四川省成都市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)入學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 含解析

成都某中學(xué)高2024屆高三上入學(xué)考試

理科數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={-1,0,1,2,3},8={MreA且-xdA},則集合B中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合4={-1,0,1，2,3},8=0x64且-xe4},即集合8中的元素有0,1,-1.

【詳解】解：由于集合4={-1,0,1,2,3},B={x|xGA且-xGA},

?.「IGA且1GA,0的相反數(shù)是0,OEAA-lefi,1GB,Oefi.

0,1}

故B中元素個(gè)數(shù)為3個(gè)：

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.歐拉公式e"=cosx+isinx（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學(xué)中的一個(gè)神奇公

式.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)z=3在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.

【詳解】由歐拉公式，z=e'=cosl+isin1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（cosl,sinl）在第一象限.

故選：A.

V-22

3.橢圓二+v2_=1的焦距為2,則w的值等于（）.

m4

A.5B.8C.5或3D.5或8

【答案】C

【解析】

【分析】分焦點(diǎn)在x軸，y軸上兩種情況，利用2c=2,即可求出加的值.

【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：c=l,a2^m,b2=4,c2=a2-h2=^-4=1,解得：m=5,

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：c=l,a2=4,b2=m,c2=a2-b2=4-m=\,解得：m=3,

所以加=5或加=3,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示：則下列兩個(gè)圖形①②中，可能是其俯視圖的是

A.①②都可能B.①可能，②不可能

C.①不可能，②可能D.①②都不可能

【答案】A

【解析】

【分析】

由三視圖的正視圖和側(cè)視圖分析，幾何體上部、中部、下部的形狀，判斷，可得出選項(xiàng).

【詳解】若是①，可能是三棱錐；

若是②，可能是棱錐和圓錐的組合；

所以①②都有可能，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

m..

5.已知事函數(shù)=加,〃ez），下列能成為“/（X）是R上奇函數(shù)”充分條件的是（）

A.m=-3,n=\B.m—1,n=2

C.m=2,n=3D.m=n=3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義域、奇偶性的判斷方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,〃X）=X-3=5，\/（X）的定義域?yàn)椋ā?,0）U（0,+8）,

又〃_X）=（_X）-3=_X-3=_/（X）,\/（X）是定義在（T,0）U（0,+8）上的奇函數(shù)，充分性不成立,

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,...〃同=/=?，'/（尤）的定義域?yàn)椋邸?+8）,

\/（X）為非奇非偶函數(shù)，充分性不成立，B錯(cuò)誤；

2-

對(duì)于C,/（%）=/=#J7,\/（X）的定義域?yàn)镽,

又/（一1）=班牙=值=/（無(wú)），'f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，充分性不成立，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，=3=五，'f（x）的定義域?yàn)镽，

又/（—*）=燈=—取=—/（力，\/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，充分性成立，D正確.

故選：D.

6.如圖所示，圖中曲線方程為y=f-1,用定積分表達(dá)圍成封閉圖形（陰影部分）的面積是（）

f（YT）1V

B.

D.於2一收+「卜2_心

【答案】C

【解析】

【分析】由微積分基本定理的幾何意義即可得出結(jié)果.

222

【詳解】圖中圍成封閉圖形（陰影部分）的面積S=J；（1—尤2）dx+Ji（x-l）dx=￡|x-l|dx.

故選：C.

7.已知a1是兩個(gè)非零向量，設(shè)A6=a,CO=b.給出定義：經(jīng)過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8,分別作CQ

所在直線的垂線，垂足分別為4，5，則稱(chēng)向量44,為a在萬(wàn)上的投影向量.已知

4=（1,（））/=（0,1）,則力在〃上的投影向量為（）

q叵

A.B.C.f30

\/\7

【答案】D

【解析】

【分析】先求向量。的單位向量，再利用投影向量的求法求解即可.

【詳解】設(shè)a與人的夾角為。，由人=（石,1）,

所以。在匕上的投影向量為:

8.已知X若4P（X=2）=3尸（X=3）,則〃的最大值為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)4P（X=2）=3尸（X=3）可得到方程，求得p=-g,結(jié)合〃的取值，可得答案.

