2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：概率與統(tǒng)計(jì)（選擇題、填空題）（理）

專題14概率與統(tǒng)計(jì)（選擇題、填空題）（理）

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：回歸分析

知識(shí)點(diǎn)2：條件概率

知識(shí)點(diǎn)3：信息圖表處理

知識(shí)點(diǎn)4:頻率分布直方圖

知識(shí)點(diǎn)5:概率最值問題

知識(shí)點(diǎn)6：古典概型

知識(shí)點(diǎn)7：正態(tài)分布與相互獨(dú)立

知識(shí)點(diǎn)8:平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)'方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差

知識(shí)點(diǎn)9：概率綜合問題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1:回歸分析

1.（2023?天津）調(diào)查某種花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說法正

確的是（）

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

2.（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說法正確的是（）

90-

80-

70-

50-

40-

30-

150160170180190

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關(guān)D.身高和體重成負(fù)相關(guān)

知識(shí)點(diǎn)2:條件概率

3.（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第

一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為—.

4.（2023?甲卷（理））有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，

若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

知識(shí)點(diǎn)3:信息圖表處理

5.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描述

B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小

6.（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的GDP（億元），第一季度GDP為232（億元），第四季度G￡>P為

241（億元），四個(gè)季度的GDP逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GDP為—.

知識(shí)點(diǎn)4：頻率分布直方圖

7.（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高，其中身高最大值為186c〃?，最小值為154a〃，根據(jù)身高數(shù)據(jù)

繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為—.

8.（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：

Wa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],將其按從左到右的順序分別編

號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共

有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）

9.（2021?天津）從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分

為8組：[66,70）,[70,74）,[94,98）,并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間[82,

86）內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）

A.20B.40C.64D.80

知識(shí)點(diǎn)5:概率最值問題

10.（2022?乙卷（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與

甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為己，p2,p3,且P3>P2>R>0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則（

）

A."與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，〃最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，〃最大

知識(shí)點(diǎn)6:古典概型

11.（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團(tuán)赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名

女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為—.

12.（2022?上海）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)

抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的概率為.

13.（2022?甲卷（理））從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

14.（2021?上海）已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館A,B,C,D,甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們

的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為—.

15.（2022?新高考I）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

16.（2023?天津）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6.這三個(gè)盒子中

黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率

為—；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為一.

17.（2021?全國(guó)）3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

2456

18.（2021?甲卷（理））將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

知識(shí)點(diǎn)7：正態(tài)分布與相互獨(dú)立

19.（2021?新高考H）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,4）,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.b越小，該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

20.（2021?新高考I）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每

次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表

示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

知識(shí)點(diǎn)8:平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差

21.（多選題）（2023?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)玉，々，，苫6,其中不是最小值，血是最大值，則（）

A.x2,x3,,4的平均數(shù)等于再，x2,,%的平均數(shù)

B.x2,x3,5,4的中位數(shù)等于X],x2,,Xf的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,%的標(biāo)準(zhǔn)差不小于不，x2,,%的標(biāo)準(zhǔn)差

D.x2,x},％的極差不大于x2,,々的極差

22.（多選題）（2021?新高考H）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本玉，x2,...?乙的離散程度的有（）

A.樣本石，x2.....的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本不，x2,x,的中位數(shù)

C.樣本不，x2,當(dāng)?shù)臉O差D.樣本不，x2.....x“的平均數(shù)

23.（多選題）（2021?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)芭，x,...x?,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)％,y2,

…，y.,其中y=x,.+c（i=l,2,....〃），c為非零常數(shù)，貝1（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

知識(shí)點(diǎn)9:概率綜合問題

24.（多選題）（2023?新高考H）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率

為a（0<a<l）,收到。的概率為1-。；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為￡（0<?<1）,收到1的概率為1-￡.考

慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)

送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信

號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,I,則譯碼為1)()

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l-/產(chǎn)

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,I的概率為尸(I-6)?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為尸(1-夕)2+(］一￡)3

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

25.(2022?浙江)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記

所抽取卡片上數(shù)字的最小值為J，則尸(4=2)=,E0=.

