有限元分析英文文獻(xiàn)

TheBasicsofFEAProcedure有限元分析程序的根本知識2.1IntroductionThischapterdiscussesthespringelement,especiallyforthepurposeofintroducingvariousconceptsinvolvedinuseoftheFEAtechnique.本章討論了彈簧元件，特別是用于引入使用的有限元分析技術(shù)的各種概念的目的Aspringelementisnotveryusefulintheanalysisofrealengineeringstructures;however,itrepresentsastructureinanidealformforanFEAanalysis.Springelementdoesn’trequirediscretization(divisionintosmallerelements)andfollowsthebasicequationF=ku.在分析實(shí)際工程結(jié)構(gòu)時彈簧元件不是很有用的;然而,它代表了一個有限元分析結(jié)構(gòu)在一個理想的形式分析。彈簧元件不需要離散化(分裂成更小的元素)只遵循的根本方程F=kuWewilluseitsolelyforthepurposeofdevelopinganunderstandingofFEAconceptsandprocedure.我們將使用它的目的僅僅是為了對開發(fā)有限元分析的概念和過程的理解。2.2Overview概述FiniteElementAnalysis(FEA),alsoknownasfiniteelementmethod(FEM)isbasedontheconceptthatastructurecanbesimulatedbythemechanicalbehaviorofaspringinwhichtheappliedforceisproportionaltothedisplacementofthespringandtherelationshipF=kuissatisfied.有限元分析(FEA),也稱為有限元法(FEM)，是基于一個結(jié)構(gòu)可以由一個彈簧的力學(xué)行為模擬的應(yīng)用力彈簧的位移成正比,F=ku切合的關(guān)系。InFEA,structuresaremodeledbyaCADprogramandrepresentedbynodesandelements.Themechanicalbehaviorofeachoftheseelementsissimilartoamechanicalspring,obeyingtheequation,F=ku.Generally,astructureisdividedintoseveralhundredelements,generatingaverylargenumberofequationsthatcanonlybesolvedwiththehelpofacomputer.在有限元分析中,結(jié)構(gòu)是由CAD建模程序通過節(jié)點(diǎn)和元素建立。每一個元素的力學(xué)行為類似于機(jī)械彈簧,遵守方程,F=ku。一般來說,一個結(jié)構(gòu)分為幾百元素,生成大量的方程,只能在電腦的幫助下得到解決。Theterm‘finiteelement’stemsfromtheprocedureinwhichastructureisdividedintosmallbutfinitesizeelements(asopposedtoaninfinitesize,generallyusedinmathematicalintegration).“有限元”一詞源于一個結(jié)構(gòu)分為小而有限大小元素的過程(而不是無限大小,通常用于數(shù)學(xué)集成)Theendpointsorcornerpointsoftheelementarecallednodes.元素的端點(diǎn)或角點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。Eachelementpossessesitsowngeometricandelasticproperties.每個元素?fù)碛凶约旱膸缀魏蛷椥?。Spring,Truss,andBeamselements,calledlineelements,areusuallydividedintosmallsectionswithnodesateachend.Thecross-sectionshapedoesn’taffectthebehaviorofalineelement;onlythecross-sectionalconstantsarerelevantandusedincalculations.Thus,asquareoracircularcross-sectionofatrussmemberwillyieldexactlythesameresultsaslongasthecross-sectionalareaisthesame.Planeandsolidelementsrequiremorethantwonodesandcanhaveover8nodesfora3dimensionalelement.彈簧，桁架和梁元素，稱為線元素，通常分為小節(jié)，每端有節(jié)點(diǎn)。截面形狀并不影響線元素的特性;只有橫截面常數(shù)是相關(guān)的并用于計(jì)算。因此,一個正方形或圓形截面桁架成員將產(chǎn)生完全相同的結(jié)果,只要橫截面積是一樣的。平面和立體元素需要超過兩個節(jié)點(diǎn),可以有超過8節(jié)點(diǎn)的三維元素。Alineelementhasanexacttheoreticalsolution,e.g.,trussandbeamelementsaregovernedbytheirrespectivetheoriesofdeflectionandtheequationsofdeflectioncanbefoundinanengineeringtextorhandbook.However,engineeringstructuresthathavestressconcentrationpointse.g.,structureswithholesandotherdiscontinuitiesdonothaveatheoreticalsolution,andtheexactstressdistributioncanonlybefoundbyanexperimentalmethod.However,thefiniteelementmethodcanprovideanacceptablesolutionmoreefficiently.