人教A數(shù)學(xué)必修二教案4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用

4、2、3直線與圓的方程的應(yīng)用(一)

【教學(xué)目標(biāo)】

利用直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：直線的知識(shí)以及圓的知識(shí)

教學(xué)難點(diǎn)：用坐標(biāo)法解決平面幾何.

【教學(xué)過(guò)程】

一'復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

(1)直線方程有幾種形式？分別為什么？

(2)圓的方程有幾種形式?分別是哪些？

(3)求圓的方程時(shí)，什么條件下，用標(biāo)準(zhǔn)方程?什么條件下用一般方程？

(4)直線與圓的方程在生產(chǎn).生活實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用.想想身邊有哪些呢?

⑸如何用直線和圓的方程判斷它們之間.的位置關(guān)系？

(6)如何根據(jù)圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系？

二、講授新課：

提出問(wèn)題、自主探究

例1、如圖是一橋圓拱的示意圖，根據(jù)提供信息完成以.下計(jì)算：圓拱跨度AB=84米，拱

高A6P6=15米，在建造時(shí)每隔7米需用一個(gè)支柱支撐，求：支柱A3P3的長(zhǎng)度(精確到0.01米).

方法一：在RrAA/。中R2=422+(R-15)2可求出半徑R,而在冊(cè)AACO中

P3c2=R2-212,

A’P,=舄。一人。，從而可求得人38長(zhǎng)度。

能否用學(xué)過(guò)的圓方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)嘗試求解？

方法二：先求圓的方程，再把求&々長(zhǎng)度看成△的縱坐標(biāo)。

首先應(yīng)建立坐標(biāo)系。

如何建系？四種不同的建系方案：

-2-

分組解答，同學(xué)自選一種建系方案，同桌之間可以互相協(xié)作，相互探討。

歸納總結(jié)、鞏固步驟

總結(jié)解決應(yīng)用問(wèn)題的步驟：

⑴審題--分清條件和結(jié)論，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化；

（2）建模--將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)

學(xué)模型；

（3）解模--求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

（4）還原--根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)論，還原為實(shí)際問(wèn)題.

流程圖：

實(shí)際問(wèn)題學(xué)問(wèn)題結(jié)論t^=＞實(shí)際問(wèn)題結(jié)論

（審題）（建模）（解模）（還原）

變式訓(xùn)練：某圓拱橋的水面跨度16米，拱高4米。有一貨船，裝滿貨過(guò)橋，頂部寬4米,

水面以上高3米,請(qǐng)問(wèn)此船能否通過(guò)？當(dāng)卸完貨返航時(shí)，船水面以上高3.9米，此時(shí)能否通過(guò)？

深入討論、提煉思想

在上面問(wèn)題求解過(guò)程中，我們通過(guò)“建系”，利用直線和圓的方程來(lái)完成平面幾何.中的計(jì)

算。這一“新方法”在初等兒何的證明中也非常有用，如證明.“平行四邊形四條邊的平方和

等于兩條對(duì)角線的平方和”，再看下例：

例2、己知內(nèi)接于圓P的四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，不

?！?，4。于七，探求線段PE與8C的數(shù)量關(guān)系。

⑴附坐卬

-3-

思路：把四邊形特殊化，看成正方形，那么圓心與正方形的中心重合，此時(shí)忸目:^忸。.

對(duì)于一般情形，這個(gè)結(jié)論正確嗎？作如下猜想：“已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂

直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊邊長(zhǎng)一半”，能否用學(xué)過(guò)的平面幾何知識(shí)加以證

明？

證明：(平面幾何法)連接AP并延長(zhǎng)交圓P于點(diǎn)F,連接DF,CF,

VZ3=Z4.?.在Rt/ADF和Rt/AHB中/1=N2

?/Z5=Z1+Z7,N6=N2+Z7N5=Z6①

又：/ACF=900且ZCHD=90°Z.CF〃BD②

由①②可得四邊形CFDB為等腰梯形|CB|=|FD|又：|FD|=2|PE||BC|=2|PE|

用“建系”這一新工具嘗試

證明：(解析幾何法)以AC,BD交點(diǎn)為坐標(biāo)，原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)

系，設(shè)&a,0),5(0,6),C(c,0),D(d,O).

