2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷一含解析（福建專用）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（一）（福建版）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.（2022?福建?廈門一中模擬預(yù)測）已知集合4=｛（乂丫）卜，yeN*,y..x｝,8=｛（x,y）|x+y=8｝,

則AcB的元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】,集合A=｛（x,y）|x,yeN*,y..x｝,B=｛（x,y）|x+y=8｝,

4C8=｛（x,y）I，；；：8%曠eN==｛（1,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）｝,

AAr\B的元素個數(shù)為4.

故選：C.

2.（2022?福建?上杭一中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=l-i,則性叫=（）

A.2B.3C.2+D.3亞

【答案】D

【詳解】因為z=l—i,所以］=l+i，則2z—i』=2（l-i）—i（l+i）=3—3i,所以|2z-i』=3&.

故選：I）.

3.（2022?福建省龍巖第一中學(xué)高一階段練習(xí)）“2/一5》-3<0”的一個必要不充分條

件是（）

A.—<x<3B.-1<x<6C.-3<x<—D.—<x<0

222

【答案】B

【詳解】2X2-5X-3<0=(X—3)(2X+1)<0=——<x<3,

2

因為｛刈-/<》<3｝。｛》［-1<》<6｝,

所以-1cx<6是2/_5犬-3<0的必要不充分條件.

故選：B.

4.（2022?福建省廈門第六中學(xué)高三階段練習(xí)）已知tana=3,則

2sin?a+sinacosa-3cos2a的值為(

17

10

【答案】A

【詳解】Zsir^a+sinacosa—3cos2a

2sin2a+sinacosa-3cos2a

sin~a+cos'a

_2tan2a+tancr-3

tan2a+1

o

代入tana=3可算得原式的值為會

故選：A

5.（2022?福建?廈門雙十中學(xué)高一階段練習(xí)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，

它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面

三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

由題意PO2=4"，^b2--=-ab,化簡得4（2）2—2坦一1=0,

242aa

解得2=士5（負值舍去）.

a4

故選：C.

6.（2022?福建省福州格致中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)

2

/"（》）=公皿5+夕）+8$（0*+9）（4>0,0>0,兩<$的最小正周期為兀，其最小值為-2,

且滿足/（切=-/07）,則9=（）

A.±-B.±-C.-D.—

3636

【答案】C

【詳解】

f（x）=asin（Gx+e）+cos（Gx+e）=:—sin（Gx+o）+「|一cos（&x+e）

_\Ja2+\\ja2+\_

=J〃2+1xsin（4x+8+r）,

-a1

其中cosr=—7=^=,smt=/

只中V77TV77T,

2元____

依題意G>0,T=—=冗,0=2；a>0,4?+l=2,〃=6.

co

所以cosf=X&sinf=’,不妨設(shè)f=g.

226

所以〃x）=2sin（2x+e+J

由?。ゝ（知,令可，得尼卜-佃圖=。，

(p+^=^-+kn.,k&7,,由于附<￡,所以。=￡

6223

故選：c

7.(2022?福建省永春第一中學(xué)高二期中)將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，

③三個村莊進行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，力表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；

6表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；。表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則()

A.事件/與8相互獨立B.事件/與。相互獨立

C.2(BIA)*D.P(C|4)q

【答案】D

【詳解】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊義診的試驗有C：A；=36個基

本事件，它們等可能，

1211

事件/含有的基本事件數(shù)為A；+C；A；=12,則25)=^=,,同理P(B)=P(C)=>

3

21

事件4?含有的基本事件數(shù)為A；=2,則p(AB)=*=事件4C含有的基本事件數(shù)為

C：+C；C；=5,則P(4C)=2,

36

對于A,P(A)P(B)^^P(AB),即事件/與8相互不獨立，A不正確；

對于B,P(A)P(C)='wP(AC),即事件4與。相互不獨立，B不正確；

9

對于c,P(8|A)=€誓=!，c不正確；

P(A)6

對于D,P(C|A)=萼/D正確.