線元件具有精確的理論解，例如桁架和梁元件由它們各自的偏轉(zhuǎn)理論控制，并且偏轉(zhuǎn)方程可以在工程文本或手冊中找到。然而，具有應(yīng)力集中點(diǎn)的工程結(jié)構(gòu)，例如具有孔和其他不連續(xù)的結(jié)構(gòu)不具有理論解，并且精確的應(yīng)力分布只能通過實(shí)驗(yàn)方法找到。然而，有限元方法可以更有效地提供可接受的解決方案。Problemsofthistypecallforuseofelementsotherthanthelineelementsmentionedearlier,andtherealpowerofthefiniteelementismanifested.這種類型的問題要求使用前面提到的行元素以外的元素。有限元法能真正的來表達(dá)證明。InordertodevelopanunderstandingoftheFEAprocedure,wewillfirstdealwiththespringelement.為了能深刻理解有限元分析過程,我們將首先處理彈簧元件。Inthischapter,springstructureswillbeusedasbuildingblocksfordevelopinganunderstandingofthefiniteelementanalysisprocedure.在這一章,彈簧結(jié)構(gòu)將被用作構(gòu)建塊來使用有利于有限元分析過程的理解。Bothspringandtrusselementsgiveaneasiermodelingoverviewofthefiniteelementanalysisprocedure,duetothefactthateachspringandtrusselement,regardlessoflength,isanideallysizedelementanddoesnotneedanyfurtherdivision.彈簧和桁架元件給出一個簡單的建模概述了有限元分析過程,由于每個彈簧和桁架元件,不計(jì)長度,是一種理想的元素不需要任何進(jìn)一步的細(xì)化。2.3UnderstandingComputerandFEAsoftwareinteraction-UsingtheSpringElementasanexample2.3理解計(jì)算機(jī)和有限元分析軟件交互，使用彈性元件作為一個例子Inthefollowingexample,atwo-elementstructureisanalyzedbyfiniteelementmethod.在接下來的例子中,對一個雙元素結(jié)構(gòu)有限元方法進(jìn)行了分析。Theanalysisprocedurepresentedherewillbeexactlythesameasthatusedforacomplexstructuralproblem,except,inthefollowingexample,allcalculationswillbecarriedoutbyhandsothateachstepoftheanalysiscanbeclearlyunderstood.Allderivationsandequationsarewritteninaform,whichcanbehandledbyacomputer,sinceallfiniteelementanalysesaredoneonacomputer.ThefiniteelementequationsarederivedusingDirectEquilibriummethod.本文提供的分析過程將一模一樣,用于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)性問題,除了在以下例如中,所有的計(jì)算將手算進(jìn)行,這樣可以清楚地理解每一步的分析。所有方程的推導(dǎo)都是由計(jì)算機(jī)處理的形式編寫的，因?yàn)樗械挠邢拊治龆际窃谟?jì)算機(jī)上完成的。有限元方程導(dǎo)出可直接使用平衡方法。Twospringsareconnectedinserieswithspringconstantk1,andk2(lb./in)andaforceF(lb.)isapplied.Findthedeflectionatnodes2,and3.兩個串聯(lián)鏈接的彈簧其彈簧常數(shù)為k1和k2(磅/)以及一個力F(磅)。求在節(jié)點(diǎn)的撓度。Solution:Forfiniteelementanalysisofthisstructure,thefollowingstepsarenecessary:Step1:Derivetheelementequationforeachspringelement.Step2:Assembletheelementequationsintoacommonequation,knowsastheglobalorMasterequation.Step3:Solvetheglobalequationfordeflectionatnodes1through3解:這種結(jié)構(gòu)的有限元分析,以下步驟是必要的:步驟1:為每個彈簧元件方程推導(dǎo)出元素。步驟2:組裝元素到一個共同的方程,知道整體的或者主方程。步驟3:求出在節(jié)點(diǎn)1到3全局撓曲方程Detaileddescriptionofthesestepsfollows.詳細(xì)描述這些步驟。Step1:Derivetheelementequationforeachspringelement.步驟1:為每個彈簧元件方程推導(dǎo)。First,ageneralequationisderivedforanelementethatcanbeusedforanyspringelementandexpressedintermsofitsownforces,springconstant,andnodedeflections,asillustratedinfigure2.2.首先,一般方程導(dǎo)出為一個元素,可用于任何彈簧元件和表達(dá)自己的組合,彈簧常數(shù),和節(jié)點(diǎn)變位,如圖2.2所示。