用勾股定理，歸￡|=,其中E為AO中點(diǎn)；

先求出圓心P的坐標(biāo)及直線AD的方程，然后用點(diǎn)到直線距離公式求PE的長(zhǎng)；先求出圓

心P與點(diǎn)E的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求PE的長(zhǎng)。

設(shè)圓方程為(x-m『+(y-n)2=r2,考慮到圓與x軸交于A、C兩點(diǎn)，令y=0,得關(guān)于x的一元

a+c

二次方程x2-2mx+(m2+n2-/)=0,然后利用韋達(dá)定理可得圓心的橫坐標(biāo)〃2=——，同理可得圓

2

心的縱坐標(biāo)〃=2^。V

應(yīng)用圓的方程求圓心坐標(biāo)，正是圓方程的具體應(yīng)用。/

過(guò)圓心作兩坐標(biāo)軸的垂線，利用垂徑定理來(lái)解決，很快可以求出\NP-A/

,a+cb+d、\\yE/

圓心的P坐標(biāo)(^-，^―)o

DT^-------J

變式練習(xí)：設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則QH〃尸E,,如何用代數(shù)方法

證明這一結(jié)論呢？

還能有什么其他發(fā)現(xiàn)？

則一組對(duì)/

(1)若圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，

邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和；

則兩條對(duì)\1p、//

(2)若圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直,\\X

-4-

D

角線之積等于兩組對(duì)邊之積的和；

(3)若圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則經(jīng)過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作其中一邊的垂線，一

定平分這一條邊的對(duì)邊。

課堂小結(jié)：

(1)直線與圓的方程在實(shí)際問(wèn)題和平面幾何中的一些應(yīng)用：

(2)解決實(shí)際問(wèn)題的具體步驟一一審題、建模、解模、還原；

(3)解決幾何問(wèn)題的新方法---解析法，主要數(shù)學(xué)思想是通過(guò)代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，

達(dá)到數(shù)形結(jié)合的一種完美境界。用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：

第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為代數(shù)問(wèn)題；

第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；

第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果"翻譯"成幾何結(jié)論；

【板書設(shè)計(jì)】

一、指數(shù)函數(shù)

1.定義

2.圖像

3.性質(zhì)

二、例題

例1

變式1

例2

變式2

【作業(yè)布置】

習(xí)題4.2B組的2、3、4題

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案(一)

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：利用直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：

-5-

(1)直線方程有幾種形式？.分別為什么？

(2)圓的方程有幾種形式?分別是哪些？

(3)求圓的方程時(shí)，什么條件下，用標(biāo)準(zhǔn)方程?什么條件下用一般方程？

(4)直線與圓的方程在生產(chǎn).生活實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用.想想身邊有哪些呢?

(5)如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？

(6)如何根據(jù)圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系？

三、提出疑惑

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：利用直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：直線的知識(shí)以及圓的知識(shí)

二、講授新課:

例L、如圖是一橋圓拱的示意圖，根據(jù)提供信息完成以下計(jì)算：圓拱跨度AB=84米，拱

高A6P6=15米，在建造時(shí)每隔7米需用一個(gè)支柱支撐，求：支柱A3P3的長(zhǎng)度(精確到0.01米).

變式訓(xùn)練：某圓拱橋的水面跨度16米，拱高4米。有一貨船，.裝滿貨過(guò)橋，頂部寬4米,

水面以上高3米，請(qǐng)問(wèn)此船能否通過(guò)？當(dāng)卸完貨返航時(shí)，船水面以上高3.9米，此時(shí)能否通過(guò)？

-6-

例2、已知內(nèi)接于圓P的四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，探求線段PE

與BC的數(shù)量關(guān)系。

⑴陷=2明.

思路：把四邊形特殊化，看成正方形，那么圓心與正方形的中心重合，此時(shí)|P￡|=；|Bq.

對(duì)于一般情形，這個(gè)結(jié)論正確嗎？作如下猜想：“已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂

直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊邊長(zhǎng)一半”，能否用學(xué)過(guò)的平面幾何知識(shí)加以證

明？

變式練習(xí)：設(shè)。為的中點(diǎn)，則如何用代數(shù)方法證明這一結(jié)論呢？

還能有什么其他發(fā)現(xiàn)?

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.在空間直角坐標(biāo)系中，畫出下列各點(diǎn)：A(0,0,3),B(1,2,3),C(2,0,4),

D(—1,2,—2)..

2.已知：長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的邊長(zhǎng)AB=12,AD=8,AAZ=7,以這個(gè)長(zhǎng)方體

的頂點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB,BC,BB'分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，求這個(gè)長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

3.寫出坐標(biāo)平面yOz上N.yOz平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件.

課后練習(xí)與提高

1.圓/+,2一28一2,+1=0上的點(diǎn)到直線1-丁=2的距"離最大值是()

A2B1+V2C1H----D1+2V2

2

2.將直線2x—y+/l=0,沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓

f+/+2x—4)=0相切