26.(2022?新高考II)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/)，且P(2<X,,2.5)=0.36,則P(X>2.5)=.

27.(2021?天津)甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲

勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為』和3,且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不

65

影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為—；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率

為—,

28.(2021?浙江)袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為彳，若

取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為1,一紅一黃的概率為1，則m-〃=—,￡(a=—.

63

專題14概率與統(tǒng)計(jì)（選擇題、填空題）（理）

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：回歸分析

知識(shí)點(diǎn)2：條件概率

知識(shí)點(diǎn)3：信息圖表處理

知識(shí)點(diǎn)4：頻率分布直方圖

知識(shí)點(diǎn)5：概率最值問題

知識(shí)點(diǎn)6：古典概型

知識(shí)點(diǎn)7：正態(tài)分布與相互獨(dú)立

知識(shí)點(diǎn)8：平均數(shù)'中位數(shù)、眾數(shù)'方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差

知識(shí)點(diǎn)9：概率綜合問題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：回歸分析

1.（2023?天津）調(diào)查某種花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)廠=（）.8245,下列說法正

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

【答案】C

【解析】［相關(guān)系數(shù)r=0.8245>0.75,且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布,

花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān).

若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245.

故選：C.

2.（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說法正確的是（）

90-

80-

70-

體6c

重

50-

40-

30-

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關(guān)D.身高和體重成負(fù)相關(guān)

【答案】C

【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān).

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)2:條件概率

3.（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為—；己知第

一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為

【答案】赤土

【解析】由題意，設(shè)第一次抽到4的事件為3,第二次抽到A的事件為C，

Aai4

貝I)尸(BC)=-----P(B)

52512215213

1

3所鬻卡號(hào)

13

故答案為：—；—

22117

4.（2023?甲卷（理））有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部,

若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，在報(bào)名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設(shè)某人報(bào)足球俱樂部為事件A,報(bào)乒乓球俱樂

部為事件B,

則P(A)=—=-,

707

由于有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，則同時(shí)報(bào)名兩個(gè)俱樂部的由50+60-70=40人，則

P(明畤4

7

4

A皮7

-=8

則尸⑻A)=Z\

l5

Cz-

7

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)3:信息圖表處理

5.(2023?上海)如圖為2017-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描述

A.從2018年開始,2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大

B.從2018年開始,進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始,進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始,2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小

【答案】C

【解析】顯然2021年相對(duì)于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長(zhǎng)率最大，A對(duì);

統(tǒng)計(jì)圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故3對(duì);

2020年相對(duì)于2019的進(jìn)口總額是減少的，故C錯(cuò);

顯然進(jìn)出口總額2021年的增長(zhǎng)率最大，而2020年相對(duì)于2019年的增量比2019年相對(duì)于2018年的增量

小，

且計(jì)算增長(zhǎng)率時(shí)前者的分母還大，故2020年的增長(zhǎng)率一定最小，O正確.

故選：C.

6.（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的G0P（億元），第一季度GDP為232（億元），第四季度G0P為

241（億元），四個(gè)季度的G/年逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GD尸為一.

【答案】946（億元）.

【解析】設(shè)第二季度GDP為尤億元，第三季度GDP為y億元，則232Vx<”241,

T中位數(shù)與平均數(shù)相同，

.x+y_232+x+y+241

??—,

24

x+y=473,

.?.該地一年的GDP為232+x+y+241=946（億元）.

故答案為：946（億元）.

知識(shí)點(diǎn)4：頻率分布直方圖

7.（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高，其中身高最大值為186c〃?，最小值為154a〃，根據(jù)身高數(shù)據(jù)

繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為—.

【答案】7.

【解析】極差為186-154=32,組距為5,且第一組下限為153.5,

—=6.4,故組數(shù)為7組，

5

故答案為：7.

8.（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：

〃%）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],將其按從左到右的順序分別編

號(hào)為第一組，第二組.....第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.己知第一組與第二組共

有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）

【答案】B

20

【解析】志愿者的總?cè)藬?shù)為------------=50,

(0.24+0.16)x1

.?.第3組的人數(shù)為50*0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12人.