故選：D

8.(2022?福建省福州第一中學(xué)高二期末)已知en2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)a=ln0.99,

0.99

則(

40799

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

10.99^1_____1

【詳解］?6~99~40e~99~4000e,

99

因為”992-4000e9801—4000e

<0,

―99-99-

b-c=---------------1------->()

所以4000e99，即

99

設(shè)f(x)=ln(x+l)--則/'(x)=7TT,

x+1(x+1)

當xe(-l,0)時，<0,當xe(O,+<x>)時，>0,

所以/(x)2〃0)=0,所以In(x+l)W*,當x=0時等號成立，

所以In0.99=In(1-0.01所以a>c.

'71-0.0199

故選：D.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求,全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.)

9.(2022?福建三明?模擬預(yù)測)某人記錄了某市2022年1月20日至29日的最低溫度,

分別為-5,-6,-9,一5,—39—2,-3,-3,-4,—8(單位：℃),則關(guān)于該市這10

4

天的日最低氣溫的說法中正確的是()

A.眾數(shù)為-3B.中位數(shù)為-5

C.平均最低氣溫為一4.8℃D.極差為6

【答案】AC

【詳解】解：依題意將數(shù)據(jù)從小到大排列為-9、-8、-6、-5、-5、-4,-3、-3、-3、

—2,

所以可得極差為-2-(-9)=7,故D錯誤；眾數(shù)為-3,故A正確；

中位數(shù)為一“(一4)=_4.5,故B錯誤；

2

平均最低氣溫為

(-9)+(-8)+(-6)+(-5)+(-5)+(-4)+(-3)+(-3)+(-3)+(-2)=故C正確.

10-‘

故選：AC

10.(2022?福建省寧化第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知G為一AfiC的重心，Zfl4C=60°,

UUU

ABAC=2＞則|AG|的可能取值為()

A.\B.1C.正D.-

332

【答案】CD

【詳解】如圖，G是,AfiC的重心，記A8=c,AC=6,A8=a,

2211

則AG=-AD=-x—(A8+AC)=—(A6+AC),

3323

|AG|2=$AB+AC)?V(AB2+2AB-AC+AC?)=+c2+4),

5LABAC=*ccos60°=^bc=2,即歷=4,所以從+,222歷=8,當且僅當6=c=2時等

號成立，

所以|AG『w"x(8+4)=g.即,G2羋.只有CD滿足.

故選:CD.

5

11.(2022?福建漳州?高二期末)已知動點尸與定點尸(2,0)的距離和它到直線/：x=l的

距離的比是常數(shù)及，則下列結(jié)論正確的是()

A.動點？的軌跡方程為V->2=2

B.|PF|>2-^

C.直線y=x+i與動點一的軌跡有兩個公共點

D.若M(5,l),則IPM1+1尸尸I的最小值為3亞

【答案】ABD

【詳解】設(shè)點P(x,y),依題意，Jd)2+V=&,化簡整理得：X2-/=2,點P的軌

Ix-H

跡是雙曲線，

左焦點廠(-2,0),右焦點F(2,0),實半軸長“=&,

所以動點？的軌跡方程為V-y2=2,A正確；

廠是右焦點，由雙曲線的性質(zhì)知，則當點戶是右支的頂點時，I尸F(xiàn)I取最小值，此時IPB|=2-&,

B正確；

3

231

2解得7.即直線y=x+i與動點尸的軌跡只有一個公共點(-匕-力，C

122

不正確；

對于D,因尸是右焦點，點"在雙曲線右支的含焦點的一側(cè)，要|PM|+|PF|最小，點〃必

在雙曲線右支上，

由雙曲線定義知，IPMI+1P尸|=|PM|+1PF'|-2加>|F'M|-2立

=J(-2-5)2+1-20=3夜，

當且僅當點尸是線段尸例與雙曲線右支的交點時取“=”，即1尸加1+1尸尸I的最小值為3&，

D正確.

故選：ABD

12.(2022?福建福州?高二期末)如圖，棱長為2的正方體ABCO-ABIG。中，E、尸分

別為棱42、44,的中點，C為面對角線為，上一個動點，則()

6

A.三棱錐4-EFG的體積為定值

B.線段而，上存在點G,使平面的/平面比匕

T4T1

c.當cG=rq時，直線皮與鑿所成角的余弦值為］

D.三棱錐A-EFG的外接球半徑的最大值為逆

2

【答案】ACD

【詳解】對A,y^-EFG=匕f防=§*S凡防XAA=gxgxlxlx2=g,故A正確；

對B,如圖，以D為坐標原點，扇,丘,0、所在方向分別為％y,z軸正方向建立空間直角坐

標系，則A(2,(),0),8(2,2,0),C(0,2,0),3((),0,0),A(2,0,2),

4(222),0(022),A(0,0,2),E(l,0,2),尸(2,0,1),

設(shè)平面BOG的法向量為1=(x,y,z),法=(2,2,0),0匕=(0,2,2)，

tn?DB=02x+2y=0

所以=>令產(chǎn)1,=

2y+2z=0

m-DCx=0

—~"、r-t->-?

