第23講 PISA類(lèi)三角函數(shù)問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn) (原卷版)

第23講PISA類(lèi)三角函數(shù)問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)【知識(shí)點(diǎn)睛】資料概括：本資料針對(duì)九年級(jí)重點(diǎn)題型PISA類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練。PISA類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問(wèn)題有所不同，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)主要指向?qū)W生的學(xué)科素養(yǎng)，或者說(shuō)是考察學(xué)生使用學(xué)科語(yǔ)言的能力，即把發(fā)生在現(xiàn)實(shí)情境中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型中思考，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)的各個(gè)方面對(duì)于解決問(wèn)題都是具有真實(shí)效用的。PISA類(lèi)問(wèn)題在浙江九年級(jí)數(shù)學(xué)中經(jīng)常以填空題的形式考察，通常放在第16題壓軸題的位置，難度一般較大?！绢?lèi)題訓(xùn)練】1．如圖1為某款“不倒翁”，圖2為它的主視圖，PA、PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A、B．連接PO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，若該圓半徑是6cm，PA＝8cm，則sin∠AMB的值為（）A． B． C． D．2．圖1是一種落地晾衣架，晾衣時(shí)，該晾衣架左右晾衣臂張開(kāi)后示意圖如圖2所示，AB和CD分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，其中兩支腳OD＝OB＝50cm，展開(kāi)角∠BOD＝70°，晾衣臂AO＝80cm，則支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度AE為（）A．130tan55°cm B．130sin55°cm C． D．3．綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀ABCD為正方形，AB＝40cm，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹(shù)頂E在一條直線(xiàn)上，鉛垂線(xiàn)AM交BC于點(diǎn)H．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面2m，到樹(shù)EG的距離AF＝10m，BH＝30cm．則樹(shù)EG的高度為（）??A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.94．勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來(lái)倍受人們的喜愛(ài)．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長(zhǎng)之比為：1，則sin∠DGE等于（）A． B． C． D．5．如圖，矩形ABCD是供一輛機(jī)動(dòng)車(chē)停放的車(chē)位示意圖，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，則車(chē)位所占的寬度EF為米．（，結(jié)果精確到0.1）6．如圖1是某品牌訂書(shū)機(jī)，其截面示意圖如圖2所示．訂書(shū)釘放置在軌槽CD內(nèi)的ND處，由連接彈簧的推動(dòng)器MN推緊，連桿EP一端固定在壓柄CF上的點(diǎn)E處，另一端P在MN上移動(dòng)．已知CA⊥AB，CA＝2cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm，點(diǎn)H是底座上釘子的落點(diǎn)，AH＝12cm．（1）使用時(shí)，紙張放置在底座AB的合適位置，將壓柄CF下壓，使得點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，即完成裝訂，則軌槽CD的長(zhǎng)為．（結(jié)果精確到0.1cm）（2）裝入訂書(shū)釘時(shí)，需拉動(dòng)壓柄CF，點(diǎn)P滑動(dòng)到與點(diǎn)M重合，壓柄CF會(huì)帶動(dòng)推動(dòng)器MN向點(diǎn)C移動(dòng)．當(dāng)∠FCD＝53°時(shí)，在ND處可以裝入一段最長(zhǎng)為的訂書(shū)釘．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：）7．如圖，準(zhǔn)備在寬24米的迎賓大道AB路邊安裝路燈，設(shè)計(jì)要求：路燈的燈臂CD長(zhǎng)4米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線(xiàn)DO與燈臂CD垂直，燈柱BC與大道路面AB垂直，此時(shí)O恰好為AB中點(diǎn)．（1）∠DOB的度數(shù)為°．（2）現(xiàn)在由于道路兩邊都要裝路燈，要求，且燈臂CD縮短為1米，其它的位置關(guān)系不變．則現(xiàn)在路燈的燈柱BC高度應(yīng)該比原設(shè)計(jì)高度縮短了米．8．如圖1是平陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校園內(nèi)過(guò)道旁的燈柱，圖2是燈柱的部分意圖，此示意圖是關(guān)于直線(xiàn)PQ的軸對(duì)稱(chēng)圖形．