Element‘e’canbethoughtofasanyelementinthestructurewithnodesiandj,forcesfiandfj,deflectionsuianduj,andthespringconstantke.Nodeforcesfiandfjareinternalorcesandaregeneratedbythedeflectionsuiandujatnodesiandj,respectively.元素“e”可以被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)中的任何元素節(jié)點(diǎn)i和j,組合fi和fj,變位ui和uj,彈簧常數(shù)ke。節(jié)點(diǎn)fi和fj和由變位生成ui和uj節(jié)點(diǎn)iForalinearspringf=ku,and對于一個線性彈簧f=ku,fi=ke(uj–ui)=-ke(ui-uj)=-keui+平衡方程：fj=-fi=ke(ui-uj)=keui-k或-fi=keui-k-fj=-keui+kWritingtheseequationsinamatrixform,weget寫出這些方程的矩陣形式,我們得到：Element〔元素〕1:力矩陣上的上標(biāo)表示相應(yīng)的元素因此f1=-k1(u1–u2)f2=k1(u1-u2)f2=-k2(u2–u3)f3=k2(u2-u3)這就完成第一步的過程。Notethatf3=F(lb.).Thiswillbesubstitutedinstep2.Theaboveequationsrepresentindividualelementsonlyandnottheentirestructure.請注意,f3=F(磅)。這將是在步驟2中代替。上面的方程表示僅單個元素,而不是整個結(jié)構(gòu)。Step2:Assembletheelementequationsintoaglobalequation.步驟2:組裝元素方程為全局方程。Thebasisforcombiningorassemblingtheelementequationintoaglobalequationistheequilibriumconditionateachnode.結(jié)合或組裝元素的根底方程為全局方程是每個節(jié)點(diǎn)的平衡條件。Whentheequilibriumconditionissatisfiedbysummingallforcesateachnode,asetoflinearequationsiscreatedwhichlinkseachelementforce,springconstant,anddeflections.Ingeneral,lettheexternalforcesateachnodebeF1,F2,andF3,asshowninfigure2.3.Usingtheequilibriumequation,wecanfindtheelementequations,asfollows.滿足平衡條件時,通過總結(jié)所有部隊(duì)在每個節(jié)點(diǎn),創(chuàng)立一組線性方程聯(lián)系每個元素力,彈簧常數(shù),變形量。一般來說,讓每個節(jié)點(diǎn)的外部力量F1,F2,F3,如圖2.3所示。使用平衡方程,我們可以找到方程的元素,如下所示。Thesuperscript“e”inforcefn(e)indicatesthecontributionmadebytheelementnumbere,andthesubscript“n”indicatesthenode“n”atwhichforcesaresummed.力fn〔e〕中的上標(biāo)“e”表示元素號e，下標(biāo)“n”表示力相加的節(jié)點(diǎn)“n”。Rewritingtheequations,weget,重寫方程,我們得到,k1u1–k1u2=F1-k1u1+k1u2+k2u2–k2u3=F2(2.1)-k2u2+k2u3=F3Theseequationscannowbewritteninamatrixform,givingk1-這些方程可以寫成矩陣形式,代入k1-Thiscompletesstep2forassemblingtheelementequationsintoaglobalequation.Atthisstage,someimportantconceptualpointsshouldbeemphasizedandwillbediscussedbelow.這將完成組裝的步驟2元素方程為全局方程。在這個階段,一些重要的概念點(diǎn)應(yīng)該強(qiáng)調(diào),將在下面討論。2.3.1ProcedureforAssemblingElementstiffnessmatrices元素剛度矩陣的步驟〔就是把剛度變到了多維，比考慮了在多維的情況下各個維度的相關(guān)性單元剛度矩陣在有限元的概念把物體離散為多個單元分析每個單元的剛度矩陣也就是單元剛度矩陣簡稱單剛〕Thefirsttermonthelefthandsideintheaboveequationrepresentsthestiffnessconstantfortheentirestructureandcanbethoughtofasanequivalentstiffnessconstant,givenasasinglespringelementwithavalueKeqwillhaveanidenticalmechanicalpropertyasthestructuralstiffnessintheaboveexample.第一項(xiàng)左邊在上面的方程代表了整個結(jié)構(gòu)的剛度常數(shù)和可以被認(rèn)為是一個等效剛度常數(shù),給定為具有值為Keq的單個彈簧元件將具有與上述例如中的結(jié)構(gòu)剛度相同的機(jī)械特性,結(jié)構(gòu)剛度在上面的例子中。Theassembledmatrixequationrepresentsthedeflectionequationofastructurewithoutanyconstraints,andcannotbesolvedfordeflectionswithoutmodifyingittoincorporatetheboundaryconditions.Atthisstage,thestiffnessmatrixisalwayssymmetricwithcorrespondingrowsandcolumnsinterchangeable組裝的矩陣方程表示沒有任何約束的結(jié)構(gòu)的偏轉(zhuǎn)方程，并且不能解出偏轉(zhuǎn)而不修改它以并入邊界條件。