【詳解】由題意可知〃23,

n3

因?yàn)?P(X=2)=3P(X=3),所以4cp2(1-p)-2=3cp'(I—P)-,

整理得4(1—〃)=(〃-2)〃，即2='-,

71+2

4

又"cN"且〃之3,所以〃

故選：B

9.如圖，圓柱的軸截面為矩形A3CD,點(diǎn)〃，N分別在上、下底面圓上，NB=2AN，

CM=2DM，AB=2，BC=3，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為（）

,3回3同

A.-------RD.-------X--.--D.—

102054

【答案】B

【解析】

【分析】通過(guò)平移得到異面直線AM與CN所成角，并結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.

【詳解】如圖（1）,在A5上取點(diǎn)E，使AE=2EB，

圖⑴

連接NE,AN,NB,BE,EA.

易知四邊形A7VBE為矩形，則NB〃AE,且NB=AE.

連接MN,CM.因?yàn)镸N〃BC,且MN=BC,

所以四邊形為平行四邊形，所以CM〃NB，且CM=N5.

連接CE,則A七〃CM,且AE=CM，

所以四邊形AECM為平行四邊形，則AM〃C￡,

所以N7VCE或其補(bǔ)角是異面直線AM與CN所成的角.

在Rtz\ABN中，NB=2AN，AB=2，BN=,AN=1,

在RtZXBNC中，CB=3,BN=5所以CN=43?+（也丫=2上.

在Rt_3CE中，CB=3,BE=T，所以CE==JT5.又NE=AB=2,

10+12-43730

在△NCE中，由余弦定理cosNNCE=

2xVi0x2V320

故選：B.

10.若/log?a+3"—1=logg8+9",則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b~D.a<b'

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)等是進(jìn)行變形log36+3“=log33G+32〃>log3而+32J根據(jù)函數(shù)〃x)=x+log3X

的單調(diào)性即可得解.

【詳解】由題可得：log3夜+3"=log3、/+32z>+k>g33=log33j^+326>k)g3^+32J

函數(shù)/(x)=x+log3X是定義在(0,+?)的增函數(shù)，

/(a)>〃2。)，

所以a>2/>.

故選：A

11.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1).明

朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理(圖2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒

車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離為為1.5m,筒車(chē)的半徑

TT

廣為2.5ml,筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。為五rad/s,如圖3所示，盛水桶M(視為質(zhì)點(diǎn))的初始位置玲距水面

的距離為3m,則3s后盛水桶M到水面的距離近似為(0x1.414,732)()

圖1圖2圖3

A.4.0mB.3.8mC.2.5mD.2.4m

【答案】A

【解析】

【分析】先求出初始位置時(shí)凡對(duì)應(yīng)的角，再根據(jù)題意求出盛水桶M到水面的距離與時(shí)間r的函數(shù)關(guān)系式,

將，=3代入，即可求解.

【詳解】設(shè)初始位置時(shí)兄對(duì)應(yīng)的角為外,貝公出仰=七三=；,則cos%=—,

2.555

TT

因?yàn)橥曹?chē)轉(zhuǎn)到的角速度為一陽(yáng)d/s，

12

7T

所以水桶M到水面的距離d=2.5sin(五1+%)+1.5,

當(dāng)，=3時(shí)，可得d=2.5sinfj|x3+e())+1.5=2.5x(￥x|+,xq)+1.5*3.974a4.0m.

故選：A.

12.如圖拋物線乙的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為4,焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為B，焦點(diǎn)也為產(chǎn)，

準(zhǔn)線為《，焦準(zhǔn)距為6.乙和乙交于尸、Q兩點(diǎn)，分別過(guò)P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為

M.N、S、T,過(guò)F的直線與封閉曲線AP5Q交于。、。兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

①|(zhì)AB|=5②四邊形MNST的面積為100

「25-

③ES-FT=0④|CD|的取值范圍為5,—

A.①②④B.①③④C.②③D.①③

【答案】B

【解析】

【分析】利用已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求解兩條拋物線方程，求解A8的距離判斷①；求解

N的坐標(biāo)，推出矩形的面積判斷②，利用向量的數(shù)量積判斷③；判斷C。的距離的范圍判斷④.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

拋物線r,的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為焦準(zhǔn)距為4；可得|AF1=2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=8x.

