1.1 認識三角形（解析版）

1.1認識三角形學習目標：1．認識三角形的邊、內(nèi)角、頂點，能用幾何語言表示三角形；2．掌握三角形的三邊關(guān)系定理，能利用定理及其推論進行簡單的證明；3．了解三角形分類的原則和結(jié)論．重點：理解三角形三邊之間的不等關(guān)系．難點：運用三角形三邊之間的不等關(guān)系解題．知識點一三角形的有關(guān)概念三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.有關(guān)概念（1）邊:組成三角形的線段叫做三角形的邊.如圖，線段AB，BC，AC是三角形ABC的三條邊.三角形ABC的三條邊有時也用a，b，c表示.圖SEQ圖\*ARABIC1（2）頂點:相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.如圖1，點A，B，C是三角形ABC的三個頂點.（3）角:相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.如圖1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個角.如圖1，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是BC，AC，AB;反過來，三條邊AB，BC，AC所對的角分別是∠C，∠A，∠B.三角形的表示三角形用符號“△”表示，如圖1，以A，B，C為頂點的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.1.用a,b,c表示△ABC的三邊時，頂點A所時的邊一般用a表示，頂點B所對的邊一般用b表示，頂點C所時的邊一般用c表示.2.三角形三個頂點的字母的次序可任意調(diào)整，△ABC也可寫或“△BAC”“△BCA”"△CAB"等.3.用a,b,c表示△ABC的三邊時，頂點A所時的邊一般用a表示，頂點B所對的邊一般用b表示，頂點C所時的邊一般用c表示.即學即練（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤切问侵?)A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義解答即可．【詳解】因為三角形的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的定義．解題的關(guān)鍵是熟記三角形的定義．知識點二三角形的分類1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.2.等邊三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形。【3.三角形的分類(1)按邊的相等關(guān)系分類：按內(nèi)角的大小分類：(1)在一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角.(2)在一個三角形中，最多有一個直角，最多有一個鈍角，(3)三角形的兩種分類方法是各自獨立的，同一個三角形可能同時屬于兩個不同的類別.如等腰直角三角形按邊分類屬于等腰三角形，而按角分類則屬于直角三角形.即學即練（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可知最大角為90°，因式這個三角形是直角三角形．故選B．判斷三角形形狀的方法首先確定其分類標準，是按角分類還是按邊分類，若按角分類，則看這個三角形的最大角是哪一類角，最大角是哪一類角，則這個三角形就是哪一類三角形.若按邊分類，則看是否有等邊，有等邊，則這個三角形就是等腰三角形.知識點三三角形的三邊關(guān)系三角形的三邊關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.【注意】這里說的兩邊，是指任意的兩邊。三角形的三邊關(guān)系反映了任意三角形邊的限制關(guān)系，一般會與不等式聯(lián)系起來考慮。圖形文字語言符號語言三角形兩邊的和兩點之間，線段最短三角形三邊關(guān)系的應用(1)判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，(2)確定第三邊長(或周長)的取值范圍(3)解決線段的不等關(guān)系問題(如證明幾何不等式).即學即練1（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）下列各條線段的長能組成三角形的是（

）A．5，7，12 B．5，12，16 C．2，3，6 D．5，5，12【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一進行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、5+7=12，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能組成三角形，不符合題意，選項錯誤；B、5，12，16滿足三角形的三邊關(guān)系，能組成三角形，符合題意，選項正確；C、2+3=5<6，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能組成三角形，不符合題意，選項錯誤；D、5+5=10<12，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能組成三角形，不符合題意，選項錯誤，故選B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即學即練2（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）若a，b，c為三角形的三邊長，且a，b滿足a-3+b-2【答案】1＜c【分析】由a-3+b-【詳解】解：∵a-∴a-3=0，∴a=3，b=2，∵a，b，c為三角形的三邊長，∴1＜故答案為：1【點睛】本題考查的是算術(shù)平方根的非負性，偶次方的非負性的應用，三角形的三邊關(guān)系的理解，利用非負數(shù)的性質(zhì)求解a=3,b=2是解本題的關(guān)鍵．知識點四三角形的高1.三角形的高的概念從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。2.三角形的高的幾何語言表達形式如圖所示，AD是△ABC的邊BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD⊥BC于點D，或∠BDA=∠CDA=90°.【注意】三角形的高與垂線的區(qū)別：三角形的高是一條垂線段，垂線是一條直線。3.三角形三條高的位置高及高的交點的位置圖示銳角三角形三條高都在三角形的內(nèi)部，三條高的交點在三角形的內(nèi)部直角直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點是直角頂點鈍角鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高沒有交點，但三條高所在的直線交于三角形外一點1.作三角形高的步驟作三角形的高的步驟就是“過直線外一點作該直線的垂線段”的步驟：一靠：三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上；二移：移動三角尺使另一條直角邊通過要作高的頂點，三畫：畫垂線段.2.三角形的三條高的特性銳角三角形直角三角形鈍角三角形高在三角形內(nèi)部的數(shù)量311高之間是否相交相交相交不相交高所在的直線是否相交相交相交相交三條高所在直線的交點的位置三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部即學即練1（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ADC中DC邊上的高是（