在這個階段，剛度矩陣總是對稱的，相應(yīng)的行和列是可互換的Theglobalequationwasderivedbyapplyingequilibriumconditionsateachnode.Inactualfiniteelementanalysis,thisprocedureisskippedandamuchsimplerprocedureisused.全局方程是通過在每個節(jié)點(diǎn)應(yīng)用平衡條件得到的。在實(shí)際的有限元分析中，跳過該過程并且使用更簡單的過程。Thesimplerprocedureisbasedonthefactthattheequilibriumconditionateachnodemustalwaysbesatisfied,andindoingso,itleadstoanorderlyplacementofindividualelementstiffnessconstantaccordingtothenodenumbersofthatelement.更簡單的程序是基于每個節(jié)點(diǎn)處的平衡條件必須始終滿足的客觀事實(shí),并在這一過程中,它會導(dǎo)致有序放置單獨(dú)的元素剛度常數(shù)根據(jù)元素的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。Theprocedureinvolvesnumberingtherowsandcolumnsofeachelement,accordingtothenodenumbersoftheelements,andthen,placingthestiffnessconstantinitscorrespondingpositionintheglobalstiffnessmatrix.Followingisanillustrationofthisprocedure,appliedtotheexampleproblem.過程包括編號每個元素的行和列,根據(jù)元素的節(jié)點(diǎn)數(shù)量,然后,將剛度常數(shù)在全局剛度矩陣對應(yīng)的位置。下面是這個過程的一個說明,應(yīng)用的例如問題。Element1:元素1Assemblingitaccordingwiththeabove-describedprocedure,weget,由上述程序組裝它得到，Notethatthefirstconstantk1inrow1andcolumn1forelement1occupiestherow1andcolumn1intheglobalmatrix.Similarly,forelement2,theconstantk2inrow2andcolumn2occupiesexactlythesameposition(row2andcolumn2)intheglobalmatrix,etc.注意,第一個常數(shù)k1在第一行和第一列元素1占據(jù)全局第一行和第一列矩陣。同樣,對于元素2,第2行和列2中的常數(shù)k2占據(jù)了完全相同的位置(第二行和列2)在全局矩陣,等等。Inalargemodel,thenodenumberscanoccurrandomly,buttheassemblyprocedureremainsthesame.It’simportanttoplacetherowandcolumnelementsfromanelementintotheglobalmatrixatexactlythesamepositioncorrespondingtotherespectiverowandcolumn.在大型模型中,節(jié)點(diǎn)隨機(jī)數(shù)字可以發(fā)生,但裝配程序是相同的。重要的是要將從一個元素的行和列元素融入全局矩陣在完全相同的位置對應(yīng)于相應(yīng)的行和列。2.3.2Forcematrix力矩陣Atthisstage,theforcematrixisrepresentedinageneralform,withunknownforcesF1,F2,andF3在這個階段,力矩陣的一般形式表示,F1與未知的力量,F2和F3Representingtheexternalforcesatnodes1,2,and3,ingeneralterms,andnotintermsoftheactualknownvalueoftheforces.Intheexampleproblem,F1=F2=0andF3=F.Theactualforcematrixisthen代表外部力量在節(jié)點(diǎn)1、2和3,在一般條款,而不是實(shí)際的值的力量。在例如問題,F1==0F2和F3=f.實(shí)際力矩陣Generally,theassembledstructuralmatrixequationiswritteninshortas{F}=[k]{u},orsimply,F=ku,withtheunderstandingthateachtermisanmxnmatrixwheremisthenumberofrowsandnisthenumberofcolumns.一般來說,組裝結(jié)構(gòu)矩陣方程簡寫為{F}=[k]{u},或簡單地，F(xiàn)=ku,每個術(shù)語的理解是一個m×n矩陣m和n的行數(shù)的列數(shù)。Step3:Solvetheglobalequationfordeflectionsatnodes.步驟3:解決全局方程在節(jié)點(diǎn)變位。