拋物線72的頂點(diǎn)為8,焦點(diǎn)也為產(chǎn)，準(zhǔn)線為L(zhǎng)焦準(zhǔn)距為6.可得|8/口=3,所以|A8|=2+3=5,所以

①正確；

拋物線上的方程為：V=-i2(x-5).

y2=8xr-

心和「2交于P、。兩點(diǎn)，〈2，可得P、。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：3,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)：±2#,

y=-12(x-5)

分別過(guò)P、。作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，

可得M(-2,2屈,N(8,2扃,S(8,-2")，7(-2,-2峋,

四邊形MNST的面積為：10x46=40布.所以②不正確；

又尸(2,0),則口=(-4,-26)，F(xiàn)S=(6,-276),可得FS."■=()，所以③正確：

根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)。在封閉曲線APBQ的上部分，

設(shè)C。在直線1},12上的射影分別為C,,DI,

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線3P，點(diǎn)。在拋物線A。上時(shí)，

當(dāng)CO與AB重合時(shí)，|CD|最小，最小值為|CD|=5,

當(dāng)O與P重合，點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，因?yàn)镻(3,2標(biāo)),F(2,0),

直線C0:y=2#(x-2),

與拋物線口的方程為V=8x聯(lián)立，可得3f—i3x+12=0，

1325

設(shè)0(不，%),0(%2，%)，則%+/=與■，|℃|=玉+工2+4=；~，

所以|C0|e5,—；

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線R4,點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，設(shè)CD:x=（y+2,

與拋物線「?的方程為=8x聯(lián)立，可得V一-16=0,

設(shè)。（七,%）,。（%4，%），則為+”=&,|。4=』+工4+4=]%+%）+8=8/+828,

「25-

當(dāng)（=0,即CD_LA6時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)|CD|e8,y；

「25-

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線勿，點(diǎn)。在拋物線。5上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，|CD|G5,—；

r25"

綜上，|CO|e5,y,所以④正確.

故選：B.

二、填空題

13.命題p："eR,e”-/一140"則一p為.

【答案】VxGR,e"—x—1>0

【解析】

【分析】直接根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，即可得答案.

【詳解】因?yàn)槊}P為特稱(chēng)命題，所以命題P："m/eR./b-Xo-lWO”的否定r?為：

VxeR,e'-x-1>0.

故答案為：VxGR,—%—1>0.

14.高二甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃端午假期從“韓陽(yáng)十景”中挑4個(gè)旅游景點(diǎn)：廉村孤樹(shù)、龜湖夕照、南野桑、

馬嶼香泉隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A:甲和乙至少一人選擇廉村孤樹(shù)，事件8:甲和乙選擇的景

點(diǎn)不同，則條件概率尸（用可=.

【答案】-

7

【解析】

【分析】計(jì)算出事件A、A8所包含的基本事件數(shù)，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】對(duì)于事件A,甲和乙至少一人選擇廉村孤樹(shù)，則其反面為“甲、乙兩人均不選擇廉村孤樹(shù)”，

所以，n（A）=42-32=7,

對(duì)于事件AB，甲和乙中只有一人選擇廉村孤樹(shù)，另一個(gè)人選擇其它村，

所以，〃（A8）=2x3=6,

因此，所求概率為P（B|A）=M野=：.

故答案為：一.

7

22

15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a/,c，且tanA+3tan（A+8）=0,a-c則

人的值為.

【答案】4

【解析】

［分析】由tanA+3tan（A+8）=0可得sinAcosC+cosAsinC=4sinCcosA,即而得4sinCbosA=sinB,

利用正余弦定理化簡(jiǎn)可得b?=2（片—c?）,結(jié)合條件/一02=20，即可求得答案.

【詳解】由tanA+3tan（A+8）=0,可得tanA=-3tan（A+8）=3tanC,

口“sinA3sinC

即-----=-------,即有sinAcosC+cosAsinC=4smebosA，

cosAcosC

即sin（A+C）=4sinCcosA=sinB,

^22_2

故4c——=b,化簡(jiǎn)得從=2（/一。2）,結(jié)合。2_02=2。，

2hc

可得/一4匕=0,解得匕=4或0（舍），

故答案為：4.

16.函數(shù)/（x）的圖像如圖所示，已知/（0）=2,則方程/（力一引（力=1在（a,8）上有個(gè)非負(fù)

實(shí)根.

:

【答案】1

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(X)-獷'(x)=l的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷方程

〃引一引(力=1在(a,。)上的根的個(gè)數(shù).