）A．線段AB B．線段AD C．線段AC D．線段BC【答案】A【分析】根據(jù)三角形高線的定義（從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線,頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高線）進行判斷．【詳解】解：△ADC中DC邊上的高是線段AB故選：A．【點睛】本題考查了三角形的高，正確理解三角形的高線的定義是解決問題關(guān)鍵．即學即練2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.解：根據(jù)垂線段最短，可知當BP⊥AC時，BP有最小值．由△ABC的面積公式可知，AD·BC＝BP·AC.代入數(shù)值，可解得BP＝.面積法的應用：若涉及兩條高求長度，一般需結(jié)合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.知識點五三角形的中線1.三角形的中線的概念CABD在三角形中，連接一個頂點和CABD2.三角形中線的幾何語言表達形式如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，或AD是△ABC的中線。3.三角形中線的數(shù)量和位置任何三角形都有三條中線，三條中線都在三角形內(nèi)部，并且三條中線相交于一點，這點在三角形的內(nèi)部.CACABDE三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.5.三角形的中線分成的兩個三角形的面積及周長的關(guān)系(1)面積關(guān)系：如圖所示，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高，則S?ABD=因為BD=CD,所以12BD?AE=所以S?ABD=S?ACD.（(2)周長關(guān)系：因為△ABD的周長=AB+BD+AD,△ACD的周長=AC+CD+AD,所以△ABD的周長-△ACD的周長=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性質(zhì)在幾何推理中也是常用方法！）（1）三角形的中線可將三角形分成面識相等的兩部分;（2）△ABD和△ACD的周長之差實質(zhì)上就是AB與AC的長度之差.即學即練（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知D、E分別為△ABC的邊AC、BC的中點，AF為△ABD的中線，連接EF，若四邊形AFEC的面積為15，則△ABC的面積為（A．20 B．24 C．26 D．30【答案】B【分析】連接DE，設(shè)S△【詳解】解：連接DE，設(shè)S△∵D、E分別為△ABC的邊AC、BC的中點，AF∴S△∴S△∴S△∴S△∴四邊形AFEC的面積=2x+3x=5x=15，∴x=3，∴△ABC的面積=8x=24故選B．【點睛】本題考查了中線的定義，三角形的面積，熟練掌握等底同高的三角形的面積相等和中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．知識點六三角形的角平分線1.三角形的角平分線的概念CACABD邊相交于一點，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.2.三角形的角平分線的幾何語言表達形式如圖所示，AD是△ABC的角平分線，或∠BAD=∠CAD=12∠BAC且點D在邊BC上.3.三角形的角平分線的位置三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點.即學即練如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).解：∵DC平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD=12∠又DE∥BC，∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.知識點七三角形內(nèi)角和1.定理(1)文字敘述：三角形三個內(nèi)角的和等于180°(2)數(shù)學語言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.2.定理的實踐探索的示意圖如圖所示，把△ABC的三個內(nèi)角拼在一起，組成一個平角，即三個內(nèi)角的和為180°。多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是借助的平行線“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化到一個平角上.三角形內(nèi)角和定理的兩點應用：(1)在三角形中，已知任意兩個角的度數(shù)，可求出第三個角的度數(shù)；(2)已知三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，可利用三角形內(nèi)角和等于180°,列方程求出各內(nèi)角的度數(shù)。3.利用“平行線的性質(zhì)”證明三角形的內(nèi)角和定理的典例推理過程方法1過點A作l∥BC，則∠B=∠1，∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.延長BC到D，過點C作CE∥BA，則∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.過D作DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.即學即練如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=12∠BAC在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的內(nèi)角和常用二級結(jié)論：由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D知識點八三角形的外角1.三角形外角的定義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖所示，∠ACD是△ABC的一個外角。(1)三角形的外角和與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角.(2)三角形的每一個頂點處都有且只有兩個外角，這兩個外角是對頂角，一個三角形共有六個外角，一個三角形的內(nèi)角的對頂角不是這個三角形的外角.2.外角的性質(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.應用格式：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD=∠A+∠B.(2)三角形內(nèi)角和定理的另一個推論：三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.3.三角形的外角和定理在三角形的每個頂點處取一個外角，三個不同頂點處的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和為360°.即學即練1如圖①，試比較∠2、∠1的大??；如圖②，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖①圖②圖①:解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.圖②:解：∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.即學即練2如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.題型一三角形的識別與有關(guān)概念例1（2020秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┮晃煌瑢W用三根木棒兩兩相交拼成如下圖形，則其中符合三角形概念的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、三條線段沒有首尾順次相接，不合題意；B、三條線段沒有首尾順次相接，不合題意；C、三條線段沒有首尾順次相接，不合題意；D、不在同一直線上的三條線段首尾順次相接，是三角形，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查三角形圖形的知識，根據(jù)三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。判斷是否三條線段首尾順次相接是解決本題的關(guān)鍵。舉一反三1（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）三角形的一個外角是銳角，則此三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)外角是銳角，可得相鄰的內(nèi)角是鈍角，即可判斷．【詳解】∵一個外角是銳角，∴相鄰的內(nèi)角是鈍角，∴這是一個鈍角三角形，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的形狀舉一反三2（2020秋·浙江寧波·八年級?？计谥校⒁粋€三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（）A．都是直角三角形 B．都是鈍角三角形C．都是銳角三角形 D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形【答案】C【分析】分三種情況討論，即可得到這兩個三角形不可能都是銳角三角形．【詳解】如圖，沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個直角三角形．如圖，鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個鈍角三角形．如圖，直角三角形沿虛線剪開即可得到一個直角三角形和一個鈍角三角形．因為剪開的邊上的兩個角互補，故這兩個三角形不可能都是銳角三角形．故選：C【點睛】本題主要考查了三角形的分類，理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．題型二三角形的分類例2（2023秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是3:4:5，則這個三角形一定是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】A【分析】由三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是3:4:5，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，分別求解三個內(nèi)角的大小，再作出判斷即可．【詳解】解：∵三角形的三個內(nèi)角之比是3:4:5，∴三角形的三個內(nèi)角依次為：180°×312=45°∴該三角形一定是銳角三角形．故選A．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的分類，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，其中不能判定三角形類型的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的分類：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形進行判斷即可．【詳解】解：A、知道兩個角，可以計算出第三個角的度數(shù)，因此可以判斷出三角形類型；B、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形；C、露出的角是銳角，其他兩角都不知道，因此不能判斷出三角形類型；D、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形；故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形，關(guān)鍵是掌握三角形的分類．舉一反三2（2022秋·浙江·八年級期中）若一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是2:3:7，則這個三角形一定是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，進而可得答案．【詳解】解：因為一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是2:3:7，所以這個三角形的三個內(nèi)角分別是30°，45°，105°，所以這個三角形是鈍角三角形．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．題型三構(gòu)成三角形的條件例3（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．3，5，9【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐項判斷即可．【詳解】解：A、1+2=3，不能組成三角形，故不符合題意；B、3+4=7>5，能組成三角形，故符合題意；C、2+3=5，不能組成三角形，故不符合題意；D、3+5=8<9，不能組成三角形，故不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊這一關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）兩根木棒的長度分別為5cm，8A．2cm B．3cm C．6cm【答案】C【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出第三邊的取值范圍，然后選擇答案即可．【詳解】解：∵8-5=3，∴5cm<第三邊<13cm，縱觀各選項，能組成三角形的第三根木棒的長度是6cm．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟記關(guān)系式求出第三邊的取值范圍是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（

