山東省濰坊市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試卷與參考答案

山東省濰坊市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、單項(xiàng)選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算作答.【詳解】解不等式得：，則，解不等式得：，則，，所以.故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】首先計(jì)算，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】，所以，則.故選：D3.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)再利用分段函數(shù)定義即可求得的值.【詳解】由題意可知，，滿足所以.故選：B4.若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（）A.17，54 B.17，48 C.15，54 D.15，48【答案】A【分析】計(jì)算出、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，所以，，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、的平均數(shù)為，方差為.故選：A.5.宋代制酒業(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲(chǔ)方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡(jiǎn)便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個(gè)三角垛，底層是每邊為個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)圓球，頂層為一個(gè)圓球，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，2，3，4時(shí)，圓球總個(gè)數(shù)分別為1，4，10，20，則時(shí)，圓球總個(gè)數(shù)為（）A.30 B.35 C.40 D.45【答案】B【分析】求出底層個(gè)數(shù)，加上前4層總數(shù)20即可.【詳解】當(dāng)，2，3，4時(shí)，圓球總個(gè)數(shù)分別為1，4，10，20，所以當(dāng)4時(shí)，每層圓球的個(gè)數(shù)分別為1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，可得，時(shí)，底層有，故一共有個(gè)球.故選：B6.已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在線段，（不包括端點(diǎn)）上，且，，若點(diǎn)為三棱錐的外接球的球面上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】C【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形輔助線，利用已知條件說明線面垂直，找出球心，建立直角三角形中相應(yīng)的關(guān)系，建立等量關(guān)系，解出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)圖形分析最大值即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：在正三棱錐中，，所以，下底面為等邊，所以，由，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，所以，由，所以平面，又平面，所以，所以，所以，設(shè)三棱錐的外接球球心為，外接圓的圓心為，連接，則在正三棱錐中，底面為正三角形，所以一定在上，且一定在上，同時(shí)平面，在中由正弦定理得：，在中，，在中，，設(shè)球體的半徑為，所以，所以，所以三棱錐的外接球的球面上任意一點(diǎn)到平面距離的最大值為：，故選：C.7.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，垂足為，下列各點(diǎn)中到點(diǎn)的距離為定值的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程再利用，可得，法一：可知H在圓上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行判斷，法二再由得出的方程為，解得，代入選項(xiàng)逐一驗(yàn)證是否為定值即可得出答案.【詳解】法一：設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程整理得，所以又，即，所以可得，即；則直線過定點(diǎn)D（4,0）因?yàn)?，則點(diǎn)H在為直徑的圓上（其中圓心坐標(biāo)為OD中點(diǎn)（2,0）），故（2,0）到H的距離為定值故選：B法二：設(shè)直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程整理得，所以又，即，所以可得，即；又因?yàn)?，所以的方程為，解得?duì)于A，到點(diǎn)的距離為不是定值；對(duì)于B，到點(diǎn)的距離為為定值；對(duì)于C，到點(diǎn)的距離為不是定值；對(duì)于D，到點(diǎn)的距離為不是定值.故選：B8.已知定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)，，有，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由已知可推得，令，得出.設(shè)，則，由，可得.又，代入求和即可得出結(jié)果.【詳解】令，由已知可得.令，由已知可得，設(shè)，則，整理可得.又，所以，所以.則，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）A.已知，若，，則B.數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為C.已知，若，則D.某校三個(gè)年級(jí)，高一有人，高二有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應(yīng)從高三抽取人.【答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得，知A錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知D正確.【詳解】對(duì)于A，，，，解得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，，，，，，，，，，，分位?shù)為第個(gè)數(shù)，即，B正確；對(duì)于C，，，C正確；對(duì)于D，抽樣比為，高二應(yīng)抽取人，則高三應(yīng)抽取人，D正確.故選：BCD.10.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段（包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成的角為B.三棱錐的體積為定值C.不存在點(diǎn)，使得平面D.的最小值為【答案】AB【分析】證明得到，求出，即可得出A項(xiàng)；證明平面，然后求出，根據(jù)等積法即可求出B項(xiàng)；取中點(diǎn)為，可證明平面，即可說明C項(xiàng)錯(cuò)誤；將和展開到同一平面，當(dāng)點(diǎn)為交點(diǎn)時(shí)，有最小值.在中，由余弦定理求出，即可得到最小值，說明D項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖1，連接.因?yàn)槎颊襟w面對(duì)角線，所以，所以是等腰三角形，所以.又且，所以四邊形是平行四邊形，所以.所以異面直線與所成的角即等于與所成的角，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平?所以點(diǎn)到平面距離即等于點(diǎn)到平面的距離.，所以，又是個(gè)定值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖2，取中點(diǎn)為.因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以.又由已知可得，平面，平面，所以.又，且平面，平面，所以平面，即存在點(diǎn)，使得平面，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖3，將和展開到同一平面，當(dāng)點(diǎn)為交點(diǎn)時(shí)，有最小值.因?yàn)?，所以，又，所?在中，由余弦定理可得，，所以的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱B.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則C.若，則的極大值為1D.若，則的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)定義域?yàn)?，由可得A正確；將函數(shù)整理變形，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷B錯(cuò)誤；當(dāng)，由的單調(diào)性可知在處取得極大值為1，即C正確；若，同理可得的最小值為，所以D正確；即可得出正確選項(xiàng).【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以可得對(duì)于，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，即A正確；由可得令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，則，所以在處取得極大值，即的極大值為1，故C正確；若，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，也是最小值，由得，，所以，則的最小值為，即D正確；故選：ACD12.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，則（）A.正項(xiàng)遞增數(shù)列均為“差半遞增”數(shù)列B.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列C.若數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，則數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列D.