【詳解】由圖像可得函數(shù)/(x)在(。涉)上有3個(gè)極值點(diǎn)，

不妨設(shè)其極值點(diǎn)為王,工2，$，其中玉<0〈龍2<%，

;

~a-x,Ox2~\[//,*

設(shè)g(x)=/'(%)，Mx)=/(x)—xg(x)—l,"(x)=/'(x)—g(x)-xg'(x)=Tg'(x),

由圖像可得g(W)=0，g(毛)=0,XG(0,%2)時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，g(x)=/'(x)>0,

又函數(shù)/(X)的圖像由陡峭變?yōu)槠骄彛蕓g(x)|逐漸變小，

所以當(dāng)x?(),X2)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，g'(x)<0，

當(dāng)X€(%2,4)時(shí),函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，所以g(x)=)'(%)<0,

函數(shù)/(X)的圖像先由平緩變?yōu)槎盖?，再由陡峭變?yōu)槠骄彛?/p>

|g(x)|先變大再變小，函數(shù)g(x)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，所以g'(x)取值先負(fù)后正，

所以存在天€(馬,天)，使得g'(x4)=0,

當(dāng)兀€(馬,彳4)，g'(%)<0，當(dāng)%€(%4，七)，g'(x)>o,

當(dāng)xe(毛㈤時(shí)，函數(shù)“X)單調(diào)遞增，函數(shù)“X)的圖像由平緩變?yōu)槎盖?，函?shù)g(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí)，g'(x)>(),

當(dāng)兀武。,％)時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)無(wú)€(又4力)時(shí)，g'(x)>。，

所以當(dāng)xe(0,%4)時(shí)，h'(x)>o,函數(shù)〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(0,工4)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(%4，b)時(shí)，//(x)<o,函數(shù)力(x)=,f(x)-xg(x)—l在(工4力)單調(diào)遞減，

因?yàn)椤?())=〃0)-0Xg(o)_1=1>0,函數(shù)h(x)在(0,%)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)〃(￡)=/(%)-%(力-1在(0,玉)上不存在零點(diǎn)，且人(%4)>°，

因?yàn)椤ㄎ椋?/（。）一如。）一1=6Lg。），

kh）

因?yàn)?處［表示點(diǎn)色,/（。））與點(diǎn)（0,1）的連線的斜率，g?表示曲線/（X）在點(diǎn)色,/（。））處的切線

b

的斜率，

結(jié)合圖像可得1<gp）,故z/e）<o,

所以函數(shù)〃（￡）=/（%）-%（％）-1在（%41）上存在唯一零點(diǎn)，

故方程“X）-靖（x）=l在（兄。）上有1個(gè)非負(fù)零點(diǎn)，

故答案為：1.

三、解答題

17.四棱柱ABC。一A4GQ中，D\E=kDAD\F=kD\B,RG=kRCRH=kD1D.

（2）證明：E,EG,H四點(diǎn)共面；

113

【答案】（1）AF=-AA+-AD+-AB

4*44

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行求解；

（2）設(shè)AC=/LA8+〃AO（人〃不為0）,推導(dǎo)出EG=XM+〃EH,進(jìn)而證明出四點(diǎn)共面.

【小問(wèn)1詳解】

四棱柱ABC。一AAGA中，AD^A^+AD,

3

因?yàn)槭隙唬?/p>

4

113313

113

=-AA+-AD+-AB-,

4”44

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)AC=4A8+〃A。（4〃不為0）,

EG=DtG-DlE=kDlC-kDtA=kAC=k^AB+pAD）=kAAB+kpAD

=U（Dlfi-Z）lA）+x/^（DlD-D1A）=A（D1F-DE）+/z（D1W-DlE）=2EF+x/￡：H,

則EF,EG,EH共而且有公共點(diǎn)E，則E,3GH四點(diǎn)共面；

18.隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來(lái)越受市民重視，為此某市建立了共享電動(dòng)車(chē)服務(wù)系

統(tǒng)，共享電動(dòng)車(chē)是一種新的交通工具，這是新時(shí)代下共享經(jīng)濟(jì)的促成成果.目前來(lái)看，共享電動(dòng)車(chē)的收費(fèi)

方式通過(guò)客戶(hù)端軟件和在線支付工具完成付費(fèi)流程，從開(kāi)鎖到還車(chē)所用的時(shí)間稱(chēng)為一次租用時(shí)間，具體計(jì)