）A．2，5，7 B．9，3，5 C．4，5，6 D．4，5，10【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理逐項判斷即可得．【詳解】解：三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊．A、2+5=7，不能構(gòu)成三角形，此項不符題意；B、3+5=8<9，不能構(gòu)成三角形，此項不符題意；C、4+5>6，能構(gòu)成三角形，此項符合題意；D、4+5<10，不能構(gòu)成三角形，此項不符題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵．題型四確定第三邊的取值范圍例4（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）三角形的兩邊長分別為4cm和7A．2cm B．3cm C．6cm D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：設(shè)第三邊為xcm，由三角形三條邊的關(guān)系可得：7-即3<x<11，此三角形第三邊長可能是6cm，只有C符合．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三條邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．舉一反三1（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）已知兩根直木條的長分別為6dm和12dm，要再選擇一根木條，使得它們首尾順次相接能圍成一個三角形，則下列長度的木條中，符合要求的是（A．5dm B．6dm C．11dm D．20dm【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出第三邊的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：由三角形三邊的關(guān)系可知，12-6<選取的木條長度<12+6，即6dm<選取的木條長度∴四個選項中只有選項C符合題意，故選C．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若三角形的兩邊長分別為2，6，則此三角形第三邊的長可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】根據(jù)已知邊長求第三邊x的取值范圍：第三邊的范圍為大于兩邊差且小于兩邊和．【詳解】解：設(shè)第三邊為x，則6-2＜x＜6+2，故4＜x＜8，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊長，則第三邊的范圍為大于兩邊差且小于兩邊和．題型五三角形的高有關(guān)計算例5（2023秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高線，BE是△ABC的角平分線，則∠DBE的度數(shù)是（