Therearetwostepsforobtainingthedeflectionvalues.Inthefirststep,alltheboundaryconditionsareapplied,whichwillresultinreducingthesizeoftheglobalstructuralmatrix.Inthesecondstep,anumericalmatrixsolutionschemeisusedtofinddeflectionvaluesbyusingacomputer.AmongthemostpopularnumericalschemesaretheGausseliminationandtheGauss-Sedeliterationmethod.Forfurtherreading,refertoanynumericalanalysisbookonthistopic.Inthefollowingexamplesandchapters,allthematrixsolutionswillbelimitedtoahandcalculationeventhoughtheactualmatrixinafiniteelementsolutionwillalwaysuseoneofthetwonumericalsolutionschemesmentionedabove.有兩個步驟可得到的撓度值。在第一步中,所有的應(yīng)用邊界條件,這將導(dǎo)致減少整體結(jié)構(gòu)性矩陣的大小。在第二步中,數(shù)值矩陣的解決是使用電腦查找撓度值。最受歡送的是高斯消去法和數(shù)值方案Gauss-Sedel算法。為進(jìn)一步閱讀,指的是任何數(shù)值分析有關(guān)此主題的書。下面的例子和章節(jié),所有的矩陣計(jì)算解決方案將是有限的手雖然實(shí)際矩陣在有限元的解決方案總是使用上面提到的兩個數(shù)值解方案之一。2.3.3Boundaryconditions邊界條件Intheexampleproblem,node1isfixedandthereforeu1=0.Withoutgoingintoamathematicalproof,itcanbestatedthatthisconditioniseffectedbydeletingrow1andcolumn1ofthestructuralmatrix,therebyreducingthesizeofthematrixfrom3x3to2x2.在問題的例子中,節(jié)點(diǎn)1是固定的,因此u1=0。在不進(jìn)入數(shù)學(xué)證明的情況下，可以說，該條件通過刪除結(jié)構(gòu)矩陣的行1和列1來實(shí)現(xiàn)，從而將矩陣的大小從3×3減小到2×2。Ingeneral,anyboundaryconditionissatisfiedbydeletingtherowsandcolumnscorrespondingtothenodethathaszerodeflection.Ingeneral,anodehassixdegreesoffreedom(DOF),whichincludethreetranslationsandthreerotationsinx,yandzdirections.一般來說，通過刪除對應(yīng)于具有零偏轉(zhuǎn)的節(jié)點(diǎn)的行和列，滿足任何邊界條件。節(jié)點(diǎn)具有六個自由度〔DOF〕，其包括在x，y和z方向上的三個平移和三個旋轉(zhuǎn)。Intheexampleproblem,thereisonlyonedegreeoffreedomateachnode.Thenodedeflectsonlyalongtheaxisofthespring.在例如問題中，在每個節(jié)點(diǎn)處只有一個自由度，即節(jié)點(diǎn)僅沿著彈簧的軸線偏轉(zhuǎn)。Inthissection,thefiniteelementanalysisprocedureforaspringstructurehasbeenstablished.Thefollowingnumericalexamplewillutilizethederivationandconceptsdevelopedabove.在本節(jié)中，已經(jīng)建立了用于彈簧結(jié)構(gòu)的有限元分析程序。下面的數(shù)字例如將利用上面得到的推導(dǎo)和概念。Example2.2例2.2Inthegivenspringstructure,k1=20lb./in.,k2=25lb./in.,k3=30lb./in.,F=5lb.Determinedeflectionatallthenodes.在給定的彈簧結(jié)構(gòu),k1=20磅/。k2=25磅/。,k3=30磅/。F=5磅。在所有節(jié)點(diǎn)確定撓度。Solution〔解〕Wewouldapplythethreestepsdiscussedearlier.我們將使用前面討論的三個步驟。Step1:DerivetheElementEquations步驟1:方程推導(dǎo)出元素。Asderivedearlier,thestiffnessmatrixequationsforanelementeis,如前所述，元素e的剛度矩陣方程是Therefore,stiffnessmatrixofelements1,2,and3are,因此，元素1,2和3的剛度矩陣為Step2:Assembleelementequationsintoaglobalequation步驟2:將子方程組裝為全局方程Assemblingthetermsaccordingtotheirrowandcolumnposition,weget根據(jù)他們的行和列的位置裝配條件,我們得到Or,bysimplifying或者,通過簡化Theglobalstructuralequationis,全局結(jié)構(gòu)方程為,Step3:Solvefordeflections第三步:求解變形量First,applyingtheboundaryconditionsu1=0,thefirstrowandfirstcolumnwilldropout.Next,F1=F2=F3=0,andF4=5lb.Thefinalformoftheequationbecomes,首先,應(yīng)用邊界條件u1=0,第一行和第一列將被化簡。接下來,F1=F2=F3=0,F4=5磅。方程的最終形式為,Thisisthefinalstructuralmatrixwithalltheboundaryconditionsbeingapplied.Sincethesizeofthefinalmatricesissmall,deflectionscanbecalculatedbyhand.Itshouldbenotedthatinarealstructurethesizeofastiffnessmatrixisratherlargeandcanonlybesolvedwiththehelpofacomputer.Solvingtheabovematrixequationbyhandweget,這是應(yīng)用所有邊界條件的最終結(jié)構(gòu)矩陣。