費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

①租用時(shí)間30分鐘2元，不足30分鐘按2元計(jì)算；

②租用時(shí)間為30分鐘以上且不超過(guò)40分鐘，按4元計(jì)算；

③租用時(shí)間為40分鐘以上且不超過(guò)50分鐘，按6元計(jì)算

甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共電動(dòng)車(chē)一次，租用時(shí)間都不會(huì)超過(guò)50分鐘，兩人租用時(shí)間的概率如下

表：

不超過(guò)30分

租用時(shí)間3040分鐘4050W

鐘

甲0.4Pq

乙0.50.20.3

若甲、乙租用時(shí)間相同的概率為0.35.

（1）求p,q的值；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴p=q=G3

（2）分布列見(jiàn)解析；期望7.4

【解析】

【分析】⑴分別記“甲租用時(shí)間不超過(guò)30鐘、30-40分鐘、4050分鐘”為事件A，4，4,它們彼

此互斥，則可得0+q=0.6①，2P+3q=1.5②求解即可;

(2)由題意可得X可能取值為4,6,8,10,12,求出X對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，計(jì)算期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：分別記“甲租用時(shí)間不超過(guò)30鐘、30?40分鐘、4050分鐘”為事件它們彼此互斥，

則P(A)=0.4,P(4)=p,P(A3)=q,且p+q=0.6①；

分別記“乙租用時(shí)間不超過(guò)30鐘、30?40分鐘、4050分鐘”為事件綜％員，則

P(BJ=0.5,P(B2)=0.2,P(B3)=0.3,且A,&與耳,氏員相互獨(dú)立.

記“甲、乙租用時(shí)間相同”為事件C,

則P(C)=P(AM+4B2+453)=P(A)P(M)+P(4)P(B2)+P(4)P(/)

=0.4x0$+0.2p+0.3q=0.35=2p+3g=1.5②

由①②解得：0=4=03

【小問(wèn)2詳解】

解：X可能取值為4,6,8,10,12,

p(X=4)=0.4x0.5=0.2,P(X=6)=0.4x0.2+0.3x0.5=0.23,

p(X=8)=0.4x0.3+0.5x0.3+0.3x0.2=0.33,

P(X=10)=0.3x0.3+0.3x0.2=0.15,尸(X=12)=0.3x0.3=0.09

所以X分布表如下：

X4681012

P0.20.230.330.150.09

所以E(X)=4x0.2+6x0.23+8x0.33+10x0.15+12x0.09=7.4

SSI

19.記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且4>0,已知一出--=—.

?！?1anL

(1)若q=l,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

111,

(2)若不+不++不<1對(duì)任意〃eN*恒成立，求為的取值范圍.

【答案】（1）an=n

（2）>2

【解析】

S

【分析】（1）由已知得為公差為;的等差數(shù)列，求得2S,,=（〃+l）a“，利用。”與S”的關(guān)系求得

工=—；（〃22）,再利用累乘法即可得到結(jié)果.

%1

-12（11]

（2）利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式表示出S“，即可得出『=一?--------L然后利用裂項(xiàng)相消法求得其

SHqI〃n+lJ

前〃項(xiàng)的和，即可得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

[S11S,,

由題意得1為公差為;，首項(xiàng)為」=1的等差數(shù)列，

對(duì)2%

即2S,,=(〃+1)%,2S,i=3,i(〃之2),

兩式作差得2a,,=(n+l)a?-na,i,

吟:含心,

a.nn-\2

所以XXXX-=---------X-----------XX—

an-\an-2an-34n-1n-21

即j=〃，afl=>2）,

a\

因?yàn)?=1也適合上式，所以a〃=〃.

小問(wèn)2詳解】

由（1）知"="=>?！?〃4,

q

由&=-可得s“="〃M=（i+〃），

42"22

1212fl\]

所以$;二[.而而

qln+1J

當(dāng)八一>+8時(shí)，有一1—

八111,_2八

因?yàn)閝>0,所以3+《++不<】恒成立等價(jià)于一41,從而qN2.

?2Aa\

20.已知函數(shù)/(x)=alnx-or+l,aeR.