）A．10° B．12° C．15° D．18°【答案】A【分析】利用角平分線的定義可求出∠ABE的度數(shù)，在△ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABD的度數(shù)，再結(jié)合∠【詳解】解：∵BE是△ABC∴∠ABE=∵BD是△ABC∴∠ADB=90在△ABD中，∠∴∠ABD=180∴∠DBE=∴∠DBE的度數(shù)為故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是180°舉一反三1（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，從△ABC各頂點作平行線AD∥EB∥FC，各與其對邊或其延長線相交于點D，E，F(xiàn)．若△ABE的面積為S1，△AFC的面積為S2，△EDC的面積為A．S1+S2 B．S1+【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等得到：△ADE和△ABD在底邊AD上的高相等，△ADF和△ADC在底邊AD上的高相等，△BEF【詳解】證明：∵AD∥∴△ADE和△ABD在底邊AD上的高相等，△ADF和△ADC在底邊AD上的高相等，△BEF∴S∴S△即S△∵S即S即S△故選：C．【點睛】本題考查了平行線之間的距離，三角形面積，根據(jù)等底等高的三角形面積進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=40°，BE、AD分別是△ABC的角平分線和高線，求∠BEC、∠AFE的度數(shù)．【答案】125°，75【分析】根據(jù)BE、AD分別是△ABC的角平分線和高線，推出∠ABE=∠EBD，∠BAD【詳解】∵BE、AD分別是△ABC∴∠∴∠∴∠BEC=180∴∠AFE=【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義、對頂角相等的知識，解題的關(guān)鍵是熟知三角形內(nèi)角和是180°．題型六三角形中線的計算問題例6（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD，②BC邊上的角平分線AE，③BC邊上的高AF．根據(jù)所學知識與相關(guān)活動經(jīng)驗可知：上述三條線中，所有能夠通過折紙折出的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)三角形中線，角平分線和高的定義即可判斷．【詳解】沿著A點和BC中點的連線折疊，其折痕即為BC邊上的中線，故①符合題意；折疊后使B點在AC邊上，且折痕通過A點，則其折痕即為BC邊上的角平分線，故②符合題意；折疊后使B點在BC邊上，且折痕通過A點，則其折痕即為BC邊上的高，故③符合題意；故選D．【點睛】本題考查三角形中線，角平分線和高的定義．掌握各定義是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=3，AC=5，則BC邊的中線AD的取值范圍為.