故選：B.

9.(2021?天津)從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分

為8組：［66,70),［70,74),［94,98),并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間［82,

【答案】D

【解析】由頻率分布直方圖知，

評(píng)分在區(qū)間［82,86)內(nèi)的影視作品的頻率為(86-82)x0.05=0.2,

故評(píng)分在區(qū)間［82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是400x0.2=8(),

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)5:概率最值問題

10.(2022?乙卷(理))某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與

甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為己，p2,p3,且P3>P2>R>0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則(

)

A."與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，〃最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以尸受比賽次序影響，故A錯(cuò)誤：

設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為％,棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為七，棋手在第二

盤與丙比賽連贏兩盤的概率為&i,

昂，=(1-P2)P1P3+PZP|(1-P3)+(1-P3)P|P2+P3P|(1-P2)=2[PI(P2+P3)-2P|P2P31，

同理可得,外,=2[p2(p,+%)-2p/2p3],

%=+PlPy-2Plp2P3]，

%一辱=2p2(P3-pJ>0,4-七=2P|(°3-22)>0,

%最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)6:古典概型

11.(2023?上海)為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團(tuán)赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名

女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為—.

【答案】0.5.

【解析】從10人中任選3人的事件個(gè)數(shù)為a=—9—=120.

3x2x1

恰有1名男生2名女生的事件個(gè)數(shù)為C：C；=4x99=60,

462x1

則恰有1名男生2名女生的概率為里=0.5.

120

故答案為：0.5.

12.(2022?上海)為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)

抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的概率為

【答案】

7

【解析】從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，

則每一類都被抽到的方法共有C：?C；?C：+C：C；C：種，

而所有的抽取方法共有C；種，

故每一類都被抽到的概率為0；?C&C?C?C=,

故答案為：

7

13.（2022?甲卷（理））從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

【答案】—.

35

【解析】根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有C；=70種取法，

若這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面，有底面2個(gè)和側(cè)面4個(gè)、對(duì)角面6個(gè)，一共有12種情況，

則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率：

7035

故答案為：

35

14.（2021?上海）已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館A,B,C,D,甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們

的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為—.

【答案】--

3

【解析】甲選2個(gè)去參觀，有C：=6種，乙選2個(gè)去參觀，有C：=6種，共有6x6=36種，

若甲乙恰有一個(gè)館相同，則選確定相同的館有C：=4種，然后從剩余3個(gè)館種選2個(gè)進(jìn)行排列，有￡=6

種，共有4x6=24種，

則時(shí)應(yīng)概率尸=a=2,

363

故答案為：

3

15.（2022?新高考I）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】。

［解析］從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有C；=21種方式，

其中互質(zhì)的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14種，

故所求概率為3=2.

213

故選：D.

16.（2023?天津）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6.這三個(gè)盒子中

黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率

為—；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為一.

【解析】設(shè)盒子中共有球15〃個(gè),

則甲盒子中有黑球2〃個(gè)，白球3〃個(gè)，

乙盒子中有黑球"個(gè)，白球3”個(gè)，

丙盒子中有黑球3〃個(gè)，白球3”個(gè)，

從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為四、二*加=上；

5n4n6n20

將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率包=3.

15/15

故答案為：—;

205

17.（2021?全國(guó)）3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）

1口11

AA.—B.—C.—Dn.一

2456

【答案】C

【解析】3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，排法總數(shù)N=4，

其中兩端都不是女同學(xué)的排法種數(shù)為A；A：,

則其中兩端都不是女同學(xué)的概率為尸=竿=1.

45

故選：C.

18.（2021?甲卷（理））將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A.-B.-C.-D.-

3535

【答案】C

【解析】6個(gè)空位選2兩個(gè)放0,剩余4個(gè)放1,故總的排放方法有C：=15種，

利用插空法，4個(gè)1有5個(gè)位置可以放0,故排放方法有C；=10種，

所以所求概率為3=2.