若數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【分析】利用數(shù)列1,4,5作為反例可判斷A選項(xiàng)，利用作差法結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式比較得可說明B選項(xiàng)，利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式比較得可說明C選項(xiàng)，根據(jù)的關(guān)系求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)“差半遞增”數(shù)列的定義列出不等式可求的取值范圍,從而判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，假設(shè)一個(gè)正項(xiàng)遞增數(shù)列為：1,4,5，則，則，不滿足“差半遞增”數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即恒成立，所以數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，B正確；對(duì)于C，設(shè)公差，，，，所以，所以，數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以，所以，所以對(duì)任意，，即，所以，所以，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)有最大值為，所以，D正確；故選:BCD.三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖所示，A，B，C，D是正弦函數(shù)圖象上四個(gè)點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)函數(shù)值最大，在，兩點(diǎn)函數(shù)值最小，則______.【答案】【分析】由圖象得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出向量，根據(jù)向量以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】由圖象結(jié)合正弦函數(shù)可得，，，，，所以，，，，所以，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，且對(duì)任意恒成立，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______.【答案】3【分析】由輔助角公式得表達(dá)式，后可得答案.【詳解】，其中，.則，則，則.故答案為：315.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)______.①是奇函數(shù)；②在單調(diào)遞增；③有且僅有3個(gè)零點(diǎn).【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)則原點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)，再保證單調(diào)遞增即可寫出解析式.【詳解】由是奇函數(shù)，不妨取，且函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以原點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若保證在單調(diào)遞增，顯然滿足.故答案為：（答案不唯一）16.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為2的直線與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，.若線段的中點(diǎn)為，，則的離心率______.【答案】【分析】根據(jù)題意可得出直線方程，與漸近線方程聯(lián)立解得交點(diǎn)，的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，由直線斜率為2以及利用余弦定理解得，再利用兩點(diǎn)間距離公式可得關(guān)于的方程，解得即可求得離心率.【詳解】由題意可知，雙曲線的兩條漸近線方程為過點(diǎn)且斜率為2的直線方程為，不妨設(shè)直線與漸近線交于點(diǎn)，與漸近線交于點(diǎn)，如下圖所示：聯(lián)立可得，同理得，所以的中點(diǎn)為設(shè)過點(diǎn)且斜率為2的直線的傾斜角為，即，可得所以，由余弦定理可得即，整理可得，即，解得或（舍）所以雙曲線離心率為.故答案為：四、解答題本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）證明見解析，（2）【分析】（1）根據(jù)遞推公式將其分解整理可得，兩邊同時(shí)加1即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可寫出，分別對(duì)是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論即可求得結(jié)果.【小問1詳解】將等式右邊分解得，因?yàn)橐阎?，所以，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】結(jié)合（1）知，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)奇數(shù)時(shí)，.所以數(shù)列的前項(xiàng)和18.在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求的最小值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）或【分析】（1）利用兩角差的正弦公式展開整理可得，再利用三角形內(nèi)角關(guān)系化簡(jiǎn)得，由銳角三角形可知，利用兩角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值；（2）根據(jù)可求得或，即可求出角的正弦值，再由利用正弦定理即可求得.【小問1詳解】由已知得，整理得，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，可得，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.【小問2詳解】由（1）知，所以，又因?yàn)?，所以或?分當(dāng)時(shí)，，由正弦定理得，當(dāng)時(shí)，，由正弦定理得.綜上，或.19.一個(gè)不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個(gè)小球，其中兩個(gè)紅球兩個(gè)白球的概率為，三個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為.（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，求抽到紅球的概率；（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個(gè)或三個(gè)小球，已知抽到兩個(gè)小球的概率為，抽到三個(gè)小球的概率為，所抽到的小球中，每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記分，用表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)結(jié)合條件概率求解即可；（2）由題意先找出隨機(jī)變量的值，分別求出各自的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記事件表示“抽取一個(gè)小球且為紅球”，表示“箱子中小球?yàn)閮杉t兩白”，表示“箱子中小球?yàn)槿t一白”，則.【小問2詳解】由題意得的取值可以為，0，1，3，4，6，，，，，，.隨機(jī)變量的分布列為：01346所以的分布列及數(shù)學(xué)期望為：.20.已知三棱臺(tái)中，底面，，，，，分別是，的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn).（1）求證：；（2）若是線段的中點(diǎn)，平面與的交點(diǎn)記為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用底面，以及棱臺(tái)的幾何特征即可證明平面，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可得出結(jié)論；（2）首先由幾何關(guān)系確定的位置，即，再建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量即可求得面角的余弦值.【小問1詳解】如圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接，，易得，所以，，，四點(diǎn)共面.因?yàn)?，，所以，又因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，又因?yàn)?，平面，平面；所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則與的交點(diǎn)即為.由，分別為和的中點(diǎn)知為線段的三等分點(diǎn)，且，由（1）知，所以、、兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，設(shè)平面的法向量，則取，則易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，由圖易知為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.21.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在上.（1）是上一動(dòng)點(diǎn)，求范圍；（2）過的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)結(jié)合焦距及點(diǎn)坐標(biāo)，求得橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)，得，結(jié)合橢圓有界性解得范圍即可；(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，利用等面積法求解內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切圓面積.【小問1詳解】由題意知，所以.將點(diǎn)代入，解得，所以橢圓的方程為：.設(shè)點(diǎn)，則.又因?yàn)?，所以?/p>