備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)突破第2講 一元二次方程（考點(diǎn)精析+真題精講）（含答案與解析）

第第頁(yè)資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第2講一元二次方程→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一一元二次方程的解考向二解一元二次方程考向三一元二次方程根的判別式考向四含參問(wèn)題考向五根與系數(shù)關(guān)系考向六一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用第2講一元二次方程本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨(dú)考查,也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題,年年考查,分值為20分左右,預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型,為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.→?考點(diǎn)精析←一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、一元二次方程的解法1．直接開(kāi)平方法：適合于或形式的方程．2．配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系1．根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來(lái)確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．四、利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問(wèn)題是常考內(nèi)容．1．增長(zhǎng)率等量關(guān)系（1）增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來(lái)量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．2．利潤(rùn)等量關(guān)系：（1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本．（2）利潤(rùn)率=×100％．3．面積問(wèn)題（1）類型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．圖1圖2圖34.碰面問(wèn)題（循環(huán)問(wèn)題）（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m。∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=1（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m。∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng).∵A與B比賽在A的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊.∴m=n→?真題精講←考向一一元二次方程的解緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡(jiǎn)變形求解。1．（2020·甘肅金昌·中考真題）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為（）A．-1或2 B．-1 C．2 D．0考向二解一元二次方程一元二次方程的常見(jiàn)解法及適用情形：一般形式：直接開(kāi)平方法形如的方程，可直接開(kāi)方求解，則，因式分解法可化為的方程，用因式分解法求解，則，配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開(kāi)方求解公式法利用求根公式：2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．3．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：x2﹣5x+6＝04．（2020·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．A．B．C．D．5．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）已知，且．則的值是_________．考向三一元二次方程根的判別式對(duì)于方程，，①若，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③若，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)的取值有關(guān)7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程．在下面的四組條件中選擇其中一組的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．①；②；③；④．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．考向四含參問(wèn)題8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為_(kāi)__________．11．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．12．（2020·四川南充·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請(qǐng)求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考向五根與系數(shù)關(guān)系設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，則，．13．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．1614．（2020·河南中考真題）定義運(yùn)算：．例如．則方程的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根15．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．16．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若，求m的值．考向六一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實(shí)際問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問(wèn)題．18．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．19．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．20．（2020·遼寧大連·中考真題）1275年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步．若設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為_(kāi)____．21．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)__________．22．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)圖書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍．已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用是7200元，求年買(mǎi)書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率．23．（2020·山東濱州·中考真題）某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克．（1）當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果多少千克？（2）當(dāng)月利潤(rùn)為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元?（3）當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大？24．（2020·貴州黔南·中考真題）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課不停學(xué)”的號(hào)召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級(jí)1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，彼此關(guān)懷，全班每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都通過(guò)一次電話，互相勉勵(lì)，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每?jī)擅瑢W(xué)之間僅通過(guò)一次電話，那么全同學(xué)共通過(guò)多少次電話呢？我們可以用下面的方式來(lái)解決問(wèn)題．用點(diǎn)分表示第1名同學(xué)、第2名同學(xué)、第3名同學(xué)…第48名同學(xué)，把該班級(jí)人數(shù)x與通電話次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖模型表示：（1）填寫(xiě)上圖中第四個(gè)圖中y的值為_(kāi)______，第五個(gè)圖中y的值為_(kāi)______．（2）通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，通電話次數(shù)y與該班級(jí)人數(shù)x之間的關(guān)系式為_(kāi)____，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的______．（3）若九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話190次，問(wèn)：該班共有多少名女生？

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講一元二次方程№考向解讀?考點(diǎn)精析第2講一元二次方程№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第二章方程（組）與不等式（組）第2講一元二次方程→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一一元二次方程的解考向二解一元二次方程考向三一元二次方程根的判別式考向四含參問(wèn)題考向五根與系數(shù)關(guān)系考向六一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用第2講一元二次方程本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨(dú)考查,也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題,年年考查,分值為20分左右,預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型,為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.→?考點(diǎn)精析←一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、一元二次方程的解法1．直接開(kāi)平方法：適合于或形式的方程．2．配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系1．根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來(lái)確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．