青海省西寧市海湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

西寧市海湖中學(xué)2023年九月高二年級(jí)數(shù)學(xué)

開(kāi)學(xué)考試卷

考試時(shí)間：120分鐘分值：150分命題人：田燕審題人：劉發(fā)青

第I卷（選擇題,共60分）

一、選擇題:

1.如果向量a=（l,2）,Z?=（4,3）,那么a—2。等于（)

A.(9,8)C.(7,4)D.(-9,-8)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=5,則復(fù)數(shù)z的虛部為（)

A.—2B.lC.iD.—2i

3.在△A3C中,內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為b,c,△ABC的面積為2g,C=60°,

a2+b2=5ab，則c=()

A.2>/2B.2>/3C.4D.4V2

4.疫情期間，為了宣傳防護(hù)工作，某宣傳小組從A,B,C,D,E,/六個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選出兩個(gè)進(jìn)行宣

傳，則該小組到E社區(qū)宣傳的概率為（）

3211

A.——B.一C.一D.-

10553

5.高二（1）班7人宿舍中每個(gè)同學(xué)的身高分別為170,168,172,172,175,176,180,求這7人的第60百

分位數(shù)為（）

A.168B.175C.172D.176

6.已知a=(x-l,2),b=(x,l)且則卜+目=()

A.V2C.30D.2c

B.2

7.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖曬提出了著名的祖暄原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何

體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖胞原理

的條件，若棱錐的體積為3萬(wàn)，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.273B.1C.V3D.B

3

8.為了解甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個(gè)班學(xué)生的物理成績(jī)（均為整數(shù)）中各隨機(jī)抽查2（）個(gè),

得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖（用頻率分布直方圖估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，每個(gè)區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值），關(guān)于

甲、乙兩個(gè)班級(jí)的物理成績(jī)，下列結(jié)論正確的是（）

頻數(shù)

7

一

-_--------■-一_

6

1----------

二

5二------

---一_

4-----

-二

-■二-■_

3-------

.-一-

2-------

-n---

1----n

?

一

?

-TTI一Tr

nJA-^l

一

一

一

|一

5758596768697987888998分?jǐn)?shù)

甲班物理成績(jī)乙班物理成績(jī)

A.甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù)B.乙班成績(jī)的75百分位數(shù)為79

C.甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值D.甲班的中位數(shù)為74

二、多項(xiàng)選擇題：

9.已知z是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若zi=l+2i,則忖=6

8.若2=工+且4,則z2的虛部為走

222

C.復(fù)數(shù)z=2二上在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為第二象限

3-4i

D.若復(fù)數(shù)z=m-l-（//7+2）i（??7eR）是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為3i

10.一個(gè)口袋中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中取出2個(gè)球，則（）

A.若不放回地抽取，則“取出2個(gè)紅球”和“取出2個(gè)白球”是對(duì)立事件

B.若不放回地抽取，則第2次取到紅球的概率與第1次取到紅球的概率相等

C.若有放回地抽取，則取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率是一

25

D.若有放回地抽取，則至少取出一個(gè)紅球的概率是3

25

11.設(shè)戶表示一個(gè)點(diǎn)，a,b表示兩條直線，a,4表示兩個(gè)平面，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若PE。，Pea,則QUa

B.若ab=P,bu[3、則au月

C.若?！?，aua,Peb,Pea,則bua

D.若a/?=/?,PGa,PG。,則PEZ?

12.如圖，已知正方體ABC。—A4G2的棱長(zhǎng)為2,E、b分別為A。、AB的中點(diǎn)，G在線段AG上運(yùn)

動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說(shuō)法正確的是（）

A.三棱錐C-EFG的體積與G點(diǎn)位置無(wú)關(guān)

B.若G為AG中點(diǎn)，三棱錐c-EFG的體積為|

9

C.若G為4G中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)E、F、G作正方體的截面，所得截面的面積是1

D.若G與G重合，則過(guò)點(diǎn)E、F、G作正方體的截面，截面為三角形

第n卷（非選擇題，共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的橫線上。

13.已知向量a=人=（0,1）,則人在a方向上投影向量等于.