153

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)7:正態(tài)分布與相互獨(dú)立

19.(2021?新高考U)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,/),則下列結(jié)論中不正確的是()

A.b越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】因?yàn)槟澄锢砹康臏y(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,/),

所以測(cè)量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對(duì)稱，且方差，越小，則分布越集中，

對(duì)于A,b越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)A

正確；

對(duì)于B，測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5,故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,山丁概率分布關(guān)于10對(duì)稱，所以測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10,10.3)分布在10附近的

區(qū)域，

故測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率大于落在(10,10.3)內(nèi)的概率，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：D.

20.(2021?新高考I)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每

次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表

示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【解析】由題意可知,兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

P(111)=—,P(乙)=',P(內(nèi))=—-—=—,P(J)=―-—=—,

666x6366x66

A:P(甲丙)(甲)P(丙)，

B.P(甲丁)=—=P(甲)尸(T).

36

C.P(乙丙)=—^P(乙)P(丙)，

D.P(丙丁)=0xP(丙)P(T)，

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差

21.(多選題)(2023?新高考I)有一組樣本數(shù)據(jù)%，%，，%,其中不是最小值，4是最大值，貝W)

X9

A.x2,x3,x4,的平均數(shù)等于％，2，尤6的平均數(shù)

B.X2,x3,x4,的中位數(shù)等于％，X2,,的中位數(shù)

C.X),X3,x4,的標(biāo)準(zhǔn)差不小于七,“，,，%的標(biāo)準(zhǔn)差

X

D.x2,x3,x4,的極差不大于％，2?，4的極差

【答案】BD

Xf

【解析】A選項(xiàng)，X2,X3,X4,毛的平均數(shù)不一定等于百，2，九6的平均數(shù)，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，%,七，七，*5的中位數(shù)等于三產(chǎn)，3，*2，,%的中位數(shù)等于主產(chǎn)，8正確；

C選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1,x2,,乙為0，1，2,8,9,10,可知尤々，,4的平均數(shù)是5，X2,x3,

x4,匕的平均數(shù)是5,

百，聲,?，乂的方差6：=,*[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8—5)2+(9-5)2+(10-5>]=竺，

63

125

x2,x3,x4,%的方差S22=wx[(l-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2]=萬(wàn)，

22

51>S2,/.St>S2,C錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，x6>x5,x2>X],x6-x,>x5-x2,。正確.

故選：BD.

22.(多選題)(2021?新高考II)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本%,匕，…，乙的離散程度的有()

A.樣本％,x2,x.的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本再，x2,x.的中位數(shù)

C.樣本X1,x2,x”的極差D.樣本％,x2,x“的平均數(shù)

【答案】AC

【解析】中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，

方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，

極差是用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，

平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，

故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差，極差.

故選：AC.

23.(多選題)(2021?新高考I)有一組樣本數(shù)據(jù)不，%,…，x”,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)耳，力，

...，%,其中y,=%+c(i=l,2,…，〃)，c為非零常數(shù)，貝I")

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】對(duì)于A，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c,故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C,-標(biāo)準(zhǔn)差0(^)=。(4+c)=D⑺,

???兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確；

對(duì)于￡>,y,-=xi+c(z=1,2,...?n),c為非零常數(shù)，

X的極差為Xm,x-Xmin,y的極差為(5++c)=xm,x-xmin,

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故。正確.

故選：CD.

知識(shí)點(diǎn)9：概率綜合問題

24.(多選題)(2023?新高考H)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)、收至打的概率

為a(0<a<l),收到0的概率為1-&；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為￡(0<〃<1),收到1的概率為1-〃.考

慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)

送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信

號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1)()

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l-夕了

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為以I-/?)?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為以1-02+(1-03

D.當(dāng)0<a<Q5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

【答案】ABD

【解析】采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為：

(1-/7)(1-a)(l-/7)=(1-a)(l-￡)2,故A正確：

采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,依次收到1,0,I的概率為：(1-")6(1-4)=夕(1-4)2,故6正確；

采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,

則譯碼為1包含收到的信號(hào)為包含兩個(gè)1或3個(gè)1,

故所求概率為：C；/?(2-/了+(1—尸尸，故C錯(cuò)誤；

三次傳輸方案發(fā)送0