2023-2024學(xué)年福建省漳州三中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省漳州三中高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)U={x|x是不大于6的正整數(shù)},A={1,2,3),B=［3,5},求Cu(AUB)=()

A.0B.［4,6}C.{1,2,3,5}D.{1,2,3,4,5,6}

2.已知ae/?,i為虛數(shù)單位，若最為實(shí)數(shù)，則a=()

A.-3B.1C.3D.

3.甲組有4名護(hù)士，1名醫(yī)生；乙組有6名護(hù)士，2名醫(yī)生.現(xiàn)需緊急組建醫(yī)療小隊(duì)，若從甲、乙兩組中各抽調(diào)

2名人員，則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生的不同選法共有()

A.130種B.132種C.315種D.360種

4.已知向量窗3滿足|五+方|=7,且|磯=3,而=4，則|五一石|=()

A.5B.3C.2D.1

5.已知a>0,二項(xiàng)式(％+*)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.36B.30C.15D.10

6.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或

0.已知發(fā)信號0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05,

若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為1的概率為()

A.0.475B.0.525C.0.425D.0.575

n

7.設(shè)數(shù)列{即}的通項(xiàng)公式為an=1+2盤+22鬣+23*+…+2CJl(nGN*),其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn>

2023的最小的?1是()

A.5B.6C.7D.8

8.已知雙曲線3一［=1的左右焦點(diǎn)分別為F2,過&的直線分別交雙曲線廠的左右兩支于4B兩點(diǎn)，

且4F24B=4F2B4,則|BFz|=()

A.73+4B.2/3+4C.2/3D.7~5

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知函數(shù)/(x)的圖象是由函數(shù)y=2sinxcosx的圖象向右平移看個(gè)單位得到，則()

A./"(X)的最小正周期為兀B./(x)在區(qū)間［-睛］上單調(diào)遞增

C./(x)的圖象關(guān)于直線x=裂寸稱D./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱

10.若函數(shù)/(%)=%?(靖一1),則()

A./(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C./(x)在點(diǎn)(-1/(-1))處切線的斜率為-1

D./(%)是偶函數(shù)

11.同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“甲骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件4“乙骰子正面向

上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件B,“至少出現(xiàn)一個(gè)骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件C,則下列判斷正確的是

()

A.A,B為互斥事件B.A,B互為獨(dú)立事件

C.P(C)=|D.P⑷C)="

12.如圖，棱長為2的正方體ABCD-Ai8iGDi的內(nèi)切球?yàn)榍?。，E、F分別是棱

4B和棱CCi的中點(diǎn)，G在棱BC上移動(dòng)，則下列結(jié)論成立的有()

A.存在點(diǎn)G,使。D1EG

B.對于任意點(diǎn)G,OA〃平面EFG

C.直線EF的被球。截得的弦長為，訝

D.過直線EF的平面截球。所得的所有圓中，半徑最小的圓的面積為5

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

4432

13.若(％+2)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,則以—a34-a2—4-a0=.

2

14.(%—?)(%+y)5的展開式中，/曠3的系數(shù)為.

15.網(wǎng)購作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某

網(wǎng)購公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”

表示2016年，且x為整數(shù)，依次類推；y表示人數(shù))：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以求出b=192吃竄10°=42,若

預(yù)測該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人，則x的最小值為.

16.已知函數(shù)/"(X)=-%3+2x2-x,若過點(diǎn)P(l,t)可作曲線y=f(x)的三條切線，則t的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列，a5=6,%1=12；｛%｝為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和%=2"+1-2.

(1)求｛即｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)”品麗,求｛5｝的前n項(xiàng)和

18.(本小題12.0分)

2023年的高考已經(jīng)結(jié)束，考試前一周，某高中進(jìn)行了一場關(guān)于高三學(xué)生課余學(xué)習(xí)時(shí)間的調(diào)查問卷，現(xiàn)從高

三12個(gè)班級每個(gè)班隨機(jī)抽取10名同學(xué)進(jìn)行問卷，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過兩小時(shí)

200名以前40%+10

200名以后3%-1040

(1)求X的值;

(2)依據(jù)上表，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生成績與課余學(xué)習(xí)超過兩個(gè)小時(shí)是否有關(guān)系;

(3)學(xué)校在成績200名以前的學(xué)生中，采用分層抽樣，按課余學(xué)習(xí)時(shí)間是否超過兩小時(shí)抽取6人，再從這6人

中隨機(jī)抽取3人，記這3人中課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

附參考公式:Z2=------尻)---------其中71=Q+/?+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

19.(本小題12.0分)

某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測(檢測分

為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；

(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布NO，/),其中“為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，14.初試成績不

低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎(jiǎng)；答對兩道題獲得二等獎(jiǎng)；答對一道題獲得三等獎(jiǎng)；全部答

錯(cuò)不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為a,第三道題答對的概率為b.若他獲

得一等獎(jiǎng)的概率為〈，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為P,求P的最小值.

