上海市普陀區(qū)2023年高三《數(shù)學》上學期期中試卷與參考答案

上海市普陀區(qū)2023年高三《數(shù)學》上學期期中試題與參考答案一、填空題第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分。1.設全集，若集合，則____________．【答案】【分析】解出絕對值不等式，求出集合A，再求.【詳解】或，因此，.故答案為：.2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則____________．【答案】5【分析】利用共軛復數(shù)概念與復數(shù)的乘法運算即可得解.【詳解】因為，所以，故.故答案為：.3.在的二項展開式中，項的系數(shù)為____________．【答案】【分析】直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】的二項展開式的通項為，當時，系數(shù)為.故答案為：4.已知，則____________．【答案】2【分析】解出x的值，應用換底公式后根據(jù)對數(shù)運算即可得到結果.【詳解】由已知得，，則，所以，，故答案為：2。5.若，則_____；【答案】【分析】逆用誘導公式結合二倍角公式得出答案.【詳解】故答案為：6.若，則的最小值是____________．【答案】【分析】根據(jù)結合基本不等式即可得解.【詳解】解：因為，所以，，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值是.故答案：.7.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為____________米（精確到整數(shù)）【答案】28【分析】根據(jù)球體的表面積公式，結合題意，直接求解即可.【詳解】設主降落傘展開后所在球體的半徑為，由題可得，解得，故完全展開后傘口的直徑約為米.故答案為：.8.某醫(yī)院需要從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生去擔任“上海進博會”三個不同區(qū)域的核酸檢測服務工作，則選出的3名醫(yī)生中，至少有1名女醫(yī)生的概率是____________（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先求出從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生的所有組合，再求出選出的3名醫(yī)生中，全是男醫(yī)生的組合，然后用對立事件的概率能得到至少有1名女醫(yī)生的概率.【詳解】從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生的所有組合有種，再求出選出的3名醫(yī)生中，全是男醫(yī)生的組合有種，所以至少有1名女醫(yī)生的概率.故答案為：9.已知雙曲線滿足條件：（1）焦點為；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為．若去掉條件（2），另加一個條件求得的雙曲線的方程仍然為．則下列四個條件中，符合添加的條件可以為____________（填序號）①雙曲線上的任意一點P都滿足：；②雙曲線的虛軸長為4；③雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合；④雙曲線的漸近線的方程為：．【答案】①④【分析】利用雙曲線定義及性質求解．【詳解】對于①，∵∴又∵焦點為∴∴離心率，故①符合條件；對于②，雙曲線的虛軸長為4，∴，∴離心率，故②不符合條件；對于③，雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合，∴，，故③不符合條件；對于④，∵近線方程為∴又∵∴離心率，故④符合條件．故答案為：①④．10.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，，M、N分別為線段AC上的點，若，則三棱錐體積的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)，則要求體積的最小值，只要求出面積的最小值即可，在中，作交于，設，分別求出，再根據(jù)三角形的面積公式結合三角函數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】解：在中，作交于，則，因為，則，因為，所以點在線段上，設，則，則，，，因為，所以，則當，即時，取得最大值，此時，，所以三棱錐體積的最小值為.故答案為：.11.若圓O的半徑為2，圓O的一條弦長為2，P是圓O上任意一點，點P滿足，則的最大值為_________.【答案】10【解析】【分析】法一、以中點C為原點建系，求出圓O的參數(shù)方程，從而設，，根據(jù)，求出點坐標，從而得即可求解；法二、由已知根據(jù)向量的線性運算求出，從而得，利用投影的定義即可求解.【詳解】解：法一、如圖以中點C為原點建系，則，，，所以圓O方程為，所以設，因為，，，所以，所以，因為，所以的最大值為10.法二、連接OA，OB過點O作，垂足為C，則，∴，因為，所以，所以，，當且僅當且同向時取等號，所以的最大值為10，故答案為：10.【點睛】關鍵點點睛：法一、建立恰當直角坐標系，求出圓O的參數(shù)方程，從而設，，根據(jù)，求出點坐標；法二、將用，，線性表示，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，再利用投影的定義即可求解.12.已知數(shù)列{}的前n項和為，若對任意恒成立，則____．【答案】1011【分析】由題設有，根據(jù)的關系得，再應用分組求和求目標式的值.【詳解】由題設，，故，所以，即，故，所以.故答案為：二、選擇題本大題共4題，滿分20分。13.對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】時，如果，或，方程不是橢圓；當方程曲線是橢圓時，，則成立，即可得出結論.【詳解】當時，方程的曲線不一定是橢圓，例如：當時，方程的曲線不是橢圓而是圓；或者是，都是負數(shù)，曲線表示的也不是橢圓；故前者不是后者的充分條件；當方程的曲線是橢圓時，應有，都大于0，且兩個量不相等，得到；由上可得：“”是“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件.故選:B.14.設等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】由又，可得公差，從而可得結果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．15.設函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先求出在的對稱軸和，根據(jù)圖像判斷出，關于對稱，，關于對稱，即可求得.【詳解】函數(shù)令，可得：，.