EC=(-l,2,-2),CB|=(2,0,2),設(shè)CG=尤CB|=(2/l,0,22)(04；l41)，

所以應(yīng)7=應(yīng)7+左=(2/1-1,2,2/1-2)，若平面明〃/平面劭G,則

7

Tf5

m-EG=2/1—1-2+2/1—2=0=>2=—,故B錯誤；

4

對C,設(shè)跖與SG所成角為。,此時啟尺=（-2,0,2），

—>—>

1

所以cos。=1cos<EG,BC,>1=1.|=2_

§.故c正確;

\EGWBQ|云x20

對D,因為AS，平面AEF,且AE=AF,所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐A-EFG

的外接球球心在過線段蹄的中點且垂直于平面4OPA的直線上，記球心為。由

c（o,2,o）,CG=（22,0,22）（04441）易得G（2A,2,22）（0<2<1）,則外接球半徑

r=|OA|=|OG|='產(chǎn)+g=J2（2/一/）+（?-2）2=^>r=2A2-32+2,

而/=2儲-3幾+2=21-；,+,，則當4=0時，f11m=2,即7ax=,22+；=,血.故D正

確.

故選:ACD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3

分.）

13.（2022?福建省漳州第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若/Xx）是"上的偶函數(shù)，且在（0,1）

上單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）的解析式可以為f（x）=.（寫出符合條件的一個即

可）

【答案】-X?（答案不唯一）

［詳解］若/（力=一/，則/（_x）=_（_x）2=_x2=/（x）,

故/"（X）為偶函數(shù),且易知f（外在（0,+8）上單調(diào)遞減，

故/"（X）在（0,上單調(diào)遞減，符合條件.

故答案為：-

14.（2022?福建龍巖?高一期中）甲、乙兩艘漁船從點1處同時出海去捕魚，乙漁船往正

東方向航行，速度為15公里每小時，甲漁船往北偏東30°方向航行，速度為20公里每小

時，兩小時后，甲漁船出現(xiàn)故障停在了8處，乙漁船接到消息后，立刻從所在地C處開往8

處進行救援，則乙漁船到達甲漁船所在位置至少需要小時.（參考數(shù)據(jù)：取舊=3.6）

【答案】2.4

【詳解】由題可知4?=40,^=30,NBAC=60°

8

B

AC

由余弦定理，得8。2=AB2+AC2-2A8,AC-COS60O=1300,得3。=10小，

乙漁船到達甲漁船所在位置需要的時間為U巫=2叵=2.4小時.

153

故答案為：2.4

15.(2022?福建省福州第一中學(xué)高三階段練習(xí))已知隨機變量才服從正態(tài)分布X?N(8,4),

1Q

P(x>\O)=m,尸(64x48)=",則一+一的最小值為____________.

2mn

【答案】25

【詳解】解：隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(8,/)，，P(X28)=g,

由P(6VXK8)=〃，得P(8WXW1O)=〃，

又P(X>10)=rn,

：.tn+n=-,且6>0,M>0,

,|1818、--、.rn16"Z、.r-n16"?.r仆cl

貝m。1—=(z----1—)(2/n+2n)=17H-----1------->17+2.1----------=17+8=25.

Imn2mnmnVmn

當且僅當八則，即,〃是時等號成立.

mn105

1o

——?■—的最小值為25.

2mn

故答案為:25.

16.(2022?福建泉州?高三開學(xué)考試)已知：若函數(shù)〃x),g(x)在R上可導(dǎo)，〃x)=g(x),

則/&)=g(x).又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式e2，=%+qx+4/++”/"+，

209

【答案】1

【詳解】解：因為?2、=/+平+412++《盧"+,令x=0,即e°=%,所以%=1；

2v2vnln

(e)=2e=a1+2a2x4-+nanx~4-(??+\)an^x+

9

2x2

又2e=2ao+2qx+2a2x++2anx"+

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（2022?福建省廈門集美中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形A8CD中，

AB=2,BD=j3,ZABD=XACD=-,設(shè)ZCAD=0,0e(0,—).