(1)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)的直線與函數(shù)〃x)的圖像相切于點(diǎn)(2,/(2)),求實(shí)數(shù)°的值；

(2)設(shè)g(x)=/(x)+gx2-i,若g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為X],玉。赴)，且不等式

,g(xl)+g(x,)<2(xI+w)恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【答案】(1)a=-^—

l-ln2

(2)[2In2—3,+oo)

【解析】

【分析】(1)由題意，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；

(2)將g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為X],w(不。工2)，轉(zhuǎn)化為方程一ox+a=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的根，

根據(jù)根的判別式求出。的取值范圍，將不等式g(X,)+g(W)<4(X|+X2)恒成立，轉(zhuǎn)化為

">g(再)+g(%2)恒成立,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問(wèn)題，進(jìn)而即可求解.

X1+九2

【小問(wèn)1詳解】

/(X)的定義域?yàn)?0,+8),

由/(x)=alnx—以+],得r(x)=0-a,則/出='|-0=_'|，

因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)的直線與函數(shù)/(X)的圖像相切于點(diǎn)(2,〃2)),

所以％=?=—0,

22

所以aln2-2a+l=-〃，解得。=--—，

1-ln2

【小問(wèn)2詳解】

/\z./\121112rl12-dX.

=fx-\=a\nx-ax+-x,則g'(x)=——a+x=---------(x〉0),

22xx

因?yàn)間(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為￡(玉。9)，

所以g，(x)=巨二竺±￡=o在(o,+8)上有兩個(gè)不同的根,

此時(shí)方程X?—依+〃=0在。+00)上有兩個(gè)不同的根,

則A=Q2一4〃>0，且不+工2=。>0，解得。>4,

若不等式g(%)+g(%)</1(玉+/)恒成立，則4>恒成立，

JL?JL)

因?yàn)間(玉)+g(/)=〃(ln玉-xt)+—X)+tz(lnx2-x2)+—x2

2

=a\n{xix2)-a(x1+X2)+^(X|+x；)

=aln(XjX2)-a(Xy+x2

=a\na——a1-a

2

.12

不妨設(shè)〃3>(為.㈤-一乎一、ma1。l(a>4),

Uycl)-----------------------------inau->為

X,+x2a2

,,.112-a

則〃(a)=----=----,

a2la

因?yàn)椤?gt;4,所以/?'3)<0,

所以h(a)在(4,+oo)上遞減,所以〃(a)<版4)=2In2-3,

所以；1221n2—3,

即實(shí)數(shù)X的取值范圍為［21n2-3,+8).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立

問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程X2—以+。=0在（0,+00）上有兩個(gè)不同的根，求出。的范

圍，再將不等式g（玉）+g（w）<4（xi+%2）恒成立，則-〉g（-）+g（"2）=ina—Ja-l（a〉4）恒成

X]IX^2L

立，然后構(gòu)造關(guān)于。的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.

22

21.已知雙曲線E:0—[=l（a>O/>0）的離心率為夜，左焦點(diǎn)尸到雙曲線E的漸近線的距離為

ab

萬(wàn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線/與雙曲線C的左、右支分別交于點(diǎn)48,過(guò)點(diǎn)尸作直線4與雙曲線E的左、右支分

別交于點(diǎn)C、D,且點(diǎn)8、C關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng).

（1）求雙曲線E的方程；

（2）求證：直線AO過(guò)定點(diǎn).

22

【答案】（1）-2-=1

22

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由條件列關(guān)于。力,c的方程，解方程求a,ac,由此可得雙曲線方程；

（2）設(shè)。（一/，一%），分別聯(lián)立直線EB，F(xiàn)C與雙曲線方程，結(jié)合關(guān)于系數(shù)關(guān)系求點(diǎn)A和點(diǎn)

。坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式表示直線A。的方程，再證明直線過(guò)定點(diǎn).

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)雙曲線的半焦距為c,則網(wǎng)—c,0）,

由己知￡=應(yīng)，故==竺挈1=2,即。=人，

aaa

所以漸近線方程為y二臺(tái).

又尸到雙曲線后的漸近線的距離為近，貝ij￡=8,

所以c=2,a=/?=V2.

22

所以雙曲線E的方程為七一匕=1.

22

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)B^XQ,y0）,C（—x0,—y0）,

若為=0,則/=及，

故3（夜,0）,。卜VIo）,A（-0,0）,。（五,0）,

直線A。的方程為y=o,