∵∴令，可得一條對稱軸方程.∴令，可得一條對稱軸方程.函數(shù)恰有三個零點，可知，關于其中一條對稱是對稱的，即，關于其中一條對稱是對稱的.即那么.故選：B.16.記，已知均是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，設，有下列兩個命題：①若函數(shù)都是偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；②若函數(shù)都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)．則關于兩個命題判斷正確的是（）A.①②都正確 B.①正確②錯誤 C.①錯誤②正確 D.①②都錯誤【答案】B【分析】對于①，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷；對于②，舉反例即可.【詳解】對于①，若函數(shù)都是偶函數(shù)，則，所以，所以也是偶函數(shù)；命題①正確；對于②，若函數(shù)都是奇函數(shù)，如都是R上的奇函數(shù)，而不是定義在R上的奇函數(shù)，命題②錯誤；故選：B.三、解答題本大題共有5題，滿分76分。17.如圖，長方體中，，點P為棱的中點．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成的角．（用反三角函數(shù)表示）【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，按照空間向量的坐標運算即可求解直線與平面所成的角．【小問1詳解】解：設AC與BD的交點為O，聯(lián)結POP、O分別是和DB的中點又因為PO在平面PAC內，不在平面PAC內平面PAC【小問2詳解】解：以D為原點，建立空間直角坐標系（如圖）則，，，，，，設平面PAC的一個法向量為，因為則，所以向量設直線與平面PAC所成的角為所以所以直線與平面PAC所成的角為.18.已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，若，且，求的值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調性直接求解即可；（2）由可以求出，再由平面向量的數(shù)量積的定義可由求出的值，結合、余弦定理可以求出的值.【詳解】解：（1），所以的最小正周期，，所以的單調遞增區(qū)間是；（2），故，所以或，因為是三角形內角，所以；而，所以，，又，所以，所以，，所以.【點睛】本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)的最小正周期和單調性，考查了余弦定理、平面向量數(shù)量積的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值,考查了數(shù)學運算能力.19.疫情防控期間，某小微企業(yè)計劃采用線下與線上相結合的銷售模式進行產品銷售運作．經過測算，若線下銷售投入資金x（萬元），則可獲得純利潤（萬元）；若線上銷售投入資金x（萬元），則獲得純利潤（萬元）．（1）當投入線下和線上的資金相同時，為使線上銷售比線下銷售獲得的純利潤高，求投入線下銷售的資金x（萬元）的取值范圍；（2）若該企業(yè)籌集了用于促進銷售的資金共30萬元，如果全部用于投入線下與線上銷售，問：該企業(yè)如何分配線下銷售與線上銷售的投入資金，可以使銷售獲得的純利潤最大？并出求最大的純利潤．【答案】（1）（2）投入線下銷售的資金10萬元，投入線上銷售的資金為20萬元時，純利潤最大，最大值為62.5萬元【分析】（1）根據(jù)題意分與進行討論求出即可；（2）設投入線下銷售的資金為x（萬元），投入線上銷售的資金y（萬元），結合題意寫出總利潤的表達式，利用函數(shù)的性質求解即可.【小問1詳解】當時，由得或，所以當時，由得，所以綜上所述，投入線下的資金x（萬元）的取值范圍為【小問2詳解】設投入線下銷售的資金為x（萬元），投入線上銷售的資金y（萬元），所以當即時，總利潤易得在區(qū)間上嚴格遞減，在區(qū)間上嚴格遞增又所以當時，當即時，總利潤緣上所運，投入線下銷售的資金10萬元，投入線上銷售的資金為20萬元時，純利潤最大，最大值為62.5萬元．20.己知函數(shù)．（1）若經過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，求實數(shù)a的值；（2）設，若函數(shù)在區(qū)間當為嚴格遞減函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍；（3）對于（2）中的函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點為，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義求過點的直線方程，結合直線過，即可求得的值；（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，可知其導數(shù)恒成立，分離參數(shù)，求解函數(shù)的最大值即可；（3）依題意可知有兩個不相等的實數(shù)根，結合韋達定理，可將問題轉化為恒成立問題，進而利用導數(shù)求的最大值即可.【小問1詳解】由得,所以過點切線的斜率為,因為切線過點。所以,解得：.【小問2詳解】由得，依題意對區(qū)間上的任意實數(shù)恒成立，即對區(qū)間上的任意實數(shù)恒成立，易得在區(qū)間單調遞減，在上單調遞增，，，所以在上的最大值為，所以，實數(shù)a的取值范圍為【小問3詳解】依題意：在上有兩個不同的根，即在上有兩個不同的根,所以，可得，由于不等式，可得又.令,所以，又,所以，即在區(qū)間上嚴格遞減，所以,所以.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．21.記項數(shù)為2022且每一項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列所構成的集合為A．若對于任意的，當時，都有，則稱集合A為“子列封閉集合”．（1）若，判斷集合A是否為“子列封閉集合”，說明理由；（2）若數(shù)列的最大項為，且，證明：集合A不是“子列封閉集合”；（3）若數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列，，且集合A為“子列封閉集合”，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）集合A不是“子列封閉集合”，理由見解析；（2）證明見解析；（3）或.【分析】（1）根據(jù)子列封閉集合的定義，結合已知通項公式，即可直接證明；（2）利用反證法，由，所以，結合題意，推出矛盾即可；（3）根據(jù)數(shù)列的單調性，結合以及子列封閉集合的定義，分類討論即可.【小問1詳解】因為，所以對于任意的，當時，都有，所以集合A