四、利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問(wèn)題是?？純?nèi)容．1．增長(zhǎng)率等量關(guān)系（1）增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來(lái)量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．2．利潤(rùn)等量關(guān)系：（1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本．（2）利潤(rùn)率=×100％．3．面積問(wèn)題（1）類型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．圖1圖2圖34.碰面問(wèn)題（循環(huán)問(wèn)題）（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=1（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng).∵A與B比賽在A的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊.∴m=n→?真題精講←考向一一元二次方程的解緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡(jiǎn)變形求解。1．（2020·甘肅金昌·中考真題）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為（）A．-1或2 B．-1 C．2 D．0【答案】B【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再結(jié)合一元二次方程定義可得m的值【解析】解：把x=1代入得：=0，解得：m1=2，m2=﹣1∵是一元二次方程，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解和定義，關(guān)鍵是注意方程二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0．考向二解一元二次方程一元二次方程的常見(jiàn)解法及適用情形：一般形式：直接開(kāi)平方法形如的方程，可直接開(kāi)方求解，則，因式分解法可化為的方程，用因式分解法求解，則，配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開(kāi)方求解公式法利用求根公式：2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】，【分析】首先將方程進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)因式分解的結(jié)果求出方程的解．【詳解】解：∴或∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法求解方程．3．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：x2﹣5x+6＝0【答案】x1＝2，x2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，則x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.4．（2020·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】按照配方法的步驟進(jìn)行求解即可得答案.【解析】解：移項(xiàng)得，二次項(xiàng)系數(shù)化1的，配方得即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟為（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．5．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）已知，且．則的值是_________．【答案】4或-1【分析】將已知等式兩邊同除以進(jìn)行變形，再利用換元法和因式分解法解一元二次方程即可得．【解析】將兩邊同除以得：令則因式分解得：解得或即的值是4或故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法和因式分解法解一元二次方程，將已知等式進(jìn)行正確變形是解題關(guān)鍵．考向三一元二次方程根的判別式對(duì)于方程，，①若，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③若，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)的取值有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程．在下面的四組條件中選擇其中一組的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．①；②；③；④．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選②，，；選③，，【分析】先根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：中，①時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④時(shí)，，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；因此可選擇②或③．選擇②時(shí)，，，，，；選擇③時(shí)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．考向四含參問(wèn)題8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】由于關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，且，據(jù)此列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，且，解得，，且.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為_(kāi)__________．【答案】2019【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．【詳解】解：∵是關(guān)x的方程的解，∴，即：，∴；故答案為：2019．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．【答案】(1)且；(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問(wèn)題，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：依題意得：，解得且；（2）解：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋海瑒t有：，，，方程的根為，．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2020·四川南充·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請(qǐng)求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，結(jié)合，即可得出關(guān)于k的方程，解之即可得出k值，再結(jié)合（1）即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴解得；（2）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，∵，∴即，解得．又由（1）知：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于k的方程．考向五根與系數(shù)關(guān)系設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，則，．13．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后即可確定兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．（2020·河南中考真題）定義運(yùn)算：．例如．則方程的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得答案．【解析】解：根據(jù)定義得：＞原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)與理解能力，同時(shí)考查了一元二次方程的根的判別式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得．【詳解】解：方程中的，是方程的兩個(gè)根，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．16．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)、是一元二次方程的兩個(gè)根，則有，求解即可．【詳解】解：由題意得，原式．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了韋達(dá)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)的值為1或【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵，∴無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，∴．∵，∴，．∴．即．解得或．∴的值為1或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考向六一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實(shí)際問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問(wèn)題．18．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．【詳解】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【分析】設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．（2020·遼寧大連·中考真題）1275年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步．若設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為_(kāi)____．【答案】x（x﹣12）＝864．【分析】由長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x-12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：∵長(zhǎng)為x步，寬比長(zhǎng)少12步，∴寬為（x﹣12）步．依題意，得：x（x﹣12）＝864．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．22．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)圖書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍．已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用是7200元，求年買(mǎi)書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率．【答案】【分析】設(shè)年買(mǎi)書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)2022年買(mǎi)書(shū)資金2020年買(mǎi)書(shū)資金建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)年買(mǎi)書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），答：年買(mǎi)書(shū)資金的平均增長(zhǎng)率為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確