由于最終矩陣的尺寸小，可以手算偏轉(zhuǎn)。應(yīng)當(dāng)注意，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，剛度矩陣的大小相當(dāng)大，并且只能借助于計(jì)算機(jī)來求解。用手算求解上述矩陣方程，Example2.3Inthespringstructureshownk1=10lb./in.,k2=15lb./in.,k3=20lb./in.,P=5lb.Determinethedeflectionatnodes2and3.例2.3所示的彈簧結(jié)構(gòu)中k1=10磅/英寸。k2=15磅/英寸。,k3=20磅/英寸。P=5磅。確定撓度在節(jié)點(diǎn)2和3。Solution:Againapplythethreestepsoutlinedpreviously.Step1:FindtheElementStiffnessEquations解決方案:再次應(yīng)用前面所述的三個步驟。第一步:找到元素剛度方程Step2:FindtheGlobalstiffnessmatrix步驟二：獲得整體剛度矩陣Nowtheglobalstructuralequationcanbewrittenas現(xiàn)在全局結(jié)構(gòu)方程可以寫成Step3:SolveforDeflections步驟3：解決變形量Theknownboundaryconditionsare:u1=u4=0,F3=P=3lb.Thus,rowsandcolumns1and4willdropout,resultinginthefollowingmatrixequation,的邊界條件是：u1=u4=0，F(xiàn)3=P=3lb。因此，行1和列4將化簡，得到以下矩陣方程，Solving,wegetu2=0.0692&u3=0.1154求解，我們得到u2=0.0692＆u3=0.1154Example2.4〔例2.4〕Inthespringstructureshown,k1=10N/mm,k2=15N/mm,k3=20N/mm,k4=25N/mm,k5=30N/mm,k6=35N/mm.F2=100N.Findthedeflectionsinallsprings.在所示的彈簧結(jié)構(gòu)中，k1=10N/mm，k2=15N/mm，k3=20N/mm，k4=25N/mm，k5=30N/mm，k6=35N/mm。F2=100N.求所有彈簧的撓度。Solution〔解〕Hereagain,wefollowthethree-stepapproachdescribedearlier,withoutspecifically

mentioningateachstep.在這里,我們遵循前面描述的三步方法,沒有特別提及每一步。Theglobalstiffnessmatrixis,整體剛度矩陣為：Andsimplifying,weget〔簡化后得到〕Andthestructuralequationis,(結(jié)構(gòu)方程為)Now,applytheboundaryconditions,u1=u4=0,F2=100N.Thisiscarriedoutbydeletingtherows1and4,columns1and4,andreplacingF2by100N.Thefinalmatrixequationis,現(xiàn)在，應(yīng)用邊界條件u1=u4=0，F(xiàn)2=100N.這通過刪除行1和4，列1和4，以及令100N替換F2來執(zhí)行。最終的矩陣方程是Whichgives〔給出〕Deflections〔變形量〕Spring〔彈簧〕1:u4–u1=0Spring2:u2–u1=1.54590Spring3：u3–u2=-0.6763Spring4:u3–u2=-0.6763Spring5:u4–u2=-1.5459Spring6:u4–u3=-0.86962.3.4BoundaryConditionswithKnownValues具有值的邊界條件Uptonowwehaveconsideredproblemsthathaveknownappliedforces,andnoknownvaluesofdeflection.到目前為止，我們已經(jīng)考慮了施加的力的問題，并且沒有的變形量。Nowwewillconsidertheprocedureforapplyingtheboundaryconditionswhere,deflectionsonsomenodesareknown.現(xiàn)在我們將考慮應(yīng)用邊界條件的過程，其中某些節(jié)點(diǎn)上的變形量。Solutionsoftheseproblemsarefoundbygoingthroughsomeadditionalsteps.Asdiscussedearlier,afterobtainingthestructuralglobalmatrixequation,deflectionsarefoundbysolvingtheequationbyapplyinganumericalschemeinacomputersolution.通過一些附加步驟找到這些問題的解決方案。如前所述，在獲得結(jié)構(gòu)全局矩陣方程之后，通過在計(jì)算機(jī)解中應(yīng)用數(shù)值方案求解方程來找到變形量。However,whenthereareknownnodalvaluesandunknownnodalforces,themethodisnotdirectlyapplicable.然而，當(dāng)存在的節(jié)點(diǎn)值和未知節(jié)點(diǎn)力時，該方法不能直接應(yīng)用。Inthissituation,thestructuralequationisfirstmodifiedbyincorporatingallboundaryconditionsandthenthefinalmatrixequationissolvedbyacomputerusinganumericalmethod,asmentionedearlier.在這種情況下，首先通過結(jié)合所有邊界條件來修改結(jié)構(gòu)方程，然后如前所述通過計(jì)算機(jī)使用數(shù)字方法求解最終的矩陣方程。