O

附：若隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布N（出d）,貝Ijp（4-c<x<“+。）=0.6827,P0-2。<XW〃+2。）”

0.9545,P（〃-3c<XW〃+3。）20.9973.

20.（本小題12.0分）

已知圖1是由等腰直角三角形4BE和菱形BCDE組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長為4,NA=90。，ND=

60。.將三角形4BE沿BE折起，使得平面&BE，平面BCDE（如圖2）.

（1）求證：/IjClCD；

（2）求二面角B-ArC-。的正弦值.

21.（本小題12.0分）

學(xué)校團(tuán)委和工會聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.

決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得

冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4,0.5,0.75,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙獲得

冠軍的概率分別記為Pi，p2.

（1）判斷甲、乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別（如果ip】_pzl2J緲1閘+0「，那么認(rèn)為甲、乙獲得冠

軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別)；

(2)用X表示教師乙的總得分，求X的分布列與期望.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(X)=aZnx—ax+1,aE.R.

(1)若經(jīng)過點(diǎn)(0,0)的直線與函數(shù)/(K)的圖像相切于點(diǎn)(2,f(2)),求實(shí)數(shù)a的值；

設(shè)2若有兩個(gè)極值點(diǎn)為x且不等式x武與+

(2)g(x)=/(x)+i%-1,g(x)Xi，x2(i*%2)，g(Xi)+5(2)<x2)

恒成立，求實(shí)數(shù);I的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???(/={1,2,3,456},4={1,2,3},B={3,5},

A={1,2,3,5},QG4U8)={4,6}.

故選：B.

可求出集合U,然后進(jìn)行并集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，全集的定義，并集和補(bǔ)集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

2.【答案】4

【解析】解：聶=磊貂3a—1—(a+3)i

10

由于黑為實(shí)數(shù),則a+3=。，所以a=-3,

故選：A.

求出第=磊黯=生鏟，再由黑為實(shí)數(shù)，能求出以

本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意，甲、乙兩組中各抽調(diào)2名人員，

則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生，該醫(yī)生可能來自甲組，也可能來自乙組，

故不同選法共有《盤底C+Cl^ClCl=60+72=132種.

故選：B.

根據(jù)該醫(yī)生可能來自甲組，也可能來自乙組，再結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.

本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：已知向量d,B滿足|a+b\=7'且同=3,說=4，

又|2+3『+|五一司2=+2,，

則|百_旬=V2x32+2x42-72=1.

故選：D.

由平面向量的模的運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量的模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：令x=1,可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1+a)6=64,且a>0,

?,?1+a=2,Aa=1,

???二項(xiàng)式為(X+左)6,展開式的通項(xiàng)為7；+1=儂6-r.=噩迪會，

令6-3r=0得r=2,即展開式中的常數(shù)項(xiàng)為霖=15,

故選：C.

令x=l,可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(l+a)6=64,求出a的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.

本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)B=”接收到的信號為0"，4="發(fā)送的信號為0”，

則7="發(fā)送的信號為1"，B="接收到的信號為1”，

所以P(4)=0.5，p(4)=0.5，P(B|4)=0.9,P(B\A)=0.1>P(B|4)=0.05，P(B|4)=0.95，

所以接收信號為0的概率為：P(B)=PQ4)P(B|4)+PG4)P(B|4)=0.5X0.9+0,5X0.05=0.475>

所以接收信號為1的概率為：P⑻=1-P(B)=1-0,475=0.525.

故選：B.

運(yùn)用全概率公式及對立事件概率公式計(jì)算即可.

本題考查全概率公式及對立事件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由二項(xiàng)式定理可得與=(2+l)n=3n,

則數(shù)列｛an｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

則方=管=干

又n=6時(shí)，Sn=1092,71=7時(shí),，Sn=3279,

即使%>2023的最小的n是7,

故選：C.