14.已知樣本數(shù)據(jù)知松?，%的方差為4,則數(shù)據(jù)2%+3,2々+3,,2x,+3的標(biāo)準(zhǔn)差是.

12

15.設(shè)4,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件，若A與B互斥，B與C對(duì)立，且尸（A）="P（C）=—，則

P（A+B）=.

16.廣場(chǎng)上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的（如圖）.如果被截正方體的棱長(zhǎng)為2逝，

那么玩具石凳的表面積為.

四、解答題：

17.已知平面向量a,〃滿足,卜1,卜。一2。卜且a,人的夾角為60。.

（I）求w的值；

（II）求和a-2/j夾角的余弦值.

18.甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7,乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密

碼，事件B：乙破譯密碼.

（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；

（2）求恰有一人破譯密碼的概率.

19.為了解學(xué)生對(duì)黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開(kāi)展了“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，全校共有

1000名學(xué)生參加，其中男生550名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽成績(jī)（成績(jī)都在

[50,100]內(nèi)）分為[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]5組，得到如圖所示的頻率分布直方

圖.

（1）求。的值以及女生被抽取的人數(shù)；

（2）估計(jì)這100人比賽成績(jī)的85%分位數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留2位）.

20.為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其

43

在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為二，-；在第二

23

輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為一，一，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

34

（1）從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？

（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.

21.如圖為一個(gè)組合體，其底面ABCD為正方形，尸。，平面48。。，EC//PD,且

PD=AD=2EC=4.

（1）證明：應(yīng):〃平面HM；

（2）證明：A8J_平面PAD；

22.在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,且滿足bcosA+J5/2sin4-c-a=0.

（1）求角B；

(2)若6=26，求△ABC面積的最大值。

海湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考測(cè)試題(答案)

BADDBCACABDBDCDAC

1.【答案】B

【解析】

【詳解】a—2"=(1,2)—(8,6)=(—7,-4),選B.

2.【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閦(l+2i)=5,所以z=-^-="1一方,故復(fù)數(shù)z的虛部為一2.

1)l+2i(l+2i)(l-2i)

故選：A.

3.【答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為2g,。=60。，所以5徵叱=,。加皿。=立"=2石，即必=8.

mij

所以=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=4ac=32,所以c=4夜.

故選：D.

4.【答案】D

【分析】列舉出所有基本事件和滿足題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】從A,B,C,D,E,廠六個(gè)社區(qū)中，隨機(jī)選擇兩個(gè)社區(qū)，有{AB},{AC},{A。}，

{A,E}，{A月，{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{￡>,￡},{D,F},

{E,F},共15種結(jié)果；

其中該小組到E社區(qū)宣傳的結(jié)果有：{AE}，{民可，{C,E},{0,號(hào)，{E,F},共5種；

該小組到E社區(qū)宣傳的概率/?=-=-.

153

故選：D.

5.【答案】B

【解析】

【分析】將7人的身高從低到高排列，最后由百分位數(shù)的求法求解即可.

【詳解】將7人的身高從低到高排列：168,170,172,172,175,176,180,

???7x60%=4.2.?.第5個(gè)數(shù)據(jù)為所求的第60百分位數(shù)，即這7人的第60百分位數(shù)為175

故選：B

6.【答案】C

【解析】

【分析】先利用向量平行公式求出X的值，代回兩向量坐標(biāo)，算出的坐標(biāo)，再利用向量的模公式進(jìn)行求

解.