Thefollowingproceduretracesthenecessarystepsforsolvingproblemsthatinvolveknownnodalvalues.以下過程描述了解決涉及節(jié)點(diǎn)值的問題的必要步驟2.3.5ProcedureforincorporatingtheknownNodalValuesintheFinalStructuralEquation/用于將節(jié)點(diǎn)值并入最終結(jié)構(gòu)方程Therearetwomethodsthatarefrequentlyusedforapplyingboundaryconditionstoastructuralmatrixequation.Inonemethod,thematricesarepartitionedintotwopartswithknownandunknownterms.Inthesecondmethod,theknownnodalvaluesareapplieddirectlyinthestructuralmatrix.Bothmethodscanbeusedwithequaleffectiveness.Thefirstmethodwillnotbediscussedhere.Detailsofthesecondmethodfollow.有兩種方法經(jīng)常用于將邊界條件應(yīng)用于結(jié)構(gòu)矩陣方程。在一種方法中，矩陣被分成具有和未知項(xiàng)的兩個局部。在第二種方法中，的節(jié)點(diǎn)值直接應(yīng)用在結(jié)構(gòu)矩陣中。這兩種方法可以同等效力地使用。第一種方法將不在這里討論。第二種方法的細(xì)節(jié)如下。Considerthefollowinglinearequations,考慮下面的線性方程,k11u1+k12u2+k13u3+k14u4=F1(2.2)k21u1+k22u2+k23u3+k24u4=F2(2.3)k31u1+k32u2+k33u3+k44u4=F3(2.3)k41u1+k42u2+k33u3+k44u4=F4(2.4)Theselinearalgebraicequationscanbewritteninmatrixformasfollows.這些線性代數(shù)方程可以寫成如下的矩陣形式。Lettheknownnodalvalueatnode2beu2=U2(aconstant),thenbythelinearspringequation令節(jié)點(diǎn)2處的節(jié)點(diǎn)值為u2=U2〔常數(shù)〕，然后通過線性彈簧方程F2=K22×U2Therefore,equation(2.2–2.5))abovecanbereducedtok22u2=k22U2=F2andthematrixwiththisboundaryconditioncanbewrittenas因此，上述方程〔〕〕可以簡化為k22u2=k22U2=F2，具有這種邊界條件的矩陣可以寫為Now,equations2.2,2.4,2.5alsocontaintheu2termandthereforetheseequationsmustalsobemodified.Wecanmodifyequation1bytransferringthetermk12u2totherighthandsideandreplacingu2byU2.現(xiàn)在，方程式2.2,2.4,2.5也包含u2項(xiàng)，因此這些方程式也必須修改。我們可以通過將項(xiàng)k12u2轉(zhuǎn)移到右手側(cè)并將u2替換為U2來修改方程1Themodifiedequationcanbewrittenas修改后的方程可寫為K11u1+0+k13u3+k14u4=F1–k12U2Similarly,equations3and4canbewrittenas類似地，等式3和4可以寫為K31u1+0+k33u3+k34u4=F3–k32U2K41u1+0+k43u3+k44u4=F4–k42U2Thefinalmatrixequationis最終的矩陣方程是Thedottedlineindicateschangesmadeintheenclosedterms.Thefinalmatrixremainssymmetricandhasthesamesize.虛線表示在所包含的項(xiàng)中進(jìn)行的改變。最終的矩陣保持對稱并且具有相同的大小。Theboundaryconditionsforforcescannowbeincorporatedandanumericalsolutionschemecanbeusedtosolvethisequation.現(xiàn)在可以結(jié)合力的邊界條件，并且可以使用數(shù)值解方案來求解該方程。Thisprocedureissummarizedinthefollowingsimple,step-by-stepapproach.這個過程總結(jié)在以下簡單、逐步的方法中。Giventheknownboundaryconditionsatnode2:ui=u2=U2,followthesestepstoincorporatetheknownnodalvalues.Notethat,here,i=2andj=1,2,3,4.給定節(jié)點(diǎn)2處的邊界條件：ui=u2=U2，遵循這些步驟以合并節(jié)點(diǎn)值。注意，這里，i=2和j=1,2,3,4。Step1:Setalltermsinrow2tozero,exceptthetermincolumn2(kij=0,kii=k22≠0)步驟1：除了第2列中的項(xiàng)〔kij=0，kij=k22≠0〕，將第2行中的所有項(xiàng)設(shè)置為零，Step2:ReplaceF2withthetermk22U2(Fi=kiiui)步驟2：將F2替換為項(xiàng)k22U2〔Fi=kiiui〕Step3:Subtractthevalueki2U2fromalltheforces,exceptF2(subtractkjifromtheexistingvaluesoffj),wherei=1,3,and4步驟3：從除了F2之外的所有力中減去值ki2U2〔從fj的現(xiàn)有值中減去kji〕，其中i=1,3和4Step4:Setalltheelementsincolumn2tozero,except,row2(allkji=0,kii#0)步驟4：將第2列中的所有元素設(shè)置為零，除了第2行〔所有kji=0，kii＃0〕Theaboveprocedurenowwillbeappliedinthefollowingexampleproblem.