江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試卷

2023—2024學(xué)年高二年級(jí)第二學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程，分別求，即可求解橢圓離心率.【詳解】由題意得，所以離心率.故選：B.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則（）A.11 B.13 C.24 D.25【答案】C【解析】【分析】由已知先求計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選:C.3.若直線與直線平行，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】若則平行或重合等價(jià)于.根據(jù)已知求出值，再代入直線驗(yàn)證是平行或重合，從而求出兩直線平行時(shí)的值.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，，即：，解得：或，當(dāng)時(shí)兩直線重合，不符合題意，舍去;當(dāng)時(shí)兩直線平行，符合題意.故選：B.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的公比為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用遞推公式及的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意，相減得，所以公比為3.故選：C.5.先后兩次拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次拋出的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于3”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型及條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以.故選:B.6.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，則（）A.2024 B.2025 C.4049 D.4050【答案】C【解析】【分析】把等差數(shù)列中的項(xiàng)用基本量和表示，根據(jù)已知條件列方程組求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，所以故故選：C.7.已知正方體的棱長(zhǎng)為是棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量結(jié)合二次函數(shù)求解作答.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和的關(guān)系，結(jié)合錯(cuò)位相減法，進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，故，故①②，①②得，，即，令③，④，③④得，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是二次利用錯(cuò)位相減法.二?多選題本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，則（）13A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先利用分布列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，從而得解.【詳解】對(duì)于A，由分布列的性質(zhì)可得，解得，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：ABD.10.已知數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用遞推公式列舉前三項(xiàng)可判定A，利用遞推公式作商可判定B，利用A、B的結(jié)論可判定C，根據(jù)數(shù)列的周期性可判定D.【詳解】由題意得，，解得，故A錯(cuò)誤；由，則，兩式相除得，故B正確；由可得，，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知數(shù)列共有項(xiàng)，，且，記這樣的數(shù)列共有個(gè)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題目條件，得到或1，通過特殊化列舉分析，理解數(shù)列，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意可知，，則或1，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列為0，1，故只有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為0，1，2或0，2，故有2個(gè)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為0，1，2，3或0，2，3或0，1，3，故有3個(gè)，同理可得：，故A正確；當(dāng)，數(shù)列可以看成時(shí)再增加一項(xiàng)2，或時(shí)再增加一項(xiàng)1，因此，故B正確；因?yàn)?，相加可得：，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)?，可得，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，，則__________．（寫出滿足上述條件的一個(gè)值即可）【答案】7（或12，或15，或16中任一個(gè)均可）【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】在等比數(shù)列中，由得，所以，不妨令，則的不同取值有，或者，或者，或者，所以的所有取值為.故答案為：（或或或中任一個(gè)均可）.13.已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為60，偶數(shù)項(xiàng)之和為54，則__________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，所以奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)和為，故，解得.故答案為：1014.5位女生和2位男生站成一排，若2位男生相鄰，則不同排法共有__________．種；若每位女生至少與一位女生相鄰，則不同的排法共有__________種．（第一空2分，第二空3分，用數(shù)字作答）【答案】①.1440②.2160【解析】【分析】按照捆綁法，以及分類和分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】若2位男生相鄰，則不同的排法共有種；若每位女生至少與一位女生相鄰，若5位女生相鄰，則排法有種，若2位女生相鄰，另外3位女生相鄰，則排法有種，綜上所述，共有種排法.故答案為：1440；2160四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用公式，即可求解；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果，得，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，以及分組轉(zhuǎn)化法求和.【小問1詳解】，兩式相減得，又當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以；【小問2詳解】由（1）得，.16.已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，記的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，判斷數(shù)列的增減性．【答案】（1）（2）遞增數(shù)列【解析】【分析】（1）利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求得，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求得，進(jìn)而求，由的符號(hào)即可得到增減性.【小問1詳解】由得，即，與聯(lián)立得，解得，.【小問2詳解】由（1）得，所以，故，所以數(shù)列是遞增數(shù)列.17.已知為拋物線上的一點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之積等于2．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）代入，求出，得到準(zhǔn)線方程；（2）聯(lián)立與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，根據(jù)乘積為2得到方程，代入兩根之和，兩根之積，得到證明.【小問1詳解】由題意可得點(diǎn)在上，所以，解得，所以的準(zhǔn)線方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)，由（1）知的方程為，，同理可得，所以，即，聯(lián)立得所以，所以，解得.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）變形得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用裂項(xiàng)相消法求和，得到，并根據(jù)單調(diào)性得到.【小問1詳解】由兩邊同時(shí)除以，可得，所以，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.【小問2詳解】證明：因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，?19.對(duì)于數(shù)列，若滿足恒成立的最大正數(shù)為，則稱為“數(shù)列”．（1）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，且為“數(shù)列”，求；（2）已知等差數(shù)列與其前項(xiàng)和均為“數(shù)列”，且與的單調(diào)性一致，求的通項(xiàng)公式；（3）已知數(shù)列滿足，若且，證明：存在實(shí)數(shù)，使得是“數(shù)列”，并求的最小值．【答案】（1）或；（2）;（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義分類討論結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)與求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性分類討論計(jì)算即可；（3）由已知及累加法先得出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及換元法求得