63

⑴若囁‘求8的長；

（2）當，為何值時，△BC。的面積取得最大值，并求出該最大值.

【答案】(l)CZ)=V2

(2)e=m，面積最大值為立

64

(1)

在中，由余弦定理得，

AD2=AB2+BD2-2ABBDcosZ.ABD=4-^3-2x2y/3x—=\,

2

所以AO=1,

CDAD

在△4CD,由正弦定理得,

sinZCAD-sinZACD

lxsin—

所以C￡>=-----生=6.

.7t

sin—

6

(2)

10

由第（1）問知，在△姒）中，AB=2,BD=?AD=1,

-7T

所以他2=8。2+4￡>2,所以NAD8=5,

CDAD

在△AC。，由正弦定理得,

sinZ.CADsinZACD

MIxsin。.q

小一2DC=------=2sin8、

所以兀

sin—

6

因為NBOC=;r-6?-工一代=工-6?,

623

所以加,=?。皿小"火=國皿7嗚-。）

3AA6.2a361-cos26?

=—sin"cos夕----sin，=—sin2"----x--------

22422

3-g,Gy百道,sa工兀、右

=—sin29+——cos2,----=——sin（2，+—）----,

444264

因為&e（o,q）,所以2e+ge（m，y）,所以當2e+f=g,即e=m時，

3666626

sin（26+B）=1,此時△38的面積取得最大值為更.

18.（2022?福建省寧德第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列｛q｝中，%>0（〃eN+）,公

比夕€（0,1）,且/為+2的6+。3a9=10°，又4是%與4的等比中項.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)2=log2a?,求數(shù)列｛間｝的前21項和4.

【答案】⑴a,,=2~,〃eN+

（2）126

（1）

解：因為6出+2aM+。3a9=10°，可得蠟+2%%+。；=1。。，即（4+4『=1。。，

又因為q>0,所以4+4=1°，

因為4是2與4的等比中項，所以。4a6=16,

即氏與&是方程f-10x+16=0的兩個根，且4?0,1）,

所以%=8,&=2,即，,2=：,解得q=64應(yīng)=（,

aq=22

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為a“=64.（g）"T=2".

(2)

11

解：由。-j,可得以=1臉4=7-〃，則同=|7-小

則數(shù)列也｝的前〃項和為北=%〃），

當14〃47,〃eN+時，b?>0,所以§,=筆辿；

當〃28,〃eN*時，〃,<0,

所以$21=（4+4++b7）—（bs+b9++b2l）

T,TT、療T、,（）（）

=（一（4i-4）=2刀一q|=2Cx-7-X--1-3----7----2-1-X--1-3--2--1=1?26.

19.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感

與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度曠℃關(guān)于時間x（min）的回

歸方程模型，通過實驗收集在25℃室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間

變化的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如下所示散點圖.

木溫度°C

（1）根據(jù)散點圖判斷，①丫二”+法與②），=小/+25哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時

間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程：

（3）已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據(jù)（2）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的

茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

附：①對于一組數(shù)據(jù)（如匕）,（“2，匕），，（",,，5），其回歸直線丫=&+應(yīng)，的斜率和截距的最小

二乘估計分別為B=上，-----------4=

/=1

12

②參考數(shù)據(jù)：e-008?0.92,e409?60,In7?1.9,In3?1.1,In2?0.7.

【答案】(1)②y=〃c'+25

⑵y=e409-008x+25

(3)7.5分鐘

【詳解】(1)根據(jù)散點圖判斷，其變化趨勢不是線性的，而是曲線的，因此，選②y=小/+25

更適宜此散點的回歸方程.

(2)由y=d.<?*+25有:y-25=d?c”,兩邊取自然對數(shù)得:ln(y-25)=ln(d-c*)=lnd+x-lnc,

設(shè)(w=ln(y-25),a=\nd,b=\nc,

則ln(y-25)=lnd+x」nc化為：co=bx+a,又工=-----------------=3,

y%—可?-同224

Z(斗_亍)2=28,：.b==-0.08,

<=1

:.a-m-bx-3.85+0.08x3=4.09?...由6=-0.08=Inc得:c=e-008>

由a=4.09=lnd得：t/=e4<w

,回歸方程為：y=d-cx+25=e409-e-°08t+25=e409-008x+25,

g|Jj=e409-008j+25.