以上過程現(xiàn)在將應(yīng)用于以下例如問題。Example〔例〕2.5Inexampleproblem2.4replacetheforceFbyanodaldeflectionof1.5mmonnode2andreworktheproblem.在例如問題2.4中，通過節(jié)點(diǎn)2上的1.5mm的節(jié)點(diǎn)偏移來替換力F，并且重做該問題。Solution〔解〕Rewritingthefinalstructuralmatrixequationinexample2.4,wehave重寫例2.4中的最終結(jié)構(gòu)矩陣方程，我們得到Boundaryconditionare:u1=u4=0,andu2=U2=1.5mm.Applyingthe4stepsdescribedaboveinsequence,邊界條件是：u1=u4=0，u2=U2=1.5mm。順序應(yīng)用上述4個步驟，Step1:Setalltermsinrow2tozero,exceptthetermincolumn2(kij=0,kii=k22≠0)步驟1：除了第2列中的項(xiàng)〔kij=0，kij=k22≠0〕，將第2行中的所有項(xiàng)設(shè)置為零，Step2:ReplaceF2withthetermk22U2=(90)(1.5)=135,(Fi=Kiiui)步驟2：用項(xiàng)k22替換F2U2=〔90〕〔1.5〕=135，〔Fi=Kiiui〕Step3:Subtractthevaluek22U2fromalltheforces,exceptF2(subtractkjifromtheexistingvaluesoffj)步驟3：從除了F2之外的所有力中減去值K22U2〔從fj的現(xiàn)有值中減去kji〕F1→F1–(15)(1.5)=22.5Row(行)1:kj2=k12=-15F3→F3–(-45)(1.5)=67.5Row(行)1:kj2=k32=-45F4→F4–(-30)(1.5)=45Row(行)1:kj2=k42=-30Note(注釋):F1=F3=F4=0.Thenewforceequationnowis,得到的新的力學(xué)方程是Step4:Setalltheelementsincolumn2tozero,except,row2(allkji=0,kii≠0)步驟4：將第2列中的所有元素設(shè)置為零，除了第2行〔所有kji=0，kii≠0〕Or,k12=k32=k42=0,andthenewequationis,或者，k12=k32=k42=0，并且新方程是，Thisisthefinalequationafterthenodalvalueu2=1.5mmisincorporatedintothestructuralequation.將節(jié)點(diǎn)值u2=1.5mm的最終方程并入結(jié)構(gòu)方程中。Thesameprocedurecanbefollowedfortheboundaryconditionsu1=u4=0.Itcanbestatedthatforzeronodalvalues,theprocedurewillalwaysleadtoeliminationofrowsandcolumnscorrespondingtothesenodes,thatis,thefirstandfourthrowsaswellascolumnswilldropout.Thereaderisencouragedtoverifythisstatement.對于邊界條件u1=u4=0可以遵循相同的過程?？梢哉f，對于零節(jié)點(diǎn)值，過程將總是導(dǎo)致消除與這些節(jié)點(diǎn)相對應(yīng)的行和列，即第一和第四行以及列將化簡消除。鼓勵讀者核實(shí)此聲明Thus,thefinalequationis,最后的方程是，Solvingforu2andu3,weget求解u2和u3，我們得到Springdeflectionis:彈簧的變形量：彈簧Spring1:u2–u1=1.500Spring2:u3–u1=0.8437Spring3:u3–u2=-0.6563Spring4:u3–u2=-0.6563Spring5:u4–u2=-1.500Spring6:u4–u3=-1.68752.3.6StructuresthatcanbeModeledUsingaSpringElements可以使用彈簧元素建模的結(jié)構(gòu)Asmentionedearlier,almostallengineeringstructures(linearstructures)aresimilartoalinearspring,satisfyingtherelationF=ku.Therefore,anystructurethatdeflectsonlyalongitsaxialdirection(withonedegreeoffreedom)canbemodeledasaspringelement.Thefollowingexampleillustratesthisconcept.如前所述，幾乎所有工程結(jié)構(gòu)〔線性結(jié)構(gòu)〕類似于線性彈簧，滿足關(guān)系F=ku。因此，任何僅沿其軸向方向〔具有一個自由度〕偏移的結(jié)構(gòu)可以被建模為彈簧元件。以下例如說明了此概念。Example(例)2.6Acircularconcretebeamstructureisloadedasshown.Findthedeflectionofpointsat8”,16”,andtheendofthebeam.E=4x106如下圖裝載圓形混凝土梁結(jié)構(gòu)。找到在8，16和梁的端部的點(diǎn)的撓度。E=4×106Solution〔解〕Thebeamstructurelooksverydifferentfromaspring.梁結(jié)構(gòu)看起來與彈簧區(qū)別很大。However,itsbehaviorisverysimilar.但是，它的行為非常相似。Deflectionoccursalongthex-axisonly.僅沿x軸發(fā)生變形。Theonlysignificantdifferencebetweenthebeamandaspringisthatthe