已知：tan∠PAC＝，弧分別與直線(xiàn)AC、DE相切于C、D，BD⊥PQ，BQ∥DE，已知BD＝40cm，AC＝150cm，則弧所在圓的半徑是cm，現(xiàn)要在燈柱兩側(cè)圓弧，上分別取中點(diǎn)M、M′，掛上學(xué)習(xí)標(biāo)兵照片，則MM′＝cm．9．如圖是體育場(chǎng)籃球架的實(shí)物圖和示意圖，已知支架AB的長(zhǎng)為2.3m，支架AB與地面的夾角∠BAC＝70°，BE的長(zhǎng)為1.5m，籃板部支架BD與水平支架BE的夾角為46°，BC，DE垂直于地面，則籃板頂D到地面的距離約為m．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04．10．某款沙發(fā)三視圖如圖1所示，將沙發(fā)側(cè)面展示圖簡(jiǎn)化后放入平面直角坐標(biāo)系，得到圖2．其中椅背AB是雙曲線(xiàn)的一部分，椅面BD是一條線(xiàn)段，點(diǎn)B（20，32），沙發(fā)腿DE⊥x軸、BC與x軸夾角為α．請(qǐng)你根據(jù)圖形解決以下問(wèn)題：?（1）k＝；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F．已知CF＝4cm，DE＝40cm，tanα＝4，tanD＝5．則：①A點(diǎn)坐標(biāo)為；②沙發(fā)的外包裝箱是一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)包裝箱的體積至少是cm3（精確到萬(wàn)位，并用科學(xué)記數(shù)法表示）．11．金華新金婺大橋是華東第一的獨(dú)塔斜拉橋，如圖1是新金婺大橋的效果圖．如圖2，我們把吊裝過(guò)程抽象成如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：線(xiàn)段OP為主塔，在離塔頂10米處有一個(gè)固定點(diǎn)Q（PQ＝10m）．在東西各拉一根鋼索QN和QM，已知MO等于282m．吊裝時(shí)，通過(guò)鋼索QM牽拉，主塔OP由平躺橋面的位置，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與橋面垂直的位置．中午休息時(shí)∠PON＝60°，此時(shí)一名工作人員在離M6.4m的B處，在位于B點(diǎn)正上方的鋼索上A點(diǎn)處掛彩旗．AB正好是他的身高1.6m．主塔OP的長(zhǎng)為m．12．如圖，某居民樓地處北半球某地，窗戶(hù)朝南，窗戶(hù)AB高為1.5米，BCD表示直角遮陽(yáng)棚，墻BC長(zhǎng)度為0.5米，此地一年的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光與地面的最大夾角為α，測(cè)得tanα＝，要使太陽(yáng)光剛好不射入室內(nèi)，遮陽(yáng)棚水平寬CD應(yīng)設(shè)計(jì)為米．13．如圖所示，這是一款在某商城熱銷(xiāo)的筆記本電腦散熱支架，在保護(hù)頸椎的同時(shí)能讓筆記本電腦更好地散熱．根據(jù)產(chǎn)品介紹，當(dāng)顯示屏與水平線(xiàn)夾角為120°時(shí)為最佳健康視角．如圖，小翼希望通過(guò)調(diào)試和計(jì)算對(duì)購(gòu)買(mǎi)的散熱架OAC進(jìn)行簡(jiǎn)單優(yōu)化，現(xiàn)在筆記本電腦下墊入散熱架，散熱架角度為∠OAC＝30°，調(diào)整顯示屏OB與水平線(xiàn)夾角保持120°，已知OA＝24cm，OB＝18cm，若要BC⊥AC，則底座AC的長(zhǎng)度應(yīng)設(shè)計(jì)為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）14．如圖所示的是某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線(xiàn)相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平線(xiàn)AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根輔助支架DE＝78cm，∠E＝60°．則水箱半徑OD的長(zhǎng)度為cm（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）．15．新冠疫情期間，同學(xué)們都在家里認(rèn)真的進(jìn)行了網(wǎng)課學(xué)習(xí)，小明利用平板電腦學(xué)習(xí)，如圖是他觀看網(wǎng)課時(shí)的側(cè)面示意圖，已知平板寬度即AB＝20cm，平板的支撐角∠ABC＝60°，小明坐在距離支架底部30cm處觀看（即DB＝30cm），點(diǎn)E是小明眼睛的位置，ED⊥DC垂足為D．EF是小明觀看平板的視線(xiàn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)視線(xiàn)與屏幕所成銳角為80°時(shí)（即∠AFE＝80°），對(duì)眼睛最好，那么請(qǐng)你求出當(dāng)小明以此視角觀看平板時(shí)，他的眼睛與桌面的距離DE的長(zhǎng)為cm．（結(jié)果精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：）16．如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計(jì)．某學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間測(cè)量主塔頂端到橋面的距離．勘測(cè)記錄如表：根據(jù)表中提供的信息，主塔頂端E到AB的距離為47.7m．活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量主塔頂端到橋面的距離成員組長(zhǎng)：×××組員××××××××××××測(cè)量工具測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖說(shuō)明：如圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A，C，D，B在同一條直線(xiàn)上，BF⊥AB，點(diǎn)A，C，分別與點(diǎn)B，D關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）測(cè)量數(shù)據(jù)∠A的大小28°AC的長(zhǎng)度84mCD的長(zhǎng)度12m17．