(3)當y=60時，代入回歸方程y=ev*+25得：60=e409-008x+25，化簡得：35=e4%。*,

即4.09-0.08x=ln35,

又e-008?0.92,e">9?60,In7?1.9,In3~1.1,In2?0.7,

.?.4.09—0.08x=ln35約化為：ln60-0.08x=ln35,

I?

即0.08x=ln60-ln35=ln-y=In12-ln7=(21n2+ln3)-ln7?2x0.7+l.1-1.9=0.6

0.6

xb-----=7.5

0.08

，大約需要放置7.5分鐘才能達到最佳飲用口感.

20.(2022?福建省福州第二中學(xué)高二階段練習(xí))如圖多面體ABCDE尸中，四邊形A8CO是

菱形，ZABC=60°,E4_L平面ABC。，EA//BF,AB=AE=28尸=2.

(1)證明：平面E4CL平面EFC；

(2)在棱EC上有一點M,使得平面MBD與平面8CF的夾角余弦值為理，求點“到平面

8CF的距離.

13

E

【答案】(1)證明見解析

⑵正

4

(1)

證明：取EC的中點G,連接5。交AC于N,連接GN,GF,

因為A8CD是菱形，所以且N是4c的中點，

所以GN//AE且GN=g4E,又AEHBF,AE=2BF=2,

所以GNHBF&GN=BF,所以四邊形BNGF是平行四邊形，

所以GF//BN,

又E4J_平面ABC。，BNu平面4BCD,所以E4_LfiV,

又因為ACJ_8N,ACrEA=A,

所以N8_L平面E4C,所以G尸1.平面E4C,又GFu平面MC,

所以平面EFC1?平面￡4C；

(2)

,/GN//AE,E4J_平面ABC。，；.GNJ_平面ABC。，且CNLBN,

...以N為原點，NC,NB,NG為坐標軸建立空間直角坐標系，

設(shè)在棱EC上存在點M使得平面與平面BCF的夾角余弦值為四,

4

14

員一1,0,2),8(0,右，0),C(1,0,0),F(0,G，1),A(-l,o,o),D(0,一日

0)

則設(shè)C例=/iCE=/l(-2,0,2),,0,2/1),

所以DM=(1-2%,V3,22),DB=(0,25/3,0),BC=(l,-g,0),ffi=(0,0,-l)

設(shè)平面OBM的一個法向量為"=(x,丫，z),

n-DM=0f(1-22)x+>/3y+22z=0

則<，即｛l，令)'=0，x=-22,

n-DB=0[2V3y=0

得n=(-22,0,1-22),

設(shè)平面ESC的一個法向量為"2=3,b,c),

tn，BC=0a-\/3b=0r-

則,即,取人=1,得相=(6,1,0),

m?FB=。-c=0

.?"2=3=j上2網(wǎng)解得通,

I"小I"I2^(-2A)2+(l-2/l)2-4

此時CM=1/0,；

21.(2022?福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知圓M的方程為/+(?-2)2=4,設(shè)

8(0,4),?(0,1),過點。作直線4,交圓M于尸，。兩點，點P,。不在y軸上.

(1)若過點。作與直線4垂直的直線4,交圓“于E，F(xiàn)兩點，記四邊形EPFQ的面積為S,

求S的最大值；

(2)若直線。尸，BQ相交于點N,試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；

若不是，說明理由.

【答案】(D最大值為7

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（2）是在定直線，定直線為y=-2

（1）設(shè)直線4的方程為廣辰+1,即京7+1=0,則圓心（0,2）到直線4的距離

①若k=0,則直線4斜率不存在，則|PQ|=26,\EF\=4,則S=J|EFHPQ|=4百,

②若則直線4得方程為了=-1丫+1,即x+b，-&=0,則圓心（0,2）到直線4的距離

K

當且僅當&2=表，即〃=±1時，取等號，

綜上所述，因為7=歷＞46，所以S的最大值為7；

（2）

設(shè)P