2024年內(nèi)蒙古包頭高三二模高考理科數(shù)學(xué)試題答案詳解_第1頁(yè)
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試卷第=page11頁(yè),共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè),共=sectionpages33頁(yè)2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(第二次模擬考試)理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng):1.考生答卷前,務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)寫(xiě)在答題卡上.將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.做選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi),寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后,將答題卡交回.一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集,集合A滿足,則(

)A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的虛部為(

)A. B. C. D.3.設(shè)m,,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行,則個(gè)不相鄰的概率為(

)A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.85.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則的(

)A.最小值為5 B.最大值為5C.最小值為6 D.最大值為66.已知數(shù)列為等比數(shù)列,且,,設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則(

)A.-36或36 B.-36 C.36 D.187.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中,對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè),,()為整數(shù),若和被除得的余數(shù)相同,則稱和對(duì)模同余,記為.若,,則的值可以是(

)A.2018 B.2020 C.2022 D.20248.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響,而是許多個(gè)音的結(jié)合,稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)9.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),,動(dòng)點(diǎn)P滿足,則的最大值為(

)A. B. C. D.10.在正方體中,E為BD的中點(diǎn),則直線與所成角的余弦值為(

)A.0 B. C. D.11.已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為、,雙曲線C的離心率為e,在第一象限存在點(diǎn)P,滿足,且,則雙曲線C的漸近線方程為(

)A. B.C. D.12.已知且,且,且,則(

)A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.拋物線的準(zhǔn)線方程為,則實(shí)數(shù)a的值為.14.在中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,,,則邊.15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為.16.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則的最大值為.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答,第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝,即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史原型,滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲,乙,丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽,其中每局只有兩人比賽,每局比賽必分勝負(fù),本局比賽結(jié)束后,負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲,乙對(duì)賽,接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽,來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人,每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求前3局比賽甲都取勝的概率;(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.如圖,在多面體DABCE中,是等邊三角形,,.(1)求證:;(2)若二面角為30°,求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.19.已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求a的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20.已知橢圓E:過(guò)點(diǎn),且焦距為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)弦AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.①證明:直線MN必過(guò)定點(diǎn);②若弦AB,CD的斜率均存在,求面積的最大值.21.已知數(shù)列為有窮數(shù)列,且,若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì),則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列:①;②對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).(1)寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列;(2)當(dāng)時(shí),若存在m的6增數(shù)列,求m的最小值;(3)若存在100的k增數(shù)列,求k的最大值.(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所寫(xiě)的第一題計(jì)分.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn),若直線與曲線交于A,兩點(diǎn),求的值.[選修4-5:不等式選講]23.已知.(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,正實(shí)數(shù),,滿足,求證:.答案第=page11頁(yè),共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè),共=sectionpages22頁(yè)1.B【分析】根據(jù)全集和集合在全集中的補(bǔ)集易得集合,逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由,,可得或則,,,,故B項(xiàng)正確,A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選:B.2.A【分析】由共軛復(fù)數(shù)以及虛部的概念即可得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù),所以的虛部為.故選:A.3.B【分析】通過(guò)舉反例說(shuō)明“”不是“”的充分條件,再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由推得,即得結(jié)論.【詳解】由不能推出,如滿足,但無(wú)意義,故“”不是“”的充分條件;再由可得,即得,故“”是“”的必要條件.即“”是“”的必要不充分條件.故選:B.4.C【分析】先按要求計(jì)算個(gè)和3個(gè)隨機(jī)排成一行時(shí)的排法,再計(jì)算個(gè)不相鄰時(shí)的排法,最后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】個(gè)和3個(gè)隨機(jī)排成一行,即五個(gè)確定的位置中選擇3個(gè)放字母,其他放字母,故不同排法有種,若再要求個(gè)不相鄰,則需3個(gè)放好,有4個(gè)空,個(gè)插空擺放即可,即,所以個(gè)不相鄰的概率為.故選:C.5.A【分析】作出可行域,利用直線平移求解即可.【詳解】由不等式組作出可行域如圖:

