所以直線和圓沒有公共點(diǎn).）對(duì)于C選項(xiàng)，畫出、圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)曲線沒有公共點(diǎn).（的一條漸近線方程為，而可化為與平行，故與沒有公共點(diǎn).）故選：BD【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線與方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7.在空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF、GH相交于點(diǎn)P，那么（）A．點(diǎn)P必在直線AC上 B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面DBC內(nèi) D．點(diǎn)P必在平面ABC外參考答案：A【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】計(jì)算題．【分析】由EF屬于一個(gè)面，而GH屬于另一個(gè)面，且EF和GH能相交于點(diǎn)P，知P在兩面的交線上，由AC是兩平面的交線，知點(diǎn)P必在直線AC上．【解答】解：∵EF屬于一個(gè)面，而GH屬于另一個(gè)面，且EF和GH能相交于點(diǎn)P，∴P在兩面的交線上，∵AC是兩平面的交線，所以點(diǎn)P必在直線AC上．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．8.已知長方體的長和寬都是3，高是2.則與的距離

（

）A．3

B．2

C．3

D．參考答案：A9.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C10.設(shè)是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C.充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一條直線上，則a=．參考答案：﹣8【考點(diǎn)】直線的斜率．【分析】由題意和直線的斜率公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由題意可得AC的斜率等于AB的斜率，∴=，解得a=﹣8故答案為：﹣812.要用四種顏色（可以不全用）給四川、青海、西藏、云南四?。▍^(qū)）的地圖上色，每一?。▍^(qū)）一種顏色，只要求相鄰的省（區(qū)）不同色，則上色方法有

。參考答案：4813.曲線與直線，及軸所圍成圖形的面積為

.參考答案：2略14.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了9名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為

．參考答案：12【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【專題】方程思想；做商法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了9名，∴在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為人，故答案為：12；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．15.設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為=（1，1，0），=（1，0，﹣1），則異面直線l1，l2所成角的大小為．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】求出cos＜＞，由此能求出異面直線l1，l2所成角的大?。窘獯稹拷猓骸弋惷嬷本€l1，l2的方向向量分別為，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴異面直線l1，l2所成角的大小為．故答案為：．16.如圖所示，已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），與的面積分別記為.當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的方程；當(dāng)橢圓的離心率變變化時(shí)，是否為定值？若是求出該定值，若不是說明理由.

參考答案：解：（1）由已知，且∴∴∴橢圓方程為……………………3分（2）由已知，設(shè)，則直線………………4分直線……………5分∴到直線的距離為到直線的距離為……9分（定值）是定值，定值為…………………10分

略17.將三個(gè)分別標(biāo)有A,B,C的球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,則1號(hào)盒子中有球的不同放法種數(shù)為.

參考答案：37三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）以橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個(gè)？參考答案：（1）這樣的等腰直角三角形存在。因?yàn)橹本€與直線垂直，且關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與直線是一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。（2）設(shè)兩點(diǎn)分別居于軸的左，右兩側(cè)，設(shè)的斜率為，則，所在的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，或，的橫坐標(biāo)為，，同理可得，所以由得，，當(dāng)時(shí)，（1）的解是無實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，（1）的解是的解也是；當(dāng)時(shí)，（1）的解除外，方程有兩個(gè)不相等的正根，且都不等于，故（1）有個(gè)正根。所以符合題意的等腰直角三角形一定存在，最多有個(gè)。19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)當(dāng)時(shí)，討論取值范圍去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算不等式.(2)利用絕對(duì)值不等式求函數(shù)最大值為，計(jì)算得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)不等式即為①當(dāng)時(shí)不等式可化為得故②當(dāng)時(shí)不等式可化為恒成立故③當(dāng)時(shí)不等式可化得故綜合得，不等式的解集為

（2）所以得為所求【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解題的關(guān)鍵.20.已知函數(shù)f（x）=x2+（1﹣x）ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（2）討論函數(shù)g（x）的極小值；（3）若對(duì)任意的x1∈[﹣1，0]，總存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；（3）問題等價(jià)于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函數(shù)g（x）在[e，3]上的最小值，分別求出f（x），g（x）的極小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=x（1﹣ex），∴f′（1）=1﹣e，即切線的斜率是1﹣e，又f（1）=，則切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，），故f（x）在x=1處的切線方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函數(shù)g（x）的定義域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1時(shí)，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）遞增，在（a，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴g（x）的極小值為g（1）=1﹣a，a≤0時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的極小值是g（1）=1﹣a，綜上，函數(shù)g（x）的極小值是1﹣a；（3）若對(duì)任意的x1∈[﹣1，0]，總存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等價(jià)于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函數(shù)g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[﹣1，0]時(shí)，f′（x）=x（1﹣ex）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)不等式取“=”，∴f（x）在[﹣1，0]上單調(diào)遞減，∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]遞減，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．21.（12分）某市地鐵全線共有四個(gè)車站，甲、乙兩人同時(shí)在地鐵第1號(hào)車站(首發(fā)站)乘車．假設(shè)每人自第2號(hào)車站開始，在每個(gè)車站下車是等可能的．約定用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示“甲在x號(hào)車站下車，乙在y號(hào)車站下車”．(1)用有序?qū)崝?shù)對(duì)把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；(2)求甲、乙兩人同在第3號(hào)車站下車的概率；(3)求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．

參考答案：(1)用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示甲在x號(hào)車站下車，乙在y號(hào)車站下車，則甲下車的站號(hào)為2,3,4共3種結(jié)果，乙下車的站號(hào)也是2,3,4共3種結(jié)果．甲