備考中考數(shù)學考點精講精練第5講 反比例函數(shù)（考點精析+真題精講）（含答案與解析）

第第頁【淘寶店鋪：向陽百分百】第5講反比例函數(shù)→?考點精析←→?真題精講←考向一反比例函數(shù)的定義考向二反比例函數(shù)的圖象和性質考向三反比例函數(shù)解析式的確定考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合考向六反比例函數(shù)的應用考向七反比例函數(shù)與平面幾何綜合類型一最值問題類型二存在性類型三與面積有關第5講反比例函數(shù)反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù),年年都會考,總分值為15分左右，預計2024年各地中考一定還會考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個答題，反比例函數(shù)的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點.→?考點精析←一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0的任意實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質1．反比例函數(shù)的圖象與性質（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．（2）性質：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．六、反比例函數(shù)的實際應用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．→?真題精講←考向一反比例函數(shù)的定義1．反比例函數(shù)的表達式中，等號左邊是函數(shù)值y，等號右邊是關于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．2．反比例函數(shù)的一般形式的結構特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為1．1．（山東濱州·中考真題）下列函數(shù)：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函數(shù)的有▲（填序號）2．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關系是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且﹐則點M一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考向二反比例函數(shù)的圖象和性質當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．4．（2020·山東威海·中考真題）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．5．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．6.（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關系是（

）A． B． C． D．7．（2020·湖北武漢·中考真題）若點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或8.已知點A(，2)、B(2，)都在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求、的值；(2)若直線與軸交于點C，求C關于軸對稱點C′的坐標．考向三反比例函數(shù)解析式的確定1．反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應值或圖象上一個點的坐標，代入中即可．2．確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．9．（2020·陜西中考真題）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分別在三個不同的象限．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過其中兩點，則m的值為_____．10.當為何值時是反比例函數(shù)？11.已知的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若點(－2，)、(－1，)、(1，)都在雙曲線上，試比較、、的大?。枷蛩姆幢壤瘮?shù)中k的幾何意義三角形的面積與k的關系：（1）因為反比例函數(shù)中的k有正負之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時，都應加上絕對值符號．（2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個頂點分別為原點，反比例函數(shù)圖象上一點及過此點向坐標軸所作垂線的垂足．12．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（

）

A．2 B． C．1 D．13．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．114．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為與關于直線對稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點．若，則的值為（

）

A． B． C． D．15．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線（其中）相交于，兩點，過點B作軸，交y軸于點P，則的面積是___________．

考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達式求交點坐標；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達式；（4）應用函數(shù)圖象性質比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結合圖象分析、解答問題．16．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在雙曲線上，將直線向上平移若干個單位長度交軸于點，交雙曲線于點．若，則點的坐標是___________．

17．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點A和點．

(1)求m的值和反比例函數(shù)解析式；(2)當時，求x的取值范圍．18．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，已知，設函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．

(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經(jīng)過原點．考向六反比例函數(shù)的應用用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；（2）設：根據(jù)常量與變量之間的關系，設出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．19.心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2）一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？20.如圖，是藥品研究所所測得的某種新藥在成人用藥后，血液中的藥物濃度y（微克/毫升）用藥后的時間x（小時）變化的圖象（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．并測得當y=a時，該藥物才具有療效．若成人用藥4小時，藥物開始產(chǎn)生療效，且用藥后9小時，藥物仍具有療效，則成人用藥后，血液中藥物濃則至少需要多長時間達到最大度？考向七反比例函數(shù)與平面幾何綜合類型一最值問題21．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應的一次函數(shù)的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．類型二存在性22．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點．

(1)求反比例函數(shù)的表達式：(2)當時，直接寫出x的取值范圍；(3)在雙曲線上是否存在點P，使是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．類型三三角形面積問題23．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點．

(1)求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的表達式；(2)若y軸上有一點的面積為4，求點的坐標．