由二項(xiàng)式定理，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即可.

本題考查了二項(xiàng)式定理，重點(diǎn)考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由雙曲線r：1一［=1得出￡1=2/=/攵1=1^,\I

因?yàn)?AB=^F2BA,/

所以隹川=1^1./:

作F2cl48于C,/\

則C是48的中點(diǎn).

設(shè)隹川=四用=》,則由雙曲線的定義嗎川一|京川=2a,|F/|一|尸2引=2山

可得-4,\FtB\=%4-4,\AB\=8,

故cos"］BF2=i^i=%

又由余弦定理得8SNF/F2=。+旬：(盆yvI*;Tj(zV?『=(專A-IT"鬃IAt，

所以士==M，

x(x+4)-x

解得x=2>J_5.

故選：C.

利用雙曲線的定義和性質(zhì)表示出各邊長，再利用直角三角形的邊角關(guān)系及余弦定理求出|8?2|即可.

本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直角三角形的邊角關(guān)系及余弦定理，屬中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：y=2sinxcosx=sin2x,y=sin2x向右平移3個(gè)單位得到：y=sin2(x-sin(2x-^),

???/(x)=sin(2x冶)，

??.fQ)的最小正周期為兀，4正確；

%6［一晨］時(shí)，2工一片［一第二?.?"X)在［一烷］上沒有單調(diào)性，B錯(cuò)誤；

解攵=軻，2%-號=今不是f(x)的對稱軸，C錯(cuò)誤；

解2x*=0得，x屋，???仁,())是f(x)的對稱中心，O正確.

故選：AD.

根據(jù)條件得出/(x)=sin(2x-9,從而判斷A正確；由xG［一濾］得出"一臺［一與，，從而判斷B錯(cuò)誤;

X=軻，得出=%判斷C錯(cuò)誤；解2x*=0可得出O正確.

本題考查了三角函數(shù)的平移變換，y=Asin(s;+w)的周期的計(jì)算公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正弦函數(shù)

的對稱軸和對稱中心，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：/(x)=(x+l)ex-1,

對于4：x>0時(shí)，(x+l)ex>1,

所以((x)>0,f(球在(0,+8)遞增,故A正確；

對于B：令/'(無)=0,

解得：x=0,

所以/(乃有一個(gè)零點(diǎn)，故8錯(cuò)誤；

對于C：切線斜率k=f'(—1)=—1,故C正確；

對于D：函數(shù)定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

f(-x)=-x-{e~x-1)#=/(x),/(-%)*-/(x)

所以/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)/'(x)=(x+l)ex-1,可以判斷4是否正確；令/(x)=0,解得x,可以判定B是否正確；計(jì)算/'(一1),

可以判定C是否正確；根據(jù)函數(shù)奇偶性，可以判定。是否正確.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】BC

【解析】解：A,B可以同時(shí)發(fā)生，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

11

PQ4)=P(B)=芯P(AB)=^=P(A)-P(B),從而4B互為獨(dú)立事件，8正確；

P(C)=1-P(C)=1-§|=1,C正確；

P⑷0=篇=鼻/D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

觀察事件4B是否可以同時(shí)發(fā)生，可判定4選項(xiàng)；計(jì)算P(4),P(8)看中(48),P(4)?P(8)是否相等，即可

判定B選項(xiàng)；用對立事件可算出事件C的概率，即可判定C選項(xiàng)；用條件概率的公式P(川C)=需可計(jì)算其

概率，則。選項(xiàng)可判定.

本題考查互斥事件、對立事件、條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于4選項(xiàng)，連接BO。BD貝ijBDiflBi。=。，連接AC,BD,如圖所示,

當(dāng)G為BC中點(diǎn)時(shí)，由于E是4B的中點(diǎn)，

所以EG〃/1C,由于4C1B0,所以EG1BD,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知EG1BB\,

由于BDDBBi=B,BD,幽u平面BD。?所以EG_L平面時(shí)歷為，

由于。。u平面8DD1&,所以0CJ.EG,故A正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)G與B重合時(shí)，連接4Q,4C,則4Cin&C=。,

連接ZF,如圖所示，由圖可知：

4在平面EFB上，。在平面EFB外，故B不正確;

BQ,則。是BDi的中點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為1,

點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)，由對稱性可知OM_LEF,

由勾股定理可知易知EF=VEB2+BF2=，石,OE=。，

球心。到EF距離為OM=JO_（?）2=殍，

則EF被球截得的弦長為/=2dF二0臚=2J/存尸=故。正確;

D,C,

對于。選項(xiàng)，如圖所示，結(jié)合C選項(xiàng)的分析可知：

當(dāng)0M垂直于過EF的平面，此時(shí)截面圓的面積最小，

此時(shí)圓的半徑就是r=g=浮，

面積為S=兀產(chǎn)=爭兀，故￡)正確.