由,可得,由圖可知,平移直線,當(dāng)與重合時(shí),取最小值5,故選:A.6.C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得,繼而求得的值,利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,且,,則,則,則,則,故選:C.7.B【分析】依題意可得,利用二項(xiàng)式定理說(shuō)明被除得的余數(shù)為,即可判斷.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,即被除得的余?shù)為,結(jié)合選項(xiàng)可知只有被除得的余數(shù)為.故選:B8.D【分析】對(duì)于A,考查函數(shù)與的周期即可;對(duì)于B,考查函數(shù)與的最大值,驗(yàn)證同時(shí)取最大值時(shí)的條件即可判斷;對(duì)于C,利用中心對(duì)稱的條件進(jìn)行驗(yàn)證即可;對(duì)于D,令,解方程即可.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?,的周期為,所以的周期為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為,故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí),的最大值為,此時(shí)需滿足且,不能同時(shí)成立,故最大值不能同時(shí)取到,故的最大值不為,則B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,則,故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí),,又,所以或者;或者,此時(shí),又,所以,綜上可知,在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn),故D正確,故選:D.9.C【分析】設(shè)出點(diǎn),利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)的軌跡,結(jié)合直線與圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),則,,則,即,化為,則點(diǎn)的軌跡為以為圓心,半徑為2的圓,又,所以三點(diǎn)共線,顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí),的值最大.又,則,則.故選:C.10.D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用空間向量的夾角余弦公式求出答案.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,則直線與所成角的余弦值為,故選:D11.A【分析】由題意設(shè),則,而,,由三角形面積公式可得,從而,在中,運(yùn)用余弦定理可得,由此即可得解.【詳解】設(shè),則,而,所以,所以點(diǎn)到的距離為,又,所以,解得,即,從而,又因?yàn)?,所以,在中,由余弦定理有,所以,即,解得,雙曲線C的漸近線方程為.故選:A.12.D【分析】構(gòu)造函數(shù),考查函數(shù)單調(diào)性,利用,,得到,即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,又,則,則,,同理,,則,即,,所以,故選:D.13.##【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程,解出即可.【詳解】依題可知,則,故答案為:.14.【分析】由余弦定理化角為邊,化簡(jiǎn)整理后,代值計(jì)算即得.【詳解】因,由余弦定理,,化簡(jiǎn)得,因,,故.故答案為:.15.【分析】由題意,先求出球的半徑,再由球和圓柱的位置關(guān)系得到圓柱的底面半徑、母線和球的半徑的關(guān)系,然后利用基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.【詳解】設(shè)球的半徑為,圓柱的底面半徑為,母線為,由題意可知,解得,又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上,所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱,且,圓柱的側(cè)面積,,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以,.故答案為:.16.【分析】通過(guò)換元將不等式化成,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,設(shè),對(duì)的取值分類討論,得到時(shí),依題得,即再令,分析得到,從而即得.【詳解】令,則,不等式可化為:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.設(shè),則,當(dāng)時(shí),,在R上單調(diào)遞增,,不合題意;當(dāng)時(shí),由可得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),.因?qū)θ我獾膶?shí)數(shù)x恒成立,故恒成立,即,則.令,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.故,即,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問(wèn)題,屬于難題.解題的關(guān)鍵在于通過(guò)設(shè)進(jìn)行換元,將不等式化成,設(shè)函數(shù),分析得到,然后分離出,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值即得.17.(1)(2)分布列見(jiàn)解析,【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得;(2)列出隨機(jī)變量X的所有可能的值,分別求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求出期望值.【詳解】(1)因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,前3局比賽甲都獲勝,則前3局甲都取勝的概率為.(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.其中,表示第1局乙輸,第3局是乙上場(chǎng),且乙輸,則;表示第1局乙輸,第3局是乙上場(chǎng),且乙贏;或第1局乙贏,且第2局乙輸,則;表示第1局乙贏,且第2局乙贏,第3局乙輸,則;表示第1局乙贏,且第2局乙贏,第3局乙贏,則;所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.18.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)取BC中點(diǎn)O,連接AO,EO,利用線面垂直的判斷定理證明平面,繼而可解;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OD所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用線面角的向量表示進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)取BC中點(diǎn)O,連接AO,EO.∵是等邊三角形,O為BC中點(diǎn),∴,又,∴,∵,平面,∴平面,又平面AEO,∴.(2)連接DO,則,由,得,,又,∴,∴,又,平面,∴平面.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OD所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴,,設(shè)平面ACD的法向量為,則即取,則.∵是二面角的平面角,∴,又,∴,,則,∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.19.(1)1(2)單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為【分析】(1)由是函數(shù)的極值點(diǎn),,求解驗(yàn)證即可;(2)利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】(1)函數(shù)定義域?yàn)?,,因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn),所以,解得或,因?yàn)?,所?此時(shí),令得,令得,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.(2).因?yàn)?,所以,令得;令得;∴函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.20.(1)(2)①證明見(jiàn)解析;②【分析】(1)根據(jù)題意有,,即可求解;(2)①設(shè)直線:的方程,聯(lián)立與橢圓方程消元后,利用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo),繼而可得點(diǎn)坐標(biāo),考慮直線斜率情況,得到其方程,即可求解;②根據(jù),表示出的面積后,換元法轉(zhuǎn)化函數(shù),利用單調(diào)性即可求得最大值.【詳解】(1)依題意有,,解得,所以橢圓的方程為.(2)①設(shè):,,,則:,聯(lián)立,故,,,故,由代替m,得,當(dāng),即時(shí),:,過(guò)點(diǎn).當(dāng),即時(shí),,:,令,,直線MN恒過(guò)點(diǎn).當(dāng),經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn).綜上,直線MN恒過(guò)點(diǎn).②,令,,∵在上單調(diào)遞減,∴,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.

21.(1)1,2,1和1,3(2)7(3)1250【分析】(1)由于或,從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3;(2)分析得到且,當(dāng)時(shí),不合要求,當(dāng)時(shí),滿足要求,得到答案;(3)分析得到數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2,所以數(shù)列為1,1,…,1,2,2,…,2的形式,設(shè)其中有x項(xiàng)為1,有y項(xiàng)為2,得到,,配方后求出最值.【詳解】(1)由題意得,且對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè),由于或,故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3.(2)當(dāng)時(shí),存在m的6增數(shù)列,即,且對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)有6個(gè),所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng),所以且.若,滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1,一項(xiàng)為2,所以,不符合題意,所以.若,滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1,兩項(xiàng)為2,此時(shí)數(shù)列為,滿足要求的正整數(shù)對(duì)分別為,符合m的6增數(shù)列,所以當(dāng)時(shí),若存在m的6增數(shù)列,m的最小值為7.(3)若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等,則,若,所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng),若首項(xiàng),將拆分成個(gè)1后k變大,所以此時(shí)k不是最大值,所以.當(dāng)時(shí),若,交換,的順序后k變?yōu)?,所以此時(shí)k不是最大值,所以.若,所以,所以將改為,并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1,所以k的值變大,所以此時(shí)k不是最大值,所以.若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng),,設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2,將改為2,并在數(shù)列首位前添加個(gè)1后,k的值至少變?yōu)?,所以此時(shí)k不是最大值,所以數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2,所以數(shù)列為1,1,…,1,2,2,…

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