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習第5講反比例函數(shù)№考向解讀第5講反比例函數(shù)№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三章函數(shù)第5講反比例函數(shù)→?考點精析←→?真題精講←考向一反比例函數(shù)的定義考向二反比例函數(shù)的圖象和性質考向三反比例函數(shù)解析式的確定考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合考向六反比例函數(shù)的應用考向七反比例函數(shù)與平面幾何綜合類型一最值問題類型二存在性類型三與面積有關第5講反比例函數(shù)反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù),年年都會考,總分值為15分左右，預計2024年各地中考一定還會考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個答題，反比例函數(shù)的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點.→?考點精析←一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0的任意實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質1．反比例函數(shù)的圖象與性質（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．（2）性質：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．六、反比例函數(shù)的實際應用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．→?真題精講←考向一反比例函數(shù)的定義1．反比例函數(shù)的表達式中，等號左邊是函數(shù)值y，等號右邊是關于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．2．反比例函數(shù)的一般形式的結構特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為1．1．（山東濱州·中考真題）下列函數(shù)：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函數(shù)的有▲（填序號）【答案】②⑤．【解析】反比例函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐一作出判斷：①y=2x﹣1是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)；②是反比例函數(shù)；③y=x2+8x﹣2是二次函數(shù)，不是反比例函數(shù)；④不是反比例函數(shù)；⑤是反比例函數(shù)；⑥中，a≠0時，是反比例函數(shù)，沒有此條件則不是反比例函數(shù)．故答案為②⑤．2．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標的特點即可得出結論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。摺辔挥诘谌笙蓿唷摺唷摺帱c位于第一象限，∴∴故選：B．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且﹐則點M一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的，可知反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，再根據(jù)點M點的橫坐標判斷點M所在的象限，即可解答【詳解】解：，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，故點M可能在第一象限或者第三象限，的橫坐標大于0，一定在第一象限，故選：A．【點睛】本題考查了判斷反比例函數(shù)所在的象限，判斷點所在的象限，熟知反比例函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限與k值的關系是解題的關鍵．考向二反比例函數(shù)的圖象和性質當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．4．（2020·山東威?！ぶ锌颊骖}）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質進行判斷即可得解．【解析】當時，，則一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故排除A，C選項；當時，，則一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故排除B選項，故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像的性質，熟練掌握相關性質與函數(shù)圖像的關系是解決本題的關鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把點A和點B的坐標代入解析式，根據(jù)條件可判斷出、的大小關系．【詳解】解：∵點，）是反比例函數(shù)的圖像上的兩點，∴，∵，∴，即，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，掌握圖像上點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關鍵．6.（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標的特點即可得出結論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。摺辔挥诘谌笙蓿唷摺唷摺帱c位于第一象限，∴∴故選：B．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．7．（2020·湖北武漢·中考真題）若點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由反比例函數(shù)，可知圖象經(jīng)過第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，由此分三種情況①若點A、點B在同在第二或第四象限；②若點A在第二象限且點B在第四象限；③若點A在第四象限且點B在第二象限討論即可．【解析】解：∵反比例函數(shù)，∴圖象經(jīng)過第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，①若點A、點B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式無解；②若點A在第二象限且點B在第四象限，∵，∴，解得：；③由y1＞y2，可知點A在第四象限且點B在第二象限這種情況不可能．綜上，的取值范圍是．故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵，注意要分情況討論，不要遺漏．8.已知點A(，2)、B(2，)都在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求、的值；(2)若直線與軸交于點C，求C關于軸對稱點C′的坐標．【解析】解：（1）將點A(，2)、B(2，)的坐標代入得：，解得；，所以.（2）直線為，令，所以該直線與軸的交點坐標為C（1,0），C關于軸對稱點C′的坐標為(－1，0)．考向三反比例函數(shù)解析式的確定1．反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應值或圖象上一個點的坐標，代入中即可．2．確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．9．（2020·陜西中考真題）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分別在三個不同的象限．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過其中兩點，則m的值為_____．【答案】-1．【分析】根據(jù)已知條件得到點在第二象限，求得點一定在第三象限，由于反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過其中兩點，于是得到反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，，于是得到結論．【解析】解：點，，分別在三個不同的象限，點在第二象限，點一定在第三象限，在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過其中兩點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確的理解題意是解題的關鍵．10.當為何值時是反比例函數(shù)？【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)解析式，也可以寫成的形式，后一種表達方法中的次數(shù)為-1，由此可知函數(shù)是反比例函數(shù)，要具備的兩個條件為且，二者必須同時滿足，缺一不可．【解析】解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．綜上，＝－1，即＝－1時，是反比例函數(shù)．【總結】反比例函數(shù)解析式的三種形式：①；②；③．11.已知的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若點(－2，)、(－1，)、(1，)都在雙曲線上，試比較、、的大?。敬鸢浮拷猓?1)由已知條件可知：此函數(shù)為反比例函數(shù)，且，∴.(2)由(1)得此函數(shù)解析式為：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義三角形的面積與k的關系：（1）因為反比例函數(shù)中的k有正負之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時，都應加上絕對值符號．（2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個頂點分別為原點，反比例函數(shù)圖象上一點及過此點向坐標軸所作垂線的垂足．12．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（

）

A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】證明四邊形是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的值的幾何意義，即可解答．【詳解】解：軸于點M，軸于直N，，四邊形是矩形，四邊形的面積為2，，反比例函數(shù)在第一、三象限，，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數(shù)的值的幾何意義，熟知在一個反比例函數(shù)圖像上任取一點，過點分別作x軸，y軸的垂線段，與坐標軸圍成的矩形面積為是解題的關鍵．13．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】設，則，，，根據(jù)坐標求得，，推得，即可求得．【詳解】設，則，，∵點A在的圖象上則，同理∵B，D兩點在的圖象上，則故，又∵，即，故，∴，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．14．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為與關于直線對稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點．若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作軸，根據(jù)題意得出，再由特殊角的三角函數(shù)及等腰三角形的判定和性質得出，，利用各角之間的關系，確定，B，O三點共線，結合圖形確定，然后代入反比例函數(shù)解析式即可．【詳解】解：如圖所示，過點B作軸，