【答案】1<AD<4【分析】把AD延長到DE使DE=AD，構(gòu)造三角形ABE，根據(jù)三角形三邊直接的關(guān)鍵建立不等式組求范圍.【詳解】

如圖延長AD到點E，使DE=AD，連接BE.在三角形ADC與三角形BDE中{AD=DE∴△ADC∴BE=AC在三角形AEB中，有AB+BE>AE，BE即3+5>2AD，5∴1<AD<4【點睛】本題解題關(guān)鍵在于倍長中線，構(gòu)造三角形，運用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的性質(zhì).舉一反三2（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，連結(jié)BE，CE．若△ABC的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)AD是△ABC的中線得S△ABD=S△ACD=1【詳解】∵AD是△ABC∴S△∵E是AD的中點，∴S△ABE=∴S△∴S陰影故選：A．【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分．題型七三角形角平分線的計算問題例7（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，高AE與CD相交于點O．若∠BAC=70°，∠ACB=60°．求：(1)∠B的度數(shù)；(2)∠AOD的度數(shù)．【答案】(1)50(2)60【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．（2）利用角平分線求出∠COE度數(shù)，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠EOC的度數(shù)，利用對頂角相等可求出【詳解】（1）解：∵∠BAC=70°，∴∠B=180（2）解：∵∠ACB=60°，CD是∴∠DCB=∵高AE與CD相交于點O，∴AE∴∠AEC=90∴∠COE=180∵∠AOD=∴∠AOD=【點睛】本題主要考查的知識點有三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和對頂角相等，解題過程中是否能熟練運用定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B=60°，則∠DAE=【答案】10【分析】由AD⊥BC可得∠BDA=90°，由直角三角形兩個銳角互余，得到∠BAD=30°，再由AE平分【詳解】∵AD∴∠BDA=90∵∠B=60∴∠BAD=90∵∠BAC=80°，AE平分∴∠BAE=40∴∠DAE=故答案為：10【點睛】本題考查了三角形角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023春·浙江寧波·八年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學?？计谀┤鐖D，在ΔABC中，∠A=64°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；……；A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=【詳解】由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=1∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=1∴∠A1=12∠A=1∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∴∠A=2n∠An，∴∠An=(12)n∠A=64∵∠An的度數(shù)為整數(shù)，∵n=6．故選C.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的12題型八三角形的折疊問題例8（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，D，E分別是邊AB、AC上的點，將∠A沿DE折疊，使點F落在AB的下方，當△FDE的邊EF與BC平行時，∠ADE的度數(shù)是．【答案】25°或25【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，得∠A的角度，根據(jù)折疊得，∠A=∠F，∠ADE=∠EDF；又根據(jù)EF【詳解】∵△ABC中，∠C=90∴∠∵△DEF是△∴∠A=∠∵EF∴∠∴∠∴∠∵∠∴∠∴∠ADE=25故答案為：25°或25【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和、外角和定理．舉一反三1（2022秋·浙江嘉興·八年級校聯(lián)考期中）在△ABC中，∠B=40°，D為邊BC上一點，將三角形沿AD折疊，使AC落在邊AB上，點C與點E重合，若△BDE為直角三角形，則∠C的度數(shù)為．【答案】90°或【分析】分兩種情形：∠BED=90°或【詳解】解：當∠BED=90°時，當∠BDE=90°時，綜上所述，∠C的度數(shù)為90°或故答案為：90°或130【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一點，將Rt△ABC沿CD折疊，使點B落在AC邊上的B'處，則∠ADB′等于【答案】40°【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠ACD＝∠BCD，∠CDB＝∠CDB'，進而利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BDC＝∠B【詳解】解：∵將Rt△ABC沿CD折疊，使點B落在AC邊上的B'∴∠ACD＝∠BCD，∠CDB＝∠CDB'∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠B＝90°﹣25°＝65°，∴∠BDC＝∠B'∴∠ADB'故答案為：40°．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠BDC和∠B'題型九三角形的內(nèi)角和定理應用例9（2022秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D=°．

【答案】10【分析】連接DE，在△CDE中，求出∠CDE+∠CED，然后再【詳解】解：連接DE，如圖所示，

∵∠A=50°，∴∠ACB=180∴∠DCE=∴∠CDE+∵∠EFD=110∴∠FDE+∵∠CED=∠CEF+∵∠CDE+∴∠CDF+∵∠CEF=30∴∠CDF+30∴∠CDF=10故答案為：10．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和的度數(shù)以及對頂角相等，靈活運用所學知識是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，點M,N分別在AB,BC上，∠C=80°，按如圖方式沿著MN折疊，使FN∥CD，此時量得∠FMN=50°，則∠B的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．135°【答案】B【分析】根據(jù)平行，折疊，可求出∠MNB，∠NMB的度數(shù)，在【詳解】解：∵FN∥CD，∴∠FNB=∵MN是折痕，∴∠FNM=∠MNB=在△BMN中，∠∴∠B=180故選：B．【點睛】本題主要考查平行線，三角形的內(nèi)角和定理的綜合，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的大小為度．【答案】75【分析】根據(jù)三角形三內(nèi)角之和等于180°求解．【詳解】解：如圖．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°-∠3-∠4=75°．故答案為：75．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角板的內(nèi)角度數(shù)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．題型十三角形的外角和定理應用例10（2022秋·浙江嘉興·八年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）用一副直角三角板拼出如圖所示的圖形，則圖中∠α的度數(shù)為（

