福建省莆田市高三畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

莆田市2024屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，19小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.為虛數(shù)單位，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)運(yùn)算，在根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：B.2.若集合，則集合可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A,若,則，符合題意，故A正確；對(duì)于B，若,則，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若,則，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若,則，不符合題意，故D錯(cuò)誤,故選：A.3.某校高三年級(jí)有男生600人，女生400人．為了獲得該校全體高三學(xué)生的身高信息，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本，得到男生?女生的平均身高分別為和，估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為.故選：C.4.柏拉圖多面體是指每個(gè)面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴(yán)格對(duì)稱，結(jié)構(gòu)等價(jià)的特點(diǎn)．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正八面體的幾何特點(diǎn)求得該幾何體的球心，再由球的體積計(jì)算公式求得球半徑，結(jié)合球半徑和棱的關(guān)系，以及三角形面積計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作正八面體如下所示，連接，設(shè)，根據(jù)其對(duì)稱性可知，過(guò)點(diǎn)，又該八面體為正八面體，則面，又面，故；顯然正八面體的外接球球心為，設(shè)其半徑為，，則，在直角三角形中，；由可得，則；故該八面體的表面積.故選：D.5.若，則（）A.事件與互斥 B.事件與相互獨(dú)立C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，由即可判斷，對(duì)于B，由對(duì)立事件概率公式以及獨(dú)立乘法公式驗(yàn)證；對(duì)于C，由即可判斷；對(duì)于D，由即可判斷.【詳解】對(duì)于AB，，從而，故A錯(cuò)誤B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．若點(diǎn)在圓上，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出圖形結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系以及圓上點(diǎn)到定值線距離的最值即可求解.【詳解】如圖所示：由題意拋物線的準(zhǔn)線為，它與軸的交點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為，已知圓與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，，且成立的條件是重合且重合，綜上所述，的最小值為3.故選：C.7.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，把它的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得的值，再結(jié)合正弦兩角差公式即可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以，由得，則，由題意可知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以.故選：B.8.對(duì)于函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”．有以下四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上“優(yōu)于”；②區(qū)間上“優(yōu)于”；③在區(qū)間上“優(yōu)于”；④若在區(qū)間上“優(yōu)于”，則．其中正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】對(duì)于①②：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)圖象分析判斷；對(duì)于③：構(gòu)建函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可證；對(duì)于④：根據(jù)結(jié)合公切線可得，并檢驗(yàn).【詳解】對(duì)于①：若區(qū)間上恒成立，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知：，若，此時(shí)與必有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知：不恒成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：對(duì)于，，結(jié)合正切函數(shù)圖象可知，不存在在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：構(gòu)建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；構(gòu)建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：，即存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，所以在區(qū)間上“優(yōu)于”，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)?，且，若在區(qū)間上“優(yōu)于”，可知符合條件的直線應(yīng)為在處的公切線，則，可得，則切線方程為，構(gòu)建在即內(nèi)恒成立，可得；由③可知：，可得;綜上所述：.所以符合題意，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③：通過(guò)構(gòu)建函數(shù)證明；對(duì)于④：根據(jù)，結(jié)合題意分析可得，即可得，注意檢驗(yàn).二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.B.的最大值為1C.在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與的圖象重合【答案】AD【解析】【分析】由二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，可直接判斷AB，舉反例判斷C，由函數(shù)平移變換法則可判斷D.【詳解】對(duì)于AB，，，故A對(duì)B錯(cuò)；當(dāng)，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，故D正確.故選：AD.10.在正方體中，點(diǎn)在平面上（異于點(diǎn)），則（）A.直線與垂直．B.存在點(diǎn)，使得C.三棱錐的體積為定值D.滿足直線和所成的角為的點(diǎn)的軌跡是雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可判斷A；采用反證的方法判斷B；根據(jù)三棱錐的體積公式判斷C；結(jié)合圓錐曲線的形成判斷D.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，平面，平面，故，又,且平面，故平面，平面，故，同理可證,平面,故平面,平面,故，A正確；對(duì)于B，由于，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，而平面，平面，則平面，則平面或平面ACD1，而直線與平面ACD1顯然相交，故B對(duì)于C，由于，故四邊形為平形四邊形，則，平面，平面，故平面，同理可證平面，平面，故平面平面，即平面和平面之間的距離為定值，而平面，故M點(diǎn)到平面的距離為定值，由于的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，則三棱錐的體積為定值，C正確；對(duì)于D，直線和所成的角為，則M軌跡為以為軸、以所在直線上的線段為母線的圓錐被平面所截得的曲線，由于平面，結(jié)合圓錐曲線的形成（淡藍(lán)色部分為雙曲線），可知滿足直線和所成的角為的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，D正確故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)滿足：，則（）A.是奇函數(shù)B.若，則C.若，則為增函數(shù)D.