【詳解】因?yàn)閍=(x—1,2),Z?=(x,l),所以(x—1)x1=2x,解得x=—l,

所以a=(—2,2),匕=(—1,1),所以a+b=(—3,3),,+@J(一3丫+3?=30,

故選：C

7.【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為一，則母線長(zhǎng)為2r,高為也r,由同高的圓錐和棱錐滿足祖眶原理的條件，

可知棱錐與圓錐的體積相等，進(jìn)而求解.

【詳解】由題，設(shè)圓錐的底面半徑為r,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則母線長(zhǎng)為2r,高為后r,

因?yàn)楝F(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖唾原理的條件，所以棱錐與圓錐的體積相等，

所以V=；x(乃/)乂6廠=34，解得/■=6，所以母線長(zhǎng)為26，

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用，考查理解分析能力.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)圖，判斷A；根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算乙班成績(jī)的75百分位數(shù)，判斷B；求出甲班的

中位數(shù)，判斷C；求出兩個(gè)班級(jí)的平均分，即可判斷D.

【詳解】由甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的物理成績(jī)的數(shù)據(jù)圖可知甲班眾數(shù)為79,

由頻率分布直方圖無(wú)法準(zhǔn)確得出乙班眾數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于乙班物理成績(jī)的頻率分布直方圖，前三個(gè)矩形的面積之和為(0.020+0.025+0.030)x10=0.75,

故乙班成績(jī)的75百分位數(shù)為80,B錯(cuò)誤；

由甲班物理成績(jī)數(shù)據(jù)圖可知，小于79分的數(shù)據(jù)有9個(gè)，79分的數(shù)據(jù)有6個(gè)，

故甲班的中位數(shù)為79,D錯(cuò)誤；

e……d—57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x6+87+88x2+89+98…

甲班平均數(shù)為卻=--------------------------------------------------------------=74.8,

乙班平均數(shù)估計(jì)值為需=10(55x0.02+65x0.025+75x0.03+85x0.02+95x0.005)=71.5<74.8,

即甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值，D正確，

故選：C

9【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,復(fù)數(shù)的除法求出z,結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解；

對(duì)于B,結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解；

對(duì)于C,結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解；

對(duì)于D,結(jié)合純虛數(shù)和共朝復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】對(duì)于A,zi=l+2i,則2=匕2=2-1,故忸="2+(—1)2=舊,故A正確；

對(duì)于B,z=-+—i,則z2=L-3+@i=-』+"i,其虛部為且，故B正確；

22442222

對(duì)于C,z=-二(2二i)9+4)=十匕,故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,_L1所在象限為第一象

3-4i(3-4i)(3+4i)55155)

限，故C錯(cuò)誤；

,、，、m—\—0

對(duì)于D,復(fù)數(shù)z=/7?—1—(〃?+2)iWeR)是純虛數(shù)，則<卜+2)w0，解得=L

故z=-3i,所以Z=3i,故D正確.

故選：ABD.

10.【答案】BD

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷A選項(xiàng)即可；結(jié)合古典概型，列舉基本事件，分別求對(duì)應(yīng)的概率即可判斷

BCD.

【詳解】對(duì)A,由題知，不放回地抽取2個(gè)球包括2個(gè)都是紅球、2個(gè)都是白球和1個(gè)紅球1個(gè)白球，共3

種情況，所以“取出2個(gè)紅球”和“取出2個(gè)白球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,記2個(gè)紅球分別為a,h,3個(gè)白球分別為1,2,3,不放回地從中取2個(gè)球的樣本空間

fl1={ab,aX,al,a3,ba,bl,b2,b3,la,1Z?,12,13,2a,2b,21,23,3a,3。31,32}共20種，

記事件A為“第1次取到紅球”，事件8為“第2次取到紅球”，

貝!J4={"，磯a2,a3,如，磯62^3}，B=[ab,ba,la,lb,2a,2b,3a,3b\,所以P(A)=P(B),故B正確；

對(duì)C,有放回地從中取2個(gè)球的樣本空間

Q,={aa,ab,al,a2,a3,bb,ba,b\,b2,b3,la,1Z?,11,12,13,2<z,2Z>,21,22,23,3a,3b,31,32,33}.共25種；

記事件C為“取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球"，則。={磯42,43,罰力2萬(wàn)3,14,g,2。,2/?,3。,3〃},共12種，

12

所以「（。）=不，故c錯(cuò)誤；

對(duì)D,記事件。為“取出2個(gè)白球"，則￡>={11,12,13,21,22,23,31,32,33},共9種；

9916

所以P（O）=二，所以至少取出1個(gè)紅球的概率為1一二=、，故D正確.