如圖1，圖2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（與地面平行）或繞定點(diǎn)P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終保持AP＝A′P，BP＝B′P）．通過(guò)向下踩踏點(diǎn)A到A′（與地面接觸點(diǎn)）使點(diǎn)B上升到點(diǎn)B′，與此同時(shí)傳動(dòng)桿BH運(yùn)動(dòng)到B'H'的位置，點(diǎn)H繞固定點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DH為旋轉(zhuǎn)半徑）至點(diǎn)H'，從而使桶蓋打開(kāi)一個(gè)張角∠HDH′．如圖3，桶蓋打開(kāi)后，傳動(dòng)桿H′B′所在的直線(xiàn)分別與水平直線(xiàn)AB、DH垂直，垂足為點(diǎn)M、C，設(shè)H′C＝B′M．測(cè)得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，EH＝14cm，F(xiàn)G＝0.3cm．（1）要使桶蓋張開(kāi)的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB離地面的高度至少等于cm；（2）當(dāng)tan∠HDH'＝時(shí)投入一個(gè)小球，并能順利蓋上垃圾桶蓋，小球的最大半徑為cm．18．如圖1是小鳥(niǎo)牙簽盒實(shí)物圖，圖2是牙簽盒在取牙簽過(guò)程中一個(gè)狀態(tài)的部分側(cè)面示意圖，D、E為連接桿AB上兩個(gè)定點(diǎn)，通過(guò)按壓點(diǎn)B，連接桿AB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，從而帶動(dòng)連接桿DF上升，帶動(dòng)連接桿FH與FG繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，致使牙簽托盤(pán)HI向外推出，在取牙簽過(guò)程中固定桿EG位置不變且DF與EG始終平行，牙簽托盤(pán)HI始終保持水平，現(xiàn)測(cè)得FG＝FH＝1cm，EB＝cm，DF＝EG＝7cm，∠HFG＝46°與∠B＝90°，桿長(zhǎng)與桿長(zhǎng)之間角度大小不變，已知，牙簽盒在初始狀態(tài)，D、H、F三點(diǎn)共線(xiàn)，在剛好取到牙簽時(shí)，E、H、G三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)C落在線(xiàn)段HI上，（參考數(shù)據(jù)：tan23°＝）（1）從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時(shí)，牙簽托盤(pán)HI在水平方向被向外推出cm；（2）鳥(niǎo)嘴BC的長(zhǎng)為cm．19．如圖1的一湯碗，其截面為軸對(duì)稱(chēng)圖形，碗體ECDF呈半圓形狀（碗體厚度不計(jì)），直徑EF＝26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如圖1，當(dāng)湯碗平放在桌面MN上時(shí)，碗的高度是cm，圓心到點(diǎn)B的距離是cm．（2）如圖2，將碗放在桌面MN上，繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分湯，當(dāng)碗內(nèi)湯的深度最小時(shí)，tan∠ABM的值是．20．如圖1是一張乒乓球桌，其側(cè)面簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖2所示，臺(tái)面AB＝274cm（臺(tái)面厚度忽略不計(jì)）與地面平行，且高度為76cm（臺(tái)面AB與地面之間的距離），直線(xiàn)型支架PE與QF的上端E，F(xiàn)與臺(tái)面AB下方相連，PE與QF的下端P，Q與直徑為4cm的腳輪（側(cè)面是圓）相連（銜接之間的距離忽略不計(jì)），直線(xiàn)型支架CG與DH的上端C，D與臺(tái)面AB下方相連，下端G，H與PE，QF相連，圓弧形支架GH分別與PE，QF在點(diǎn)G，H相連，且PC⊥AB，QD⊥AB，PE＝QF，CG＝DH，AC＝BD，CE＝DF，已知EF＝106cm，＝，tan∠ECG＝tan∠FDH＝，則CG的長(zhǎng)度為cm，當(dāng)所在的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、Q時(shí)，所在的圓的圓心到臺(tái)面AB之間的距離為cm．?21．光從空氣射入某介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦與折射角的正弦之比叫做這種介質(zhì)的折射率，如圖1所示，該介質(zhì)的折射率為．某同學(xué)學(xué)習(xí)了光的折射后，準(zhǔn)備了一些材質(zhì)相同，厚度不同的均勻介質(zhì)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，已知一束光線(xiàn)的入射角正弦值為．?（1）如圖2，在沒(méi)有介質(zhì)遮擋下，光線(xiàn)照射在平面上的點(diǎn)P處，當(dāng)放入一厚度為8cm的介質(zhì)后，點(diǎn)P向右平移了2cm到達(dá)點(diǎn)Q處，則該介質(zhì)的折射率為；（2）如圖3，兩個(gè)互相垂直的平面AB與AC，在沒(méi)有介質(zhì)遮擋下，光線(xiàn)照射在AC面上的點(diǎn)M處，且AM＝4cm，當(dāng)放入某一厚度的介質(zhì)后，折射光線(xiàn)照在AB面的點(diǎn)M′處且AM′＝1，則放入介質(zhì)的厚度為cm．22．如圖1，是一種購(gòu)物小拉車(chē)，底部?jī)蓚?cè)裝有軸承三角輪，可以在平