若，則為增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用函數(shù)奇偶性的定義，單調(diào)性的定義和性質(zhì)，結(jié)合賦值法的使用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)原式，令，可得，解得；對(duì)原式，令，可得，即，故是奇函數(shù)，A正確；對(duì)B：對(duì)原式，令，可得，又，則；由A可知，為奇函數(shù)，故，故B正確；對(duì)C：由A知，，又，對(duì)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在時(shí)，不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：在上任取，令，則，由題可知，又，故，即，，故在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵，一是合理的使用賦值法，對(duì)已知條件賦值，求得需要的函數(shù)值；二是對(duì)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義的熟練掌握；三是在D選項(xiàng)處理過(guò)程中，對(duì)合理變形為，進(jìn)而根據(jù)抽象函數(shù)滿足的條件進(jìn)行計(jì)算，屬綜合題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知，則__________，在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】①.②..【解析】【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算公式，代入數(shù)值即可求得；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合已知條件，即可求得投影向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，故；在上投影向量為，又，則；故在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：；.13.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值.【詳解】由余弦定理可得，所以，于是有.故答案為：.14.如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的中心，是過(guò)點(diǎn)的任一直線，將此正六邊形沿著折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問(wèn)題，結(jié)合基本不等式求出最值即可.【詳解】如圖，由對(duì)稱性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時(shí)比完全重合時(shí)面積大，此時(shí)，折疊后面積為正六邊形面積的與面積的3倍的和.由正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性知，，，在中，由余弦定理可得：，得，由基本不等式可知，則，故，因，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，又正六邊形的面積，所以折疊后的面積最大值為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時(shí)的狀態(tài)，從而得解.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，即，且，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.小問(wèn)2詳解】由（1）可得，可得，所以.16.如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面；（2）若平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，通過(guò)線面平行、面面平行的判定定理首先得平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由向量夾角余弦的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系即可得解.【小問(wèn)1詳解】如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，一方面：因?yàn)?，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，從而，又因?yàn)槊?，面，所以面，另一方面：又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槊?，面，所以面，結(jié)合以上兩方面，且注意到平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】若平面，又平面，所以，又，所以以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.17.某商場(chǎng)將在“周年慶”期間舉行“購(gòu)物刮刮樂(lè)，龍騰旺旺來(lái)”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎(jiǎng)”，獲得兩張“刮刮樂(lè)”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎(jiǎng)”，獲得一張“刮刮樂(lè)”；其他情況不獲得“刮刮樂(lè)”．（1）據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場(chǎng)有20000位顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．（2）已知每張“刮刮樂(lè)”刮出甲獎(jiǎng)品的概率為，刮出乙獎(jiǎng)品的概率為．①求顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率．【答案】（1）16372（2）①；②【解析】【分析】（1）由題意，由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及對(duì)稱性即可求解相應(yīng)的概率，進(jìn)一步即可求解；（2）由題意有，進(jìn)一步分3大種情況求得，對(duì)于①，由全概率公式即可求解；對(duì)于②，由條件概率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，若某天該商場(chǎng)有20000位顧客，估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件“顧客中龍騰獎(jiǎng)”，事件“顧客中旺旺獎(jiǎng)”，事件“顧客獲得乙獎(jiǎng)品”，由題意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則（i）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”，“1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”，“2點(diǎn)，2點(diǎn)，2點(diǎn)”，三類情況，共有種；（ii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”，“2點(diǎn)，5點(diǎn)，5點(diǎn)”，“2點(diǎn)，4點(diǎn)，6點(diǎn)”，“3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)”，“3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”，“4點(diǎn)，4點(diǎn)，4點(diǎn)”，六類情況，共有種；（iii）若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則有“6點(diǎn)，6點(diǎn)，6點(diǎn)”，一類情況，共有1種；所有，①由全概率公式可得，即顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率為；②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是，所以顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是.18.已知橢圓的離心率為，且上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于內(nèi)任一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由離心率公式以及焦半徑的最值列出方程組，結(jié)合算出即可；（2）分直線是否垂直于軸進(jìn)行討論即可，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，由弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式表示出四邊形的面積（含參數(shù)），進(jìn)一步結(jié)合過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線與橢圓至少有一個(gè)交點(diǎn)，由此，從而即可進(jìn)一步求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以，所以橢圓的方程是；【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍，所以四邊形的面積為，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，點(diǎn)到直線的距離的最大值為2，此時(shí)，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理并化簡(jiǎn)得，即，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線的方程為，代入橢圓方程，整理并化簡(jiǎn)得，由，所以，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)且，綜上所述，四邊形面積的最大值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是求出四邊形面積表達(dá)式，還有一個(gè)約束條件是過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線與橢圓至少有一個(gè)交點(diǎn)，由此即可順利得解.19.已知函數(shù)．（1）證