'/252525

故選：BD

11.【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)公理1以及直線在平面內(nèi)的定義，逐一對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，即可求解.

【詳解】當(dāng)aa=P時(shí)，Pea,Pea,但aUa,故A錯(cuò)；當(dāng)a萬(wàn)=「時(shí)，B錯(cuò)；

如圖：；a〃。，Pe。，；.Pea,.,.由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面a,又a〃b,由。與b確定唯一平面

但夕經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)尸，與a重合，，。匚。，故C正確；

兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故D正確.

故選：CD.

12.【答案】AC

【分析】根據(jù)錐體的體積、正方體的截面等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由正方體A8CD—44G?？傻闷矫鍭4GA〃平面ABCD,AGu平面

AAGA所以AG〃平面ABC。，又GeAG，所以點(diǎn)G到平面ABC。的距離為定值即AA的長(zhǎng)

因?yàn)椋?EFG=%-C￡F=；SACEF.AA,由于三角形CM的面積固定，所以三棱錐C—E9G的體積與G點(diǎn)

位置無(wú)關(guān)，A選項(xiàng)正確；

11313

對(duì)于B選項(xiàng)，5人「“二2乂2—x1x1—x1x2x2=—,所以匕二匕「「五?=—x—x2=1,B選項(xiàng)錯(cuò)

誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)G為AG中點(diǎn)時(shí)，連接耳。1,則G是4。的中點(diǎn)，連接

c,

由于E,產(chǎn)分別是AD,AB的中點(diǎn)，所以EF〃BD,由于8D〃片。一則EE〃與R,

即過(guò)點(diǎn)￡,F,G作正方體的截面是等腰梯形￡下4。-D1E=BF=A

372

等腰梯形的高為

F

37219

所以等腰梯形所耳A的面積為（20+血卜---------X—=一C選項(xiàng)正確;

222

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)G與a重合時(shí)，延長(zhǎng)E/交CB的延長(zhǎng)線于G,連接GG，交BB］于H,連接產(chǎn)”，

延長(zhǎng)FE交。。的延長(zhǎng)線于/,連接G/，交DA于J,連接臼，

則五邊形是過(guò)點(diǎn)E,F,G作正方體的截面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

13.【答案】

【解析】

【分析】求出。"=百，卜|=2,根據(jù)投影向量的概念即可求得答案.

【詳解】由題意向量a=（l,百），8=（0,1）,則卜|=2,

則b在。方向上的投影向量為普?呂

\a\\a\

故答案為:

14.4

7

15.【答案】—

12

【解析】

【分析】由5與C對(duì)立可求出P（3）,再由A與3互斥，可得P（A+3）=尸（A）+P（5）求解.

21

【詳解】???8與C對(duì)立，???P（3）=1—P（C）=l—1=§,

117

???A與5互斥，，P（A+B）=P（A）+P（B）=-+-=—.

_,7

故答案為：—.

16.【答案】24+86

【解析】

【分析】分別計(jì)算每個(gè)表面和每個(gè)頂點(diǎn)被截后的圖形的面積，再計(jì)算表面積即可.

【詳解】依題意，六個(gè)表面被截后，都是正方形，邊長(zhǎng)為2,每個(gè)正方形的面積為4,八個(gè)頂點(diǎn)被截后，都是

等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,每個(gè)三角形的面積為@x2?=6,所以玩具石凳的表面積為

4

5=6x4+8x73=24+873.