∵，∴，∴，，∴，，∴，，∵與關于直線對稱，∴，∴，∴，B，O三點共線，∴，∵，∴，∴，∴，將其代入得：，故選：A．【點睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質，特殊角的三角函數(shù)及反比例函數(shù)的確定，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．15．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線（其中）相交于，兩點，過點B作軸，交y軸于點P，則的面積是___________．

【答案】【分析】把代入到可求得的值，再把代入雙曲線函數(shù)的表達式中，可求得的值，進而利用三角形的面積公式進行求解即可．【詳解】∵直線與雙曲線（其中）相交于，兩點，∴∴，∴雙曲線的表達式為：，，∵過點作軸，交軸于點，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，數(shù)形結合是解答此題的關鍵．考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達式求交點坐標；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達式；（4）應用函數(shù)圖象性質比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結合圖象分析、解答問題．16．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在雙曲線上，將直線向上平移若干個單位長度交軸于點，交雙曲線于點．若，則點的坐標是___________．

【答案】【分析】求出反比例函數(shù)解析式，證明，過點作軸的垂線段交軸于點，過點作軸的垂線段交軸于點，通過平行線的性質得到，解直角三角形求點的橫坐標，結合反比例函數(shù)解析式求出的坐標，即可解答．【詳解】解：把代入，可得，解得，反比例函數(shù)解析式，如圖，過點作軸的垂線段交軸于點，過點作軸的垂線段交軸于點，

，，，，將直線向上平移若干個單位長度交軸于點，,在中，，，即點C的橫坐標為，把代入，可得，，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，一次函數(shù)的平移，解直角三角形，熟練求得點的橫坐標是解題的關鍵．17．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點A和點．

(1)求m的值和反比例函數(shù)解析式；(2)當時，求x的取值范圍．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、B兩點可得的值，進而可求反比例函數(shù)的表達式；（2）觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應的自變量的范圍即可．【詳解】（1）將點代入得：解得：將代入得：∴（2）由得：，解得所以的坐標分別為由圖形可得：當或時，【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解決本題的關鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質．18．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標系中，已知，設函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．

(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經(jīng)過原點．【答案】(1)，；(2)見解析【分析】（1）首先將點的橫坐標代入求出點A的坐標，然后代入求出，然后將點的縱坐標代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出點C和點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出所在直線的表達式，進而求解即可．【詳解】（1）∵點的橫坐標是2，∴將代入∴，∴將代入得，，∴，∵點的縱坐標是，∴將代入得，，∴，∴將代入得，，∴解得，∴；（2）如圖所示，

由題意可得，，，∴設所在直線的表達式為，∴，解得，∴，∴當時，，∴直線經(jīng)過原點．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．考向六反比例函數(shù)的應用用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；（2）設：根據(jù)常量與變量之間的關系，設出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．19.心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2）一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？【點撥】（1）先用代定系數(shù)法分別求出AB和CD的函數(shù)表達式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷；（2）分別求出注意力指數(shù)為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能．【解析】解：（1）設線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．設C、D所在雙曲線的解析式為y2=，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴當x1=5時，y1=2×5+20=30，當，∴y1＜y2∴第30分鐘注意力更集中．（2）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴經(jīng)過適當安排，老師能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．【總結】主要考查了函數(shù)的應用．解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應的函數(shù)值．20.如圖，是藥品研究所所測得的某種新藥在成人用藥后，血液中的藥物濃度y（微克/毫升）用藥后的時間x（小時）變化的圖象（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．并測得當y=a時，該藥物才具有療效．若成人用藥4小時，藥物開始產(chǎn)生療效，且用藥后9小時，藥物仍具有療效，則成人用藥后，血液中藥物濃則至少需要多長時間達到最大度？【點撥】利用待定系數(shù)法分別求出直線OA與雙曲線的函數(shù)解析式，再令它們相等得出方程，解方程即可求解．【解析】解：設直線OA的解析式為y=kx，把（4，a）代入，得a=4k，解得k=，即直線OA的解析式為y=x．根據(jù)題意，（9，a）在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為y=．當x=時，解得x=±6（負值舍去），故成人用藥后，血液中藥物則至少需要6小時達到最大濃度．【總結】本題考查了反比例函數(shù)的應用，直線與雙曲線交點的求法，利用待定系數(shù)法求出關系式是解題的關鍵．考向七反比例函數(shù)與平面幾何綜合類型一最值問題21．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應的一次函數(shù)的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)在x軸上存在一點，使周長的值最小,最小值是．【分析】（1）過點A作軸于