初中數(shù)學(xué)120大招-100 面積比例問題

面積比例問題一、方法突破除了三角形、四邊形面積計(jì)算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結(jié)論，對(duì)面積比例的分析，往往比求面積要復(fù)雜得多，這也算是面積問題中最難的一類．大部分題目的處理方法可以總結(jié)為兩種：（1）計(jì)算；（2）轉(zhuǎn)化．策略一：運(yùn)用比例計(jì)算類策略二：轉(zhuǎn)化面積比如圖，B、D、C三點(diǎn)共線，考慮△ABD和△ACD面積之比．轉(zhuǎn)化為底：共高，面積之比化為底邊之比：則．更一般地，對(duì)于共邊的兩三角形△ABD和△ACD，連接BC，與AD交于點(diǎn)E，則．策略三：進(jìn)階版轉(zhuǎn)化在有些問題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為其他線段比值，比如常見有：“A”字型線段比、“8”字型線段比．“A”字型線段比：．“8”字型線段比：．轉(zhuǎn)化為垂線：共底，面積之比化為高之比：．面積能算那就算，算不出來就轉(zhuǎn)換；底邊不行就作高，還有垂線和平行．二、典例精析例一：已知，如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．（2）在拋物線上、兩點(diǎn)之間的部分（不包含、兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）設(shè)頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，可得解析式為：．當(dāng)x=3時(shí)，y=5，故點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,5），∴直線AB的解析式為：y=2x-1．（2）鉛垂法表示△ACD的面積：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，過點(diǎn)D作DP⊥x軸交AB于P點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為，線段DP=-m2+9，，面積公式表示△MCD的面積：過點(diǎn)D作DQ⊥MC交MC于點(diǎn)Q，則DQ=1-m，，解得：m=5或-1．考慮D點(diǎn)在A、M之間的拋物線上，故m=-1．D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,5）．例二：如圖拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）解析式為，對(duì)稱軸為直線x=1．（2）連接CP，可將四邊形CBPA分為△CAP和△CBP．即或．考慮△CAP和△CBP共底邊CP，記CP與x軸交于點(diǎn)M，則①AM：BM=5：3，點(diǎn)M坐標(biāo)為，根據(jù)C、M坐標(biāo)求解直線CM解析式：，聯(lián)立方程：，解得：（舍），．故P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-5）．②AM：BM=3：5，點(diǎn)M坐標(biāo)為，根據(jù)C、M坐標(biāo)求解直線CM解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：（舍），．故P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-45）．例三：如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖，連接，點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)，連接，．交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）解析式：（2）顯然△COF和△CDF共高，可將面積之比化為底邊之比．，思路1：轉(zhuǎn)化底邊之比為“A”字型線段比在y軸上取點(diǎn)E（0，5），（為何是這個(gè)點(diǎn)？因此此時(shí)OC：CE=3：2）過點(diǎn)E作BC的平行線交x軸于G點(diǎn)，EG與拋物線交點(diǎn)即為所求D點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直線EG解析式為：y=-x+5，與拋物線聯(lián)立方程，得：，解得：，．故D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．思路2：轉(zhuǎn)化底邊之比為“8”字型線段比過點(diǎn)D作DG∥y軸交BC邊于點(diǎn)G，則，又OC=3，故點(diǎn)G滿足DG=2即可．這個(gè)問題設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．也可以構(gòu)造水平“8”字，過點(diǎn)D作DG∥x軸交BC于點(diǎn)G，則，又OB=3，∴DG=2即可．但此處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議．其實(shí)本題分析點(diǎn)的位置也能解：思路3：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，根據(jù)OF：DF=3：2，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)F在直線BC上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．這個(gè)計(jì)算的方法要求能理解比例與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，即由D點(diǎn)坐標(biāo)如何得到F點(diǎn)坐標(biāo)．三、中考真題對(duì)決1．（2021?百色）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）證明：與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，，，由對(duì)稱得，，四邊形是矩形，，，，；（2）解：設(shè)，由對(duì)稱可得，，，，在中，，，，，，設(shè)經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，把，，，代入得：，解得：．經(jīng)過，，三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）解：存在，過點(diǎn)作軸于，，，，，設(shè)中邊上的高為，，，，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0或4，①時(shí)，，解得：，；②時(shí)，，解得：，（舍去），存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，．2．（2021?牡丹江）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過頂點(diǎn)的直線將的面積分為兩部分，并與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)解：（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：，解得：，，，頂點(diǎn)．（2）取線段的三等分點(diǎn)、，連接、交軸于點(diǎn)、，則：，，點(diǎn)，點(diǎn)，，，軸于點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為：，把點(diǎn)，代入，得：，解得：，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，，．故答案為：，，．3．（2021?徐州）如圖，點(diǎn)、在的圖象上．已知、的橫坐標(biāo)分別為、4，直線與軸交于點(diǎn)，連接、．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的面積；（3）若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使的面積等于的面積的一半，則這樣的點(diǎn)共有個(gè)．解：（1）點(diǎn)、在的圖象上，、的橫坐標(biāo)分別為、4，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線為；（2）在中，令，則，的坐標(biāo)為，，．（3）過的中點(diǎn)，作的平行線交拋物線兩個(gè)交點(diǎn)、，此時(shí)△的面積和△的面積等于的面積的一半，作直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，交拋物線兩個(gè)交點(diǎn)、，此時(shí)△的面積和△的面積等于的面積的一半，所以這樣的點(diǎn)共有4個(gè)，故答案為4．4．（2021?黑龍江）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，連接，，，．交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)解析式，可得，解得：，，又，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）如圖，過點(diǎn)作軸，由，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，將，代入，可得：，解得：，直線的解析式為，，，，又軸，，，，解得：，在中，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為．5．（2021?貴港）如圖，已知拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，連接．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，連接，此時(shí)在軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)，使．請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，拋物線的解析式為，點(diǎn)在拋物線上，，，，拋物線的解析式為；（2）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖1，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，，，直線垂直平分，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，