故答案為：24+8g.

17.【答案】（I）2；（H）

26

【解析】

【詳解】試題分析：（I）利用模長(zhǎng)平方與向量的平分相等，將已知忸-2可=至兩邊平方展開(kāi)，得到關(guān)于

W的方程解之即可；（】1）分別求出2。-〃和。-2〃模長(zhǎng)以及數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角.

試題解析：（I）由已知得|3a—2匕『=9+4卜］一12a/=9+41『一12xWxcos6（）o=13,即

3網(wǎng)一2=0,解得忖=2.

(ID|2tz-Z?l=V4+4-4X2COS60°=2,|a-2^1=Vl+16-4x2cos60°=V13.

又(2a-4"2b)=2+8-5x2cos60o=5.

(2。一切_5_5713

所以2a-。a-2b夾角的余弦值為

囚-即刃2VB26

18.【答案】(1)0.42；(2)0.46.

【解析】

【分析】(1)由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解；

(2)由互斥事件概率的加法公式及相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解.

【詳解】(1)事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB,事件A,8相互獨(dú)立，

由題意可知P(A)=0.7,P(6)=0.6,所以P(AB)=P(A>P(6)=0.7x0.6=0.42；

(2)事件“恰有一人破譯密碼”可表示為初+A豆，且入8,A豆互斥

所以P(M+A5)=P(M)+P(AE)=P(N)P(5)+P(A)P(X)

=(1-0.7)X0.6+0.7X(1-0.6)=0.46.

19.【答案】(1)4=0.035,45(2)86.67

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程求得。的值，結(jié)合分層抽樣的分法，求得女生被抽取的

人數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖的百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.010+0.020+a+0.030+0.005)xl0=l,

解得。=0.035,其中女生被抽取的人數(shù)為幽二變義100=45.

1000

(2)解：由頻率分布直方圖可得：(0.010+0.020+0.035)x10=0.65<0.85,

(0.010+0.020+0.035+0.030)x10=0.95>0.85,

,則85%分位數(shù)為80+二------X10?86.67.

0.30

20.【答案】(1)派甲參賽贏得比賽的概率更大(2)—

【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出甲、乙贏得比賽的概率，即可判斷；

(2)記事件。為“甲贏得比賽”，E為“乙扁得比賽”，利用對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件的概率公式求出

P(DE),即可得解.

【詳解】（1）記事件4為“甲在第一輪比賽中勝出”，A2為“甲在第二輪比賽中勝出”，

片為“乙在第一輪比賽中勝出"，B]為"乙在第二輪比賽中勝出”，

4233

則4，4，B],相互獨(dú)立，且P（4）=丁P（4）=-,P（4）=丁P（B2）=-.

因?yàn)樵趦奢啽荣愔芯鶆俪鲆暈橼A得比賽，則AA2為“甲贏得比賽”，Bf2為“乙贏得比賽”，

428339

所以「（A4）=尸（A）?（4）L=R，P（BiB2）=P（Bl）P（B2）=-x-=-.

?JJJLJJr*41/

89

因?yàn)橐弧狄?，所以派甲參賽贏得比賽的概率更大.

1520

（2）記事件。為“甲贏得比賽”，E為“乙贏得比賽”，則“兩人中至少有一人贏得比賽”=。E.

89

由⑴知,P(D)=P(A1A2)=~.P(E)=P(B,B2)=-,

所以P(萬(wàn))=1—P(￡>)=1-色￡P(guān)(E)=1-P(￡)=1-9__H_

20-20

所以「（￡>E）=1-P（D￡）=1-P（D）P（E）=1-^XH=|^

故兩人中至少有一人贏得比賽的概率為——.

300

21.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；

【分析】（1）先證明EC〃平面PDA,〃平面PZM,繼而得到平面￡BC〃平面尸ZM,