）

A．95° B．100° C．105° D．120°【答案】C【分析】如圖，由題意知，∠ACB=30°，∠CED=45°，∠DCE=90【詳解】解：如圖，

由題意知，∠ACB=30°，∠CED=45∴∠ACE=∴∠α=故選：C．【點睛】本題考查了三角板中角度的計算，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．舉一反三1（2021秋·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°【答案】C【分析】如圖，易得∠DAC=45°，利用三角形的外角的性質(zhì)，得到∠【詳解】解：如圖，∠C=60∴∠DAC=∴∠1=故選C．【點睛】本題考查三角板中角度的計算，三角形的外角的性質(zhì)．熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若【答案】80°【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=140°，進而可得【詳解】解：連接AA∵A'B平分∠ABC，A∴∠A'BC+∴∠ABC+∴∠BAC=180∵∠1=∠DA∴∠1+故答案為80°【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)、得出∠1+單選題1.（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）將下列長度的三條線段首尾順次相連能構(gòu)成三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，6 D．4，5，10【答案】C【分析】構(gòu)成三角形的三邊應滿足：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，只有同時滿足以上的兩個條件，才能構(gòu)成三角形，據(jù)此可判斷選項正誤．【詳解】解：A選項：1+2=3，兩邊之和沒有大于第三邊，∴無法組成三角形；B選項：2+3=5，兩邊之和沒有大于第三邊，∴無法組成三角形；C選項：3+4>6，兩邊之和大于第三邊，且滿足兩邊之差小于第三邊，∴可以組成三角形；D選項：4+5<10，兩邊之和沒有大于第三邊，∴無法組成三角形，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，只有同時滿足以上的兩個條件，才能構(gòu)成三角形．2.（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）已知一個三角形的兩邊長為1，3，則第三邊可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)第三邊為a，則3-即2<a<4，∴a可以是3，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．3.（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形作高的方法逐項判斷即可．【詳解】選項A作的是BC邊上的高，不符合題意；選項B作的是AB邊上的高，符合題意；選項C中三角板未過點C，故作的不是高，不符合題意；選項D作的是AC邊上的高，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了三角形高的作法，作邊AB邊的高，應從頂點C向AB作垂線，垂足落在直線AB上，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4.（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）八年級1班學生楊沖家和李銳家到嵊州書城的距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的距離不可能是（）A．3km B．9km C．5km D．4km【答案】B【分析】當三個地點不在同一直線時根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到2<S<8，當三個地點在同一直線時分書店在中間及李銳家在中間兩類討論即可得到答案；【詳解】解：當三個地點不在同一直線時，由三角形三邊關(guān)系可得，2<S<8，當三個地點在同一直線時，①

書店在中間時：S=5+3=8，②

李銳家在中間時：S=5-綜上所述：2≤故選B．【點睛】本題主要考查三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，解題的關(guān)鍵是分類討論．5.（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，從△ABC各頂點作平行線AD∥EB∥FC，各與其對邊或其延長線相交于點D，E，F(xiàn)．若△ABE的面積為S1，△AFC的面積為S2，△EDC的面積為A．S1+S2 B．S1+【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等得到：△ADE和△ABD在底邊AD上的高相等，△ADF和△ADC在底邊AD上的高相等，△BEF【詳解】證明：∵AD∥∴△ADE和△ABD在底邊AD上的高相等，△ADF和△ADC在底邊AD上的高相等，△BEF∴S∴S△即S△∵S即S即S△故選：C．【點睛】本題考查了平行線之間的距離，三角形面積，根據(jù)等底等高的三角形面積進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．二、填空題1．（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，圖中的∠1=°．【答案】50【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ACD=∠1+∠B，然后把∠【詳解】解：如圖，∵∠ACD=而∠ACD=95∴95∴∠1=95故答案為：50．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．掌握三角形的外角性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江金華·八年級