故選：ACD.

根據(jù)線線垂直、線面平行、球的弦長、球的截面等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

本題考查的知識要點(diǎn)：線線垂直的證明，球的截面或球的弦長有關(guān)問題，球的幾何性質(zhì)，勾股定理，主要

考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】1

4432

【解析】解：由于(％+2)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

4

故令x=-1,可得—a3+a2-+a0=(-1+2)=1.

故答案為：1.

利用賦值法求得正確答案.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開

式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】5

22

【解析】解：(x—y)(x+y)5=(x—+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5)>

故它的展開式中，/y3的系為io—5=5,

故答案為：5.

2

把(X+y)5按照二項(xiàng)式定理展開，可得(X-?)(x+y)5的展開式中，》3y3的系數(shù).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

15.【答案】8

-1+24-3+4+5c-20+50+100+150+180,八八

【解析】解:由題意可得,x=---------------=3,y=--------------------------=100,

——___一人

???y=bx+Q，己知b=42>則Q—100—42x3=-26,

則y=42x—26，

令y=42x-26>300，可得x>詈弋7.76,

又久為整數(shù)，的最小值為8.

故答案為：8.

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求解a，再由y=42x-26>300求得乂的范圍得答案?

本題考查線性回歸方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】（0心）

【解析】解：由題意設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=k(K-1)+t,

f(x)=-3x2+4x-1,設(shè)切點(diǎn)為(g,yo)，

則卜yMT1『一z，則t+1=2年-5詔+4沏有三個(gè)解,

同沏-1)+t=-詔+2詔一%。

令g(%)=2x3—5x2+4x,則g'(%)=6%2—10%+4=2(%—1)(3%—2),

由g'Q)>。得％>i或％<*由g'(%)<。得§<%<i?

7O

g（x）在（一8,目），（1,+8）單調(diào)遞增，（§,1）單調(diào)遞減,

7oft

又g（E）=罰g（i）=1，g（x）=t+1有三個(gè)解，

則1<t+1<奔解得0<t</,

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（0，鼻

故答案為：（0,^）.

設(shè)出切線的方程，根據(jù)切點(diǎn)和斜率列方程組，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,數(shù)列｛%｝的公比為q,

則匕:曾；6，解得％=2,d=l,

+10a=12x

???an=九+1,

n+1n

???Sn=2-2,Sn-i=2-2,(n>2)

n+1nn

Abn=2-2=2,(n>2)

n

v瓦=S[=2滿足bn=2,

n

：?bn=2；

n=,

⑷0=anlog2bn=n(n+l)n~n+l

則7n=a—今+(A》+(A；)+…+(;擊)=島.

【解析】(1)把。5=6,=12基本量化，從而可求得%=n+l；利用和與項(xiàng)的關(guān)系可求解以；

(2)求得分=正%=；一系，從而裂項(xiàng)相消法求和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

18.【答案】解：(1)由題意可得高三12個(gè)班級共抽取120名，

所以40+x+10+3x-10+40=120,得x=10；

2

(2)利用列聯(lián)表可得f=120:黑產(chǎn)12封20)=當(dāng)。13.333>10,828.

ouXouXouXoO3

則在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的情況下，認(rèn)為學(xué)生課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)跟學(xué)生成績有關(guān)；

(3)這6人中課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)的人數(shù)為6x瓶=4,課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過兩小時(shí)的人數(shù)為2,

X的取值為1,2,3,

P(X=3)=旨=

P(X=2)=等=|,

P(X=1)=等=",

故X的分布列為：

X123

131

P

555

F(X)=1x1+2x|+3x^=2.

【解析】(1)根據(jù)總?cè)藬?shù)可解；

(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想可解；

(3)根據(jù)題意可得X的取值為1,2,3,再分別計(jì)算概率，寫出分布列即可解.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

19.【答案】解：樣本平均數(shù)的估計(jì)值為，

則；=10(40X0.01+50x0.02+60x0.03+70x0.024+80x0.012+90x0.004).

解得：i=62.所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.

(2)因?yàn)閷W(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布NO，/),其中“=62,14.

所以〃+2"62+2x14=90.所以P(x>90)=P(x2〃+2o)=/-1(1-0.9545)=0.02275.

所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為0.02275x8000=182.

(3)由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為:可知：a2b="

oo

則P=a2(l—b)+Cjafl-d)b=a2+2ab—|=a24-^—1.

令P=/(a)=a2+》^,0<a<L[⑷=2a一白=翌=

當(dāng)0<a<g時(shí)，f'(a)<0;當(dāng);<a<l時(shí)，f(a)>0.

所以/（a）在區(qū)間（0,方上是減函數(shù)，在區(qū)間?,1）上是增函數(shù).

所以=/（|）=j+|-1=|?所以。的最小值為看

【解析】（1）由頻率直方圖平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；

（2）由分析知4=62,a?14,則〃+2。右90,由3。原則求解即可；

（3）由題意可得出P=a2+^-|,求導(dǎo)P,得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求出答案.

本題考查頻率分布直方圖以及正態(tài)分布相關(guān)知識，屬于中檔題.

20.【答案】（1）證明：取BE的中點(diǎn)。，連接公。，0C.

???A^B=AIE,A^O1.BE.

又???平面&BE_L平面BCOE,且平面&BEn平面BCOE=BE,4。u平面&BE,

&。1平面BCDE,而CDu平面BCOE,貝見。1CD.

在菱形BCDE中，?.?〃>=60。，BCE為等邊三角形，

???8^的中點(diǎn)為。，；.。。_18心

-BE//CD,.-.OCICD

Ar0C\OC=0,A］。，。（？<2平面41。。，

?-.CD1平面占0C,

v41cu平面為0C,CD1AXC.

(2)由⑴401平面BCDE,???OB,OCu平面8CDE,

：.Ax01OB,Ar01OC,又OC_LBE,

以O(shè)B,OC,04所在的直線分別為%軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

貝?山(2,0,0),C(0,2「,0),D(―4,2門,0),七(0,0,2),

.?.萬=(0,2廳-2)，配=(-2,2廳0)，CD=(-4,0,0).

設(shè)平面841c的法向量為元=（x,y,z）,

llfn7'&C=2y/~3y—2z=0

I元-BC=-2x+2V3y=0取y=1,得溫=(C,

設(shè)平面D&C的法向量為五=Oi，yi，Zi）,

,(n7-A-.C=2y/-3y—2z1=0??,—_,,,—、

由(——.1，取Zi=V"?’得4a的=(0,1(AT3)-

顯?CC=-4%1=0

設(shè)二面角的大小為6,由圖可知。為鈍角，

.\g\-同可-4_紅2則_<21

Tccoossui-同同-Cx2-7，人JsinJ--

???二面角B-&C-。的正弦值為手.

【解析】（1）取BE的中點(diǎn)。，連接公0,0C,則&O_LBE,再結(jié)合已知面面垂直可得①。1平面BCDE,則

Ar01CD,而0cleD,再由線面垂直的判定可得CD1面40C,從而可證得&C_LCD；

⑵以O(shè)B,0C,。公所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,

是中檔題.

21.【答案】解：（1）不妨設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為4B,C,

則教師甲獲得冠軍的概率Pi=P(4BC)+P(4BC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.4x0.5X0.75+0.6x0.5x0.75+0.4x0.5x0.75+0.4x0.5x0.25=0.15+0.225+0.15+0.05=

0.575,

則教室以獲得冠軍的概率P2=1-Pi=0.425,

因?yàn)镴嗎眼+0；=v-016=0.41

解得IPi-%1=0.15，

又IPLP2I〈戶面

所以甲、乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別；

(2)已知X的所有取值為-15,0,15,30,

此時(shí)P(X=-15)=0.4X0.5x0.75=0.15,P(X=0)=0.6x0.5x0.75+0.4x0.5x0.75+0.4x0.5x

0.25=0.425,

P(X=15)=0.4x0.5x0.25+0.6x0.5x0.25+0.6x0.5x0.75=0.35,P(X=